Libro interactivo

Relaciones entre figuras
geométricas en el plano

Ángel Cabezudo Bueno
Red Educativa Digital Descartes

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021

Título de la obra:
RELACIONES ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO

Autor:
ÁNGEL CABEZUDO BUENO

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo del libro interactivo: julio 2022

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-20-2

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

PREFACIO

El presente material didáctico puede constituir un complemento al correspondiente de Geometría en el nivel educativo de 4º Curso de Educación Secundaria Obligatoria y bien podría ser incluido en una programación de aula para un Taller de Matemáticas.
Se han seleccionado dos partes diferenciadas: Algunas figuras relacionadas con la circunferencia y determinación de lugares geométricos.
El cuadro de Conceptos previos mostrado en la siguiente página es un resumen de figuras geométricas en el plano y algunas propiedades que el alumno debiera conocer antes de consultar esta unidad didáctica, lo que viene a indicar la cantidad de conceptos geométricos, en su mayor parte elementales, que se van a poder relacionar.
Las escenas de geometría construidas con DescartesJS posibilita al alumno observar las propiedades geométricas e interaccionar con los elementos representados lo que le permite reflexionar, analizar y experimentar más fácilmente una serie de cuestiones que se derivan de los siguientes temas:

• Construcción de las dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
• Construcción de la circunferencia que contiene a tres puntos dados
• Construcción de cuatro puntos concíclicos
• Propiedad del cuadrilátero inscrito a una circunferencia
• Propiedad del cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
• Lugar de puntos desde los que se ve un segmento bajo un mismo ángulo
• Lugar de un punto sobre un segmento que resbala apoyado en los lados de un ángulo recto

CONCEPTOS PREVIOS

	Distancia entre dos puntos. La recta es  más corta que cualquier otra línea que tenga los mismos extremos.
	Distancia de un punto a una recta. Menor longitud de los segmentos con origen en el punto y extremo en la recta: La tiene el segmento perpendicular.
	Ángulo. Vértice Lados Suma y resta de ángulos Producto y cociente de un ángulo por un número.
	Triángulos. Ángulos interiores y exteriores. La suma de los ángulos interiores vale 180º La suma de los ángulos exteriores suma 360º La medida  ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
	Mediatriz de un segmento. Recta perpendicular al segmento por el punto medio Cada punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado Circuncentro El Circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

CONCEPTOS PREVIOS

	Bisectriz de un ángulo. Recta que pasa por el vértice y lo divide en dos ángulos iguales Cada punto de la bisectriz está a la misma distancia de los lados del ángulo Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado Incentro El Incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo
	Mediana de un triángulo. Segmento cuyos extremos son un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un mismo punto llamado Baricentro. La distancia del baricentro al vértice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.
	Altura de un triángulo.. La altura de un triángulo es el menor segmento trazado desde un vértice al lado opuesto. La altura relativa a un lado es perpendicular a dicho lado trazada desde el vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado Ortocentro

CONCEPTOS PREVIOS

	Circunferencia. Arcos, cuerdas, ángulo central e inscrito, posición relativa de dos circunferencias. Cada punto de la circunferencia dista lo mismo del centro. Cualquier segmento que une un punto cualquiera con el centro mide lo mismo y se llama radio. A arcos iguales les corresponden ángulos centrales iguales. Un ángulo inscrito mide la mitad del central que abarca el mismo arco. Como consecuencia un ángulo inscrito que abarca media circunferencia es recto.
	Tangente a una circunferencia. Distancia de un punto a una circunferencia, recta tangente. La recta tangente a una circunferencia trazada por un punto exterior es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.
	Elipse. Lugar de puntos P tales que la suma de distancias a otros dos puntos fijos F y F' (focos) es constante. PF+PF´=2·OA. Una circunferencia es un caso particular de elipse, cuando F=F´= O. Entonces, OA= r y PF+PF´=2·r. Se dice que una circunferencia es una elipse de excentricidad cero ya que FF' = 0.

Relaciones métricas en la circunferencia

1.1 Tangente a una circunferencia por un punto exterior

DEBES DE SABER...

En este apartado vas a aprender a construir la tangente a una circunferencia desde un punto $P$ exterior.

OBSERVA LA SIGUIENTE ESCENA INTERACTIVA...

Se trata de dibujar la tangente a la circunferencia de centro $O$ y radio $r=3$ desde el punto $P(10,0)$

Hay dos soluciones: la recta $PA$ y la $PB$ simétricas respecto de la recta que une $P$ con $O$

El punto de contacto $A$ ha de ser el vértice de un ángulo recto cuyos lados, radio y tangente, pasan respectivamente por el centro $O$ y el punto $P$. Este ángulo abarca por tanto el diámetro $OP$ de la circunferencia de centro $C$ (punto medio de $OP$). Lo mismo podemos decir del punto de contacto $B$. Recordar la propiedad de los ángulos inscritos a una circunferencia que abarcan su diámetro (miden $90º$)

Bastará trazar la circunferencia de diámetro $OP$ y unir $P$ con las intersecciones de $A$ y $B$ que produce dicha circunferencia con la circunferencia dada.

