La fórmula más bella

Pedro Roses Amat

Red Educativa Digital Descartes


Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-41-7

Tabla de contenido

¿Hay belleza en las matemáticas?

Este libro es un recorrido por el siglo más brillante de las matemáticas, desde la publicación de la primera tabla de logaritmos por Napier en 1614, hasta la “Introductio in analysin infinitorum” de Euler en 1745, donde aparece por primera vez la identidad que da título a este libro. La identidad, tal como la escribió Euler por primera vez, tenía este aspecto:

Euler, 45 años más tarde, emplea i como símbolo de la unidad imaginaria y la expresión queda de esta forma:

Hoy en día, esta identidad se acostumbra a expresar tal como lo hemos hecho en la portada, para hacer aparecer el 0 y el 1, los elementos neutros de la suma y la multiplicación y de esta forma reunir en una única expresión cinco de los números más relevantes de las matemáticas.

La unidad imaginaria i establece un puente entre la geometría, representada por π, el análisis, representado por e y las operaciones aritméticas más básicas, representadas por el 0 y el 1. Antes de su descubrimiento no se sospechaba una relación tan sencilla entre todos ellos.

La belleza que se atribuye a esta fórmula no se fundamenta en los símbolos que intervienen, ni en su grafismo que ha ido variando en el tiempo. Es una forma de belleza que no estamos acostumbrados a reconocer y valorar, pero que nos descubre la profunda armonía de las matemáticas con la naturaleza.

Las tablas de logaritmos son, hoy en día, algo verdaderamente anticuado pero sin ellos no existiría la “Spira mirabilis”, la espiral maravillosa, omnipresente en la naturaleza. ¿No son bellos los logaritmos?

Si Newton descubre las leyes que nos explican el movimiento de los planetas y de las estrellas, ¿podemos decir que sus fórmulas son tan bellas como el cielo que describen?

Describir el lenguaje de las cosas y alcanzar la comprensión de sus símbolos fue el empeño de los personajes de nuestro libro y, gracias a su prodigiosa intuición, la belleza está hoy más cerca de nuestro alcance.

Introducción

El siglo de oro de las matemáticas

El siglo XVII en Europa es un siglo de pestes y guerras que provocaron grandes hambrunas y un gran retroceso de la población. En este contexto de profunda crisis social y económica, el siglo nos dejara en herencia el arte barroco y lo que hoy reconocemos como el primer gran estilo musical europeo, con músicos como Johan Sebastián Bach, Georg Friedrich Handel, o Antonio Vivaldi.

El siglo XVII es también el siglo de oro de las matemáticas, que avanzan en estos 100 años, pese a las circunstancias sociales adversas, más de lo que los griegos habían producido en un milenio. Esto se explica, en parte, por la difusión de la educación en Europa y por el intercambio de información entre los matemáticos de Inglaterra, Francia Alemania, Italia… que estimularon nuevos esfuerzos, pero también, y sobre todo por la aparición de personalidades geniales e irrepetibles.

Los principales matemáticos del siglo son muy conocidos. Citados por orden cronológico, Descartes (René Descartes, 1596-1650 ) es el primero de ellos. Contemporáneo suyo es Fermat (Pierre de Fermat, 1607-1665), Príncipe de las Matemáticas. A ambos se debe la introducción del álgebra para la resolución de problemas geométricos, lo que dará lugar a lo que hoy llamamos geometría analítica.

La figura cumbre de esta época es sin duda Newton (Isaac Newton,1643-1727). Sus aportaciones a la física y a la matemática han sido la base sobre la que se ha construido la ciencia hasta el siglo XX. La invención, independiente y prácticamente simultánea, del cálculo diferencial e integral por Newton y Leibniz (Gottfried Leibniz, 1646-1716) es la aportación más importante a las matemáticas de este siglo.

¿Quién es Euler?

Euler (Leonhard Paul Euler,1707-1783) nació al inicio del siglo XVIII. La música de su tiempo es la de Johan Emanuel Bach, hijo de Johan Sebastián Bach, porque es seguro que no llego a escuchar a Mozart, cincuenta años más joven.

En España, la muerte en 1700 sin descendencia de Carlos II es el final del largo declive de los Austrias y el preludio de la guerra de sucesión. Francia se convierte en la potencia dominante en Europa. Es el siglo de la ilustración y de la enciclopedia de Voltaire, que acabará trágicamente con el cataclismo de la revolución Francesa y las guerras Napoleónicas.

Euler es sin duda el matemático más original de su siglo y el más prolífico de todos los tiempos, que pertenece a la generación de matemáticos que se ocuparon del desarrollo del Cálculo, pues aunque Newton y Leibniz habían puesto las bases, quedaba mucho por hacer. Junto con Euler, destacan en esta labor diferentes miembros de la saga Bernoulli, un caso singular en la historia de matemáticos de primer nivel pertenecientes todos ellos a la misma familia. Euler fue discípulo de Johan y compañero de clase y amigo de Jean y Daniel Bernoulli.

La productividad matemática de Euler es increíble. Sus principales campos de interés fueron el cálculo infinitesimal, las ecuaciones diferenciales, la geometría analítica de curvas y superficies, la teoría de números, las series y el cálculo de variaciones aplicando todo ello a los problemas de la física en los que se ocupó. Difícilmente podemos encontrar una materia alejada de sus intereses científicos.

En particular, aquí resaltamos su labor de sistematización y divulgación del Cálculo infinitesimal recién “inventado”. Sus libros “Introductio in analysin infinitorum” (1745), de cálculo diferencial “Institutiones Calculi Differentialis “(1765) y de cálculo integral, “Institutiones Calculi Integralis” (1768-1770) son los primeros que dan forma a lo que hoy entendemos como matemáticas “clásicas” y se convierten en los libros de referencia para la divulgación y el aprendizaje de lo que, desde entonces, se llamara análisis.

El camino hacia el descubrimiento de e

La identidad de Euler establece una relación entre cinco números. El “0” el “1” y otros tres representados por letras $π, i$ y $e$. La elección de estas letras para designar estos números “especiales” se debe a Euler que las fue incorporando progresivamente a la notación de sus escritos.

La geometría clásica conocía perfectamente que el resultado de la división de la longitud de una circunferencia y su diámetro, o del área de un círculo y el cuadrado de su radio, era una constante “inconmensurable”, es decir, no podía expresarse mediante una fracción, porque no existe una unidad de medida común para la longitud de la circunferencia y su radio. En consecuencia, el resultado de esta división se desarrolla en un número infinito de números decimales. La letra $π$ para designar abreviadamente esta constante, la usa por primera vez, en 1706, William Jones (1675-1749), pero cuando Euler la utiliza en la “Introductio” se generaliza su uso a partir de 1748.

El caso de $i$ es muy diferente. Aparece, bajo la forma de $\small{\sqrt{-1}}$, en Italia, al intentar Rafael Bombelli resolver, en 1572, ecuaciones de tercer grado.

Dado que se pueden aplicar a $\small{\sqrt{-1}}$ las reglas del álgebra, $\small{\sqrt{-1}}$ es aceptado como número, con una componente de misterio, puesto que no se alcanza a entender su significado. Euler en una fecha tardía, para simplificar la notación, llama $i$ a este número cuyo cuadrado es -1. El número $i$ esta al margen de los números reales y no será identificado como la “unidad imaginaria” hasta la definición por Gauss, en 1831, de los números complejos.

Como vemos, tanto $π$ como $i$, tienen una historia que merece ser protagonista de un libro como este, pero en nuestro caso nos vamos a centrar en la historia del número $e$.

El número $e$, es un perfecto desconocido a principios de siglo XVII y se convierte, a partir de su descubrimiento, en el número más omnipresente de las matemáticas. Decimos “descubrimiento” porque $e$ no fue buscado activamente, su aparición es en cierto modo una sorpresa. Una sorpresa, como la del caminante que llega inesperadamente a un cruce de caminos que no esta en el mapa.

El mapa de las matemáticas del siglo XVII puede recorrerse en varias direcciones. Una de las direcciones principales es el camino hacia la progresiva definición del concepto de función.

Al inicio de este periodo el concepto de función no estaba identificado en el campo matemático. La palabra “función” aparece publicada por primera vez en un artículo de Leibniz de 1692 en la que da también la primera definición del concepto.

Las curvas algebraicas de Descartes, definidas como el lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen una ecuación de dos variables, son la primera aproximación de lo que acabará siendo una función.

Newton, requiere de las matemáticas para sustentar su descripción del movimiento no uniforme y su teoría de la gravitación universal y en general para la descripción de la naturaleza.

Para describir la naturaleza Newton tiene la certera intuición de que las leyes de la física no solo dependen de magnitudes “fluentes”, es decir, que varían en función de otras, sino también de sus “fluxiones” que son sus variaciones “instantáneas”. De esta manera establece un vinculo entre la evolución del concepto de función y la invención del cálculo.

La invención del cálculo es el segundo eje que define el avance de las matemáticas del siglo con la introducción de los infinitesimales y de las series infinitas que recurren a razonamientos basados en el infinito , ya sea por la división de los problemas en elementos “infinitamente pequeños” o por obtener resultados finitos de “sumas infinitas”, lo que en principio parece algo difícil de ejecutar, o al menos de acabar de ejecutar, en un tiempo finito.

Cuando Newton publica el teorema del binomio, generalización del procedimiento que empleamos para multiplicar binomios de exponentes enteros, para los casos de exponente negativo o fraccionario, obtiene una expresión algebraica que se desarrolla en infinitos términos. Por este camino, aparecen en el mapa las funciones trigonométricas definidas mediante series infinitas. El teorema del binomio pasa a ocupar un lugar central en la definición de nuevas funciones. Leibniz llama a estas funciones, de infinitos términos, trascendentes.

En la “Introductio”, Euler estudia la función exponencial y su relación con la logarítmica y obtiene el desarrollo en una serie infinita de ambas funciones, completando así el catálogo de funciones trascendentes elementales.

Como hemos dicho $e$ es un cruce de caminos: la función exponencial en base $e$, $\small{y = e^x}$, adquiere la propiedad especial de ser igual a su derivada. Los logaritmos en base e resultan ser los logaritmos naturales, que se obtienen integrando la hipérbola x · y=1.

Y entonces, en el capítulo siguiente de la “Introductio”, se precipita el final de nuestra historia.

Euler partiendo de las fórmulas conocidas por la geometría clásica para el seno y el coseno de la suma de ángulos, es capaz de ver que las relaciones trigonométricas de la antigüedad y el recién descubierto número $e$ se entrelazan en una expresión sencilla, insospechada. El número oculto durante siglos de historia aparece sin hacer ruido y trae de la mano la fórmula más bella. Nada de esto estaba en la hoja de ruta. La ciencia no solo avanza con esfuerzo e imaginación, también con fortuna.

Estructura de la obra

Vamos a exponer nuestro historia desde el punto de vista de los protagonistas, intentando resaltar sus grandes dosis de intuición e imaginación, asociadas a una capacidad de cálculo asombrosa, si tenemos en cuenta los medios de los que disponían. Al situarnos en este punto de vista subjetivo podemos decir que nuestra narración se asemeja en parte a una novela.

El orden cronológico del texto produce una falsa apariencia de objetividad, porque es muy difícil establecer la prioridad de muchas aportaciones clave. La atribución de los avances es, en cierta medida, una convención, que la perspectiva histórica ha ido consolidando. Hay que tener en cuenta que en la época la difusión de los avances era muy lenta y en gran parte basada en correspondencia privada entre los protagonistas. El ejemplo más extremo de esto lo tenemos en el caso de Fermat, cuyas escritos se publicaron por su hijo después de su muerte.

Además de ser cronológico y en cierta medida subjetivo, nuestro relato no tiene la pretensión de ser históricamente exhaustivo. No podemos describir todos los avances de esta época, sino que nos centramos en las contribuciones que llevan a la fórmula que da título al libro.

En conclusión, nuestro libro no es un libro de texto. Nuestro objetivo es una presentación intuitiva de los problemas y hacerlos comprensibles para lectores con conocimientos matemáticos básicos.

Para conseguir este objetivo de claridad nos ayudamos de las ilustraciones dinámicas de GeoGebra, que nos dan la oportunidad de visualizar las funciones y los conceptos. Nuestra ventaja es que gran parte del contenido se refiere a funciones que pueden ser representadas como curvas en el plano.

En los libros de texto el orden de la exposición esta subordinado a la definición progresiva y rigurosa de los conceptos y no coincide con la cronológica que nosotros seguimos. Para ayudar a relacionar ambas visiones, intercalamos en el texto notas que exponen conocimientos anteriores a la época o nos orientan hacia el futuro, lo que nos permite apreciar en cada caso la relevancia de las aportaciones que describimos.

La formación y evolución del concepto de función lo desarrollamos al margen del texto principal en cinco apuntes que se corresponden con la progresiva aproximación al concepto actual.

Una advertencia final. Sócrates le decía a Agatón en el banquete:

Viendo como otro pinta no nos haremos pintores, solo nos podremos contagiar de su pasión creativa, de la ilusión por adquirir su habilidad.

Del mismo modo, para el aprendizaje de las matemáticas, es una gran error creer que leyendo un texto y su primera comprensión podemos prescindir del esfuerzo personal imprescindible para dominar la materia. Nuestra intención es introducir al lector y al estudiante en lo que se consideran, a nuestro juicio injustamente, asuntos de difícil comprensión, pero el resultado, si se quiere dominar la materia, será siempre insuficiente, si no se apoya en el esfuerzo personal y en la práctica.

Dos chispas de genialidad

Al inicio del siglo XVII dos matemáticos, Napier y Descartes, con la publicación de una sola obra cada uno de ellos, impulsan decisivamente el desarrollo de las matemáticas de su tiempo. Son dos obras de diferente calado, pero igualmente innovadoras, porque introducen ideas originales que abren caminos inexplorados hasta la fecha. Mientras que la invención de los logaritmos es un idea práctica, de utilidad inmediata, la propuesta de Descartes es la propuesta de un filosofo y se dirige al fundamento mismo de las matemáticas provocando un verdadero cataclismo. Dos chispas de genialidad que inician la explosión de nuevas ideas que vendrán detrás.

John Napier publica en 1614 “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” (descripción del maravilloso canon de los logaritmos), la primera tabla de logaritmos, a cuyo cálculo consagró veinte años de su vida. Los logaritmos nacen como una tabla de multiplicar para ayudar en los cálculos astronómicos y se convertirán, en un corto espacio de tiempo, en una de las funciones centrales de las matemáticas.

La segunda chispa genial es “La Géométrie” de René Descartes de 1637, que es uno de los apéndices de su obra filosófica ”El discurso del Método” (Discours de la méthode pour bien conduire la raison, et chercher la vérité dans les sciences). Descartes propone en “La Géométrie” la resolución de los problemas geométricos mediante el álgebra y la identificación de las curvas con las ecuaciones algebraicas que las describen. Asistimos al nacimiento de la Geometría Algebraica, es decir, el enfoque mediante el álgebra de los problemas geométricos.

Descartes desencadena una verdadera revolución al establecer el álgebra como la disciplina matemática principal por encima de la geometría, que desde Euclides, era el ejemplo de método científico, construido sobre axiomas, postulados y demostraciones. El álgebra carece en ese momento de la solidez necesaria para soportar este rol y en consecuencia la revolución algebraica socava esta tradición milenaria de rigor, en el momento en que la matemáticas se ven obligadas a avanzar y ser útiles para responder a los requerimientos de las ciencias y en particular de la física. Como consecuencia de esto:

Este es el encanto del siglo de oro de las matemáticas. Su espíritu contrasta con la manera como se nos presentan hoy académicamente, en su versión “corregida”, que se alcanzará más de un siglo después de la mano de Cauchy (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857), Kart Weierstrass (1815-1897), y Bernhard Riemann (1826-1866), entre otros muchos, que se ocuparan de la formulación rigurosa de los avances que vamos a describir.

Las tablas de logaritmos, una idea práctica

La aritmética elemental nos enseña que:

$$ a^{{x+y}}= a^{x} \cdot \: a^{y} $$

y esta propiedad de la multiplicación de potencias de un número establece una correspondencia entre la serie aritmética de los exponentes y la serie geométrica de los valores de las potencias de a.

Si tenemos un número cualquiera N podemos calcular la x para que $\small{a^{x}=\: N}$. Lo mismo para S, obtenemos un valor $\small{a^{y}=\: S}$.

Luego sustituyendo:

$$ a^{x+y}= a^{x} \cdot \: a^{y} = N\cdot \: S $$

Veamos un ejemplo:

Hagamos una tabla con una columna para cada una de las series, para el caso en el que $\small{{a= 2}}$

Para multiplicar dos números de la primera columna, buscamos su correspondiente en la segunda y los sumamos. Buscando en la segunda columna el número suma, obtenemos el resultado de la multiplicación en la primera columna.

Si tenemos una tabla de dos columnas ya calculada de los valores de $\small{N=a^x}$, con N en la primera columna y el valor de x en la segunda, para multiplicar N ·S hacemos como en el ejemplo anterior, buscamos en la primera columna el número N y obtenemos x. Buscamos el número S y obtenemos y. Sumamos x+y y buscamos en la segunda columna hasta encontrar en la primera columna el resultado de S ·N.

Hemos reducido una multiplicación a una suma, pero nos queda calcular todos los valores de la tabla. Si queremos ofrecer una tabla en la que los números estén representados y espaciados entre si de forma uniforme para conseguir el resultado deseado, necesitamos recurrir a exponentes racionales y extender la operación definida para números naturales a un espectro de números más amplio o a elegir una base muy próxima a 1.

El interés en los logaritmos obedece a un objetivo práctico concreto, simplificar los cálculos, especialmente la multiplicación y la división.

Su aparición es anterior a las primeras aproximaciones al concepto de función, por lo que los esfuerzos de sus inventores se orientan hacia la obtención de tablas cada vez más precisas, sin atender a su estudio como función ni a su relación con la exponencial, a pesar de que ambas se relacionan directamente como operaciones inversas.

Nada parece señalar que van a convertirse, como veremos a lo largo de nuestro relato, en funciones estrechamente vinculadas a la invención y evolución del cálculo.

Logaritmos Neperianos

Napier es el primero en ponerse manos a la obra y publica la primera tabla de logaritmos. También es el inventor de la palabra logaritmo, componiendo las palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).

La tabla de logaritmos de Napier tuvo un éxito inmediato y, junto con otras tablas semejantes, empezó a usarse de forma generalizada, para ayudar a los astrónomos en sus farragosos cálculos y a los marinos a situarse en alta mar.

Napier propuso para sus tablas una base un poco inferior a 1, igual a:

$ \bigg(1-{\large {1\over 10^7}}\bigg)=\small{0,9999999}$

para que los valores calculados con exponentes sucesivos, resultaran próximos. El cálculo de sus tablas consiste, por tanto, en multiplicar repetidamente $\small{0,9999999}$ por si mismo.

Napier multiplica el resultado por $\small{10^7}$ para eliminar los decimales, con lo que finalmente sus logaritmos responden a la expresión  $ 10^7{(1-{\large {1\over 10^7}})}^x$, donde x es el logaritmo de y.

El logaritmo de $\small{10^7}$ es 0, y el de $ 10^7\bigg(1-{\large {1\over 10^7}}\bigg)=\small{9.999.999}$ , es 1.

La diferencia más notable entre los logaritmos de Napier y los “actuales” consiste en que, al multiplicar los logaritmos por $\small{10^7}$, la fórmula habitual para la multiplicación resulta alterada.

Si:

${L_1=log\: N_1} \:\:\Lrarr \:\:{N_1=10^{7}(1-10^{-7})^{L_1}}$

${L_2=log\: N_2} \:\:\Lrarr \:\:{N_2=10^{7}(1-10^{-7})^{L_2}}$ ,

Resulta que:

${N_1\cdot N_2= 10^7.10^7 (1-10^{-7})^{(L_1+L_2)}}$

y por tanto la suma de los logaritmos no sera el logaritmo de ${\small N_1\cdot N_2}$ sino el de $\;\large{{ N_1 \cdot N_2}\over{10^7}}$.

Analogamente si, $\;{\small L=log\;N}$, entonces, $\;{\small n \cdot L}= {\large{log \:N^{n}}\over {10^{7(n-1)}}}$.

Estas diferencias no son demasiado importantes pues solo suponen el corrimiento de la coma decimal , según los casos.

