Geometria

	GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
	Geometría

5. PROBLEMAS CON RECTAS EN PARAMÉTRICAS

5.1. Puntos de una recta

r:	Dando un valor numérico al parámetro t , obtendremos valores para x e y . Son las coordenadas de un punto de r .
Para comprobar si un punto P(x₀,y₀) pertenece o no a r, sustituiremos sus coordenadas en la x y la y de la recta
El punto pertenecerá a la recta siempre y cuando se obtenga el mismo valor de t en ambas ecuaciones.

EJERCICIO 14

Tenemos en esta escena la recta r:

1.- Calcula en tu cuaderno las coordenadas de puntos X de r, dando a t los siguientes valores:
t = 0,5 t = -1 t = -2,3
Comprueba si tus cálculos son correctos cambiando el valor de t en los botones inferiores de la escena.

2.- ¿Pertenece el punto Q(-2, 4,5) a r? Para averiguarlo:

-Sustituye x por -2 en la ecuación de r y halla el valor de t.
-Sustituye y por 4,5 en la ecuación de r y halla de nuevo t.

Si los dos valores de t coinciden, el punto Q pertenece a la recta.

3.- Compruébalo en la escena, bien moviendo con el ratón el punto Q, bien introduciendo los valores de Q.x = -2 y Q.y = 4,5 en los botones inferiores. En la misma escena verás los valores de t que has calculado y si el punto Q se coloca sobre la recta o no.

4.- Por el mismo procedimiento del apartado anterior, averigua si el punto Q(-6,8) pertenece a r.

5.- ¿Cuánto tiene que valer m, para que el punto Q(4,m) pertenezca a r?.

5.2. Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Si (d₁, d₂) es un vector dirección de r , entonces:

Cualquier recta con vector dirección (d₁, d₂) o proporcional a él, (kd₁, kd₂) , k ≠ 0, es paralela a r o coincide con r

Cualquier recta con vector dirección (d₂, -d₁) o proporcional a él, (kd₂, -kd₁) , k ≠ 0, es perpendicular a r

EJERCICIO 15

En esta escena tenemos una recta r y un punto cualquiera P.

El punto conocido de r es Q(a,c) y su vector dirección d(b,d).

Vemos también que están dibujadas una recta paralela y otra perpendicular a r que pasan por P.

1.- Escribe en tu cuaderno las ecuaciones de una recta paralela y otra perpendicular a r , que pasen por P (9,3) .

2.- Comprueba el resultado en la escena, cambiando el punto P, arrastrándolo con el ratón, y la recta r cambiando los valores de a, b, c y d, en los botones inferiores.

5.3. Posiciones relativas de dos rectas

Dadas las rectas r₁: r₂:	para hallar su posición relativa , resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas, t y s :
Igualamos la x y la y de las dos rectas utilizando parámetros distintos, t y s , para una y otra.
Si el sistema tiene solución única (t₀,s₀) , las rectas se cortan en un punto, cuyas coordenadas se obtienen sustituyendo, en r₁ , t por t₀ , o bien, en r₂ , t por s_{0 .}
Si el sistema no tiene solución , las rectas son paralelas .
Si el sistema tiene infinitas soluciones , son la misma recta .

EJERCICIO 16

Las rectas que aparecen en el inicio de esta escena son:
y
En ellas podremos cambiar los valores de a, b, c y d, que corresponden a la recta r₁, Esto es, el punto de r₁ es (a,c)=(5,0) y su vector dirección es (b,d)=(-1,3)

1.- Iguala las x y las y de las dos ecuaciones, llamándole s al parámetro de r₂. Resuelve el sistema resultante. Te debe dar una solución única de t y s.

2.- Sustituye t en r₁ o s en r₂ para hallar el punto P de intersección de las dos rectas. La solución la tienes en la escena. Compruébala.

3.- En los botones inferiores de la escena cambia el valor de b, pones b=2, y el de d, pones d= -3. ¿Qué hemos cambiado en la recta r₁?

4.- ¿Cómo son ahora r₁ y r₂? Resuelve el sistema de nuevo como comprobación.

5.- Ahora pones a=1, b=-6, c=3 y d=9 ¿Qué ha pasado? Resuelve el sistema ahora.

6.- Como siempre, puedes cambiar los valores de a, b, c y d, como quieras e irás viendo el efecto en la escena.

	Ángela Núñez Castaín (2001) Adaptación a DescartesJS: Ángela Nuñez Castaín y Mª José García Cebrian (2017)

	ProyectoDescartes.org. Año 2017

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.