Os números complexos

María José García Cebrian Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Os números complexos

María José García Cebrian
Rede Educativa Digital Descartes, Espanha

Tradução para o portugues: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Fundo Editorial

Córdoba (España)
2023

Título da obra:
Os números complexos

Autora:
María José García Cebrian

Tradução:
Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Design da capa: Diana María Velásquez García
Código JavaScript para o livro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interativos: DescartesJS
Fonte: Lato
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo do livro interativo: julho 2022

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-68-4

Este trabalho está sob licença Creative Commons 4.0 internacional: Atribuição-NãoComercial-Compartilhamento Igual. Todos os objetos interativos e os conteúdos desta obra coletiva são protegidos pela Lei de Propriedade Intelectual.

Tabela de conteúdo

Introdução5

1. A forma algébrica7

1.1 Por que números complexos?9

1.2 Parte real e parte imaginária10

1.3 Operações com complexos: adição e subtração12

1.4 Operações com complexos: multiplicação e divisão14

2. A forma trigonométrica17

2.1 Módulo e argumento de um número complexo19

2.2 Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica20

2.3 Potências de complexos na forma trigonométrica22

2.5 Exercícios para praticar25

3. Algumas aplicações27

3.1 Operações com complexos e transformações geométricas29

4. Autoavaliação33

iii

Introdução

Os Números complexos foram introduzidos para dar sentido à raiz quadrada de números negativos. Desta forma, equações como $x^2 + 1 = 0$ passam a poder ser resolvidas e abre-se então, a partir daí, uma porta para um mundo incrível no qual todas as operações (exceto a divisão por $0$ ) são possíveis.

Aqui os conteúdos são abordados a nível do Bacharelado em Ciências espanhol, mas pode ser válido para qualquer aluno que queira mergulhar no estudo desses fascinantes números.

No vídeo a seguir¹ podes ver uma interessante introdução aos números complexos e suas aplicações.

Capítulo 5 do vídeo "DIMENSÕES, um passeio pela matemática", www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm

5

Capítulo I

A forma algébrica

1.1 Por que números complexos?

As soluções² da equação $ax^2+bx+c=0$ são os pontos de interseção da função $y=ax^2+bx+c$ com o eixo das abscisas.

Um pouco de história³

Embora a primeira referência conhecida a raízes quadradas de números negativos venha de matemáticos gregos, foi somente no século XVI que Girolamo Cardano propôs esses números. Mais tarde, Descartes, em 1637, deu-lhes o nome de imaginários.

Foi Wessel em 1799 e Argand em 1806, com a proposta do plano complexo, quem lançou as bases dos números complexos, até que, finalmente, Gauss (1777-1855) lhes deu um nome e os definiu rigorosamente.

Com base em uma página da unidade Números Complexos de Ángela Núñez Castaín para Red Educativa Digital Descartes.Da Wikipedia pt.wikipedia.org/wiki/Número_complexo.

9

1.2 Parte real e parte imaginária

Se considerarmos a unidade imaginária $i=\sqrt{-1}$ e representá-la no ponto $(0,1)$ do plano, podemos localizar os números $2i, 3i, ..., -i$ da mesma forma , $-2i$ , ... no eixo vertical, ou seja, os números $bi$ que chamaremos de imaginários. Então qualquer ponto no plano $(a, b)$ , com $a$ e $b$ números reais, pode ser escrito como $(a, 0) + (0, b)$ , isto é como a soma de a número real e um número imaginário.

Os números complexos são da forma $a + bi$ , onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária. Cada número complexo $z$ pode ser representado no plano pelo ponto $Z(a, b)$ chamado afixo ou pelo vetor $OZ$ .
Dois números complexos são iguais se as partes reais e as partes imaginárias forem respectivamente iguais em ambos.

10

Para praticar

11

1.3 Operações com complexos: adição e subtração

Números complexos podem ser adicionados ou subtraídos seguindo as regras de operações com números reais.

Para somar dois números complexos soma-se as partes reais e as partes imaginárias, respectivamente. Assim, dados $z_1 = a_1 + b_1 i$ e $z_2 = a_2 + b_2 i$ , sua soma é:

z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i

Tal como acontece com os números reais, para subtrair dois complexos, o oposto do subtraendo deve ser adicionado ao minuendo.