Logaritmos decimales

John Briggs (1617) se da cuenta de las ventajas de utilizar como base de los Logaritmos el número 10 porque era uno de los impulsores de la notación decimal que, en esos años, muchos matemáticos están proponiendo, para unificar la escritura de los números enteros y de los fraccionarios y también para unificar el sistema de pesos y medidas. El uso de la coma, que hoy nos parece natural para separar las potencias de 10 positivas y negativas, en la época representó un gran avance práctico, generalizando para los números racionales los procedimientos de cálculo de las operaciones básicas.

El sistema decimal para las unidades físicas de longitud, superficie y volumen tardará aún en imponerse, hasta la famosa adopción del metro en Paris, por 17 países en 1875.

Briggs calcula su tabla empezando por la raíz cuadrada de 10, ($10^{1\over 2}= \small{3,162277}$), es decir, obtiene el número cuyo logaritmo es $1\over 2$.

En el siguiente paso, calcula la raíz cuadrada del número anterior,

$\small{3,162277}^{1\over2}= {(\small{10}^{1\over2})}^{1\over2}= \small{10}^{1\over4}=\small{1,77828}$

y por lo tanto, ${1\over4}$ es el log₁₀ de 1,77828.

Por este procedimiento obtiene una primera tabla, extrayendo sucesivamente la raíz cuadrada del resultado anterior. Una vez calculada esta primera tabla de números decrecientes, puede obtener los logaritmos que corresponden a sus potencias. De esta manera obtiene el logaritmo de nuevos números, completando la tabla para valores entre 0 y 10. Este proceso puede seguirse en la figura 2.1

Las coordenadas cartesianas

El discurso del método

En 1637 Descartes publica “El discurso del método“ (Discours de la méthode pour bien conduire la raison, et chercher la vérité dans les sciences ) que es una de las primeras obras de la filosofía moderna. "El discurso del método" es un libro de una ambición singular porque rebasa el planteamiento filosófico y Descartes intenta desarrollar la aplicación práctica de sus ideas en tres apéndices, “Geometrie”, “Dioptrique” y “les Meteores”.

Descartes propone para la filosofía, para el estudio de la naturaleza y para la física, el método de las matemáticas que consiste, según él, en seguir unas reglas claras.

• No aceptar como verdadero nada que no esté en la mente de forma clara y distinta, que excluya cualquier duda.
• Dividir las dificultades en otras menores, para facilitar la comprensión de un problema.
• Proceder de lo simple a lo complejo, como por otra parte no puede ser de otra forma.
• Revisar y completar cada paso de un razonamiento de la forma más completa, antes de proseguir al siguiente paso.

En definitiva, desde nuestro punto de vista, sus propuestas son de lo más sensatas, es difícil de entender que en su época causaran revuelo. Pero la traducción de sus ideas a principios filosóficos representan un cataclismo en la filosofía occidental dominada por los escolásticos, de tradición Aristotélica.

El punto de partida de cualquier construcción filosófica, para excluir cualquier duda de acuerdo con el primer principio, es “Cogito ergo sum”, pienso luego existo. Es superior la certeza de las ideas que la que podemos depositar en la realidad. Descartes esta en el origen de las corrientes filosóficas “idealistas” que defienden la prioridad de las ideas sobre la experiencia de los sentidos y las matemáticas como ideas divinas que se aplican al mundo real.

El discurso del Método fue, en sus sucesivas reediciones, publicado sin sus apéndices, que tuvieron un éxito desigual. La “Dioptrique” sobre la reflexión y refracción de la luz y “les Meteores” sobre el medio natural, fueron rápidamente superados por el avance de la ciencia empírica y olvidados. El dedicado a la geometría adquirió vida independiente y se convirtió pronto en uno de los libros más influyentes de las matemáticas

La Geometrie

La “Geometrie” es la aplicación del método científico cartesiano a las matemáticas. El sujeto escogido es la geometría clásica que era entonces la disciplina matemática central cuya solidez interna estaba fuera de dudas. Sin embargo, para Descartes era un ejemplo de los métodos antiguos que había que renovar.

Las etapas centrales del método cartesiano, que hemos citado antes son:

• Dividir las dificultades en otras menores, para facilitar la comprensión de un problema.
• Proceder de lo simple a lo complejo. Revisar y completar cada paso de un razonamiento de la forma más completa, antes de proseguir al siguiente paso.

La primera etapa se corresponde con lo que los matemáticos de la época llamaban “análisis” y la segunda con lo que entendían como “Síntesis”

Descartes divide el análisis para la Geometría en dos pasos:

• En primer lugar dibujar el problema como si estuviera resuelto.
• Una vez dibujado, definir las líneas conocidas y las que queremos calcular, es decir, los datos y las incógnitas e identificar sus magnitudes con letras. En esta momento debemos definir con claridad el resultado que queremos obtener.

A partir de aquí hay que efectuar la síntesis y para ello utilizamos un lenguaje simbólico que nos permite detallar la relación entre los datos y las incógnitas y expresarla en ecuaciones. Descartes confía en “mecanizar el razonamiento” y definir un lenguaje matemático universal.

Planteadas las ecuaciones, la síntesis consiste en:

• Resolver las ecuaciones para obtener la magnitud que buscamos o el lugar geométrico de los puntos que cumplen con los criterios establecidos.
• Construir ó dibujar la solución. Como estamos planteando problemas geométricos, la solución también será geométrica.

El álgebra es el instrumento intermediario que permite manipular los datos obtenidos de la geometría y obtener la solución que deberá traducirse nuevamente en una figura geométrica.

Las ecuaciones algebraicas son “el esqueleto” de la síntesis que deja a descubierto como se ha obtenido la solución. Este detalle es esencial porque define la nueva geometría.

Descartes critica a los geómetras clásicos precisamente por exponer sus resultados ocultando el proceso de síntesis. Los clásicos construyen caso a caso y las soluciones aparecen por la intuición o la genialidad del geómetra que no revela sus “trucos”. La nueva geometría no obliga a esfuerzos de la imaginación sino a aplicar formulas mecánicamente.

La “Geometrie” establece la relación entre la construcción de figuras geométricas y sus ecuaciones algebraicas y el éxito en este empeño ha difuminado el límite entre ambas materias, geometría y álgebra. Asistimos al nacimiento de la Geometría algebraica, fusión de dos ramas de las matemáticas, pero no podemos perder de vista que detrás de ello Descartes establece la supremacía del análisis y, en consecuencia, el álgebra pasara a ser la disciplina matemática principal.

La equivalencia entre la geometría y el álgebra

A cada segmento se le asigna una magnitud, por comparación con la unidad de medida definida para cada ocasión. Esta premisa es frontalmente contraria a la geometría clásica que no aceptaba identificar la longitud de las líneas con números ya que algunas magnitudes se consideraban “inconmensurables”, no eran divisibles por ninguna unidad de medida, o lo que es lo mismo, no pueden expresarse como una fracción de números enteros.

Descartes ignora este problema al asignar a “todos” lo segmentos una magnitud, lo que implica aceptar la existencia de los “inconmensurables” como números. En la imagen hoy corriente, según la cual suponemos todos los números ordenados sobre una recta de menor a mayor, los “inconmensurables” no son un corte o discontinuidad, a estos números les corresponde un punto de la recta real. Descartes no se detiene en este problema, pero acierta pasándolo por alto y aceptando lo que unos años más tarde serán los números “irracionales” de infinitas números decimales. Por otra parte, resulta curioso que para Descartes los números negativos fueran “falsos”, por la incapacidad de imaginar segmentos de longitud negativa.

La suma y su inversa, la resta, la multiplicación y la división, la exponencial, como un caso particular de multiplicación y la extracción de raíces, son las operaciones del álgebra. Descartes demuestra que estas operaciones pueden efectuarse y son equivalentes a construcciones geométricas, donde los números son sustituidos por segmentos.

La notación

Descartes introduce para las operaciones símbolos abstractos semejantes a los actuales, salvo para el signo “igual”, para el que utiliza el símbolo "$\small{\infty}$" .

A cada segmento se le asigna, como nombre o identificador, una letra minúscula si se trata de una magnitud conocida y una letra del final del abecedario (... x, y, z) si es desconocida.

En el álgebra geométrica clásica, multiplicando una magnitud por otra se obtiene un área (un cuadrado en el caso de dos magnitudes iguales) y en el caso de tres obtenemos un volumen (un cubo en el caso de tres magnitudes iguales). Para Descartes las sucesivas potencias de una magnitud son a su vez magnitudes de la misma naturaleza. De esta manera se aceptan en la geometría potencias de orden superior a tres que carecían de sentido para los clásicos y se abandona el principio de homogeneidad, que obligaba a tratar separadamente las magnitudes según fueran líneas, superficies o volúmenes. Para Descartes todas las magnitudes son de la misma naturaleza y se expresan según la longitud del segmento que las representa. Este criterio es un punto esencial de ruptura con la tradición del álgebra geométrica clásica.

Las curvas

Para Descartes las curvas se definen por el movimiento de un punto sobre el plano y clasifica las curvas según la exactitud con la que puede ser definido ese movimiento.

No hay motivo para excluir de la geometría las curvas más complejas si pueden imaginarse descritas por un movimiento continuo o de varios movimientos sucesivos, siempre que cada uno de ellos venga determinado por los precedentes y nos permita un conocimiento exacto de su medida. Las curvas que cumplen esta condición son las curvas algebraicas, es decir, que se definen mediante una ecuación en la que intervienen las operaciones definidas en el álgebra.

Propone también, abandonar la premisa de la geometría clásica sobre la obligación de usar únicamente regla y compas para el dibujo de curvas:

Las coordenadas

Cuando a una expresión algebraica se le añade una segunda variable, obtenemos una curva como lugar geométrico de los puntos cuyas referencias a dos rectas predefinidas cumplen con esa expresión. La magnitud de esas “referencias” son las coordenadas del punto. En definitiva una curva plana queda descrita por una ecuación algebraica de dos variables, con independencia del grado con el que figuren sus variables.

Hoy llamamos “coordenadas Cartesianas” a los sistemas de referencia basados en ejes ortogonales, aunque Descartes no impone este requisito a las rectas de referencia y utiliza en cada caso las que considera más adecuadas. La dirección para las coordenadas crecientes tampoco es en todos los casos hacia la derecha y hacia arriba como estamos acostumbrados a ver hoy.

En consecuencia a su rechazo a los números negativos, sus coordenadas son siempre positivas y por la tanto no existe el tramo negativo de los ejes de coordenadas.

La adopción de un sistema de ejes ortogonales como referencia se impuso rápidamente. En las obras de Newton aparecen los ejes X e Y en mayúsculas, tal como los conocemos hoy, con su parte positiva y negativa a partir del punto de cruce de ambos que recibe el nombre de origen de coordenadas.

Los sistemas de referencia se multiplicaron, de manera que Newton llegó a identificar siete maneras de referenciar un punto en el plano. Coordenadas oblicuas, diferentes tipos de coordenadas polares e incluso sistemas basados en la distancia a dos puntos fijos en el plano, etc…

Pero finalmente el sistema de referencia por excelencia se basa en ejes ortogonales, y en reconocimiento a Descartes, las coordenadas y las ecuaciones referidas a ellas se denominan Cartesianas.

Los precursores del Cálculo

A principio del siglo XVII, no existía una organización matemática de tipo profesional que soportase la difusión de los avances científicos. Durante la primera mitad de este periodo hubo un personaje que, a título individual, sirvió de central de información matemática gracias a sus amplios contactos por correspondencia. Se trata del fraile Marin de Mersenne (1588-1648). Descartes, Fermat, Roverbal, Torricelli, y otros muchos mantenían habitualmente correspondencia con Mersenne que se encargaba de la difusión de las novedades entre ellos.

La aplicación del álgebra a la geometría, como consecuencia del impulso de Descartes, se orienta a la búsqueda de soluciones a cuatro tipos de problemas que se plantean en ese momento como independientes. El primero es la “rectificación de curvas” que consiste esencialmente en la obtención de la longitud de una curva y sus tangentes. Por otra parte, la “cuadratura de curvas”, que consiste en calcular el área encerrada por una curva, entre las rectas verticales que pasan por dos puntos a y b y el eje X. El tercer problema es lo que hoy conocemos como la obtención de los máximos y mínimos relativos de una curva y por último, el cuarto problema, el estudio del movimiento de velocidad no uniforme.

Los cuatro problemas enunciados se estudian independientemente, sin sospechar que todos ellos están relacionados.

En conjunto, esta generación de matemáticos establece las bases para el posterior desarrollo del cálculo diferencial y obtienen pruebas sobre la naturaleza inversa del problema de la tangente y de la cuadratura para determinadas curvas, pero no las valoran adecuadamente ni toman conciencia de la generalidad de los resultados que van obteniendo para problemas particulares.

La geometría analítica de Fermat

Descartes fue probablemente el pensador más importante de su época, pero sus aportaciones a la matemática no son más que un episodio de su vida dedicada a la filosofía y a la ciencia en general, que le dieron una gran difusión y el reconocimiento general.

Fermat es una personalidad opuesta. Estudió derecho en Toulouse, ejerció como abogado ocupando diferentes cargos públicos y cultivaba la matemática en su tiempo libre. Contemporáneo y rival de Descartes, su obra se conoce mediante la difusión de su correspondencia a través Mersenne, incluso antes de que se publicara la Geometrie, pero la publicación de su "Varia opera matemática" no llega hasta 1679, después de su muerte. Este retraso favoreció la impresión general de que la geometría analítica había sido únicamente atribuible a Descartes, privándole del merecido reconocimiento en este campo.

Pero el interés de Fermat por las matemáticas es muy amplio y con aportaciones muy significativas en muchos ámbitos, por lo que su figura es valorada como la de uno de los grandes matemáticos de la historia. Su nombre se asocia hoy a la teoría de números y al “último teorema de Fermat”.

Fermat poseía una edición de la Arithmetica de Diofanto y escribió un comentario, de hecho, un acertijo, en el margen de cada problema. Uno por uno han sido resueltos por personalidades como Leibniz, Newton, etc.

Solo quedó sin resolver el acertijo que propuso debajo del problema VIII, que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas). Ahí, Fermat escribió:

El intento por resolver su teorema ha movilizado grandes esfuerzos desde entonces. Su enunciado ha figurado entre los grandes problemas matemáticos sin resolver, hasta que en 1995 fue resuelto por Andrew Wiles.

La tangente a una curva

Aunque Descartes ya había planteado un método de obtención de la tangente a una curva de forma analítica, Fermat es el primero que enfoca el problema introduciendo “magnitudes infinitamente pequeñas”. Su planteamiento es innovador porque se adelanta 50 años a Newton en el tratamiento de las cantidades “infinitesimales” que utiliza en su razonamiento.

La pendiente de una recta, se mide por la tangente del ángulo que forma con la horizontal. En geometría elemental la tangente de un ángulo se define como la relación entre el lado opuesto y el contiguo de uno de los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo.

Dada una curva de la que queramos hallar la tangente en un punto, Fermat establece la semejanza de dos triángulos rectángulos, el que la tangente de la curva forma con el eje horizontal y el triángulo formado por el punto en el que queremos hallar la tangente, un punto de la curva distante Δx y la horizontal en el punto de tangencia.

Máximos y mínimos

El mismo procedimiento utilizado para obtener la tangente, le sirve a Fermat para identificar los máximos y mínimos de una función. En el entorno de un máximo o de un mínimo de la función dos puntos, a un lado y otro del punto que buscamos, separados por Δx, tienen la misma ordenada, es decir, f(a+Δ x)- f(a)= 0 y por tanto la tangente, en el punto en el que la función es máxima o mínima, es horizontal (pendiente 0).

Las cuadraturas

Fermat para las cuadraturas vuelve a ser el primero en proponer un procedimiento analítico para funciones exponenciales $\small{y = x^n}$. Divide el área bajo la curva hasta la abscisa x, en pequeñas rebanadas Δx que resultan de dividir x por k, siendo k un número que haremos crecer para que las rebanadas sean cada vez más delgadas.

En la imagen, para $\small{y=x^3}$, dividimos la distancia x=20 en 5 rebanadas de 4 unidades de ancho.

El área de la primera rebanada bajo $\small{y=x^3}$ será $\large{ {20\over 5}({20\over 4})^3} $. El área de la segunda será $ \large {20\over 5}({{2\;20}\over 5})^3 $ y así sucesivamente hasta la rebanada 5.

En el cuadro calculamos la suma del área de las 5 rebanadas.

$$ {x\over k}\:({x\over k})^n + {x\over k}\:({2x\over k})^n +{x\over k}\:({3x\over k})^n +{x\over k}\:({4x\over k})^n +{x\over k}\:({5x\over k})^n =57.600$$

El resultado obtenido es superior al área bajo la función, pero podemos observar en la figura, que incrementando k el resultado disminuye progresivamente. Si generalizamos para k rebanadas la expresión anterior resulta:

$$ {x\over k}\:({x\over k})^n + {x\over k}\:({2x\over k})^n +{x\over k}\:({3x\over k})^n + ...+{x\over k}\:({kx\over k})^n $$

que podemos poner de la forma:

$$ ( 1+2^n+3^n+...+k^n)\:({x\over k})^{n+1}$$

$$ {{ 1+2^n+3^n+...+k^n}\over k^{n+1}} \: x^{x+1}$$

Para sumar la serie de potencias de enteros, establecemos la siguiente desigualdad:

$${ 1+2^n+3^n+...+k^n }\ge {k^{n+1}\over 1+n}\ge { 1+2^n+3^n+...+(k-1)^n}$$

Con lo que se puede acotar el valor del coeficiente de $x^{(n+1)}$ a:

$${{ 1+2^n+3^n+...+k^n}\over{k^{n+1}}}\ge {1\over {1+n}} \ge {{ 1+2^n+3^n+...+(k-1)^n}\over{k^{n+1}}}$$

Para valores de k cada vez más grandes, el cociente de la suma de potencias dividido por $\small{ k^{n+1}}$ se aproxima cada vez más a ${1\over{1+n}}$. Obtiene así la cuadratura del área bajo las curvas de ecuación  $\small{y=x^n}$.

La intuición de Fermat le lleva a proponer para la diferenciación y la integración una aproximación totalmente correcta aunque limitada a las funciones del tipo $y=x^n $. Sorprende que obteniendo resultados tan simétricos en ambos problemas no se planteara la relación entre ambos.

Grégoire de Saint Vincent

Grégoire de Saint Vincent (Opus geometricum, 1647) estudiando la cuadratura de la hipérbola equilátera y · x =1 llega a la conclusión de que si tomamos a lo largo del eje X puntos, de manera que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, las áreas definidas bajo la hipérbola por dos puntos consecutivos son iguales. Según crece la abscisa geométricamente, el área contenida crece aritmeticamente.

Si a partir de x=1, tomamos puntos A, B, C, ···, tales que las áreas delimitadas entre ellos y la hipérbola sean iguales, se cumple :

Área 1-B = 2 Area 1-A

Área 1-C = 3 Area 1-A

             ....

Área 1-N = n Area 1-A

Y comprobamos que los puntos que hemos seleccionado estan en una progresión geometrica en base A:

$\small{B = A^2,\; C = A^3,\cdot \cdot\cdot ,\; N = A^n }$

y por lo tanto, podemos poner:

log B = 2 log A,   log C = 3 log A,  …,  log N = n log A

En definitiva el logaritmo de un número N es proporcional al área bajo la hipérbola desde 1 a N.

El descubrimiento de esta relación entre la función logarítmica y la hipérbola equilátera es una aportación temprana al problema de las cuadraturas, pero Saint Vincent no supo ponerla en un contexto más general.

Nikolaus Mercator (Logarithmo-technica -1668) es capaz de obtener, de la relación entre la hipérbola equilátera y los logaritmos, observada por de Saint Vincent, resultados sorprendentes.

La hipérbola equilátera $\large{{x\over y}} \small =1$, se hace infinita en x=0. Para evitar esta singularidad, Mercator desplaza la hipérbola en una unidad, sustituyendo x por x+1 y convirtiendo su ecuación en $y=\large{{1\over{1+x}}}$ .

Aplicando el método de la división larga a $\large{1\over {1+x}}$, obtenemos como resultado

$$ {1\over {1+x}} = 1-x+x^2-x^3+x^4- \cdot \cdot \cdot $$

Que continúa indefinidamente alternando el signo de los términos pares e impares. Esta es la primera transformación de una función en una serie de potencias, lo que luego llamaremos desarrollo en serie.

