Os números complexos
María José García Cebrian Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Os números complexos







María José García Cebrian
Rede Educativa Digital Descartes, Espanha


Tradução para o portugues: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Fundo Editorial



Córdoba (España)
2023

Título da obra:
Os números complexos


Autora:
María José García Cebrian

Tradução:
Lindberg Barbosa Lira de Almeida



Design da capa: Diana María Velásquez García
Código JavaScript para o livro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interativos: DescartesJS
Fonte: Lato
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo do livro interativo: julho 2022


Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-68-4

Este trabalho está sob licença Creative Commons 4.0 internacional: Atribuição-NãoComercial-Compartilhamento Igual. Todos os objetos interativos e os conteúdos desta obra coletiva são protegidos pela Lei de Propriedade Intelectual.

Tabela de conteúdo





Introdução

Os Números complexos foram introduzidos para dar sentido à raiz quadrada de números negativos. Desta forma, equações como $x^2 + 1 = 0$ passam a poder ser resolvidas e abre-se então, a partir daí, uma porta para um mundo incrível no qual todas as operações (exceto a divisão por $0$) são possíveis.

Aqui os conteúdos são abordados a nível do Bacharelado em Ciências espanhol, mas pode ser válido para qualquer aluno que queira mergulhar no estudo desses fascinantes números.

No vídeo a seguirCapítulo 5 do vídeo "DIMENSÕES, um passeio pela matemática", www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm podes ver uma interessante introdução aos números complexos e suas aplicações.

Capítulo I

A forma algébrica

Por que números complexos?

As soluçõesCom base em uma página da unidade Números Complexos de Ángela Núñez Castaín para Red Educativa Digital Descartes. da equação $ax^2+bx+c=0$ são os pontos de interseção da função $y=ax^2+bx+c$ com o eixo das abscisas.

Um pouco de históriaDa Wikipedia pt.wikipedia.org/wiki/Número_complexo.

Embora a primeira referência conhecida a raízes quadradas de números negativos venha de matemáticos gregos, foi somente no século XVI que Girolamo Cardano propôs esses números. Mais tarde, Descartes, em 1637, deu-lhes o nome de imaginários.

Foi Wessel em 1799 e Argand em 1806, com a proposta do plano complexo, quem lançou as bases dos números complexos, até que, finalmente, Gauss (1777-1855) lhes deu um nome e os definiu rigorosamente.

Parte real e parte imaginária

Se considerarmos a unidade imaginária $i=\sqrt{-1}$ e representá-la no ponto $(0,1)$ do plano, podemos localizar os números $2i, 3i, ..., -i$ da mesma forma , $-2i$, ... no eixo vertical, ou seja, os números $bi$ que chamaremos de imaginários. Então qualquer ponto no plano $(a, b)$, com $a$ e $b$ números reais, pode ser escrito como $(a, 0) + (0, b)$, isto é como a soma de a número real e um número imaginário.

  • Os números complexos são da forma $a + bi$, onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária. Cada número complexo $z$ pode ser representado no plano pelo ponto $Z(a, b)$ chamado afixo ou pelo vetor $OZ$.
  • Dois números complexos são iguais se as partes reais e as partes imaginárias forem respectivamente iguais em ambos.

Para praticar

Operações com complexos: adição e subtração

Números complexos podem ser adicionados ou subtraídos seguindo as regras de operações com números reais.

  • Para somar dois números complexos soma-se as partes reais e as partes imaginárias, respectivamente. Assim, dados $z_1 = a_1 + b_1 i$ e $z_2 = a_2 + b_2 i$, sua soma é:
    • $$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$
  • Tal como acontece com os números reais, para subtrair dois complexos, o oposto do subtraendo deve ser adicionado ao minuendo.

Para praticar

Operações com complexos: multiplicação e divisão

Os números complexos podem ser multiplicados seguindo as regras da operações com números reais e levando em conta que $i · i = i^2 = -1$

$$\begin{align*} z_1 · z_2 &= (a_1 + b_1 i) · (a_2 + b_2 i) \\ &= a_1 · a_2 + a_1 · b_2 i + b_1 · a_2 i + b_1 · b_2 i^2 \\ &= (a_1 · a_2 - b_1 · b_2) + (a_1 · b_2 + b_1 · a_2)i \end{align*}$$
Capítulo II

A forma trigonométrica

Módulo e argumento de um número complexo

Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica

A relação entre a forma trigonométrica de dois números complexos e a de seu produto e quociente permite-nos multiplicar e dividir com muita facilidade.

Se expressarmos os complexos na forma trigonométrica e operarmos:

$$r_α = r(cos \; α + i sen \; α) \;\;\;\;\;\;\;\; r'_β = r'(cos \; β + i sen \; β)$$

O produto:

$$ r(cos \; α + i sen \; α) \cdot r'(cos \; β + i sen \; β) = \\ r \cdot r' \cdot [(cos \; α \cdot cos \; β - sen \; α \cdot sen \; β) + (cos \; α \cdot sen \; β + sen \; α \cdot cos \; β)i] = \\ r \cdot r' \cdot (cos(α+β) + i sen(α+β)) $$

Observamos que o módulo do número complexo resultante é o produto dos módulos dos fatores e o argumento a soma dos argumentos.

O quociente:

$$ \frac{r(cos \; α + i sen \; α)}{r'(cos \; β + i sen \; β)} = \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α + i sen \; α) \cdot (cos \; β - i sen \; β)}{(cos \; β + i sen \; β) \cdot (cos \; β - i sen \; β)} = \\ \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α \cdot cos \; β + sen \; α \cdot cos \; β) + (sen \; α \cdot cos \; β - cos \; α \cdot sen \; β)i}{cos^2 \; α + sen^2 \; β} = \\ \frac{r}{r'} \cdot (cos(α-β) + i sen(α-β)) $$

E o resultado do quociente é um número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos e o argumento a diferença dos argumentos..

$r_α \cdot r'_β = (r \cdot r')_{α+β}$

$\dfrac{r_α}{r'_β} = \left(\dfrac{r}{r'}\right)_{α+β}$


Potências de complexos na forma trigonométrica

Potências de $i$

Raízes de números complexos

Observe que:

Todo número complexo tem n-ésimas raízes. Os afixos dessas n raízes estão localizados em um círculo e são os vértices de um polígono regular com n lados.


Exercícios para praticar

A seguir mais exercíciosAdaptação de uma cena de Consolação Ruiz Gil para Red Educativa Digital Descartes. para praticar as operações com complexos. Podes escolher o tipo no menu. Podes ver depois a solução de cada um.

Capítulo III

Algumas aplicações

Operações com complexos e transformações geométricas

Translação


Detalhe da obra de M. C. Escher "Bird/Fish", tirado de mcescher.com.

Rotação do centro a origem


Detalhe da obra de M. C. Escher "Butterfly", tirado de mcescher.com.

Homotetia e giro

Detalhe da obra de M. C. Escher "Smaller and smaller", tirado de mcescher.com.

Autoavaliação

Autoavaliação