EXPERIMENTA:

El punto $P$ es un control que puedes mover arrastrándolo con el ratón. También puedes cambiar su posición introduciendo sus coordenadas $(Px, Py)$ desde la ventana de parámetros.

La circunferencia a la que queremos trazar las tangentes, tiene centro $O(0,0)$ y radio $r$ que podemos cambiar introduciendo su valor desde la ventana de parámetros.

Sitúa el punto $P$ en $(8,-2)$ e introduce el valor del radio $r = 3.5$ de la circunferencia de centro $O(0,0)$. Observa que las tangentes a dicha circunferencia desde $P$ se trazan desde $P$ a los puntos de intersección que produce la circunferencia de diámetro $OP$ sobre la circunferencia dada.

Comprueba este hecho las veces que quieras cambiando el punto $P$ y el radio de la circunferencia de centro $O(0,0)$

1.2 Circunferencia que contiene a tres puntos dados

OBSERVAR...

1. Se construyen los segmentos $AB$ y $BC$
2. Se trazan las mediatrices $m$ y $n$ de $AB$ y $BC$ respectivamente.
3. El punto de corte $O$ de $m$ y $n$ cumple la propiedad de estar a la misma distancia de los tres puntos $A$, $B$ y $C$. $(Propiedad \space de \space la \space mediatriz)$.
4. El punto $O$ es el centro de la circunferencia y el radio $r = distancia \space OA = distancia \space OB = distancia \space OC$

EXPERIMENTA CON LA ESCENA INTERACTIVA:

Cambia los puntos A, B y C utilizando los controles (desplazando con el ratón) o introduciendo directamente las coordenadas (Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy) en la ventana de parámetros.

Experimenta poniendo A, B y C casi alineados. Utiliza si fuera preciso la escala, disminuyéndola para poder ver la escena. ¿Qué pasa con el centro de la circunferencia? ¿Cómo es la circunferencia? ¿Qué le pasa a las mediatrices m y n?

Mueve el punto C respecto de A y B hasta que queden alineados ¿Qué pasa con el centro de la circunferencia? ¿En qué se ha convertido la circunferencia?

1.3 Cuatro puntos concíclicos

1. Si los cuatro puntos fueran vértices de un rectángulo ¿Pertenecen a la misma circunferencia?.
   ¿Cómo se obtendría el centro? ¿Qué longitud tiene el radio?  
   - Traza las diagonales. Estas se cortan en el punto medio.
   - Como las diagonales son iguales, el punto medio de ambas es común y equidistan de los cuatros vértices.
   - Por tanto éstos son concíclicos.
2. Si los cuatro puntos fueran vértices de un paralelogramo no rectángulo,
   ¿Pueden pertenecer a una circunferencia?  No. Si trazamos las mediatrices de dos lados paralelos (opuestos) estás no se cortan, por tanto no existe centro de la circunferencia que contenga a los cuatro puntos
3. Si te dan cuatro puntos cualesquiera en el plano,
   ¿Cómo harías, con los conocimientos previos, para saber si están en una misma circunferencia? 
   Trazamos el cuadrilátero y las dos diagonales. Si los cuatro vértices son concíclicos, las dos mediatrices trazadas sobre las diagonales tienen que cortarse en el centro de la circunferencia.

EXPERIMENTA CON LA ESCENA INTERACTIVA:

Se consideran cuatro puntos en el plano $A$, $B$, $C$ y $D$.

$A$ y $B$ determinan una recta $m$ con pendiente $p_m$

$C$ y $D$ determinan otra recta $n$ con pendiente $p_n$

En este caso resulta evidente que $PA$x$PB$ = $PC$x$PD$

Cambia la posición del punto $A$, por ejemplo, y advierte que $QA$ = $QB$ ≠ $QC$ = $QD$, por lo que los cuatro puntos no están en la circunferencia de centro $Q$, a la vez que $PA$x$PB$ ≠ $PC$x$PD$

• Empecemos por reiniciar la escena (botón inicio) para que el radio tome el valor 0 y la circunferencia se oculte.
• Posicionemos $A$ en $Ax=4,0$, $B$ en $Bx=5,5$. Observa como los cuatro puntos no están todos equidistantes de $Q$ (intersección de las mediatrices de los segmentos $AB$ y $CB$) donde debe estar el centro de la circunferencia.
• Posicionemos $C$ en $Cx=2,5$ y $D$ en $Dx=8.8$
• Ahora, nuevamente, se cumple la igualdad "mágica" $PA$x$PB=PC$x$PD=23,98$
• Este producto no es el mismo que en el ejemplo inicial, pues las distancias $PA$, $PB$, $PC$ y $PD$ han cambiado.
• Las distancias de los cuatro puntos al punto $Q$ son todas iguales $QA=QB=QC=QD=3,29$
• Visualiza la circunferencia (menú ver) para comprobar el resultado entrando el valor $r = 3,29$ en la ventana de parámetros.