Siguiendo la idea de Saint Vincent de que la curva logarítmica es proporcional a la cuadratura de la hipérbola, aplica la fórmula de la cuadratura, conocida para las potencias de x, a cada término de la serie, para obtener una nueva serie que identifica como log (x+1). Esta serie se conoce como serie de Mercator:

$$ log(1+x) = x- {x^2\over 2}+ {x^3\over 3} -{x^4\over 4} + \cdot \cdot \cdot$$

Para estos logaritmos el coeficiente de proporcionalidad entre las áreas y los logaritmos es 1, por lo que Mercator llama a sus logaritmos "logaritmos hiperbólicos".

Mercator se adelanta al desarrollo del Cálculo y a la justificación de las propiedades de estos logaritmos por Euler, que lo hará 50 años más tarde. También adelanta, para un caso particular, la metodología que llevará al desarrollo en serie de funciones. Para ello asume como válido identificar una función con su desarrollo en serie de potencias y supone que se puede obtener la cuadratura de una función mediante la cuadratura término a término de su desarrollo en serie.

Es un claro ejemplo claro de intuición, que obtiene resultados correctos, difícilmente interpretables con los conocimientos de su tiempo, adelantados a la construcción teórica que los sustenta.

La escuela de los indivisibles

La cuadratura de curvas también se aborda, durante la primera mitad de este siglo, desde una perspectiva en continuidad con la tradición geométrica clásica.

Kepler, cuando compraba vino para la celebración de la boda con su segunda esposa, se sorprendió al observar el método del bodeguero para medir el volumen de vino que consistía en introducir una vara por la boca central del tonel hasta el extremo inferior de una de sus tapas circulares.

Kepler se pregunta como una sola medida lineal puede dar resultados exactos para calcular un volumen y a partir de sus reflexiones sobre este incidente, publica en 1615 un libro, titulado "Nova Stereometria doliorum vinariorum" ("Nueva estereometría, ó cálculo de volúmenes, de barriles de vino"), con los resultados de su estudio. (¡Kepler no solo se ocupaba de los planetas!).

Kepler se propone calcular el volumen de los toneles asimilando su forma a la que se obtiene por la rotación de rectas o de segmentos de curvas cónicas (Círculos, elipses, parábolas e hipérbolas) alrededor de un eje. Procede al cálculo mediante la descomposición del volumen en rebanadas cilíndricas cada vez más finas, reinterpretando el método de exhaución clásico.

Kepler también trató de determinar las mejores proporciones de estos sólidos de cara a maximizar su volumen y esto le llevó a considerar varios problemas de optimización que resultaron ser contribuciones muy interesantes al desarrollo del cálculo diferencial. Su método de aproximación fue absolutamente numérico, calculando los valores para las diferentes proporciones y tabulando los resultados.

Así, llegó a la conclusión de que, para valores próximos al valor máximo, las desviaciones en el volumen eran pequeñas. Para tranquilidad de los consumidores, las mediciones de los toneleros eran suficientemente exactas para barriles austriacos, donde se construían manteniendo determinadas proporciones, aunque no era aplicable a Renania, la zona del Rhin de donde era Kepler, donde los barriles se construían mucho más alargados.

El libro de Kepler anterior a la algebraización de la geometría y anterior a las aproximaciones de Fermat al estudio de los problemas de máximos y mínimos, tuvo una gran difusión y puso el foco sobre el tipo de problemas en los que se ocuparían, 30 años más tarde, los “indivisibilistas”.

Bonaventura Cavalieri, (1598-1647), Discípulo de Galileo, publica en 1645 “Geometria indivisibilibus Continuorum” donde descompone las figuras planas en líneas paralelas y los volúmenes en rebanadas planas. Los indivisibilistas mantienen que, una línea esta hecha de puntos, un plano esta hecho de líneas y un solido puede descomponerse en áreas planas como hojas de un libro.

Cavalieri llega mediante su razonamiento geométrico a un resultado correcto para obtener la cuadratura de las funciones del tipo $y=x^n$. (Para valores de n enteros e inferiores a 9)

Mediante razonamientos sobre indivisibles Cavalieri logra otros resultados relevantes, como por ejemplo, la trasformación de la parábola$\small {x^2= ay}$ en la espiral de Arquímedes de radio proporcional al giro.

Hoy, a Cavalieri, lo recordamos básicamente por su teorema sobre el volumen de dos sólidos.

Gilles de Roberval (1602-1675) en 1634, dibujando la trayectoria de un punto sobre una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta, obtiene el área bajo la cicloide, dibuja por primera vez la función seno y obtiene su área.

Los valores del seno se obtienen lógicamente en función del arco de la circunferencia generatriz de la cicloide. La representación del seno como una curva, es un pequeño paso que prepara el camino para su incorporación al catálogo de funciones.

A pesar de estos esfuerzos y éxitos parciales, la aproximación geométrica a los problemas de los indivisibles se demostró incapaz de seguir el ritmo del avance mediante el enfoque algebraico. Sus resultados, orientados a resolver problemas de cuadraturas, nos parecen anecdóticos desde la perspectiva actual.

A hombros de gigantes

La invención del cálculo

La frase “enanos de pie sobre los hombros de gigantes” se deriva de la mitología griega: El gigante ciego Orión, llevó a su sirviente Cedalión sobre sus hombros para que fuera como sus ojos y le guiara al encuentro de Helio, el sol, para curarse. Actualmente, esta frase se atribuye mayoritariamente a Newton, que en una carta de 1675 a Robert Hooke dice: "Si he visto más lejos, es poniéndome sobre los hombros de Gigantes".

El sentido de esta metáfora es bastante evidente y se puede entender como el reconocimiento de Newton a los matemáticos que se ocuparon de los problemas de tangentes y de áreas antes que él y que, indudablemente, contribuyeron a la invención del cálculo. Morris Kline lo expresa magistralmente:

Newton, entre 1666 y 1669 desarrolla las ideas fundamentales y expone por primera vez una visión completa del Cálculo infinitesimal en el “Método de las fluxiones y series infinitas”Newton en Methodus fluxionorum et serierum infinitarum (1671), proporciona su explicación más extensa sobre el cálculo de fluxiones que ya había esbozado en “De analysi per aequationes número terminorum infinitas” de 1669, (Sobre el análisis por medio de ecuaciones con un número infinito de términos) donde publica por primera vez sus resultados. (Methodus fluxionum et serierum infinitorum), escrito en 1671, y no publicado hasta 1736, nueve años después de su muerte.

Leibniz descubrió el cálculo unos años más tarde que Newton, entre 1675 y 1676, pero publicó sus descubrimientos antes, entre 1684 y 1686 La primera exposición del cálculo diferencial de Leibniz de 1684 en su obra “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur” (Un nuevo método para máximos y mínimos, también para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni irracionales).

Los escritos de Leibniz, de difícil lectura, encontraron en los hermanos Bernoulli unos interpretes extraordinariamente competentes y entusiastas, gracias a los cuales, el cálculo de Leibniz se impuso mayoritariamente en Europa continental, mientras que los matemáticos ingleses defendieron la prioridad de Newton en la invención. Hoy en día se tiene como cierto, que ambos trabajaron de forma independiente y sus contribuciones a la creación de esta nueva rama de las matemáticas, vistas con perspectiva histórica, se complementan.

Newton habla de la fluxión de una cantidad variable a lo que hoy llamamos diferencial de esa variable. El cálculo de la “razón última” entre la fluxión de dos variables es lo que hoy llamamos calcular su derivada y cálculo diferencial el procedimiento para obtenerla.

El teorema del binomio

El teorema del binomio es la aportación más temprana de Newton al cálculo.

Newton no aporta ninguna demostración al teorema del Binomio porque probablemente no lo considera necesario. Para Newton se trata de un ejercicio de interpolación, desarrollado en la época que comenzaba sus estudios de matemáticas, para extender las reglas conocidas del álgebra para $\small{{(a+b)}^n}$, al caso de n negativo y racional.

Desarrollar $\small{{(a+b)}^n}$ es un problema sencillo de álgebra si n es un número entero. Por ejemplo para n=2 tenemos el desarrollo que todos conocemos: $\small{a^2+ x^2 + 2a\:x}$. Para obtener el desarrollo de $\small{{(a+b)}^n}$ siendo n un número entero positivo, basta repetir la operación y agrupar los términos de la misma potencia de x. Si desarrollamos $\small{{(1+x)}^n}$, para n= 3 y n=4 , resulta:

1

1+x

$1+2x+x^2$

$1+3x+3x^2+x^3$

$1+4x+6x^2+4x^3+1x^4$

Comprobamos que los coeficientes se ordenan según el triángulo de Pascal, una regla mnemotécnica que nos permite obtener fácilmente los coeficientes para los sucesivos valores de $\small{{(1+x)}^n}$.

El triángulo de Pascal se obtiene añadiendo filas, cuyo primer y último elemento son un 1 y los intermedios se obtienen sumando los dos elementos más próximos de la fila anterior.

1

$1 \quad 1$

$1 \quad 2 \quad 1$

$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$

$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

$1 \quad 5 \quad 10\quad 10 \quad 5\quad 1$

Siguiendo esta regla mnemotécnica podemos obtener la fila número n sin calcular todo el desarrollo. La fila n, esta formada por la sucesión:

$$ 1,\:n,\:\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}, \:\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3},\:\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4},....$$

Los términos $\large{ {n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-(m-1))}\over {(m+1)!}}$ , se escriben actualmente como ${\binom{ n}{m}}$ y se leen, "n sobre m"

$$\begin{aligned}\binom{n}{0}&=\small 1 \\ \binom{n}{1}&=\small n \\ \binom{n}{2} &={ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}}\\ \binom{n}{3}&={ \frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2 \cdot 3}} \\ &.......\\ \binom{n}{n}&= \small 1 \end{aligned}$$

Luego podemos escribir el desarrollo que se obtiene para la fila n de la pirámide de Pascal:

Esta expresión nos lleva a los resultados conocidos para n positivo pero para n negativo o racional nos conduce a una serie de infinitos términos. Este “pequeño detalle” no preocupa a Newton que opera con las series resultantes como si se tratara de un polinomio finito y opera con ellos según las reglas aritméticas habituales para suma, resta, multiplicación y división. Una vez deducida la fórmula para elevar un binomio, a una potencia negativa o racional, su validez se basa en que los resultados obtenidos son consistentes y correctos en los casos en los que se emplea.

El teorema del binomio va a tener un papel protagonista en el desarrollo del cálculo. Newton adquiere la certeza de que el análisis mediante series infinitas tiene la misma consistencia interna que el álgebra de cantidades finitas y que esta regido por las mismas leyes generales. Las series infinitas se convierten de este modo, para Newton, en una forma alternativa de representar una función.

La aplicación del teorema del binomio al cálculo de π

Newton se basa en en teorema del binomio, recién descubierto, para desarrollar la ecuación de la circunferencia en una serie infinita e integrarla término a término, como había hecho Mercator para la función logarítmica.

Podemos interpretar este desarrollo de Newton como un ejercicio de comprobación de las bases del Cálculo y de la validez de las series de potencias para aproximar funciones.

El cálculo de fluxiones

Si la inspiración de los primeros trabajos sobre el cálculo fue geométrica, para Newton el estímulo viene de la física. Cuando un punto A se mueve a lo largo de una curva, su abscisa x, o su ordenada y, o cualquier otra cantidad variable relativa a la curva, aumenta o disminuye, cambia: fluye. A estas cantidades que fluyen las llamó “fluentes” y a sus velocidades de cambio, a sus variaciones instantáneas con respecto al tiempo, las llamó “fluxiones”. De esta manera el cálculo de “fluxiones” esta fundamentado en un concepto natural como es el del cambio y el objeto del mismo es obtener las tasas de ese cambio, intuyendo que las leyes que rigen la física pueden formularse a partir de ellas.

Newton parte de una función del tipo y=f(t), que representa la distancia recorrida por una partícula en función del tiempo transcurrido. La fluxión de y es el espacio recorrido en un instante y la razón de las fluxiones de f(t) y de t es equivalente a hablar de la velocidad de la partícula en ese instante.

De forma general una partícula no se mueve con velocidad uniforme, por lo que es fácil averiguar cual es la velocidad media en un intervalo, pero lo que buscamos es calcular la velocidad en cada instante de ese intervalo. Si dividimos el intervalo considerado en pequeños periodos de tiempo el espacio recorrido es diferente en cada uno de ellos y su velocidad media en el intervalo también.

Veamos por ejemplo la función $y=t^3$ , en metros y segundos, y analicemos como se comporta en el intervalo de tiempo entre 0 y 5 segundos. Su velocidad media en los 5 segundos es de 25 m/s. Hacemos una tabla con la velocidades medias en intervalos de un segundo:

Queda claro que la velocidad en cada intervalo, el cociente entre la variación (fluxión) del espacio y la variación (fluxión) del tiempo, cambia desde valores inferiores a la velocidad media en el conjunto del intervalo hasta finalizar en 71m/s, casi el triple del valor medio. (125/5 =25m/s). Pero si hacemos la misma tabla para valores de la fluxión de y para intervalos más pequeños, por ejemplo de una décima de segundo, entre el segundo 4 y el 5 obtenemos:

La fluxión de y es igual a:

$$\dot{y}=f(t_i+\dot{t})-f(t_i)$$

Podemos ver que la fluxión de y en el instante 4,9 es de 7,351 m para un valor de la fluxión de t de 0,1 s. La relación entre la fluxión de y respecto de t (la velocidad media entre 4,9 y 5 s) ha pasado de ser 71m/s a 73,51 m/s.

Y si dividimos nuevamente el intervalo de la décima de segundo entre las centésimas 4,9 y 5, rehaciendo los cálculos tenemos:

Ahora la velocidad en 5 ya es de 74,8501 m/s.

Cada vez que disminuimos el intervalo, el valor calculado de la velocidad en el segundo 5 aumenta. ¿Hasta que valor?

La velocidad en cada instante es igual al cociente de la fluxión de "y" respecto de la de "t" por lo que obtenemos:

$$v={{{(t+\.{t})}^3-{t^3}}\over\.{t}}$$

$$ v= {{(t^3+3\:t^2\.{t}+3\:t\:{\.t}^2+{\.t}^{\:3})-t^3}\over {\.t}}= 3\:t^2+3\:t\:{\.t}+{\.t}^{\:2}$$

y como $ \.{t}$ es cada vez más pequeño, acercándose a 0, despreciamos los términos segundo y tercero que van a resultar cada vez más pequeños y obtenemos

$$v=3t^2$$

Particularizando para t=5 seg el resultado exacto es 75 m/seg, que es la velocidad instantánea al final del tramo.

La interpretación cinemática de la fluxión del espacio recorrido por una partícula en relación al tiempo, es la velocidad instantánea en ese punto. La aguja del tablero del coche que indica la velocidad, nos da el valor de la razón de cambio entre las fluxiones en cada instante, la velocidad instantánea. La velocidad media es el resultado de agregar la velocidad instantánea de cada uno de los puntos de un recorrido.

Pero, ¿existe la velocidad instantánea? o más bien, la velocidad instantánea es un concepto teórico. Cualquier medición de velocidad que hagamos se referirá a un intervalo de tiempo, por pequeño que sea, y nunca obtendremos una velocidad instantánea mediante una medición.

La velocidad instantánea no es una velocidad en el sentido que nos define la física. Hemos dado un paso que tiene todo el aspecto de haber sido poco riguroso.

Derivada de una función

Hemos estudiado el caso de una función y=f(t). Podemos aplicar el cálculo de fluxiones al caso de una curva de ecuación f(x, y)= 0. Si ponemos la curva en forma paramétrica en función de t, de acuerdo con la visión de Newton imaginamos la curva como un punto en movimiento:

y calculamos para cada función la razón del cambio respecto de t:

Según lo que hemos visto anteriormente, los cocientes nos definen la velocidad instantánea en la dirección de cada eje de coordenadas.

Puesto que nos referimos al mismo instante,$\:\.{t}$ tiene el mismo valor en ambos casos y podemos simplificar la fracción:

Una vez tenemos el cociente de fluxiones, hay que calcular la "razón última" entre ellas. Newton explica así el proceso de cálculo:

La razón entre las fluxiones es el cambio relativo de una variable con respecto a otra. Cuando la variable independiente era el tiempo, el cambio relativo del espacio respecto del tiempo nos daba la velocidad instantánea. En el caso de una curva, una función f(x y)= 0, el cambio relativo nos proporciona el valor de la pendiente en ese punto de la tangente a la curva.

Fluxiones o diferenciales

Lo que Newton llama “fluxiones”, para Leibniz son diferenciales o infinitesimales. El cálculo de Leibniz obtiene sus resultados mediante la manipulación de estos infinitesimales.

Una curva es una sucesión de tramos rectos, “infinitamente pequeños”, pequeños tramos que se corresponden con la hipotenusa del triángulo de diferenciales. Esto permite identificar la derivada, que es el cociente de diferenciales, $\large {dy \over dx} $, como la pendiente de la recta tangente en el punto en el que calculamos la derivada. Es exactamente el razonamiento que hemos visto en Fermat, con diferente notación. Como vemos, la derivada tiene una interpretación geométrica sencilla, que es muy útil para plantear y resolver problemas.

Leibniz utilizaba el símbolo Δ para expresar la diferencia de las variables para puntos próximos. El cociente de incrementos Δy/Δx, siendo Δx la variación de x. La variación de y es, Δy = f(x+ Δx)-f(x), y resulta:

Δy y Δx se transforman en dy y dx cuando Δx se hace “infinitamente pequeño”, sin ser 0, pero "más pequeño que cualquier número real positivo".

Así, dy y dx se corresponden con lo que Newton escribía como $\.y$ o $\.x$. La notación de Leibniz se ha impuesto como la estándar del cálculo, porque tiene la ventaja de ser más expresiva y resumir el proceso del cálculo como cociente de diferenciales y probablemente también, porque es tipográficamente más clara, evitando erratas de impresión.

Newton y Leibniz llegan al mismo punto, que intuitivamente es muy claro y que da resultados prácticos, pero no lo demuestran con rigor porque un cociente de diferenciales o de fluxiones no es unicamente una división de incrementos. Falta explicar cómo podemos ir obteniendo valores finitos de la función, al dividir por una cantidad que decimos que es cada vez más pequeña. Si el dx = Δx se hace 0 en el denominador, obtenemos 0/0 que es un valor indeterminado. Luego estamos ante una fórmula que funciona para valores tan pequeños como queramos de Δx, pero no parece que sea así para Δx =0.

A pesar de este comportamiento especial de los diferenciales, el Cálculo opera con ellos como si fueran números ordinarios. No es de extrañar que para los contemporáneos de Newton y Leibniz los diferenciales tuvieran un aire mágico.

La crítica a la fundamentación del cálculo estaba justificada en parte y se nutrió de la incapacidad de Newton y Leibniz de clarificar sus conceptos básicos. En realidad, estaban introduciendo conceptos radicalmente nuevos que requerían de unos cimientos propios que tardaran más de un siglo en llegar.

Derivadas sucesivas de orden superior

La derivación o diferenciación es una nueva operación que se aplica a funciones mediante la cual se obtiene una función “derivada” de la función “primitiva”. Esta operación podemos repetirla sobre la función derivada y obtenemos la segunda derivada de la función primitiva.

La derivada de una función f se indica como $f^{\prime} $ y su valor en x, $f^{\prime}(x)$.

$$y^{\prime}=f^{\prime}(x) = {{dy}\over{dx}}$$

Análogamente la derivada segunda se indica como:

$$y^{\prime\prime}= f^{\prime\prime}(x) = {{dy^{\prime}}\over{dx}}$$

y así sucesivamente las de orden superior. Para las derivadas de orden superior a tres, la notación más habitual es escribir $\small{f^{(n)}}$, siendo n, entre paréntesis, el orden de la derivada.

Si consideramos la velocidad instantánea obtenida en el anterior cálculo como “fluente”, es decir, magnitud sujeta a variación, también podemos obtener la fluxión de la velocidad instantánea con el tiempo, en este caso sería la aceleración instantánea (en el caso de un movimiento rectilíneo), de modo que constatamos que podemos aplicar el cálculo de fluxiones a una función y obtener sucesivamente fluxiones de primer orden, segundo orden, etc.

En el caso de que obtengamos una constante, como resultado en alguno de los sucesivos cálculos, el proceso se detiene, puesto que un cantidad constante no puede considerarse fluyente y su fluxión es 0.

Queda por discutir que condiciones debe cumplir una función para ser derivable, es decir, si la derivación es posible para todas las funciones y para todos sus puntos.