12

Para praticar

13

1.4 Operações com complexos: multiplicação e divisão

Os números complexos podem ser multiplicados seguindo as regras da operações com números reais e levando em conta que $i · i = i^2 = -1$

\begin{align*} z_1 · z_2 &= (a_1 + b_1 i) · (a_2 + b_2 i) \\ &= a_1 · a_2 + a_1 · b_2 i + b_1 · a_2 i + b_1 · b_2 i^2 \\ &= (a_1 · a_2 - b_1 · b_2) + (a_1 · b_2 + b_1 · a_2)i \end{align*}

14

15

Capítulo II

A forma trigonométrica

2.1 Módulo e argumento de um número complexo

19

2.2 Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica

A relação entre a forma trigonométrica de dois números complexos e a de seu produto e quociente permite-nos multiplicar e dividir com muita facilidade.

Se expressarmos os complexos na forma trigonométrica e operarmos:

r_α = r(cos \; α + i sen \; α) \;\;\;\;\;\;\;\; r'_β = r'(cos \; β + i sen \; β)

O produto:

r(cos \; α + i sen \; α) \cdot r'(cos \; β + i sen \; β) = \\ r \cdot r' \cdot [(cos \; α \cdot cos \; β - sen \; α \cdot sen \; β) + (cos \; α \cdot sen \; β + sen \; α \cdot cos \; β)i] = \\ r \cdot r' \cdot (cos(α+β) + i sen(α+β))

Observamos que o módulo do número complexo resultante é o produto dos módulos dos fatores e o argumento a soma dos argumentos.

O quociente:

\frac{r(cos \; α + i sen \; α)}{r'(cos \; β + i sen \; β)} = \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α + i sen \; α) \cdot (cos \; β - i sen \; β)}{(cos \; β + i sen \; β) \cdot (cos \; β - i sen \; β)} = \\ \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α \cdot cos \; β + sen \; α \cdot cos \; β) + (sen \; α \cdot cos \; β - cos \; α \cdot sen \; β)i}{cos^2 \; α + sen^2 \; β} = \\ \frac{r}{r'} \cdot (cos(α-β) + i sen(α-β))

E o resultado do quociente é um número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos e o argumento a diferença dos argumentos..

20

$r_α \cdot r'_β = (r \cdot r')_{α+β}$

$\dfrac{r_α}{r'_β} = \left(\dfrac{r}{r'}\right)_{α+β}$

21

2.3 Potências de complexos na forma trigonométrica

22

Potências de $i$

23

2.4 Raízes de números complexos

Observe que:

Todo número complexo tem n-ésimas raízes. Os afixos dessas n raízes estão localizados em um círculo e são os vértices de um polígono regular com n lados.

24

2.5 Exercícios para praticar

A seguir mais exercícios⁴ para praticar as operações com complexos. Podes escolher o tipo no menu. Podes ver depois a solução de cada um.

Adaptação de uma cena de Consolação Ruiz Gil para Red Educativa Digital Descartes.

25

Capítulo III

Algumas aplicações

3.1 Operações com complexos e transformações geométricas

Translação

Figura 3.1. Detalhe da obra de M. C. Escher "Bird/Fish", tirado de mcescher.com.

29

Rotação do centro a origem

Figura 3.2. Detalhe da obra de M. C. Escher "Butterfly", tirado de mcescher.com.

30

Homotetia e giro

Figura 3.3. Detalhe da obra de M. C. Escher "Smaller and smaller", tirado de mcescher.com.

31

Autoavaliação

35

Tabela de conteúdo

Introdução

A forma algébrica

1.1 Por que números complexos?

1.2 Parte real e parte imaginária

Para praticar

1.3 Operações com complexos: adição e subtração

Para praticar

1.4 Operações com complexos: multiplicação e divisão

A forma trigonométrica

2.1 Módulo e argumento de um número complexo

2.2 Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica

2.3 Potências de complexos na forma trigonométrica

Potências de iii

2.4 Raízes de números complexos

2.5 Exercícios para praticar

Algumas aplicações

3.1 Operações com complexos e transformações geométricas

Translação

Rotação do centro a origem

Homotetia e giro

Autoavaliação

Autoavaliação

Potências de $i$