• Asigna $A_x$ = $2$ y $B_x$ = $6$ con pendiente  $p_m$=$0,6$  y   $C_x$=$3$  con pendiente  $p_n$=$-0,4$.
  ¿Qué valor hay que dar a  $D_x$  para que  $A$, $B$, $C$ y $D$ sean concíclicos? ¿Cuál es el centro? Escribe el valor del radio y dibuja la circunferencia.

Si el punto es interior las distancias $PA$ y $PB$ son de signos opuestos (pues para ir de $P$ a $A$ se hace en sentido contrario sobre la recta al que se hace para ir de $P$ a $B$. Por tanto si el $P$ punto es exterior a la recta, tiene potencia positiva y si es interior tiene potencia negativa.

Un punto $P$ que esté sobre la circunferencia tendrá potencia 0. ¿Por qué?   Al trazar desde $P$ el segmento que corta a la circunferencia, los puntos de corte son el propio punto $P$ y el punto $B$, extremos de una cuerda.
La potencia de $P$ es
$PP$x$PB$=$0$x$PB$=$0$

EXPERIMENTA CON LA SIGUIENTE ESCENA

Observaciones: Se pueden modificar desde la ventana de parámetros, los siguientes:

• Radio $r$ de la circunferencia respecto de la que se calcula la potencia del punto $P$
• Coordenada del centro $C(Cx,Cy)$
• $lugC$, es el radio de valor $PC$ de la circunferencia de centro $P$. Introduce el valor $5,10$ en la ventana del parámetro $lugC$, verás el lugar de centros $C$ con radio $5,10$. Después de visto pulsa inicio.
• $lugP$, es el radio de valor $PC$ de la circunferencia de centro $C$. Introduce el valor $5,10$ en la ventana del parámetro $lugP$, verás el lugar de puntos $P$ con radio $5,10$. Después de visto pulsa inicio.
• $lugT$, es el radio de valor $PT$ de la circunferencia de centro $P$. Introduce el valor $4,69$ en la ventana del parámetro $lugT$, verás el lugar de puntos $T$ con radio $4,69$. Después de visto pulsa inicio.

Estas observaciones te permitirán contestar algunas preguntas.

PIENSA...

Reflexiona sobre las siguientes cuestiones, experimenta en la anterior o en la siguiente escena DESCARTES y trata de dar respuesta.

4. Si trazamos una recta desde $P$ que pase por el centro $C$ de la circunferencia ¿Cuáles son los puntos de corte? ¿Cómo podemos expresar, en este caso la potencia de $P$ respecto de la circunferencia?  
   Los puntos de corte son $E$ y $F$ diametralmente opuestos. La potencia será $PE$x$PF$.
5. Si la recta trazada desde $P$ es tangente a la circunferencia entonces hay un solo punto $T$ de corte (punto de tangencia). ¿ Se cumple que $PT$ x $PT$ = $PT^2$ es la potencia de $P$ respecto de la circunferencia?  
   Efectivamente se puede comprobar que la potencia de $P$ respecto de la circunferencia de centro $C$ y radio $r$ es el cuadrado de la distancia $PT$. Pues si regresas al concepto de potencia, página 21, la potencia es $PA$x$PB$ donde $A$ y $B$ son los puntos de corte con la circunferencia de la recta secante trazada desde $P$. La tangente a la circunferencia trazada desde $P$ se puede considerar como un caso límite en el que los dos puntos de corte $A$ y $B$ coinciden $PA$=$PB$=$PT$.
6. Dado un punto $P$ exterior a una circunferencia, su potencia podrá ser p.e. $22$. ¿Existirán otras circunferencias con el mismo radio $r$ respecto de las cuales $P$ tenga la misma potencia $22$?  
   Dibuja la circunferencia de centro $P$ y radio $PC$ (introduce $lugC$=$PC$). Comprueba que las circunferencias de radio $r$ que tengan su centro sobre aquella cumplen la condición.
7. ¿Cuál es el lugar de centros de todas las circunferencias de igual radio que tiene la misma potencia para $P$?  
   Dibuja la circunferencia de radio $PC$ y centro $P$ (introducir $lugC$=$PC$), si mueves el centro de $C$ sobre dicha circunferencia comprobarás que la potencia respecto de $P$ es la misma que antes.
8. ¿Habrá circunferencias con distinto radio y con la misma potencia de $P$ respecto de ellas?  
   Dibuja la circunferencia de radio $PT$ y centro $P$ (introducir $lugT$=$PT$), cambia el radio $r$ (por ejemplo $r$=$3$), cambia la posición del centro $C$ hasta conseguir que la distancia $PT$ valga lo mismo que valía antes ($lugT$).
9. ¿A qué distancia de $P$ se encuentran los centros de todas las circunferencias de radio $2$ con potencia $30$?  
   Cambia las posición del centro $C$, modificando sus coordenadas, hasta conseguir que la potencia valga $30$ y lee el valor de la distancia $PC$.
10. Llamamos $d$ a la distancia del punto $P$ al centro de la circunferencia ($PC$ = $d$), siendo $r$ el radio. Demuestra que, si el punto $P$ es exterior, la potencia se puede expresar por $d^2-r^2$.  
    Efectivamente, siendo $PE$=$d+r$ y $PF$ = $d-r$, se cumple que la potencia de $P$ respecto de la circunferencia es $PE$x$PF$=$(d+r)(d-r)$=$d^2-r^2$.