Si nos atenemos a la interpretación geométrica de la derivada, para que exista la derivada de una función en un punto, debe ser posible trazar una tangente a la curva en ese punto. Determinadas funciones presentan puntos singulares en los que no es posible trazar una tangente. Si seguimos con la interpretación gráfica, las funciones derivables son aquellas que se llaman “localmente lineales” concepto que expresa que si ampliamos la gráfica de la función en el entorno de un punto, su gráfica se suaviza y se aproxima cada vez más a la tangente.

Esto no se da cuando estamos en un punto “anguloso”, que sigue apreciándose al ampliar la gráfica de la función.

Otros puntos en el que tampoco es derivable una función son los de tangente vertical, en los que la pendiente se hace infinita.

Este análisis, sobre los requisitos de una función para ser derivable, requiere una maduración del concepto de función que no se da en la época. Las propiedades de las funciones se asociaban a ellas globalmente y no existía el análisis de sus propiedades locales, es decir, de las que se refieren a sus puntos singulares.

El teorema fundamental del cálculo

Una vez resuelta, mediante la derivación, la obtención de la tasa de cambio entre las variables de una función, se plantea el problema inverso que consiste en obtener, si es posible, una función de la que se conoce su derivada.

Seguimos con el ejemplo sobre la velocidad de una partícula que se mueve de acuerdo con la ecuación $\small{y=f(t)=t^3}$, siendo y el espacio recorrido y t el tiempo. Hemos obtenido la derivada de esta función, $\small {y=3\:t^2}$, que geométricamente se interpreta como la pendiente de la tangente de la función $\small{y=t^3}$ y cinemáticamente es el valor de lo que hemos llamado velocidad instantánea.

De forma semejante a como hicimos para la derivada, podemos construir el siguiente cuadro de valores de la función derivada, refiriéndonos a periodos de 1 segundo en el intervalo de 0 a 5 segundos y calcular el espacio recorrido a esta velocidad en el periodo.

Si nos atenemos a la interpretación física, multiplicando una velocidad, suponiendo constante la velocidad instantánea en ese intervalo, por el tiempo en el que se mantiene obtenemos el espacio recorrido.

Si repetimos el cálculo para intervalos de tiempo más cortos obtendremos los resultados que resumimos en el cuadro siguiente:

El cálculo que hacemos es equivalente a obtener una aproximación del área bajo la curva $\small{y=3\:x^2}$ mediante la suma de rectángulos de base el intervalo de tiempo definido y altura el valor de $\small{y=3\:x^2}$ al inicio o al final del intervalo. Podemos ver que el área calculada mediante la suma de rectángulos nos lleva, al disminuir el intervalo, a un valor que se aproxima progresivamente al del espacio recorrido en el intervalo, es decir, y=t³ , para t=5 que es 125 metros. El área bajo la derivada de una función nos devuelve la función inicial.

Este resultado coincide plenamente con el obtenido analíticamente por Fermat para la obtención de la tangente y la cuadratura de curvas exponenciales. Para curvas del tipo, $\small{y= a x^n}$, Fermat ha demostrado que el área bajo la curva es:

$$y=\frac{a\:x^{n+1}}{n+1}$$

cuya derivada nos devuelve la función original.

Fermat no presta atención a esta relación entre ambas fórmulas, y tampoco lo hicieron ninguno de los matemáticos que los estudiaron posteriormente.

Hemos de comprender que esta conexión se plantea para una familia de funciones en particular y las fórmulas proceden de la resolución de problemas diferentes, la tangente y el área bajo una curva, con metodología diferente y esto puede explicar que no se atribuyera una validez general a la coincidencia de los resultados .

También hemos visto que la relación descubierta por Saint Vincent, entre la hipérbola equilátera y la curva logarítmica, apuntaba a relacionar un problema con otro, como hizo Mercator, pero en este caso la función logarítmica aun no estaba suficientemente estudiada.

la función de áreas

Para demostrar la relación entre el problema del cálculo de las áreas y las fluxiones, Newton plantea construir una curva f(x) de manera que el área que encierra con el eje X varía según A(x), que llamaremos función de áreas de f(x).

A partir de la expresión de la variación de la función de áreas cuando nos desplazamos de A(x) a un punto próximo A( x+dx), podemos poner:

$A(x)+f(x) dx= A(x+dx)$

Que nos conduce directamente al cociente incremental de A(x), cuya "razón última" es lo que hemos llamado A', derivada de A(x).

$$f(x)=\frac{A(x+dx)-A(x)}{dx}$$

Las áreas contenidas bajo una curva f(x) pueden obtenerse invirtiendo el proceso de derivación, es decir, obteniendo una función A(x) cuya derivada sea precisamente f(x).

Newton llama a esta operación, que nos permite obtener una función a partir de su derivada o fluxión el método inverso de las fluxiones.

Inicio de la demostración

Si la función de áreas A(x) es una función exponencial, del tipo $\small{a\:x^m}$, con exponente m entero o fraccionario, si incrementamos x en dx podemos establecer la igualdad,

$A(x)+f(x) dx= A(x+dx) = a(x+dx)^m$

Desarrollando por el binomio el segundo término obtenemos:

$$A(x)\:+\:f(x)\:dx\:=\:a\:x^m+a\:m\:x^{m-1}dx+\frac{a\:(m^2-m)}{2}x^{m-2}dx^2+...$$

y restando a cada lado la función inicial:

$$f(x)\:dx\:=\:a\:m\:x^{m-1}dx+\frac{a\:(m^2-m)}{2}x^{m-2}dx^2+...$$

Dividiendo por dx, cuando el diferencial se hace igual a 0 , desaparecen los términos con dx y obtenemos:

$$f(x)\:=\:a\:m\:x^{m-1}$$

El resultado nos demuestra que f(x) es precisamente la derivada de A(x),

$$A'(x)\:=\:a\:m\:x^{m-1}=f(x)$$

Final de la demostración

A pesar de tratarse, como en el caso de Fermat, de una demostración para un tipo particular de funciones, f(x) y su función de áreas, se ponen en relación directamente en una sola demostración, cuando en el caso de Fermat la similitud suponía relacionar resultados obtenidos en diferentes problemas. El teorema del binomio toma protagonismo convirtiendo definitivamente las series infinitas en el corazón del cálculo.

A la operación inversa a la derivación, Leibniz le puso el nombre de Integración, considerablemente más práctico que “método inverso de las fluxiones” de Newton. La función obtenida por la integración de f(x), es la “primitiva” de la función, a la que hemos llamado al inicio “función de áreas” y que llamaremos en adelante P(x). (Por la P de primitiva).

A diferencia del caso de la derivación donde el resultado de la operación es único, para la integración esto no es así, porque todas las funciones que se diferencian solo en un término constante, tienen la misma derivada. Si:

y = P(x)+ C, $\Lrarr$  y’= P’(x) + 0 = P‘(x)

La constante C es lo que se llama constante de integración. Mediante la integración de f(x) hemos obtenido una nueva función P(x) que nos define como varía el área bajo ella, salvo en una constante.

Esta indeterminación tiene lógica. En el caso de la función derivada, solo necesitamos concretar un valor de x, para identificar el punto en el que queremos obtener la pendiente de la tangente. Para obtener la magnitud del área bajo una curva necesitamos especificar un intervalo, es decir, dos valores de x para la función integral. Es lo mismo que decir que, el valor del área en un punto depende del punto desde donde empecemos a contar.

Propiedades de la función de áreas

Si P(x) es integrable en el intervalo [a,b], para un punto c que pertenece a ese intervalo, podemos afirmar que la áreas cumplen:

A(c,b)= A(a,b) - A(a,c)

La función primitiva se puede diferenciar de la función de áreas en la constante de integración, por lo tanto el área en B y en C la podemos expresar como: A(a,b) = P(b)+C   y,  A(a,c) = P(c)+C. Sustituyendo:

A(c, b) =P (b)+C - P(c)+C

A (c, b) = P(b) -P(c)

Es decir, la constante de integración no interviene cuando calculamos el área bajo una curva entre dos puntos:

Si f (x)= P’(x), el área bajo f (x) entre c y b es P(b)- P(c).

La integral definida

Hemos visto como el problema de las áreas bajo una curva queda resuelto según el teorema general del cálculo obteniendo su anti derivada. Es sin duda la manera más sencilla de obtener el área bajo una curva una vez conocida su ecuación.

Hemos visto también como Fermat procedía mediante la suma de rectángulos de base infinitesimal y de altura dada por la ecuación de la curva. Tenemos pues dos aproximaciones al cálculo del área bajo una curva. El método “revolucionario” mediante la obtención de la anti derivada y el método “clásico-geométrico” de obtención de las sumas de los rectángulos infinitesimales. Obviamente ambos métodos nos deberían conducir al mismo resultado y curiosamente en este punto Newton y Leibniz optan por priorizar aproximaciones diferentes. Leibniz opta por definir la integral como la suma de áreas infinitesimales.

El área bajo una curva se obtiene dividiendo el intervalo de integración en pequeños elementos Δx. Para cada uno de estos elementos, la función toma un valor y puede aproximarse el area del rectángulo de base Δx, tomando un valor de la función en el intervalo Δx. La integral definida es la suma de estas áreas, cuando la base de los rectángulos Δx disminuye, y se confunde con dx. La integral es pues una suma de infinitos términos, lo que en principio parece algo difícil de ejecutar, o al menos de acabar de ejecutar en un tiempo finito. (La suma no esta definida para un número infinito de sumandos).

Esta interpretación de la integrales es igual a la planteada por Fermat y recuerda la idea de los indivisibles de Cavalieri y su descomposición de un área en líneas de grosor infinitesimal. La imprecisión del concepto de infinitesimal nos vuelve a llevar a un terreno intuitivamente correcto pero con una fundamentación endeble.

La notación de Leibniz

El símbolo elegido por Leibniz para la integración, con su forma de S, quiere expresar el sumatorio de elementos en los que se basa su concepto de integral, para el cálculo de la magnitud del área bajo la curva en ese intervalo [a,b]:

$$ {\int}_{a}^b f(x) \:dx$$

que según el teorema general del cálculo es igual a P(b)- P(a).

Para designar una primitiva de f(x) emplea:

$$ P(x)={\int}_{c}^x f(t) \:dt$$

Lo que esta notación nos dice es que la variable x de la función primitiva se corresponde con el extremo del intervalo de integración, es decir, que P (x) es el valor del área bajo f (t), desde t = c, hasta t = x.

Por esta razón hemos puesto t en lugar de x, diferenciando el valor de la variable en el intervalo y su valor en el extremo del intervalo de integración.

Si suprimimos la concreción del intervalo de integración y añadimos la constante de integración nos queda la notación para una función primitiva:

$$ {\int} f(x) \:dx=\:P(x)+C$$

$$ {\int} f(x) \:dx=\:{\int}_{c}^x f(t) \:dt+C$$

El signo de las áreas

El segundo teorema del cálculo nos define áreas de signo positivo y negativo según lo sea P(b) - P(a). Si el intervalo de integración es b > a , las áreas sobre el eje X (y positivas ) son positivas y bajo el eje X negativas. En caso contrario, es decir, el intervalo de integración se define de derecha a izquierda, las áreas sobre el eje X (y positivas ) son negativas y las áreas bajo el eje X (y negativas ) son positivas.

Para calcular correctamente el área bajo una curva es necesario tener en cuenta esta regla sobre los signos, para no sumar algebraicamente áreas positivas y negativas. En el intervalo de integración la curva no debe cambiar de signo si queremos obtener un resultado que se corresponda con la magnitud del área desde el punto de vista geométrico. Por este motivo el procedimiento habitual para el cálculo de áreas comienza con la obtención de las raíces de la función a integrar, eligiendo estos valores de x como extremos de los intervalos de integración, podemos calcular por separado las áreas positivas y negativas del intervalo. Para obtener un resultado geométricamente correcto sumaremos su valor absoluto.

Métodos de integración numéricos

Para el cálculo de una integral definida solo en casos singulares podemos obtener una expresión de la suma de áreas de base Δx que nos permita el cálculo exacto de su valor. Para algunas funciones este procedimiento puede ser muy laborioso y en algunos casos incluso imposible.

El método alternativo para calcular la integral definida consiste en aplicar métodos numéricos. La integración numérica es un procedimiento de aproximaciones sucesivas, calculando en cada paso una suma de áreas, obteniendo una sucesión de valores que se aproximan progresivamente al valor de la integral, deteniendo el cálculo cuando dos aproximaciones sucesivas difieran en valor absoluto en una cantidad menor que el error que asumimos para la aproximación. Estamos ante una ejecución muy laboriosa y de resultados que pueden ser poco precisos. (hemos visto antes, al hablar de Fermat, que necesitábamos 60 divisiones para obtener dos decimales correctas de $\small{y=x^4}$ y de $\small{y=x^9}$.

A pesar de ello, esta aproximación al cálculo de la integral definida es hoy en día, con la potencia de cálculo de los ordenadores, una estrategia abordable. El problema se traslada entonces a la búsqueda de un algoritmo para optimizar los cálculos que aproximen el resultado final de forma lo más rápida y eficiente posible.

El método de Simpson (Thomas Simpson 1710-1761) consiste en dividir el intervalo a integrar en un número par de segmentos y calcular el área de dos de estos intervalos, sustituyendo la función a integrar por una parábola que pasa por los puntos f(A), f((A+B)/2) y f(B) siendo A y B los extremos de los dos segmentos consecutivos.

El método de Simpson es una buena forma de calcular la integral definida, porque con su aplicación se requieren menos cálculos para la misma precisión, y se obtiene mucho más rápidamente el resultado.

Las nuevas funciones

Las herramientas del Cálculo son decisivas para la definición de nuevas funciones y un gran impulso para el avance del concepto mismo de función.

Para iniciar este panorama de nuevas funciones, estudiamos la conversión de las tablas logarítmicas en una función a partir de la relación descubierta desde los inicios del cálculo entre “la cuadratura” del área bajo la hipérbola de ecuación $\small{y \cdot x = 1}$ , y los logaritmos.

Entre las primeras funciones en concretarse están las funciones trigonométricas, vinculadas al círculo, mediante la integración de la ecuación de la circunferencia.

También presentamos las funciones hiperbólicas, que surgen repitiendo casi exactamente el procedimiento utilizado para las trigonométricas sustituyendo la ecuación de la circunferencia, $\small{x^2+y^2=1}$, por la de la hipérbola equilátera, $\small{x^2-y^2=1}$, que se diferencian exclusivamente en un signo.

La función logarítmica

Si interpretamos, a la luz del teorema fundamental del cálculo, el resultado de Saint Vincent sobre la proporcionalidad entre el área definida bajo la hipérbola x · y=1 desde 1 hasta x con los logaritmos, queda establecido que podemos definir una función que llamaremos logarítmica como:

$${log_a {x}}=k_a\: {\int_{1}^{x}}{{1\over{t}}}dt,\quad para \:x > 1$$

Para x< 1 el área, según el teorema fundamental del cálculo será negativa, por lo que podemos extender la definición de la función para todos x>0, pero no para x=0, ya que para este valor la función se hace infinita. Como hemos visto al presentar las tablas de logaritmos en el apartado 2.1, los logaritmos de diferente base mantienen, para todo x>0 , una proporción constante:

$$\frac{log_a{x}}{log_b{x}}=k\tag{5.1}$$

Este coeficiente de proporcionalidad, es el mismo para todo x y por lo tanto, podemos calcularlo conociendo el logarítmo en dos bases diferentes de cualquier valor particular de x.

Esto significa que existe una función logarítmica, que llamaremos logaritmo natural, para la que reservamos la notación especial ln (x), que nos puede servir como unidad de medida, para comparar funciones logarítmicas de diferente base.

Queda por averiguar cual es la base de estos logaritmos en particular. Teniendo en cuenta que para los logaritmos siempre se cumple que el logaritmo de su base es igual a 1, ($\small{log_a{a} =1}$), la base de los logaritmos naturales será igual al valor de x para el que el área bajo la hipérbola sea igual a 1. Es decir, el valor que buscamos es aquel para el que se cumple:

$$ 1={\int_{1}^{x}}{{ 1\over {t}}}\:dt$$

Si en la expresión (5.1) hacemos:

$$\frac{log_a{x}}{ln\:{x}}=k$$

y por lo tanto:

$${\frac{log_a{a}}{ln\:{a}}}=k_a={\frac{1}{ln\:{a}}}$$

Con lo que la definición inicial se convierte en:

$${log_a \:{x}}={\frac{1}{Ln\:{a}}\:{\int_{1}^{x}}{1\over{t}}}dt\quad para\: x > 0 $$

Consecuencia directa de su definición como función, podemos concluir que la derivada de una función logarítmica es, para los valores del dominio definido para la función (x>0):

$${log'_a{x}}=\frac{1}{ln\:{a}}\:{1\over{x}}$$

y para los logaritmos naturales:

Esta definición de la función logarítmica es válida para valores reales de x, mejorando la definición inicial de los logaritmos como operación inversa de la exponencial, que solo contemplaba valores de x naturales y racionales.

De tablas trigonométricas a funciones

Hemos visto que expresar las razones trigonométricas en función de su ángulo central en grados es una decisión basada en su utilidad para construir aparatos de medición sencillos, pero totalmente arbitraria desde el punto de vista matemático. Como en el caso de los logaritmos nos encontramos con la dificultad adicional de que los grados están definidos para valores racionales, por lo que la definición es insuficiente si queremos definir funciones válidas para todo los números reales.

Para convertir las razones trigonométricas en funciones de variable real, es conveniente abordar una nueva definición de la magnitud del ángulo central. Probablemente la utilidad de esta nueva definición se puso de manifiesto en los diferentes estudios sobre la cicloide, pero su impulso definitivo se debe a la aparición del Cálculo que aporta los recursos para abordar el problema.

Newton y Leibniz, definen la magnitud del ángulo en función de la longitud del arco abarcado por el sector circular que se forma trazando una circunferencia con centro en su vértice.

La conversión de unidades de grados sexagesimales a radianes es por tanto:

2 π x°/360 = π x°/180 = x^r

siendo x^r la medida del ángulo en radianes y x° su medida en grados sexagesimales. La unidad de medida de la longitud del arco abarcado es el radio de la circunferencia trazada. El resultado así obtenido es la medida del ángulo en radianes.

Es obvio ver que la magnitud del ángulo, medida en radianes, resulta independiente del radio de la circunferencia sobre la que se mida, por lo que a partir de ahora, trabajaremos sobre la circunferencia de radio unidad.

La ventaja de utilizar radianes, como variable independiente de las funciones trigonométricas, es que el arco equivale al doble del área del sector circular de radio r=1 que abarca, (Para el círculo completo, el área del círculo es π y la longitud de la circunferencia es 2 π), y el área del sector definido podemos calcularla integrando la ecuación de la circunferencia.

Definición de las funciones circulares

Las funciones trigonométricas clásicas son funciones derivadas del círculo y por ello nos referimos a ellas frecuentemente como funciones circulares. Una vez adoptada la unidad de medida angular en radianes, podemos definir con precisión las funciones circulares apoyándonos en los instrumentos con los que el Cálculo nos ha dotado. Vamos a ver en detalle el caso de las funciones coseno y seno, porque a partir de ellas quedan definidas todas las funciones circulares aplicando las identidades trigonométricas.

Definición de coseno como función inversa del arcocoseno

La función coseno es la inversa de la función arcocoseno que acabamos de definir.

y = arccos (x)= arco ODA

coseno ( arco ODA) = cos(y)= x

La definición de la función sen (x)

Del mismo modo que hemos hecho para el coseno, podemos plantear para el seno la misma estrategia de cálculo y obtendremos en primer lugar la función inversa del seno que llamaremos arcoseno.

Definición de seno como función inversa de arcoseno

La función seno es la inversa de la función arcoseno que acabamos de definir.

arcsen (x)=arco ODC = y

sen (arco ODC) = sen (y)=x

La tabla de valores de esta función es como sigue:

Completando la definición de cos x y sen x

Definidas las funciones sen x y cos x para el intervalo entre 0 y π, nos queda definir estas funciones para todos los valores de la recta real.

En primer lugar para el intervalo entre π y 2 π podemos repetir el proceso con la rama negativa de la circunferencia.

Obtenidos los valores entre 0 y 2 π, las funciones seno y coseno son periódicas, siendo su valor entre 2kπ y 2(k+1)π, para cualquier k entero, positivo o negativo, igual al de la función entre 0 y 2 π.

Completado este proceso, quedan definidas las funciones trigonométricas para todo valor de x.

Las funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen asociando a un punto sobre la hipérbola dos funciones, el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, cuyo valor depende del área (OAB) comprendida entre, la recta que une el origen de coordenadas con el punto elegido, el eje x y la hipérbola, mediante las siguientes ecuaciones .

Para el seno hiperbólico:

$$\small{\begin{aligned}x&= 2\: Área \:(OAB)\\ y &= y\:(A)\end{aligned}}$$

$\small{{senh \:(2 \:Área\: OAB)}} {\normalsize =y ={(x^2-1)}^{(1/2)}}$

Para el coseno hiperbólico:

$$\small{\begin{aligned}x&= 2 \:Área \:(OAB) \\y &= x\:(A)\end{aligned}}$$

$\small{cosh \:(2\: Área\: OAB) =x}$

De esta definición se deduce directamente, sumando el cuadrado de ambas definiciones, la ecuación fundamental:

cosh² (2 Área OAB) –senh² (2 Área OAB) =1

Del mismo modo que hemos procedido para las funciones circulares, el área concernida en la definición de las funciones hiperbólicas se puede obtener mediante cálculo integral, como diferencia entre el área del triángulo OCA y la integral de la hipérbola entre B=1 y x(A).

$$\small{Área (OAB)}= {x\over{2}}{\sqrt{x^2-1}}-{{\int_{1}^{x}}}{\sqrt{x^2-1}} dx$$

La derivada de las funciones trigonométricas e hiperbólicas

Derivadas de las funciones trigonométricas

Para obtener la derivada de la función seno empezamos por calcular el cociente incremental y obtenemos :

$${\frac{sen (x+∆x)-sen\:x}{∆x}}$$

Aplicamos ahora, para sen (x+∆x) la fórmula del seno de la suma de ángulos que hemos visto en el capitula anterior,

$$sen \:(a+b)=sen \:a \:cos\: b\:+\:sen\: b\: cos\: ⁡a$$

$$sen \:(x+∆x)=sen \:x \:cos \:∆x\:+\:sen \:∆x \: cos⁡\:x$$

Sustituyendo en la expresión del cociente incremental:

$${\frac{sen \:x\: cos\:∆x+sen\:∆x\:cos\: x -sen\:x}{∆x}}=$$

$${\frac{sen \:x \:cos\: ∆x-sen\: x}{∆x}}+{\frac{cos\: x \:sen \:∆x}{∆x}=}$$

$${sen \:x {\frac{cos \:x-1}{∆x}}}+{cos\: x {\frac{sen \:∆x}{∆x}}}$$

El término $\large{\frac{cos\: x-1}{∆x}}$ se hace 0 al aproximarse ∆x a 0, ya que cos 0 =1, lo que anula el numerador.

El término $\large{\frac{sen\: ∆x}{∆x}} $se aproxima a 1, al tender ∆x a 0. La razón última de la expresión anterior es:

Para la derivada de coseno procedemos del mismo modo:

$$\small{{\frac{cos( x+∆x)-cos\: x}{∆x}}}$$

Utilizando la fórmula del coseno de la suma de ángulos,

cos (x+∆x)=cos x cos ∆x - sen x sen ∆x

sustituyendo en el cociente anterior tenemos:

$$\small{{\frac{cos \:x\: cos\:∆x-sen\:∆x\:sen\: x -cos\:x}{∆x}}=}$$

$$\small{{\frac{cos \:x \:cos\: ∆x-cos\: x}{∆x}}-{\frac{sen\: x \:sen \:∆x}{∆x}}=}$$

$$\small{{cos \:x {\frac{cos \:x-1}{∆x}}}-{sen\: x {\frac{sen \:∆x}{∆x}}}}$$

Como hemos visto antes la primera fracción tiende a 0 y la segunda a 1, con lo que el resultado es:

Derivadas de las funciones hiperbólicas

Para las funciones hiperbólicas teniendo en cuenta que las fórmulas para la suma de ángulos es para el senh idéntica a la trigonométrica,

senh (a+b) = senh a cosh b + senh b cosh ⁡a

podemos deducir fácilmente que:

Para el coseno hiperbólico, la fórmula de la suma de ángulos varía en un signo respecto de su equivalente trigonométrica:

cosh (a+b) = cosh a cosh b + senh a senh b

y podemos deducir fácilmente que:

La práctica de la derivación

Hemos visto hasta aquí como obtener la derivada de una función. Para extender el procedimiento de derivación, vamos a ver las reglas para derivar funciones compuestas por la suma, la diferencia, el producto y la división de dos funciones, que llamamos f(x) y g(x).

Derivada de una suma de funciones

La regla para derivar una suma de funciones es muy simple:

Esta regla es fácilmente demostrable aplicando la definición de derivada:

$$\frac{(f(x+∆x)+g(x+∆x)- (f(x)+g(x))}{∆x}$$

que es evidentemente igual a:

$${\frac{(f(x+∆x)-f(x))}{∆x}}+{\frac{(g(x+∆x)-g(x))}{∆x}}$$

La demostración para la diferencia es inmediata, siguiendo los pasos de la anterior demostración para la suma de funciones.

Derivada de un producto de funciones

Para el producto de funciones la regla de derivación es también muy simple y fácil de demostrar.

Si aplicamos esta regla al producto de una función por una constante obtenemos que:

(a f(x))’ = a f'(x)

Resumiendo, la derivada se comporta linealmente respecto de la suma de funciones y a su multiplicación por una constante.

(a f(x)+b g(x) )’ = a f'(x) + b g'(x)

Inicio de la demostración

Aplicando el prcedimiento de cálculo de la derivada a f(x).g(x) obtenemos:

$${\frac{f(x+∆x)\cdot g(x+∆x)-f(x) \cdot g(x)}{∆x}}$$

sumando y restando g(x)\cdot f(x+∆x)

$${g(x){\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}}+{f(x+∆x){\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}}}$$

$$=g(x)\cdot f'(x)+f(x) \cdot g'(x)$$

lo que confirma la regla de derivación de un producto.

Final de la demostración

Derivada de un cociente de funciones

La regla para la derivada de un cociente de funciones es la siguiente:

Inicio de la demostración

Aplicando la definición de derivada a 1/g(x) tenemos el siguiente cociente de diferencias:

$${\frac{{\displaystyle\frac{1}{g(x+∆x)}}-{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}}{∆x}}={\frac{(-1)(g(x+∆x)-g(x))}{∆x}}{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{g(x+∆x)}}$$

Al tender h a cero esta expresión se convierte en :

$$\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$$

Si aplicamos la fórmula del producto a (f(x) · 1/g(x))’ obtenemos la expresión que queremos demostrar.

Final de la demostración

La regla de la cadena

Otra propiedad de las derivadas es la regla de la cadena que se aplica para el caso funciones compuestas, es decir,

z= f (g(x))

Donde z= f(y),  y =g(x)

La regla de la cadena establece que:

La regla de la cadena es un ejemplo excelente para demostrar la utilidad de la notación de Leibniz para las derivadas, ya que la expresión (5.4) escrita con la notación de Leibniz toma la apariencia de una identidad algebraica trivial.

$${\frac{dz}{dx}}={\frac{dz}{dy}}{\frac{dy}{dx}}$$

Si se interpreta literalmente, esta expresión sugiere que las derivadas se comportan como si fueran fracciones, lo que carece de sentido puesto que no lo son, aunque su origen sea un cociente de incrementos.

A pesar de ello la expresión ilustra la regla de la cadena y muestra como las tasas de cambio se multiplican en el caso de funciones compuestas. Operando algebraicamente con los diferenciales estamos aplicando la regla de la cadena de una forma nemotécnica y automática.

La derivación implícita

La derivación implícita consiste en derivar una ecuación del tipo $f(x, y)=0$, sin necesidad de resolverla en "y" (sin despejar la y), utilizando la regla de la cadena. Esto supone que tenemos que derivar “y” como lo que es, una función de x. La derivada de y es obviamente y’, pero la derivada de y² es, 2y · y'. Por la misma razón, a los términos en "x · y", se les aplica la regla del producto, por lo que para x · y, la derivada resulta, y+x ·y’.

Sumas infinitas

Las derivación nos ha llevado a discutir sobre el valor finito de la “razón última” de diferenciales. Hemos visto las dificultades teóricas que representa la introducción de los infinitesimales. Hemos visto también como la integración equivale a la cuadratura de una curva y que para obtenerla nos encontramos con el reto de obtener una suma de infinitos sumandos.

Pero no va a detenerse aquí el dialogo de las matemáticas con el infinito, porque las series van a formar una parte inseparable del Cálculo con el que comparten una fecha de nacimiento común y plantean los mismos problemas para su fundamentación teórica.

Para Euler, la suma de una serie se obtiene cuando los primeros infinitos términos nos dan un valor finito y si continuamos sumando infinitos términos a partir de ese punto, la suma de esos términos adicionales es un infinitesimal. Es decir, la suma obtenida mediante infinitos términos no admite crecimiento.

Pero esta definición de suma no aclara que significa una suma de ∞ sumandos, ni existe una idea precisa de los requisitos a cumplir por una serie para ser sumable. Por ejemplo, hemos obtenido por división larga:

que para x=1 resulta:

Esta serie suma alternativamente 1 o 0 según el número de términos considerados. Para Leibniz y para Euler esta serie suma 1/2 porque la función toma ese valor para x=1, pero esta claro que adjudicar este valor a la suma de la serie es una arbitrariedad.

Queda claro que el manejo de series plantea dificultades pero los resultados de seguir adelante, sin detenerse en casos particulares, llevará a los inventores del cálculo a éxitos espectaculares. La fundamentación rigurosa del cálculo tiene aún que esperar.

Cuando nos referimos a series tenemos que distinguir si nos referimos a series numéricas o por el contrario nos referimos a series cuyos términos son funciones. Nos vamos a centrar en el estudio de un tipo especial de series de funciones, en la cual sus términos son potencias enteras de x.

La primera serie de este tipo la hemos visto, obtenida por Mercator, para aproximar la función logarítmica.

Vamos a ver como Newton redefine las funciones trigonométricas mediante desarrollos en serie de potencias, y como posteriormente, MacLaurin y Taylor obtienen una fórmula general para desarrollar una función, basada en sus derivadas sucesivas. Las series obtenidas se llaman desarrollos en serie de MacLaurin o de Taylor en su honor

¿Qué utilidad tiene el desarrollo de una función en serie de potencias?

Si conseguimos sustituir una función por su desarrollo en serie de potencias podemos obtener ventajas muy importantes.

La primera es aproximar la función, de manera que su valor en un punto se corresponda con la suma de los términos de la serie para ese punto.

Una segunda utilidad, muy importante, es derivar o integrar una función derivando o integrando término a término su desarrollo. Así, una función difícil de manejar puede derivarse e integrarse fácilmente aplicando las fórmulas elementales para las potencias de x.

Sucesiones y series

Sucesiones y series numéricas

Una sucesión es un conjunto de elementos que podemos ordenar según la secuencia de los números naturales.

Una sucesión se construye a partir de lo que llamamos término general, que es una expresión que incorpora una variable n, que variando a partir de 1, es la regla para calcular los sucesivos elementos. Esto lo expresamos llamando al término general a_n , sustituyendo n por cualquier número natural, obtenemos el elemento que ocupa el lugar n en la sucesión.

Por ejemplo si el término general es 1/n, el término que ocupa el lugar 10 en la sucesión es 1/10.

Los términos de una sucesión sin esa regla que le da coherencia podrían adoptar valores arbitrarios y por lo tanto carecería de sentido y de utilidad. Dicho de otro modo, toda sucesión se autodefine de manera que conociendo n-1 términos podemos deducir el término n que le sigue.

Una serie infinita es la suma de una sucesión de infinitos elementos. Representamos una serie con un símbolo que llamamos sumatorio Σ y la serie entonces queda como:

siendo n es un número entero positivo y esta expresión se lee, suma de a_n, para n de 1 a ∞. Este índice n se llama variable muda porque desaparece al sumar la serie.

La suma de una serie infinita es el valor que se corresponde con la suma de sus infinitos términos. Las series cuya suma es finita se llaman convergentes y en caso contrario divergentes.

Si la suma de infinitos términos debe dar un resultado finito es evidente que el término general, al incrementarse n, debe ser cada vez más próximo a 0. Si no es así, la suma de sucesivos términos crecerá indefinidamente. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Por ejemplo, podemos comprobar en el gráfico siguiente ”Suma de series numéricas”, que la serie,

cuyo término general tiende a 0, es divergente, evidenciando que esta condición es necesaria para la convergencia pero no siempre suficiente.

De entre las series, distinguimos entre aquellas en las que todos sus términos tienen el mismo signo y las que lo alternan. Estas series con alternancia de signos pueden analizarse en valor absoluto. Una serie es absolutamente convergente cuando la serie de sus términos en valor absoluto converge. La convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie original.

Series de funciones

Las series de funciones son una generalización de las series numéricas, cuando sus elementos son funciones, es decir, su término general ${a_n = f_n(x)}$, es una función definida para un conjunto común de valores de x.

Podemos definir del mismo modo que hemos hecho para las sucesiones en general, las series de funciones como:

Series de potencias

Las series de potencias son un tipo particular de series de funciones, cuando sus términos son potencias enteras de x.

o de una forma más general:

Euler en el capítulo 4 de la “Introductio” considera que la expresión analítica más general para expresar una función es una serie infinita de potencias.

Hemos visto dos maneras de obtener una serie como desarrollo de una función. Mediante la división larga y también mediante el teorema del binomio.

Las series de potencias se manejan con mucha libertad y se asume para ellas un comportamiento semejante al de un polinomio “muy largo” y se aplican entre series las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división, como si lo fueran.

Hoy sabemos que las serie de potencias tienen un comportamiento más “amistoso” que las series de funciones en general y que pueden ser derivadas e integradas término a término, lo que no es válido, en general, para cualquier serie de funciones.

Series convergentes y divergentes

Un desarrollo en serie de potencias de x, tal como la hemos descrito es una función de una variable, en este caso la x.

Para cada valor de x la función se convierte en una serie numérica. Si la serie es convergente, el valor de la función en ese punto es igual a la suma de los infinitos términos de la serie en la que se desarrolla.

Al aplicar los criterios de convergencia a una serie de potencias cuyo término general depende de x, nos podemos encontrar que la serie solo es convergente para determinado rango de valores de x.

El intervalo de convergencia, para las series más generales del tipo $\small{\sum_{\substack{0}}^\infty{a_n {(x-c)}^n } }$ esta siempre centrado en c y se define como |x-c|< r . Este intervalo, r, en el que la serie converge se llama radio de convergencia de la serie y puede ser abierto o cerrado según incluya o no alguno de los valores extremos del intervalo (-r, r)

los primeros desarrollos de funciones en series de potencias

El de $\large{\frac{1}{1+x^2}}$ es una de las primeras funciones para la que se obtiene su desarrollo en serie y, como el de $\large{\frac{1}{1+x}}$, se consigue mediante división larga. Este desarrollo se conoce como serie de Gregory.

El desarrollo en serie de seno y coseno

La relación de las funciones trigonométricas con el círculo unidad, que hemos descrito en 5.2, da la pista a Newton para su desarrollo en serie. El procedimiento consiste en calcular en primer lugar el desarrollo de las funciones inversas, arcocoseno y arcoseno, para posteriormente invertir las series obtenidas.

Desarrollo en serie de la función arco coseno

Una vez tenemos claro la igualdad que tenemos que calcular (apartado 5.2.1),

$arccos (x) = {{x\sqrt{1-x^2}}}+{2{\Large\int_{x}^{1}}\sqrt{1-x^2}} dx$

Solo nos queda ir paso a paso obteniendo cada uno de los términos de la ecuación. Desarrollando por el binomio la ecuación de la circunferencia $\small{(1-x^2)^{1\over2}}$ obtenemos:

$y= 1- 1/2\: x^2 -1/8 \:x^4 - 3/48 \:x^6 - 15/384 \:x^8 -105/3840 \:x^{10} - 945/46080 \:x^{12} - 135135/10321920 \:x^{14} - \cdots $

Integramos término a término obtenemos el área del círculo entre 0 y x. Para obtener el área entre x y 1, restamos la serie obtenida del valor del área entre 0 y 1, que es π/4

$y = π/4 – (x - 1/6 \:x^3 -1/40 \:x^5 - 3/336 \:x^7 - 15/3.456 \:x^9 -105/42.240 \:x^{11} - 945/599.040\: x{13} - 135135/154.828.800 \:x^{15} - \cdots $   (1)

Multiplicando por x y dividiendo por 2 la serie del desarrollo por el binomio de la circunferencia, obtenemos el área del triángulo:

$y=1/2 \:x- 1/4\: x^3 -1/16 \:x^5 - 3/96 \:x^7 - 15/768 \:x^9 -105/7680 \:x^{11} - 945/92.160 \:x^{13} - 135135/20.643.840 \:x^{15} -\cdots $   (2)

Para obtener el desarrollo de la función arccos (x), sumamos (1) y (2) y multiplicamos por 2 para pasar del área calculada a la longitud del arco.

$y/2 = π/4 - 1/2 \:x + (1/6-1/4) \:x^3 +(1/40-1/16) \:x^5 + (3/336-3/96) \:x^7 + (15/3.456-17/768)\: x^9 +(105/42.240- 105/7680) \:x^{11} + (945/599.040-945/92.168)\: x^{13} + (135135/154.828.800- 135135/20.643.840)\: x^{15}+ \cdots $

Simplificando, obtenemos el desarrollo de arccos (x):

Desarrollo en serie de la función arcoseno

En este caso debemos calcular:

$arcosen (x) = {{{\int_{0}^{x}}}\sqrt{(1-r^2)}dr}\:-\: {x\over{2}}\sqrt{(1-r^2)}$

Desarrollando por el binomio la ecuación de la circunferencia $\small{(1-x^2)^{1\over2}}$ obtenemos:

$y= 1- 1/2 x^2 -1/8 x^4 - 3/48 x^6 - 15/384 x^8 -105/3840 x^{10} - 945/46080 x^{12} - 135135/10321920 x^{14} -\cdots $

Integrando término a término obtenemos el área del sector circular entre 0 y x

$y = x - 1/6 x3 -1/40 x5 - 3/336 x7 - 15/3.456 x9 -105/42.240 x11 - 945/599.040 x13 - 135135/154.828.800 x15 -\cdots $

Multiplicando el desarrollo de la circunferencia por x y dividiendo por 2, obtenemos el área del triángulo:

$y=1/2 x- 1/4 x^3 -1/16 x^5 - 3/96 x^7 - 15/768 x^9 -105/7680 x^{11} - 945/92.160 x^{13} - 135135/20.643.840 x^{15} - \cdots $

Para obtener el desarrollo de la función arcsen (x), restamos del área del triángulo el área del sector circular y multiplicamos por 2.

$y/2 = 1/2 x + (1/6-1/4) x^3 +(1/40-1/16) x^5 + (3/336-3/96) x^7 + (15/3.456-17/768) x^9 +(105/42.240- 105/7680) x^{11} + (945/599.040-945/92.168) x^{13} + (135135/154.828.800- 135135/20.643.840) x^{15}+ \cdots $

Simplificando,obtenemos el desarrollo de arcsen (x):

Inversión de las series obtenidas

Obtenidos los desarrollos en serie de arcosen (x) y arcocos (x), nos queda invertir estas series para obtener las de sen x y cos x.

Invertir una serie es teóricamente sencillo, pero algebraicamente es un trabajo muy engorroso que implica una capacidad de cálculo muy grande. No lo encontraremos en nuestros libros de texto. Nosotros lo resolvemos en la siguiente hoja de trabajo con la ayuda de una hoja de cálculo. Increíblemente Newton y Leibniz lo afrontaron y nos dieron el resultado correcto para muchas series, trabajando con lápiz y papel!

Inversión de arco seno para obtener sen x

Invirtiendo la serie del arcoseno obtenemos:

$${y = x-0,16666 x^3+0,0083333 x^5-0,000198413 x^7+…}$$

Que se puede poner como:

Inversión de arcocoseno para obtener cos x

Podemos seguir la inversión de arcocoseno en la figura 6.8 y obtenemos:

Los desarrollos en serie de las funciones trigonométricas

Vamos a resumir en una tabla los desarrollos en serie de las funciones trigonométricas y obtener también los desarrollos de sus funciones derivadas.