11. ¿Existen distintos puntos que tengan la misma potencia respecto de la circunferencia de radio $r$ y centro $C$?  
    Dibuja la circunferencia de centro $C$ y radio $PC$ (introduce $lugP$=$PC$). Es evidente que cualquier punto de este lugar dista del centro $C$ lo mismo $PC$=$d$, así pues tendrán la misma potencia respecto de la circunferencia de centro $C$ y radio $r$; es decir el mismo valor de la expresión $(d+r)(d-r)$=$d^2-r^2$

1.4 Cuadrilátero inscrito

DEFINICIÓN: Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

REFLEXIONA...

Si un cuadrilátero es inscriptible sus vértices cumplirán la propiedad de los cuatro puntos concíclicos entonces trazando las diagonales $AC$ y $BD$ estás se cortarán en un punto $P$ interior. Las diagonales representan dos rectas secantes que pasan por $P$ y la potencia de $P$ respecto de la circunferencia es $PA$ x $PC$ = $PB$ x $PD$

1. ¿Cómo averiguar si un cuadrilátero es inscriptible?  
   Se trazan las diagonales y se obtiene el punto de corte $P$. Se calculan los productos $PA$ x $PC$ y $PB$ x $PD$. Si estos productos son iguales, el cuadrilátero es inscriptible.
2. ¿Si es inscriptible, como determinar la circunferencia ? 
   Se trazan las mediatrices de dos lados, p.e. $AB$ y $BC$. El corte equidista de $A$, $B$ y $C$ y es el radio de la circunferencia buscada. El punto $D$ también estará en la circunferencia, pues el cuadrilátero es inscriptible.

DESCUBRIENDO OTRA PROPIEDAD DEL CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE...

Esta propiedad tiene que ver con la relación existente entre un ángulo inscrito en una circunferencia y el central correspondiente.   Un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del central que abarca el mismo arco.

EXPERIMENTA CON LA ESCENA SIGUIENTE...

Podrás experimentar que cuando un cuadrilátero es inscriptible los ángulos opuestos son suplementarios.

Los ángulos A y C son opuestos y su suma A + C = 180º. Posiciona los puntos donde quiera que sea, son controles que podrás pinchar y arrastrar con el ratón sobre la circunferencia y comprueba que la relación entre ángulos apuestos es la dicha antes.

¿Tiene esto que ver con el hecho de que el central correspondiente a un ángulo inscrito mide el doble que éste?

Observa la escena en las condiciones iniciales.

• ¿Cuánto mide el central correspondiente a $A$? ¿Cuánto medirá el central correspondiente a $C$?
• ¿Cuánto suman los centrales correspondientes a $A$ y a $C$?
• Cambia la posición de los puntos y responde a las preguntas anteriores.
• ¿Explica esto la propiedad anunciada?

3. Toma tu cuaderno y trata de demostrar esta propiedad.  
   La recta $BD$ divide al plano en dos semiplanos.
   Los dos arcos de circunferencia $BD$ sobre distinto semiplano completan la circunferencia es decir suman $360º$.
   Los vértices $A$ y $C$ están en distinto semiplano respecto de la recta $BD$. Así el ángulo inscrito $A$ medirá la mitad del arco $BD$ del semiplano opuesto (medida del central correspondiente) y lo mismo podemos decir del ángulo inscrito $C$.
   Por tanto la suma de los ángulos $A+C$ es la mitad de $360º$.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera, inscriptible o no, suman $360º$

4. ¿Sabes por qué?  
   Cualquier cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos, trazando una diagonal. Como cada triángulo suma $180º$ el cuadrilátero suma $360º$.