• A partir de los desarrollos de seno y coseno, que ya conocemos, podemos obtener el desarrollo de la tangente, ya que sabemos multiplicar series y dividirlas (ver figura 4.3 y 4.4):

tg x = sen x/cos x= sen x · 1/cos x

• Para obtener arctg x invertimos la serie de tg x , como hemos hecho con arcoseno y arcocoseno para obtener seno y coseno (ver figura 6.7).
• Los desarrollos para las funciones hiperbólicas de senh y cosh se corresponden con los desarrollos de las funciones trigonométricas equivalentes, sen y cos, con la diferencia de que no existe alternancia de signos al ser la derivada de cosh’ x = senh’ x, diferente en el signo de la derivada de cos x = - sen x.

Listamos junto a cada función trigonométrica su derivada. Obtenemos su desarrollo en serie simplemente derivando término a término los desarrollos de la tabla anterior. Podemos con paciencia comprobar que obtendríamos el mismo resultado calculando su desarrollo directamente.

• Para la derivada de la tangente, que ya sabemos que es $\large{{\frac{1}{cos^2\:x}} }$, obtenemos el cuadrado la serie de cos x:

  $$cos^2 x =1- {x^2}+{1\over{3}}{x^4}-{{2}\over{45}}{ x^6}+{{1}\over{315}} {x^8}+ \cdots $$

  y dividiendo 1 entre cos² x obtenemos a continuación:

  $${\frac{1}{cos^2 x}}=1+ {x^2}+{2\over{3}}{x^4}+{{17}\over{45}}{ x^6}+{{62}\over{315}} {x^8}+ \cdots $$

  que resulta ser igual a la serie que se obtiene derivando término a término la serie de la tangente.

• Para arcoseno y arcocoseno podemos desarrollar por el binomio la circunferencia unidad $\small{(1-x^2)^{1/2}}$ y calcular después $\large{\frac{1}{(1-x^2)^{1/2}}}$ con la misma hoja de cálculo que hemos usado anteriormente (Figura 4.3).

• Derivando la serie obtenida para arcotangente obtenemos la de su derivada, que resulta ser la que hemos obtenido en el apartado 6.2, por division larga, para $\large{\frac{1}{1+x^2}}$ .

Los desarrollos en serie de Taylor

Hemos visto como se obtienen desarrollos en serie por dos procedimientos diferentes pero no disponemos de un método general para hacerlo. MacLaurin se da cuenta de que si escribimos la igualdad entre la función y su desarrollo, $f(x)= a_0+ a_1 x + a_2 x^2 +a_3 x^3 +\cdots $ podemos calcular los coeficientes derivando la función sucesivamente, y haciendo x=0, obtenemos:

$\small{f (0)= a_0}$

$\small{f ' (x)= a_1 + 2 a_2 x +3 a_3 x^2 +\cdots }$   luego: $\small{{f ' (0) = a_1}}$

$\small{f '' (x)= 2 a_2 +6 a_3 x + \cdots }$      luego: $\small{{f '' (0) = 2 a_2}}$

$\small{f '''(x)= 6 a_3 +\cdots }$         luego: $\small{{f '''(0) = 6 a_3}}$

y por tanto sustituyendo los coeficientes, el desarrollo se convierte en:

Este desarrollo se conoce como serie de MacLaurin y nos permite desarrollar en serie una función en el entorno de x=0, siempre que la función sea sucesivamente derivable. Los desarrollos para x=0 se dice que son centrados en 0.

Con un cambio de variable t = x-a obtenemos el desarrollo centrado en a, que es el que se atribuye a Taylor, publicado en 1715. Para a=0 ambos desarrollos coinciden. También podemos comprobar que los desarrollos obtenidos por la fórmula de Taylor coinciden exactamente con los que hemos calculado previamente para las funciones trigonométricas partiendo del desarrollo del binomio.

El resto en los desarrollos de Taylor

Obtenido el desarrollo en serie de una función podemos calcular su valor para cada x. El procedimiento más sencillo de hacerlo es sumar un número suficiente de términos para obtener una buena aproximación a la función en ese punto. Este enfoque nos lleva a la necesidad de medir esa proximidad al resultado “exacto”, para dar por bueno el resultado o continuar sumando términos.

Si llamamos al desarrollo de Taylor con n términos como $\small{P_{n,a} (x)}$, (Polinomio de n términos centrado en a ), podemos decir que:

$$f(x)= P_{n,a}(x)+ R_{n,a} (x)$$

Es decir, que sumando una cierta cantidad al polinomio de n términos obtenemos exactamente el valor de la función en a. A este valor le llamamos “resto”.

Podemos suponer que el resto tenga la forma que correspondería al término n+1 del desarrollo en serie, sustituyendo en la derivada n+1 de ${\small{f (x)}}$ en a, es decir, $\small{f^{(n+1)'} (a)}$, por un valor t que haga que el resto tome el valor que cumple la igualdad anterior.

$$f(x)= P_{n,a}(x)+ f^{(n+1)}(t) \frac{\;(x-a)^{n+1}} {(n+1)!}$$

Evidentemente no conocemos cual es el valor de t, pero podemos con un poco de ingenio acotar el valor del resto para que el error se mantenga bajo un determinado valor.

El resto del desarrollo de sen x

Veamos por ejemplo como proceder para el desarrollo de seno x. El término general del desarrollo de seno x es,

$$ sen ^{(2n+1)}(x){ { {(-1)} ^ {n} {x ^ {2n+1} } }\over {(2n+1)!} }$$

Luego el resto, escogiendo un término par para que sea positivo, vale:

$$ sen ^{(2n+2)}(t){ { {x ^ {2n+2} } }\over {(2n+2)!} }$$

Y sabemos que el valor de la derivada de seno siempre será ≤ 1, puesto que la función seno y coseno están acotadas entre -1 y 1. Luego:

$$ \big \vert sen ^{(2n+2)}(t){ { {x ^ {2n+2} } }\over {(2n+2)!} }\big \vert ≤ { { {x ^ {2n+2} } }\over {(2n+2)!} }$$

$\large{{ {x ^ {2n+2} } }\over {(2n+2)!}}$, puede hacerse tan pequeño como queramos para n+2 suficientemente grande (lo grande que tenga que ser depende de x).

Si por ejemplo, queremos calcular seno x, para x=2, con un error menor de $\small{10^{-4}}$, podemos utilizar el polinomio de Taylor $\small{P_{2n+1, 0}(2)+R}$ donde:

$$R ≤ {{2^{2n+2}}\over{(2n+2)!}}< 10^{-4}$$

esta desigualdad se cumple para n=5, luego

$${sen (x)={x\over{1!}}-{x^3\over{3!}}+{x^5\over{5!}}-{x^7\over{7!}}+{x^9\over{9!}}-{x^{11}\over{11!}}}+R$$ siendo R ≤ $10^{-4}$

Existencia del desarrollo de Taylor de una función

Para obtener el desarrollo de Taylor de una función, son necesarias dos condiciones:

• La primera, que la función sea continuamente derivable, para ir obteniendo los sucesivos términos de la serie.
• Adicionalmente, la serie obtenida debe ser convergente para el punto en que estamos centrando el desarrollo. Como hemos visto al estudiar la convergencia de series, una condición de convergencia necesaria es que su término general tienda a 0. En este caso como el término general tiene como numerador la derivada enésima de la función en ese punto dividida por n!, esta condición general para la convergencia de series, en el caso de los desarrollos de Taylor, la podemos expresar diciendo que la derivada enésima es inferior a un valor dado o dicho de otro modo podemos acotarla por debajo de un valor determinado. Esta condición no se cumple cuando la primera derivada se hace infinita, cuando la tangente a la función es vertical

La fórmula más bella

Euler, antes de publicar sus libros sobre cálculo diferencial e integral, en 1745, publica la “Introductio in analysin infinitorum”.

La “Introductio” consta de dos volúmenes, el primero dedicado al estudio de las funciones elementales, y el segundo a la geometría de las curvas. En el capítulo octavo del primer volumen, aparece por primera vez la identidad a la que hemos dado el título honorífico de “la fórmula más bella”. Su aparición en la “Introductio” es la meta a la que encaminamos nuestra historia.

Como parece desprenderse de la cita de su carta a D’Alambert, Euler ya tenía preparados sus dos volúmenes sobre el cálculo y en la “Introductio”, probablemente, presenta resultados ya conocidos que desarrolla utilizando recursos “exclusivamente” algebraicos.

Vamos a ver como Euler obtiene en la ”Introductio” los desarrollos en serie de las funciones exponencial y logarítmica en el capítulo séptimo del primer volumen. Como él mismo nos advierte, su enfoque es diferente al habitual del cálculo y se basa en el teorema del binomio como una regla “avanzada” del álgebra y en su concepción de los infinitesimales como “entes” a los que se aplican las reglas del álgebra.

Euler presupone una aritmética capaz de operar con números infinitamente pequeños e infinitamente grandes.

Los infinitesimales son “entes” singulares porque, sumados o multiplicados por una cantidad finita continúan siendo infinitamente pequeños. Sin embargo, del producto entre un número que se hace grande indefinidamente y un infinitesimal, podemos obtener un número finito.

La división entre infinitésimos puede ser un número finito. Si n · 0 =0 para cualquier n, Euler concluye que n =0/0 es una razón arbitraria, que puede ser finita.

Un infinitésimo elevado a un exponente natural es un infinitésimo de orden superior, por tanto se puede igualar a cero.

Todas estas reglas las hemos empleado desde que hemos visto las primeras demostraciones de Fermat y se han ido aplicando por todos los creadores del Cálculo.

La función exponencial y logarítmica en la "Introductio"

Euler vuelve al planteamiento original que dio lugar a la invención de los logaritmos, es decir, poner en valor la relación de la función logarítmica y la exponencial como funciones inversas. A cada función logarítmica le corresponde una función inversa del tipo y= a^x, que llamamos función exponencial.

Euler inicia su aproximación desarrollando directamente en serie la función exponencial en lugar de partir de la función logarítmica, definida mediante el cálculo como integral de la hipérbola.

A diferencia de las funciones logarítmicas, las funciones exponenciales están definidas para todo valor de x. También podemos comprobar que son siempre positivas y crecientes para valores de la base a > 1. Para valores de la base menores que 1 la función exponencial es decreciente. En todos los casos la función exponencial corta al eje Y en y=1 puesto que cualquier número elevado a 0 resulta ser igual a 1.

La función exponencial

Como hemos dicho, Euler se propone obtener una serie infinita para la función exponencial. Para obtener este desarrollo procede de la siguiente manera:

Si ε es un infinitesimal, $a\epsilon$ es un poco mayor que 1, (a⁰=1), y se puede escribir, para algún k>0:

$$a^\epsilon=1+k\epsilon $$

Si x es una cantidad finita positiva, que resulta de multiplicar ε por un número N suficientemente grande, podemos poner:

$$a^x= a^{ N\epsilon}={(a^{\epsilon})}^N={(1+k\epsilon)}^N$$

Para establecer esta igualdad Euler aplica con una gran destreza los principios del álgebra de los infinitesimales. La originalidad de este planteamiento supone un alarde de imaginación y de seguridad en su razonamiento insuperables.

A partir de aquí, Euler desarrolla esta expresión por el teorema del binomio y obtiene:

Principio de la demostración

$ a^x={(1+k\epsilon)}^N =1+N(k\epsilon) +{\large{\frac{N(N-1)}{2}}}{(k\epsilon)}^2 +$

$${+{\frac{N(N-1)(N-2)}{3!}}{(k\epsilon)}^3+{\frac{N(N-1)(N-2)(N-3)}{4!}}{(k\epsilon)}^4+....}$$

Recordemos que, $x= N \cdot \epsilon $, sustituimos:

$a^x={(1+k{\large{x\over{N}})}}^N=1+(kx)$

$${+{\frac{\textcolor{red}{(N-1)}}{2\textcolor{red}{N}}}{k^2}{x^2}+{\frac{\textcolor{red}{(N-1)}\textcolor{green}{(N-2)}}{2\textcolor{red}{N}3\textcolor{green}{N}}}{k^3}{x^3}+{\frac{\textcolor{red}{(N-1)}\textcolor{green}{(N-2)}\textcolor{blue}{(N-3)}}{2\textcolor{red}{N}3\textcolor{green}{N}4\textcolor{blue}{N}}}{k^4}{x^4}+....}$$

Al tender N a ∞ resulta,

$$\textcolor{red}{{\frac{(N-1)}{N}}=1}$$

$$\textcolor{green}{{\frac{(N-2)}{N}}=1}$$

$$\textcolor{blue}{{\frac{(N-3)}{N}}=1}$$

Simplificando obtenemos el desarrollo anterior.

Final de la demostración

Euler ha obtenido el desarrollo en serie de $\small{a^x}$ y de forma simultánea, tenemos el binomio que ha dado lugar a la serie, y que es una sucesión de funciones para cada valor de N.

Al definir las sucesiones hemos aceptado que sus términos pueden ser numéricos o funciones. El término de la sucesión que resulta cuando N se hace suficientemente grande también define $a^x$.

La función logarítmica

Euler aplica para desarrollar la función logarítmica un procedimiento semejante al de la exponencial. Partiendo del mismo punto,

a ^ω = 1+k ω

ω =log_a (1+k ω)

luego, multiplicando por N

N · ω =log_a (1+k ω)^N

si hacemos,

(1+k ω)^N =1+x

tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad,

N ·ω =log_a (1+x)

Como tenemos, (1+k ω)^N =1+x

$${(1+k ω)={(1+x)}^{1\over{N}}}$$

$${k ω={(1+x)}^{1\over{N}}-1}$$

multiplicando por N cada miembro,

$${Nω={N\over{k}}[{{(1+x)}^{1\over{N}}-1}]=log_a(1+x)}$$

y con un cambio de variable de x por x+1,

Desarrollando en serie $ \small{{(1+x)}}^{1\over{N}}$ obtenemos

$${N{(1+x)}^{1\over{N}}-N=x-{\frac{x^2}{2}}+{\frac{x^3}{3}}-{\frac{x^4}{4}}+...}$$

Inicio de la demostración

$ {(1+x)}^{1\over{N}}=$

$$\small{1+{1\over{N}}(x)+{\frac{1\textcolor{red}{(N-1)}}{N\textcolor{red}{2N}}}{(x)}^2+{\frac{1\textcolor{red}{(N-1)}\textcolor{green}{(2N-1)}}{N\textcolor{red}{2N}\textcolor{green}{3N}}}{(x)}^3+{\frac{1\textcolor{red}{(N-1)}\textcolor{green}{(N-2)}\textcolor{blue}{(N-3)}}{N\textcolor{red}{2N}\textcolor{green}{3N}\textcolor{blue}{4N}}}{(x)}^4+....}$$

Al tender n a ∞ resulta que

$$\textcolor{red}{{\frac{(N-1)}{2N}}={1\over{2}}}$$

$$\textcolor{green}{{\frac{(2N-1)}{3N}}={2\over{3}}}$$

$$\textcolor{blue}{{\frac{(3N-1)}{4N}}={3\over{4}}}$$

Sustituyendo y multiplicando por N obtenemos:

$$N{{(1+x)}^{1\over{N}}=N+x-{\frac{x^2}{\textcolor{red}2}}+{\frac{\textcolor{green}{2}x^3}{\textcolor{red}{2}.\textcolor{green}{3}}}-{\frac{\textcolor{green}{2}.\textcolor{blue}{3}x^4}{\textcolor{red}{2}.\textcolor{green}{3}.\textcolor{blue}{4}}}+...}$$

Final de la demostración

y obtenemos el desarrollo en serie de la función logarítmica volviendo a la expresión inicial [7.2]:

$${log_a(1+x)={1\over{k}}(x-{\frac{x^2}{2}}+{\frac{x^3}{3}}-{\frac{x^4}{4}}+...)}$$

La identificación de e

Obtenido el desarrollo en serie de la función exponencial podemos observar que la base elegida, no es necesariamente un número natural o entero, sino que la propia definición de la función nos conduce a aceptar como base cualquier número real. Haciendo x=1 en el desarrollo en serie obtenido para la función exponencial, podemos obtener el valor de a que corresponde a cada valor de k.

$${a={(1+{{k}\over{N}})}^N=1+k+{\frac{1}{2!}}{k^2}+{\frac{1}{3!}}{k^3}+{\frac{1}{4!}}{k^4}+....}$$

por ejemplo, para a = 10, k es un número entre 2,3 y 2,31. Para a= 2, k esta entre 0,69 y 0,7.

Aplicando un procedimiento inverso, dando valores exactos a k, obtenemos para k=1 un valor de a de aproximadamente 2,72. Euler bautiza este número de infinitas cifras decimales como e:

e puede obtenerse,según resulta de su definición, de dos maneras equivalentes, como valor de una suma infinita y como valor límite de una sucesión, aunque como vemos en el cálculo adjunto ambas difieren bastante en su velocidad para acercarse al valor límite.

Este número e, resulta ser también la base de los logaritmos naturales que, en el estudio de la función logarítmica como función de áreas de la hipérbola, (apartado 5.1) hemos identificado como el valor de x para que el área definida por la integral sea exactamente 1.

En efecto, para k=1, el valor de la base de la función exponencial es e, y la serie obtenida como desarrollo de la función logarítmica en [7.3], resulta ser igual a la serie de Mercator.

con lo que podemos afirmar que:

En consecuencia, la exponencial e^x es la función inversa de la función logarítmica natural, lo que la convierte en la función exponencial por excelencia y justifica que para distinguirla entre las demás funciones del mismo tipo, se la conozca como exponencial natural.

La relación de los logaritmos de Napier con los naturales

Los logaritmos naturales también se suelen llamar neperianos, que es un reconocimiento a Napier como inventor, pero no implica una correspondencia exacta entre ellos, aunque podemos ver que si existe una cierta similitud.

Los logaritmos neperianos se definen como

$$N=10^7(1-10^-7)^L$$

Haciendo $N_1= {\frac{N}{10^7}}$ y $L_1= {\frac{L}{10^7}}$ podemos poner,

$$N_1={{{\Large\lbrack}{(1-10^{-7})}}^{10^7}}{\Large\rbrack}^{L_1}$$

siendo $\small{{(1-10^{-7})}^{10^7}=(0,999999)^{10^7}=0,3678794.. }$,

casi igual a: $\;\large{{1\over{e}}} \approx \small{0,3687969}$

$$L_1=log_{\large{1\over{e}}}N_1$$

$\frac{L}{10^7}=log_{\large{1\over{e}}}(\frac{N}{10^7})$, es decir: $L=10^7 log_{\large{1\over{e}}}(\frac{N}{10^7})$

Los logaritmos naturales en base 1/e, se corresponden casi exactamente, con los logaritmos neperianos, si dividimos N por 10⁷y multiplicamos el logaritmo obtenido por 10⁷.

La derivada de las funciones exponenciales

La derivada de las funciones exponenciales, son proporcionales a la función original, como podemos comprobar derivando la serie obtenida para $a^x$,

$${ a^x=1+kx+{\frac{1}{2!}}{k^2}{x^2}+{\frac{1}{3!}}{k^3}{x^3}+{\frac{1}{4!}}{k^4}{x^4}+....}$$

cuya derivada es:

$${ (a^x)'=k(1+kx+{\frac{1}{2!}}{k^2}{x^2}+{\frac{1}{3!}}{k^3}{x^3}+{\frac{1}{4!}}{k^4}{x^4}+....)=k\: a^x}$$

Como consecuencia de que la función exponencial y la logarítmica son inversas podemos poner:

$$y= a^x\:=\:e^{\small{(ln\:a)x}} $$

Si derivamos esta expresión obtenemos:

$$y'= ln\:a\:(e^{\small{(ln\:a)x}} \:) =ln\:a\:a^x $$

luego, podemos identificar k con ln a.

Inicio de la demostración aplicando la definición de derivada

Si aplicamos las reglas para la derivación a la función exponencial , resulta:

$${\frac{a^{x+∆x}-a^x}{∆x}}$$

que es igual a,

$${\frac{a^{x}\:a^{∆x}-a^x}{∆x}}$$

luego,

$$ a^x({\frac{a^{∆x}-1}{∆x}})$$

Podemos poner en lugar de Δx, 1/N cuando N tiende a $\small{\infty}$, sustituyendo, obtenemos para el paréntesis el valor: $N(a^{1\over{N}}-1)$, que es por definición ln (a). Luego:

$$y'=a^x\:ln(a)$$

Fin de la demostración

La propiedad de la función exponencial, en base e, de ser igual a su derivada tambien es válida para sus derivadas sucesivas. Esta propiedad nos permite obtener de forma muy sencilla su desarrollo en serie siguiendo la fórmula de Taylor, porque la función y todas sus derivadas son iguales a 1 para x=0.

$f(x)= f'(x)= f''(x)= f'''(x) =\cdot \cdot \cdot= 1$

La derivada de la función logarítmica

Al definir la función logarítmica como la función de áreas de la hipérbola equilátera, hemos visto que la derivada de la función es siempre la hipérbola 1/x. También hemos identificado el coeficiente de esta proporción, que hemos llamado k_a :

$$k_a={\frac{1}{ln \:a}}$$

Una vez identificado e como la base de los logaritmos naturales, podemos redefinir k_a como:

$$k_a={\frac{log_a x}{ln \:x}}={\frac{1}{ln \:a}}={\frac{log_a\:e}{1}}$$

y resulta:

Este resultado también podemos obtenerlo aplicando a la función logarítmica la definición de derivada y ejecutando los cálculos tal como mostramos a continuación.

Inicio de la demostración aplicando la definición de derivada

Aplicando las reglas para la derivación obtenemos:

$${\frac{log_a⁡(x+∆x)-log_a⁡ x}{∆x}}$$

que por las propiedades de los logaritmos podemos poner:

$${\frac{log_a{\frac{(x+∆x)}{x}}}{∆x}}$$

Simplificando,

$$log_a{(1+{{∆x}\over{x}})}^{\large{1\over{∆x}}}$$

Si multiplicamos el exponente por $\small{1}= \large{{x\over x}}$

$$log_a{(1+{{∆x}\over{x}})}^{\large{x\over{x\:∆x}}}$$

$${1\over{x}}log_a{(1+{{∆x}\over{x}})}^{\large{x\over{∆x}}}$$

Manejando adecuadamente el resultado obtenido,

$${(1+{{∆x}\over{x}})}^{\large{x\over{∆x}}}$$

es equivalente a:

$${(1+{{1}\over{x\over{∆x}}})}^{\large{x\over{∆x}}}$$

que podemos poner como ${(1+{1\over{n}})}^n$ siendo $\small{n=}\large{x\over ∆x}$ .

Cuando Δx se hace pequeño, n aumenta, por lo tanto podemos concluir que la expresión de la derivada es:

$$y'= {1\over{x}}log_a ({1+{1\over{n}}})^n$$

para n tendiendo a infinito, resulta según la definición obtenida de e:

$$y'= {1\over{x}}log_a\:e$$

Fin de la demostración

El final inesperado

En el siguiente capítulo de la "Introductio", Cantidades trascendentes derivadas del círculo, Euler aborda la definición de las funciones trigonométricas y también aquí opta por un camino original. Euler observa que la identidad básica de la trigonometría,

$$cos^2 x+sen^2 x=1$$

Puede descomponerse, con la ayuda del número i, en factores de la forma:

$(cos\: x + i sen\: x) \:(cos \:x – i sen \:x) = 1$

La introducción de i, tiene para Euler un sentido puramente algebraico, para aprovechar las propiedades de las potencias sucesivas del número i,

$\begin{aligned}(ix)^2 & =-x^2 \\ (ix)^3 & =-x^2 \cdot ix=-ix^3 \\ (ix)^4 & =-ix^3 \cdot ix=x^4\\ (ix)^5 & =x^4 \cdot ix=ix^5\\ (ix)^6 & =ix^5 \cdot ix=-x^6 \end{aligned}$

Repitiéndose la secuencia -1, -i, 1, i, -1 …. Indefinidamente al incrementarse el exponente.

Esta descomposición en factores, con la inclusión del número i, permite que la alternancia de signos se corresponda con la propia de las funciones trigonométricas.

$\small{(cos \;x + i \;sen\; x) (cos\; y + i \;sen\; y)} =$

$\small{cos \;y \;\;cos \;x – sen \;y \;\;sen\; x + i\;(cos\; y \;\;sen \;x + sen\; y \;\;cos \;x)}$

Teniendo en cuenta la fórmula de la suma de ángulos,

$\small{cos\;y\;\; cos\; x\; -\; sen \;y \;\;sen \;x = cos\;(y+x)}$

$\small{cos\;y\;\; sen\; x\; +\; sen \;y \;\;cos \;x = sen\;(y+x)}$

obtiene:

$\small{(cos \;x + i \;sen\; x) (cos\; y + i \;sen\; y) = cos\;(y+x)+i\;sen\;(y+x)}$

Repitiendo la multiplicación por un nuevo factor,

$\small{(cos \;(x+y) + i \;sen\; (x+y)) (cos\; z + i \;sen\; z) =}$

$\small{cos\;(y+x+z)+i\;sen\;(y+x+z)}$

y por inducción:

$\small{(cos \;x + i \;sen \;x)^n = cos\;(nx) + i \;sen \;(nx)}$,

del mismo modo podemos obtener,

$\small{(cos \;x - i \;sen \;x)^n = cos\;(nx) + i \;sen \;(nx)}$,

Estas fórmulas ya habían sido publicadas por De Moivre en 1707 y eran conocidas por Euler.

Las fórmulas de Euler

Sumando y restando las fórmulas de De Moivre para seno y coseno obtenemos:

Euler interviene con su habilidad para manejar los infinitesimales y propone, n · x = z, para n muy grande y x muy pequeño, cuyo producto es un número finito z . Sustituimos en la fórmula n · x por z y simplificando, teniendo en cuenta que, x= z/n, y que para x muy pequeño podemos sustituir sen x por x y cos x por 1.

Efectuando las operaciones, resulta:

Puesto que sabemos que:

Las anteriores expresiones quedan, como:

Este resultado nos viene a decir que las funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la función exponencial, de una forma misteriosa, porque no sabemos muy bien que significa $e^{ix}$, ya que la función exponencial no la hemos definido para exponentes imaginarios. Esta conexión entre las funciones trigonométricas y la exponencial nunca pudo imaginarse cuando se definieron estas funciones.

Sumando cos x y sen x, obtenemos:

y restando :

Esta fórmula se conoce como fórmula de Euler, aunque es un título que no detenta en exclusiva pues existen otras “fórmulas de Euler” que compiten con ella.

Estamos ante una fórmula cuyo sentido pleno se obtiene aplicada a los números complejos, pero los números complejos aun tardarán un siglo en aparecer en la escena matemática. Esta fórmula adquirirá una gran importancia en la integración de determinadas funciones trigonométricas aprovechando que la integral de $e^{ix}$ es inmediata.

las Identidades derivadas de la fórmula de Euler

Una fórmula es una igualdad que establece una relación entre constantes y variables que siempre debe cumplirse. Dando valores particulares a las variables de una fórmula, obtenemos lo que se conoce como una identidad. Vamos a concretar la fórmula de Euler para algunos valores particulares de x.

La primera de ellas, la identidad que estamos persiguiendo desde el inicio de nuestro libro, a la que nos hemos referido de forma un tanto impropia como “fórmula” de Euler.

Particularizando la expresión e^ix = cos(x)+ i sen(x), para x= π , se obtiene:

y de ahí la presentación como:

Un segundo resultado interesante de la fórmula de Euler es que permite descubrir la naturaleza de los logaritmos de los números negativos. Podemos poner la identidad anterior como:

Entonces para cualquier número negativo

Euler demuestra que el logaritmo de un número negativo es un número con una componente imaginaria, que en el futuro se llamaran números complejos. Además, como es evidente que se cumple:

podemos poner:

con lo que se demuestra que existen infinitos logaritmos para un mismo número negativo.

Por último, la fórmula de Euler también nos permite obtener otra identidad interesante. Particularizando e^ix = cos(x)+ i sen(x) para x=π/2, resulta:

luego:

Con lo que obtenemos un resultado sorprendente, ya que elevando i a un número imaginario obtenemos un número real.

La fórmula de Euler para las funciones hiperbólicas

La relación entre las funciones exponencial y las hiperbólicas, se puede deducir de forma similar a como lo hemos hecho para las trigonométricas y en este caso no involucrarán a i.

La fórmula de Euler equivalente para las funciones hiperbólicas es:

Sumando ambas expresiones tenemos:

Euler no escribía sin sentido

Al iniciar nuestro relato hemos definido este siglo como el de la rotura de las reglas de las matemáticas antiguas, que avanzaban progresando sobre la base de demostraciones basadas en esquemas lógicos sencillos, como el silogismo, la inducción, ...

La explosión de nuevas ideas y conceptos lleva a la necesidad de plantear una manera de consolidar los avances de una manera completamente diferente. Además de constatar su utilidad para la descripción de los fenómenos físicos y su aplicación a casos particulares, uno de las garantías para confirmar un resultado es comprobar su consistencia cuando se obtiene por diferentes vías.

Si revisamos lo que hemos ido describiendo en una secuencia temporal, podremos comprobar que existe diversidad de demostraciones que aportan evidencia de certeza a los resultados.

Esta habilidad para compatibilizar diferentes aproximaciones da coherencia al universo matemático de Euler y le proporciona la perspectiva necesaria para ofrecer una nueva visión del Cálculo. Así interpretamos el objetivo de la “Introductio” de ofrecer una sistematización de desarrollos ya conocidos previamente, sin utilizar los métodos del cálculo diferencial e integral.

La identificación de e es la pieza clave del puente que Euler establece a través de la exponencial, entre las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas. El número e aparece bajo tres formas diferentes. La primera como valor límite de la sucesión ${(1+{1\over{n}})}^n$ , la segunda como desarrollo en serie, y una vez identificados los logaritmos hiperbólicos con los logaritmos en base e, mediante la integral definida de la hipérbola equilátera.

Tres definiciones para un único valor de e.

La definición de Euler de las funciones exponencial y logarítmica se basa en su habilidad con el “álgebra de los infinitesimales” para formular ambas funciones en forma de binomio, y obtener sus desarrollos en serie. Euler obtiene una conexión entre, la sucesión de funciones que obtiene al desarrollar el binomio para valores de n enteros, con los n primeros términos de su serie de Taylor. Al crecer n hacia valores “grandes”, la serie de funciones converge a la función exponencial y su serie de Taylor se hace infinita.

Las expresiones obtenidas para estas funciones confirman su definición como funciones inversas.

Para las funciones trigonométricas, Euler prescinde en la “Introductio” de los desarrollos en serie obtenidos por Newton a partir de la integración de la ecuación de la circunferencia. Su punto de partida son las fórmulas clásicas para el seno y el coseno de la suma de ángulos, a partir de las cuales obtiene la fórmula De Moivre y a partir de ella la definición de e^ix en función de seno y coseno de x, y escribir:

La obtención de la identidad de Euler mediante Taylor

Este resultado se hubiera podido obtener igualmente a partir del Cálculo, que es el procedimiento de demostración habitual hoy en día. Una vez establecida la propiedad de $e^x$ de que todas sus derivadas son iguales a la función original, es inmediato obtener su desarrollo de Taylor y observar su relación con los desarrollos ya conocidos para sen x y cos x, obtenidos mediante la integración de la circunferencia.

Sustituyendo en los desarrollos en serie de e^x y de sen x, x por ix, obtiene:

Podemos extraer i en el desarrollo de sen x y resulta:

Con lo que finalmente:

Obteniendo la fórmula de Euler por este procedimiento, mediante la suma de desarrollos en serie, se observa claramente el papel de i para alternar, en el sentido adecuado, el signo de los diferentes sumandos.

Descartes tuvo un sueño, Napier una obsesión, Fermat invento los infinitesimales, Newton y Leibniz hicieron posible el “invento del siglo”, pero finalmente, Euler ilumina la escena. Percibimos esta capacidad, solo al alcance de los grandes, cuando estamos comentando unas pocas páginas, del conjunto de miles, de su monumental obra.

Euler tenía todo a su alcance para obtener estos resultados mediante el Cálculo, pero su opción de abrir una nueva vía de demostración nos confirma la superioridad de su punto de vista, que le permitía abordar los problemas desde diferentes aproximaciones y dotar al Cálculo, recién descubierto, de una gran solidez.

Una ventana al futuro

El progreso de las matemáticas no se detiene. Hemos seguido la pista durante un siglo al número e pero, al acabar el relato, queda por explicar el final para muchos de los hilos de debate que han ido apareciendo y que quedan abiertos al futuro. Hacemos un inventario de cómo se fueron resolviendo en el tiempo, ordenados según su fecha de resolución, referida a la de publicación de la “Introductio” en 1745, poniendo de manifiesto indirectamente la genialidad de su formulación prematura.

+2 - 1747 – La definición moderna de función

Los matemáticos empezaron a aplicar el cálculo infinitesimal para resolver problemas de la física. Hemos visto que en su origen el cálculo se ocupa de problemas de cuadraturas que quedan resueltos mediante funciones elementales. La resolución de problemas más complicados lleva a plantear las primeras ecuaciones diferenciales. El problema del péndulo, la ecuación de la cuerda flexible suspendida y sometida a su propio peso, o los primeros estudios sobre elasticidad aplicados a la deformación de vigas. En la lógica evolución aparecen problemas que requieren el estudio de ecuaciones de segundo grado y en derivadas parciales.

Jean Le Rond d’Alambert en 1746, plantea el problema de la cuerda vibrante “una cuerda tensa que se hace vibrar”, como la de los instrumentos musicales. Pocos meses después Euler escribe un artículo “Sobre la oscilación de cuerdas” en la que sostiene la conveniencia de aceptar como soluciones válidas configuraciones del estado inicial de la cuerda lo más generales posibles, en concreto propone admitir funciones definidas “a trozos”. En terminología de Euler funciones discontinuas, aunque hoy las definimos como continuas con derivadas discontinuas. Por ejemplo, al tensar una cuerda pulsando un punto intermedio, podemos imaginar el estado inicial de la curva como la composición de dos tramos rectos que se unen en el punto donde pinzamos la cuerda para hacerla vibrar.

Euler introduce así un nuevo tipo de funciones, que superan lo propuesto por él mismo en la “Introductió” muy poco tiempo antes.

Esta nueva definición de función se consolidará a partir de los estudios sobre el calor de Fourier (otra vez la física señalando el camino a los avances matemáticos).

El estado inicial del “calor” de una barra metálica es más arbitrario que el de la cuerda vibrante y no requiere de ninguna ley de continuidad. Fourier consigue desarrollar funciones muy arbitrarias, definidas por tramos, en series de funciones trigonométricas, y demuestra que por más arbitraria que parezca la función definida, la serie trigonométrica obtenida converge a los valores de dicha función.

De allí que Fourier exprese una idea verdaderamente revolucionaria:

Podemos imaginar una función como una «máquina» o caja negra, que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida». La única restricción para esta caja negra es que para cada valor de entrada asigne un único valor de salida. Los valores de entrada, sobre los que se aplica la función son el “dominio” de la función y los valores de salida la “imagen” de la función.

Una función puede definirse por varios procedimientos. En general, la definición se obtiene por la regla o método que permite calcular la imagen a partir de los valores de la variable de entrada.

+76 - 1821 - El fin de los infinitesimales

Durante el siglo XVIII, la búsqueda de fundamento para los infinitesimales estuvo siempre presente entre los matemáticos, pero los primeros resultados sólidos deben esperar al siglo XIX, a lo que a veces se llama la “época del rigor”, en la que los matemáticos se inclinaron por la introducción de la teoría de límites en el análisis.

A partir de la publicación por Cauchy en 1821 de su "Curso de análisis", se precisa el concepto de función, de límite y de continuidad, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia introducida por Fourier.

Karl Weierstrass (1815 1897), profesor desde 1856 y durante treinta años, de la Universidad de Berlín es también considerado el "padre del análisis moderno". A él se deben las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen vigentes en la actualidad.

Con la teoría de límites se logra eliminar las dificultades en el manejo del infinito por el cálculo diferencial e integral de Leibniz y Newton, definiendo la derivada como límite de un cociente y la integral como límite de unas sumas parciales. Los infinitésimos, como cantidades infinitamente pequeñas diferentes de 0, se abandonan y se sustituyen por un proceso potencialmente infinito de aproximación. En definitiva, se introduce en el análisis una nueva operación, que llamamos “paso al límite”. Esta operación asociada a la suma, permite sumar infinitos sumandos y asociada a la división nos permite resolver la indeterminación de su resultado cuando el divisor es 0.

La teoría de límites esta muy enraizada en nuestra manera de razonar y en el lenguaje natural, de manera que es difícil imaginar desde nuestra perspectiva, la dificultades que los matemáticos tuvieron para justificar los conceptos que dieron inicialmente forma al Cálculo.

+86 -1831- Los números imaginarios

La introducción el número i en las matemáticas deja el camino abierto para la aparición de una nueva categoría de números, que no sospechábamos.

Gauss (“Theoria residuorum bicuadraticorm”, 1831), define los “números complejos” como pares ordenados de números reales, que tienen una componente real y otra imaginaria. Un número complejo “z” es de la forma z=x+iy, es decir, “z” es una pareja de números reales, siendo “x” la componente real e “y” la componente imaginaria.

Hasta la aparición de los números complejos todos los números estaban alineados en la recta de los números reales. Caspar Wessel en 1799 y Jean-Robert Argand en 1806, fueron los primeros en representar los números complejos en un plano, el plano complejo, con un eje real y el eje vertical representando la componente imaginaria, siendo el punto (0,1) del plano la representación de la unidad imaginaria i.

Gauss también demuestra el teorema general del álgebra, según el cual, las raíces de un polinomio con coeficientes complejos son números complejos. De este modo se cierra la posibilidad de que aparezca un nuevo tipo de números como había pasado con los números reales. Los polinomios con coeficientes reales tienen raíces que pueden ser reales o imaginarias. Los números imaginarios son los números más “generales“ que existen. Si a los matemáticos les fue difícil aceptar números negativos, con infinitos decimales...los números imaginarios son el último reto para comprender lo que es un número. El club de los números no admite más socios, naturales, enteros, racionales, irracionales, reales e imaginarios.

Podemos interpretar una función de variable compleja como una correspondencia que se representa visualmente utilizando dos planos, uno para la variable independiente $z_1=x_1+i\:y_1$, que llamamos plano “cartesiano” y otro plano $z_2=u_2+i\:v_2$ para la variable dependiente. Este plano se llama habitualmente plano de Gauss.

La función de variable compleja es una transformación de las líneas del plano “cartesiano” en otras figuras en el plano de “Gauss”. La función $e^{ix}$, siendo x un número real, la parte real la función $e^{ix}$ es cos (x) y la parte imaginaria sen (x), por lo que los puntos de la recta real se transforman en una circunferencia de radio unidad en el plano de Gauss.

i en las ecuaciones de la física

Hay otra manera de entender la función $\small{e^{ix}= cos \:x + i \:sen \:x}$, al margen de la representación habitual de las funciones de variable compleja, descomponiendo la función por una parte en, $\small{y =cos \:x}$, y por otra en $\small{z=i \:sen \:x}$. De este modo, podemos representar la función en dos planos perpendiculares, siendo el eje Z, perpendicular a X e Y, el eje de la componente imaginaria de la función.

La composición de movimientos ondulatorios perpendiculares permite interpretar diferentes fenómenos físicos. En las ecuaciones de Maxwell, que describen el electromagnetismo, y en la ecuación de onda, que explica el comportamiento de las partículas subatómicas, aparece i. Lo que ha nacido imaginario, como “seres anfibios a medio camino de la existencia y la no existencia” (Leibniz), resulta estar en lo más profundo del comportamiento de la realidad. La física de hoy aprovecha la especulación matemática 250 años avanzada a su tiempo.

+ 109 -1854- La integral de Riemann

La integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo.

Necesitamos definir cuatro conceptos:

• La partición de un intervalo, [a, b] es un conjunto finito de puntos, $\small{P[(x_1=a), x_2, \cdot \cdot \cdot (x_n=b)]}$ con $\small{x_i > x_{i-1}}$ para valores de i desde 1 a n.

• La norma de una partición es la amplitud del intervalo mayor.

• Para una función f en [a, b], tomando una partición P de ese intervalo, llamamos suma de Riemann a la suma:

• Una función f acotada en un intervalo [a, b] se dice que es integrable Riemann en ese intervalo, si existe un número I tal que para todo número real positivo ε, existe una δ positiva tal que, si P es una partición de [a, b] cuya norma es < δ, entonces:

En otras palabras, la integral es el límite de la suma de Riemann cuando la norma de la partición tiende a 0.

Por razones prácticas, la partición del intervalo total suele suponerse compuesta de intervalos de igual magnitud $\frac{x_b-x_a} {N}$, que al tender N a $\small{\infty}$, podemos identificar como dx.