Inicialmente el cuadrilátero no es inscriptible. Observa que la suma de los ángulos $B+D$ no es $180º$.

Se han trazado las mediatrices a los lados $AB$ y $BC$. Y el corte $O$ de ambas tendrá que ser el centro de la circunferencia. Se cumple que $OA = OB = OC = r$ pero $OD$ no mide los mismo por tanto los cuadro vértices no son concíclicos y el cuadrilátero no queda inscrito.

Si quieres ver la circunferencia donde deben estar situados los cuatro vértices escribe en la ventana de parámetros el valor que debe tener el radio $(r = 4.69)$.

Si desplazas el punto $D$ hasta colocarlo en la circunferencia entonces $B + D = 180º$.

Puedes para ello desplazarlo con el ratón o modificar las coordenadas del punto $(Dx,Dy)$ desde la ventana de parámetros.

Es evidente que la posición del vértice $D$ puede ser cualquiera del arco $AC$.

REFLEXIONA...

Un cuadrilátero rectángulo ¿es siempre inscriptible?

Prueba a formar un rectángulo (cuatro lados paralelos dos a dos), por ejemplo haciendo $AB=CD=6$ y horizontales y $AD=BC=4$ verticales, para facilitar la construcción. ¿Qué pasa con la suma $B+D$? Dibuja otro rectángulo y hazte la misma pregunta.

5. Toma tu cuaderno, dibuja un rectángulo y trata de demostrar que es inscriptible.  
   Dibuja las diagonales $AC$ y $BD$, estas son iguales y se cortan en el punto medio. Por tanto este punto equidista de los vértices y será el centro de la circunferencia buscada.

1.5 Cuadrilátero circunscrito

DEFINICIÓN: Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

Vamos a descubrir la propiedad que caracteriza a un cuadrilátero circunscribible, pues no todo cuadrilátero lo es.

Ahora hay que fijarse en que los lados $AD$ y $AB$ son tangentes trazadas desde el punto $A$ a la circunferencia y los lados $CB$ y $CD$ son tangentes trazadas desde $C$.

¿Recuerdas qué decíamos en la $página \space 15$ de las rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto exterior ella? ¿Cómo son las longitudes de los segmentos limitados entre $A$ y los puntos de tangencia? ¿Y las longitudes de los segmentos limitados entre $C$ y los puntos de tangencia?   Los segmentos limitados entre un punto $P$ exterior a una circunferencia y los puntos de tangencia tienen la misma longitud pues son simétricos respecto de la recta que contiene a $P$ y al centro $O$ de la circunferencia.

EXPERIMENTA CON LA ESCENA SIGUIENTE...

• En la figura inicial de la escena se ha dibujado un cuadrilátero que no es circunscribible.
• Se han dibujado las bisectrices de los ángulos en ∡$A$ y ∡$B$. Su punto de corte $O$ deberá ser el centro de la circunferencia sobre la que debiera estar circunscrito el cuadrilátero.¹
• El valor del radio de esta circunferencia es ², para este caso, $3,01$. Y si quieres verla basta que introduzcas este valor en la ventana del parámetro $radio$ y terminar pulsando $\hookleftarrow (Intro)$.

• Se comprueba que el cuadrilátero no queda circunscrito a la circunferencia.
• Comprueba además que la suma de los lados opuestos no es la misma, es decir $AB + CD$ no es igual a $BC + DA$.

DESCUBRIR LA PROPIEDAD

• Ahora vas a cambiar las longitudes de los lados hasta conseguir que la suma $AB + CD$ sea igual a $BC + DA$. Para ello desplaza los controles colocados en los vértices hasta que lo consigas.³ En ese momento observa el valor que tiene el radio y dibuja la circunferencia, como lo hiciste antes: introduce este valor en la ventana del parámetro $radio$.

• Comprobarás que el cuadrilátero ha quedado circunscrito a la circunferencia es decir has obtenido un cuadrilátero circunscribible.
• Repite el ejercicio, variando las longitudes de los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ y asegúrate que cuando el cuadrilátero es circunscribible, se cumple $AB + CD = BC + DA$.

REFLEXIONA:

Has comprobado que cuando la suma de los lados opuestos vale lo mismo el cuadrilátero se puede circunscribir en una circunferencia.

Cumplida la propiedad, el centro de la circunferencia es la intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del cuadrilátero.

6. Ahora supón que un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia y trata de demostrar que la suma de los lados opuestos vale lo mismo.  
   Los puntos de tangencia dividen a cada lado en dos segmentos, siendo iguales aquellos que concurren en un mismo vértice ⁴.
   Tenemos que:
   AB = m + n, BC = n + q,
   CD = p + q, DA = p + m .
   Por tanto:
   AB + CD = (m + n) + (p + q) =
   m + n + p + q ;
   BC + DA = (n + q) + (p + m) =
   m + n + p + q

Lugares geométricos

2.1 Lugar de un punto sobre un segmento que resbala apoyado en los lados de un ángulo recto

Vamos a presentar una situación real, después hacemos una interpretación geométrica ideal y resolvemos el problema matemáticamente.

Una escalera está situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en la pared, se desliza hacia abajo. ¿Por qué línea se mueve el gatito sentado en el centro de la escalera?

Vista la escena de perfil, un tanto idealizada, tenemos un segmento (la escalera), los apoyos en la pared $A$ y en el suelo $B$ y la situación del gatito $G$.

Trata de ver la solución e imagina la sucesión de puntos que ocupa $G$ cuando la escalera se desliza (el punto $A$ baja verticalmente y el punto $B$ se desplaza horizontalmente hacia la derecha) ¿Qué trayectoria recorre $G$?

¡A ver si has acertado!

EXPERIMENTA CON LA SIGUIENTE ESCENA

• El punto $B$ es un control gráfico que permite hacer desplazamientos horizontales del mismo arrastrándolo con el puntero del ratón o variando la coordenada $B.x$ con el correspondiente pulsador.
• El parámetro $k$ es la razón en que el punto $G$, objeto del estudio, divide al segmento $AB$: $k =\frac{BG}{GA}$. En nuestro caso, inicialmente toma valor $k=1$, puesto que al ser $G$ el punto medio de $AB$ se cumple que $AG = GB$.
• Más adelante cambiando el valor de $k$, analizaremos otros lugares del punto $G$ cuando el segmento $AB$ desliza.
• El ángulo recto lo hacemos coincidir con el primer cuadrante del plano cartesiano donde $x\ge0$, $y\ge0$
• El segmento $AB$ tiene longitud $10$.

REFLEXIONA...

En condiciones iniciales de la escena, desplaza el control $B$, comprobarás que el lugar del punto $G$ es un cuadrante de circunferencia de radio $OG$.

1. ¿Cómo podemos explicar esto geométricamente? Intenta dar una explicación observando la escena.
   Finalmente consulta la solución.  
   Para demostrar que el punto $G$ describe un arco de circunferencia basta probar que la distancia de $G$ al origen $O$ es constante (radio de la circunferencia).
   Empecemos por observar que el punto $G$ es el punto medio del segmento $AB$ y $AB$ representa una diagonal del rectángulo $AOBP$. La otra diagonal del rectángulo es $OP$. Como es propiedad de las diagonales de un rectángulo que se cortan en su punto medio, resulta que $OG = GP = AG = GB = d/2$, donde $d$ es la longitud del segmento dado $AB$.
   Con lo que queda probado que la distancia $OG$ es constante y vale $d/2$.
2. Observa en la escena anterior que las coordenadas del punto $G$, $x = ON$ e $y = OM$, son respectivamente la mitad de las distancias del origen $O$ a los puntos de apoyo $B$ y $A$, es decir $x = OB/2$ e $y = OA/2$. Intenta dar una explicación. Y finalmente consulta la solución.  
   El triángulo $OGB$ es isósceles puesto que, por lo visto en el problema anterior, $OG = GB =d/2$. Por tanto la altura $GN$, es también mediana y el punto $N$ es punto medio del segmento $OB$. Queda probado que $x=ON$ es la mitad de $OB$.
   Análogamente, observando que el triángulo $OGA$ es isósceles, se demuestra que $y=OM$ es la mitad de $OA$.

Modifiquemos las condiciones iniciales del problema de la escalera y supongamos que el gatito no está sentado en medio de la escalera. Desde el punto de vista geométrico diremos que, ahora, la razón $k =\frac{BG}{GA}$ no es 1, por ejemplo que $BG = \frac{GA}{2}$, es decir $k = 0.5$.

Un enunciado más general del problema es siguiente:

• Volver a la escena anterior y pulsar $inicio$
• Cambiar $k= 0,5$. Situar el punto de apoyo $B$ próximo a la pared, p.e $B.x=0,3$.
• Pulsar $animar$ para simular que la escalera resbala y ver el lugar del punto $G$. Pulsar $dibujar$.