La notación de Leibniz sobrevive a la introducción de la definición de la integral como límite de sumas de Riemann,

Originalmente $\small{\int_{a}^{b}f(x)dx}$ representaba la suma del área de rectángulos infinitesimales y se ha convertido en una abreviatura que asume la integral como límite de una sucesión de sumas. El cálculo de una integral definida consiste en calcular y obtener el límite de esa sucesión.

Si para la diferenciación, necesitábamos ejecutar un “paso al límite”, la operación inversa nos vuelve a llevar a un problema parecido. Para la derivación se trata del valor límite de una división, aquí estamos ante el valor límite de una suma de n sumandos, cuando n se hace suficientemente grande.

+ 221 -1966- El análisis no estándar

En 1966, Abraham Robinson publica Non-Standard Análisis, donde presenta el análisis no estándar como una teoría de los infinitesimales, que bien puede considerarse su renacimiento dentro de las matemáticas “rigurosas”.

En su "Prefacio", Robinson dice lo siguiente:

Robinson construye una extensión de los números reales, que llama el campo hiperreal, que incluye los números finitos, los infinitesimales y los infinitos, y demuestra que para el campo hiperreal son válidas todas las fórmulas del campo real. Para la recta hiperreal todo número real ordinario finito esta rodeado de los que están infinitesimalmente próximos a él y forman el átomo del número real.

Las ideas intuitivas de los creadores del cálculo

Anexos

Problemas resueltos de geometría analítica

La tangente a una curva

Hallar la tangente a una curva es el problema más elemental resuelto por el cálculo. Exponemos aquí el caso de una curva de la que no podemos obtener su ecuación explícita.

Para el folium de Descartes de ecuación $\small{x^3+y^3=3xy}$, derivamos, aplicando al término $3yx$ la regla del producto:

Despejando y’ obtenemos

Sustituyendo x e y por las coordenadas del punto obtenemos la pendiente de la tangente en ese punto.

longitud de una curva

La longitud de una curva, también esta a nuestro alcance puesto que observando el triángulo formado por los diferenciales en un punto, podemos afirmar que la hipotenusa del triángulo, es la longitud de la curva en ese tramo infinitesimal, y por Pitágoras, $\small{ds=\sqrt{(dx^2+dy^2 )}}$. Dividiendo por dx obtenemos:

La longitud de la curva es la integral,

entre los dos puntos que definen el tramo. Obtener la longitud de una curva supone, por tanto, ejecutar una integral que, frecuentemente, no es inmediata, ni fácil de obtener. En este supuesto, tenemos dos alternativas a mano. La primera desarrollar en serie la función a integrar, para integrar a continuación término a término y la segunda obtener la integral definida mediante un método de aproximación numérica, con la fórmula de Simpson, por ejemplo.

Longitud de la parábola

Esta integral es bastante difícil de ejecutar. Una primitiva de la función resulta ser:

Para x=0, esta expresión es 0, por lo tanto, la integral definida entre 0 y a toma el valor:

Longitud de la hipérbola

Hipérbola de ecuación $y={\large{1\over x}}$ , desde x=1 a x=a. Su derivada es: ${y'=-\large{{1\over{x^2}}}}$

En este caso la función a integrar se hace infinita en 0. Su desarrollo en serie centrado en 0 no es viable. Optamos en este caso por el cálculo de la integral definida por métodos numéricos.

Longitud de la función logarítmica

Es un caso semejante al de la hipérbola por no estar definida la función en 0.

Máximos y mínimos

Resolvemos el problema clásico de obtener el rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo, que puede convertirse en obtener el cilindro de volumen máximo inscrita en un cono. El cálculo de tangentes y el de máximos y mínimos son problemas íntimamente relacionados. Obtenida la tangente, una función alcanza un máximo o un mínimo en los puntos en los que su tangente es horizontal, de pendiente igual a 0.

También resolvemos analíticamente el problema planteado por Kepler sobre el volumen de los barriles de vino, reducido al cálculo del volumen máximo de un tonel cilíndrico, cuya diagonal desde su boca superior hasta su base sea dada, variando el diámetro de su base circular.

Curvatura y radio de curvatura

Hemos obtenido la tangente a una curva en un punto. Nos queda definida, en ese punto, la recta perpendicular a la tangente que llamamos normal a la curva. Es posible trazar una circunferencia con centro en un punto cualquiera de la normal y de radio igual a la distancia del punto elegido y el punto de tangencia. De este modo podemos ver que hay muchos círculos tangentes a una curva en un punto.

De entre todas estas circunferencias, con centro sobre la normal a la curva buscamos identificar una que fue llamada «circulum osculans» («círculo que besa») por Leibniz. La inversa del radio de esta circunferencia lo llamamos curvatura. De acuerdo al concepto intuitivo, en los puntos de mayor curvatura el círculo “osculador” tiene un radio menor. Para una recta, la curvatura es 0 y el círculo “osculador”, de radio infinito, se confunde con la propia recta.

Para calcular la curvatura en un punto de una curva, ponemos atención a la variación de la pendiente de la tangente, al mover el punto de tangencia un ds sobre la curva.

La curvatura la definimos como:

y podemos poner:

Sabemos que tg α = y’ y por lo tanto, α =arctg (y’), por lo que derivando y aplicando la regla de la cadena:

Por otra parte sabemos de $\small{ ds=\sqrt{dx^2+dy^2}}$ por lo que

Efectuando las operaciones obtenemos la fórmula de la curvatura:

Simplificando:

El radio de curvatura es el inverso de la curvatura obtenida.

La obtención de la curvatura es un cálculo que solo requiere obtener la derivada primera y segunda de la función.

Ecuación del péndulo

La ecuación del péndulo simple se debe a Christian Huygens. Hacia el año 1673, construyó el primer reloj de péndulo, basándose en el isocronismo de las oscilaciones que sus ecuaciones demostraban, dando el primer paso importante para la medición del tiempo con precisión.

El isocronismo es una propiedad del movimiento armónico simple, que es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos de tiempo iguales.

Esta propiedad, en la que se basa el reloj de Huygens, fue observada por Galileo, hacia el año 1581 en la catedral de Pisa, cuando la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante su duración.

Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás.J. Bertrand: Galileo y sus trabajos

Un ejemplo es el caso de un cuerpo colgado de un muelle, oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. Para el caso de un objeto suspendido de un muelle podemos poner:

Siendo m la masa del objeto y k el coeficiente de elasticidad del muelle. Haciendo $ω^2=\large{{k\over m}}$ resulta la ecuación:

Para obtener las ecuaciones del péndulo podemos plantear el equilibrio de fuerzas que actúan sobre él, descomponiendo el peso de la masa suspendida, en una componente en el sentido del hilo y en otra perpendicular a él y por tanto tangente al círculo que describe el péndulo.

La aceleración tangencial del péndulo podemos convertirla en aceleración angular, expresada en función del ángulo y de la longitud del péndulo (L).

La ecuación del movimiento resulta, sustituyendo en la ecuación de equilibrio:

Esta ecuación no es la de una función armónica, por la presencia de sen θ, en el lugar de θ, en la ecuación del movimiento, a diferencia de la ecuación del cuerpo suspendido del muelle elástico.

La resolución de esta ecuación diferencial no esta al nivel de este libro, pero podemos obtener una solución aproximada, transformando la ecuación del péndulo en la de un movimiento armónico, considerando oscilaciones para las que se puede aceptar que sen θ = θ .

Haciendo $ω^2=\Large{{g\over L}}$ resulta la ecuación:

La solución general de este tipo de ecuaciones es:

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento. Habitualmente el péndulo se separa θ de la posición de equilibrio y se suelta, por lo que para t=0, θ₀ =A .

La velocidad angular será 0 en el instante inicial, luego:

Luego para $\large{\frac{dθ}{dt}=0}$ , resulta B=0, con lo que la ecuación del movimiento queda:

El periodo del movimiento, el tiempo que tarda en completar una oscilación es:

El periodo del péndulo simple es independiente de la masa suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación sen θ ≈ θ sea aceptable. Para amplitudes menores de 10º la corrección es menor del 0,2%.

El periodo depende de la longitud del péndulo, de manera que al aumentar la longitud aumenta el periodo. Por ejemplo el péndulo de Foucault del museo de la ciencia de Barcelona de 23,9 m de longitud oscila en un periodo de casi 10 s.

La ecuación del movimiento del péndulo general es bastante más compleja, y confirma que la amplitud es sinodal para pequeñas oscilaciones pero deja de serlo al aumentar. El periodo no depende de la masa suspendida pero aumenta al incrementarse la amplitud, de acuerdo con la expresión:

La catenaria

La catenaria es la curva que forma una cadena o una cuerda, perfectamente flexible, suspendida entre dos puntos sometida únicamente a su propio peso.

Suspendemos la cuerda flexible entre dos puntos situados a la misma altura sobre el eje de coordenadas X. La tensión de la cuerda en cada punto sigue la dirección de la tangente de su deformada. Obtenemos la ecuación de la catenaria planteando las ecuaciones de equilibrio. En primer lugar constatamos que el esfuerzo en dirección vertical es el mismo en cada punto de fijación y su magnitud es la mitad del peso de la cuerda.

Si estudiamos el equilibrio de un elemento , de longitud “s” a partir del punto central de la cuerda, podemos descomponer el peso del tramo de cuerda en sentido horizontal, siendo p su peso por unidad de longitud, y en sentido vertical conociendo el ángulo que forma la tangente a la cuerda con la horizontal en este punto.

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos:

Puesto que el valor de la derivada de la curva es el de la tangente. La derivada segunda será, sustituyendo ds por su valor en relación a dx y dy:

Si llamamos v a dy/dx, la expresión anterior es:

Integrando la ecuación, desde el punto medio x=a hasta x, teniendo en cuenta que para x=a , la tangente es horizontal y por tanto dy/dx=0

cuya inversa es:

Integrando de nuevo en el intervalo entre a y x cada uno de los términos, puesto que para x=a, y es igual a –h,

y el primer miembro es:

con lo que resulta la igualdad:

Sabemos que para x=0, y =0, por lo que:

Sustituyendo queda la ecuación:

La longitud del cable suspendido es:

Los números complejos

Al hablar de Gauss hemos introducido brevemente los números complejos. Vamos a continuación a desarrollar un poco más la teoría para introducir al lector en el estudio de esta materia.

Recomendamos el documento Análisis complejo de Juan Carlos Ponce Campuzano disponible en este enlace

Operaciones con números complejos

La generalización del álgebra a un nuevo tipo de números obliga a definir las operaciones, (Suma, multiplicación… ) de manera que sean compatibles con esas mismas operaciones definidas para los números conocidos hasta ahora, es decir, los números reales.

La suma de dos números complejos, $z_1= x_1+i\:y_1\: $ y $\:z_2 = x_2 +i y_2$ se define como:

Situados en un plano de ejes X e Y, los tres números $z_1 \:,\: z_2 \:y\: z_3$ forman con el origen de coordenadas un romboide siendo la diagonal del mismo la línea que une el origen con $z_3$. Vemos que si $z_1 \:y\: z_2$ son reales, $y_1=0 \:\:e\:\: y_2=0$ , y por tanto $z_1+z_2 = x_1+x_2$.

Definimos la multiplicación del siguiente modo,

que también es una operación válida para los números reales, resultando

$z_1\:z_2 = x_1 \cdot x_2$ , cuando $y_1=0 \:\:e \:\:y_2=0$.

Cuando operamos con números complejos sin componente imaginaria, $z_1= x_1+ 0\:i$, lo escribimos como $z_1= x_1$ . Del mismo modo cuando operamos con números imaginarios puros, $z_1= 0+i\:y_1 = i\:y_1 $. Cuando $y_1 =1$ tenemos la unidad imaginaria i. Si aplicamos las reglas de la multiplicación a la unidad imaginaria, $\small{z= 0+i}$ , para multiplicarla por si misma , obtenemos:

Hemos obtenido una definición de i sin tener que recurrir a la expresión con la que aparece por primera vez en la historia $\small{\sqrt{-1}}$ y que vulnera claramente las reglas de las operaciones con números reales y la sustituimos por $i^2=-1$ que es una expresión válida para números complejos. $\small{{(0+i)}^2= (-1+i\:0)}$.

Una manera alternativa de definir los números complejos es mediante coordenada polares, es decir, identificando cada punto del plano por su distancia al origen y el ángulo que forma la recta, que pasa por el punto y el origen de coordenadas, con el eje x. A la distancia se le llama módulo y al ángulo formado con el eje x argumento. En coordenadas polares podemos interpretar mejor la multiplicación de dos números complejos observando que el producto de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y de argumento la suma de los argumentos de los factores. También podemos ver que si sumamos 2π al argumento de un número complejo volvemos a obtener el mismo número, que ocupa en el plano de Gauss el mismo punto. Para z = a+i b,

Potencias y raíces de un número complejo

Con la notación en polares, hemos visto que de la multiplicación de un número complejo por otro resulta un número complejo, cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento la suma de los argumentos de los factores.

Para elevar un número complejo a una potencia n, podemos poner:

La operación inversa, la raíz n de un número complejo se obtiene análogamente.

Al ser k un número entero positivo existe infinitas raíces de un número complejo. De entre ellas, las n primeras, con argumento entre –π y +π.

Funciones de variable compleja

Si aceptamos como variable independiente de una función un número complejo, por el teorema general del álgebra sabemos que obtendremos como resultado otro número complejo, puesto que los números complejos son un conjunto de números cerrado. En consecuencia, podemos descomponer una función de variable compleja en dos funciones, una para la parte real y otra para la parte imaginaria. Normalmente se escribe, siendo z la variable compleja $\:\small{z=x+i \:y}$,

Es decir, la funciones “parte real” y “parte imaginaria” son funciones de dos variables independientes, por lo que para representarlas gráficamente debemos recurrir a dibujar cada una de ellas como una superficie en un espacio de tres dimensiones. A pesar de ello es difícil interpretar una función utilizando estas gráficas.

El problema de Basilea

Al hablar de la suma de series numéricas hemos explicado que en muchos casos la dificultad de su cálculo supone un verdadero desafío. La resolución por Euler del caso de la serie de los inversos de los cuadrados de los números naturales se aparta de la línea argumental de nuestro libro, pero la tratamos en este anexo porque es muy ilustrativa de la libertad con la que Euler maneja las series infinitas y también nos ilustra sobre la importancia de su obra.

El punto de partida es el desarrollo en serie de sen x :

Suponiendo que la función, desarrollada en serie, se comporta como un polinomio podemos establecer su igualdad con el producto de monomios (x-x_i), siendo x_i cada una de sus raíces. Puesto que sen n.π = 0 para todos los infinitos valores de n = ±1,±2,..., resulta un producto infinito.

Y efectuando el producto de los binomios dos a dos:

Dividiendo por x:

Haciendo x=0, resulta:   $\small{1\:=K (-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...}$

Si dividimos los dos términos de la igualdad anterior por esta última:

Igualando los coeficientes del termino en x².

Con lo que obtenemos un resultado en el que interviene inesperadamente π.

Esta serie, no puede interpretarse como un procedimiento para calcular el valor de π, porque hace falta un número muy grande de términos para obtener una buena aproximación.

La función Z de Riemann

Si la “fórmula más bella” nos ha descubierto un puente entre la exponencial y las funciones trigonométricas, el problema de Basilea también abre el camino a la conexión entre disciplinas matemáticas, desbordando el análisis para adentrase en la teoría de números. La actual teoría de los números primos se inicia con la igualdad demostrada por Euler que vincula un producto, en el que intervienen infinitos números primos (p), con la serie de las potencias (s>1) de los recíprocos de los números naturales (n). $$\small{\prod\frac{1}{1-p^s} ={\sum_{1}^∞}\:\frac{1}{n^s}}$$

Riemann avanzó una conjetura sobre las propiedades de la función $\zeta (s)$ cuya demostración se ha convertido en uno de los "siete problemas matemáticos del milenio" por los que la fundación "Clay Mathematics Institute" de Massachusetts ofrece un premio de un millon de dólares a quien lo resuelva. La hipótesis de Riemann continúa sin demostración hoy en día.

Una interpretación geométrica del problema de Basilea

En el canal Youtube “3 blue 1 Brown”, canal de divulgación con muchos videos interesantes, podemos encontrar ¿porqué esta Pi aquí? , donde se plantea una construcción que justifica geométricamente el resultado de Euler.

Indice de figuras

Capítulo 2 - Chispas de genialidad

   Figura 2.1 Cálculo de logaritmos en base 10

   Figura 2.2 Logaritmo del producto de dos números

   Figura 2.3 Cambio de base de logaritmos

   Figura 2.4 Resolución gráfica de ecuaciones de segundo grado

   Figura 2.5 Regla trazadora de Descartes

   Figura 2.6 Trazado de tangentes por el método del círculo

Capítulo 3 - Precursores del cálculo

   Figura 3.1 La tangente de Fermat

   Figura 3.2 Áreas bajo la hipérbola

   Figura 3.3 División larga de 1/1+x

   Figura 3.4 Serie de Mercator

   Figura 3.5 La fórmula de Cavalieri

   Figura 3.6 La primera representación gráfica de la función seno

Capítulo 4 - A hombros de gigantes

   Figura 4.1 Desarrollos en serie por la fórmula del binomio

   Figura 4.2 Multiplicación de series

   Figura 4.3 División de series

   Figura 4.4 Desarrollo del cálculo de π por Newton

   Figura 4.5 Cálculo de la fluxión de y=x³

   Figura 4.6 Interpretación geométrica de la derivada

   Figura 4.7 Cálculo de la distancia recorrida

   Figura 4.8 La función de áreas

   Figura 4.9 Teorema fundamental del Cálculo

   Figura 4.10 Interpretación de la integral definida

   Figura 4.11 Cálculo del área en el intervalo AB

   Figura 4.12 La fórmula de Simpson

Capítulo 5 - Las nuevas funciones

   Figura 5.1 La función logarítmica

   Figura 5.2 Grados sexagesimales y radianes

   Figura 5.3 Definición de arco coseno

   Figura 5.4 Cálculo de arco coseno

   Figura 5.5 Definición de arco seno

   Figura 5.6 Cálculo de arco seno

   Figura 5.7 La definición de las funciones hiperbólicas

   Figura 5.8 La derivada de la función seno

   Figura 5.9 Breve catálogo de funciones derivadas

   Figura 5.10 Derivación implícita

Capítulo 6 - Infinitos sumandos

   Figura 6.1 Sucesión de funciones

   Figura 6.2 Series de potencias

   Figura 6.3 Valor límite del término general de una serie

   Figura 6.4 Desarrollo en serie de 1/1+x2

   Figura 6.5 Desarrollo en serie de la función arco coseno

   Figura 6.6 Desarrollo en serie de la función arco seno

   Figura 6.7 Inversión de series

   Figura 6.8 Inversión de arco coseno

   Figura 6.9 Desarrollo de taylor de sen x

   Figura 6.10 Resto de Taylor de e^x

Capítulo 7 - La fórmula más bella

   Figura 7.1 La gráfica de la función exponencial y logarítmica

   Figura 7.2 Funciones de Euler

   Figura 7.3 Diferentes definiciones de e

   Figura 7.6 Derivada de las funciones logarítmica y exponencial

   Figura 7.7 Simetrías

   Figura 7.8 Simetrías hiperbólicas

Capítulo 8 - Euler no escribía sin sentido

   Figura 8.1 e^ix en el plano de Gauss

   Figura 8.2 i en las ecuaciones de la física

   Figura 8.3 La integral de Riemann

Capítulo 9 Anexo 1- Problemas resueltos de geometría analítica

   Figura 9.1 La tangente al folium de Descartes

   Figura 9.2 Ejemplos de cálculo de longitud de una curva

   Figura 9.3 Rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo

   Figura 9.4 El tonel de Kepler

   Figura 9.5 Ejemplos de evolutas

   Figura 9.6 Péndulo simple

   Figura 9.7 La catenaria

   Figura 9.8 Familias de catenarias

Capítulo 9 Anexo 2- Los números complejos

   Figura 9.9 Operaciones con números complejos

   Figura 9.10 Raíces de un número complejo

   Figura 9.11 Raíces complejas de la ecuación de tercer grado

   Figura 9.12 Representación 3D de una función de variable compleja

   Figura 9.13 Representación de e^z

Capítulo 9 Anexo 3- El problema de Basilea

   Figura 9.14 El producto de Euler y la función zeta

   Figura 9.15 Resolución gráfica del problema de Basilea

Bibliografía

Libros de Historia de las matemáticas

Libros de texto para consulta

Libros de texto para consulta en iCartesiLibri

Figuras Geogebra