1. El lugar del punto $G$ cuando el segmento $AB$ resbala no es una trayectoria circular.
2. La distancia $OG$ no se mantiene constante a lo largo de la trayectoria.
3. Las coordenadas del punto $G$ no valen la mitad de $OB$ y $OA$ respectivamente ($x$ distinto de $\frac{OB}{2}$ e $y$ distinto de $\frac{OA}{2}$)
4. El punto $G$ no es el corte de las diagonales del rectángulo $AOBP$.

¡Habrás observado la forma elíptica del lugar de puntos $G$!

Demostremos esta afirmación:

Si el segmento $AB$ está inclinado un ángulo $\beta$ respecto al eje $OB$, entonces $$\tag{1}\displaystyle\frac{y}{b}=sen(\beta)$$ $$\tag{2}\displaystyle\frac{x}{a}=cos(\beta)$$ elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro $(1)$ y $(2)$ $$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=sen^2(\beta)+cos^2(\beta)$$ y consecuentemente la ecuación de la trayectoria resulta ser la elipse, centrada en el origen, de semiejes $a$ y $b$. $$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

• Deslizando hacia la izquierda el punto $B$, lleva el segmento $AB$ a la posición vertical, observa la posición que ocupa el punto $G$. Este punto $(0,b)$ está en el eje de ordenadas a la altura más alta posible.
• Desliza hacia la derecha el punto $B$, lleva el segmento AB a la posición horizontal, observa la posición que ocupa el punto $G$. Este punto $(a,0)$ está en el eje de abscisas y ocupa la posición horizontal más alejada posible.

Observa esta circunstancia en la figura adjunta, donde se representa una elipse centrada en el origen de semiejes a y b.

• Volver a la escena anterior.
• Cambiar $K = 2$. Observar la nueva trayectoria.

Comprueba que el lugar geométrico es una elipse pero ahora el semieje $a$ es menor que el semieje $b$

Se seguirá cumpliendo que $$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Para concluir proponemos las siguientes
CUESTIONES:

3. En realidad la ecuación de la elipse es válida incluso cuando los semiejes sean iguales $a = b$. Cuando esto ocurre hemos visto que el lugar es una circunferencia, centrada en el origen, de radio $r = a = b$.
   Demuestra que la ecuación de la circunferencia es  
   Sustituyendo en la ecuación de la elipse a y b por r se obtiene $$\displaystyle\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$$ $${x^2}+{y^2}={r^2}$$ como queríamos demostrar.
   $$x^2 + y^2 = r^2$$
   A este resultado se llega observando la relación que existe entre las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferencia y el radio de la misma.  

   En la figura adjunta se observa la formación del triángulo rectángulo, de catetos $x$ e $y$ e hipotenusa $r$.
   Aplicando el Teorema de Pitágoras se cumplirá $$x^2 + y^2 = r^2$$ que representa la ecuación de la circunferencia centrada en el origen y radio $r$.

   

4. Una tablón de longitud 10 metros está apoyado sobre una pared y un suelo liso y perpendicular a la pared. El punto de apoyo en el suelo dista de la pared 9 metro.
   Una persona sube por el tablón. Calcula la altura a la que se encuentra dicha persona cuando:
   
   
   1. Ha andado $3 \space metros$
   2. Ha andado $5 \space metros$
   3. Ha recorrido todo el tablón
   
   Observa la escena, al ser la longitud del segmento $AB=10$, éste puede asimilarse al tablón del problema. Toma nota del resultado y trata de resolver el problema en tu cuaderno aplicando los conocimientos matemáticos  
   Utilizando la escena, deslizar el punto $B$ hasta leer el valor $OB = 9$. Pulsar $limpiar$.

   1. Cuando ha andado $3 \space m$, la razón $k = 3/7 = 0.43$. Introduzcamos este valor en $k$.
      Leeremos que la altura del punto es $y=1.31$.
      Solución: altura $1.31 \space m$
   2. Cuando ha andado $5 \space m$, está a mitad del recorrido total, la razón
      $k=5/5=1$.
      Introducimos este valor. Leemos que la altura del punto es $y=2.18$. Solución: altura $2.18 \space m$
   3. Cuando ha recorrido todo el tablón alcanza la altura máxima, para $OB= 9 \space m$ podemos leer que
      $OA = 4.36$
      Solución: $4.36 \space m$

2.2 Arco capaz

2.2.1 ¡Un lugar geométrico interesante!

En la figura vemos a unos futbolistas en posición de lanzar el balón contra la portería. El ángulo de tiro es el formado por el píe del jugador (vértice) y las trayectorias a los postes (lados).
¿Qué posiciones deberán ocupar los jugadores para que todos tengan el mismo ángulo de tiro?

El problema consiste en averiguar el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el ancho de la portería con el mismo ángulo.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

Supongamos que el ángulo de tiro es de $35º$ y que la portería se interpreta como un segmento $PQ$. Vamos a construir el arco de circunferencia.

OBSERVEMOS LA ESCENA SIGUIENTE:

1. Muestra $arco=1$. Se dan el segmento $PQ = 4$ y el ángulo en $A$ de $35º$.
2. Por el extremo $P$ se traza el ángulo semiinscrito $QPT = 35º$.
3. Por ser $PQ$ una cuerda, el centro de la circunferencia está en la mediatriz de $PQ$. Por eso se ha trazado dicha mediatriz.
4. Por ser $PT$ tangente a la circunferencia con centro en $C$, el centro está en la perpendicular a $PT$ trazada por $P$. Por ello se ha trazado dicha perpendicular.
5. El centro de la circunferencia es la intersección $C$ de estas rectas.

6. Con radio $PC$ se traza la circunferencia.
7. El lugar geométrico es el arco mayor, llamado arco capaz.
8. Mostrar $arco=0$. Obsérvese que la circunferencia simétrica de centro $C´$ también contiene otro arco capaz desde el que se ve el segmento $PQ$ bajo un ángulo de $35º$.
9. Con $arco=0$, desplazar el punto A por todo el lugar geométrico que representan los dos arcos mayores en las circunferencias simétricas.

EXPERIMENTEMOS CON LA ESCENA...

• El punto $A$, es un control que puedes desplazar pinchando y arrastrando con el puntero del ratón. Éste se desplaza por el arco capaz de cada una de las dos circunferencias simétricas. Comprobar como el ángulo con vértice en $A$ no cambia de valor a lo largo del recorrido.

• Si cambiamos los parámetros, $ángulo$ $\angle A$ ó $cuerda$ $PQ$, el lugar geométrico cambia también.
• La escena te permite conocer:
  
  $\textcolor{#008595}\bullet\space$El Centro $C$ de la circunferencia, referido al origen $(0,0)$ situado en el centro de la cuerda $PQ$. El centro $C'$ de la otra circunferencia es simétrico respecto de $PQ$ (ver con $arco=0$ o $arco=2$)
  
  $\textcolor{#008595}\bullet\space$El radio de las circunferencias $PC = PC´$
  
  $\textcolor{#008595}\bullet\space$La longitud de cada uno de los arcos capaces.

Tener en cuenta esta información para resolver los siguientes

2.2.2 Definición de arco capaz. Ángulos en la circunferencia

El arco capaz resulta muy útil para resolver numerosos problemas de geometría plana. En el siguiente vídeo se define arco capaz, se observa su construcción y se justifica demostrando la relación que existe con el ángulo inscrito y semiinstcrito en una circunferencia.

ARCO CAPAZ MAYOR, IGUAL O MENOR QUE UN SEMICÍRCULO

Consultar la escena de la página siguiente, mostrar $arco=1$, aumentar de escala, si fuera el caso, para ver mejor y verificar que para cualquier segmento $PQ$:

• El arco capaz desde el que se ve el segmento $PQ$ con un ángulo de $90º$ es una semicírcunferencia.

• El arco capaz desde el que se ve el segmento $PQ$ con un ángulo menor de $90º$ es mayor que una semicírcunferencia. Por ejemplo $\angle A=45º$
• El arco capaz desde el que se ve el segmento $PQ$ con un ángulo mayor de $90º$ es menor que una semicírcunferencia. Por ejemplo $\angle A=120º$

• Cuando el $\angle A$ es $90º$ los centros de los dos arcos coinciden en el punto medio del segmento $PQ$ y éste ahora es el diámetro de la circunferencia que forman los dos arcos.
• El centro del $arco 1$ queda por encima del segmento $PQ$ cuando $\angle A$ es menor de $90º$ y por debajo cuando es mayor de $90º$

2.2.3 Resolución de problemas con el arco capaz

Vamos a enunciar seis problemas que se van a poder resolver aplicando el arco capaz.

Para cada enunciado se podrá ver la solución en su correspondiente vídeo. No obstante sería muy conveniente que el estudiante intentara previamente resolverlo utilizando las herramientas de dibujo necesarias o al menos haciendo un esquema, es decir exponiendo la solución en sus líneas generales con papel y lápiz.

El $problema \space de \space Pothenot$, de los tres puntos, también se conoce como el $problema \space de \space la \space carta \space marítima$ por su aplicación en náutica. Un enunciado práctico podría ser este:

El patrón de un barco situado en una bahía observa la costa y ve la torre de la iglesia y el cabo con un ángulo de $45º$ y dicha torre y la antena de la emisora con otro de $60º$ ⁵. Hallar la situación del barco en la bahía.

Una vez resuelto, el patrón del barco podrá situar su barco en la carta náutica y conocer su posición geográfica.