MATEMÁTICA BÁSICA

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

MATEMÁTICA BÁSICA
INTERATIVO

Carlos Alberto Rojas Hincapié
Red Educativa Digital Descartes, Colombia



Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida
Red Educativa Digital Descartes, Brasil

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021


Título da obra
Matemática Básica

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida
Editor: José Román Galo Sánchez


Design do livro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Design da capa: Diana María Velásquez García
Livraria turn.js: Emmanuel García
Ferramenta de edição: DescartesJS

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-11-0

  by-nc-sa/4.0/es       by-nc-sa/4.0/pt_BR

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
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Este obra está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual 4.0 Internacional.

Sumário

Conceitos Preliminares9

0. O conjunto dos números reais10

   0.1. Os números naturais10

   0.2. Os números inteiros10

   0.3. Os números racionais11

   0.4. Os números irracionais13

   0.5. Os números reais13

   0.6. Pratiquemos14

Potenciação19

1. Potenciação20

   1.1. Propiedades da potenciação22

   1.2. Pratiquemos24

Radiciação27

2. Radiciação28

   2.1. Propriedades dos radicais29

   2.2. Operações com expressões radicais30

   2.3. Simplificação de expressões radicais31

   2.4. Pratiquemos32

Expressões algébricas35

3. Expressões algébricas36

   3.1. Definições preliminares36

   3.2. Polinômios41

iii

   3.3. Adição e subtração de polinômios42

   3.4. Produto de monômios entre si45

   3.5. Produto de polinômios46

   3.6. Produtos notáveis47

   3.7. Divisão de polinômios53

   3.8. Pratiquemos57

Fatoração60

4. Fatoração de polinômios62

   4.1. Fator comum62

   4.2. Diferença de quadrados64

   4.3. Trinômio da forma x2 + bx + c67

   4.4. Trinômio da forma ax2 + bx + c69

   4.5. Soma de cubos72

   4.6. Diferença de cubos73

   4.7. Fatoração por agrupamento74

   4.8. Pratiquemos75

Frações algébricas76

5. Frações Racionais78

   5.1. Simplificação de frações aritméticas78

   5.2. Simplificacão de frações racionais79

   5.3. Soma e diferença de frações racionais81

   5.4. Produto de frações racionais83

   5.5. Divisão de frações racionais85

iv

   5.6. Pratiquemos87

Bibliografía88

v

Introdução

Da coleção iCartesiLibri surge este livro digital interativo, elaborado de forma a permitir uma aprendizagem significativa através da interação direta e pessoal do leitor, que passa a ser o protagonista do livro, uma vez que pode interagir com alguns objetos de aprendizagem. Esses objetos de aprendizagem interativos foram projetados com o editor DescartesJS.

A ferramenta Descartes caracteriza-se por uma interatividade inata, por permitir representações de objetos bidimensionais e tridimensionais, por gerenciar expressões de texto e fórmulas, por integrar objetos multimídia como imagens, áudios e vídeos, por ter a possibilidade de refletir a respeito de casos específicos e também aprimorar a conceitualização de tarefas e procedimentos através do uso de dados aleatórios e controles numéricos, gráficos e de texto, e com eles ser capaz de abordar a avaliação automaticamente, tanto comparativa quanto formativa. Com Descartes é possível projetar e desenvolver objetos educacionais que promovam a aprendizagem significativa, possibilitando a tão desejada construção de conhecimento.1

Todos os recursos incluídos neste livro são baseados no padrão HTML5 e, portanto, são totalmente acessíveis e operacionais em qualquer computador, tablet ou smartphone, sendo necessário apenas usar um navegador compatível com o referido padrão. Projetar em HTML5 significa que usaremos:

———————————————
1   Ver http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/descripcion.htm.

vii

Capítulo 0

Conceitos Preliminares

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

0. Conceitos preliminares

O conjunto dos números reais é composto pelos seguintes conjuntos numéricos:

0.1. O conjunto dos Números Naturais (N)

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

É chamado de conjunto de números naturais ou inteiros positivos. As seguintes operações básicas são definidas: adição e multiplicação. O conjunto dos Números Naturais surgiu da necessidade de contar, que se manifesta no ser humano desde a infância. Este conjunto é caracterizado por ter um número ilimitado de elementos

0.2. O conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = { .... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

O Conjunto dos Números Inteiros surge da necessidade de dar uma solução geral para a subtração, pois quando o subtraendo é maior que o minuendo, esta subtração não tem solução nos Números Naturais (por exemplo: 5 - 20 = ?). Por isso, a reta numérica se estende para a esquerda, de forma que cada ponto que representa um número natural corresponda a um ponto simétrico, localizado à esquerda do zero. Ponto simétrico é aquele que está localizado a uma distância igual do zero (um à direita e outro à esquerda). Eles são divididos em:

Inteiros Negativos: Z-, Inteiros Positivos: Z+ e o Zero: {0}

10

Portanto, o conjunto dos números inteiros é a união dos três subconjuntos mencionados: Z = Z- U { 0 } U Z+

0.3. O conjunto dos Números Racionais (Q)

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

O conjunto dos Números Racionais foi criado devido as limitações de cálculo que foram apresentados no conjunto dos números naturais e dos números inteiros. Para resolver esta dificuldade, foi criado este conjunto, que é composto por todos os números da forma a / b, isto é, frações em que o numerador é "a" e o denominador "b" com a, b números inteiros e b diferente de zero.

Este conjunto se representa graficamente, dividindo cada intervalo de uma reta numérica em espaços iguais, representando frações de números inteiros.


11

Observe a representação de frações próprias e impróprias na reta

12

Cada uma dessas subdivisões representa uma fração com um denominador igual ao número de partes da subdivisão. Cada fração é um número racional e cada número racional consiste em infinitas frações equivalentes.

0.4. Conjunto dos Números Irracionais (Q*)

Conjunto dos números decimais infinitos não periódicos. Este conjunto surgiu da necessidade de reunir certos números que não pertencem aos conjuntos anteriores; entre eles podemos citar as raízes de números primos, o número Pi, etc. Todos os números decimais infinitos não periódicos pertencem a ele, ou seja, aqueles números que não podem ser transformados em uma fração.

Eles não devem ser confundidos com números racionais, que são os números decimais finitos e infinitos periódicos, que podem ser transformados em uma fração.

<

0.5. O conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é constituído pela união do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais: R = Q U Q *

Representação gráfica do conjunto dos números reais.

Todos os conjuntos numéricos podem ser representados numa reta.

13

0.6. Pratiquemos

xercício 1

Identifique a qual conjunto de números pertence o número fornecido. Pressione o botão correspondente ao conjunto numérico ao qual pertence o número dado, N (Natural), Z (Inteiros), Q (Racional), Q * (Irracional) ou R (Real) e verifique sua resposta


14

xercício 2

Arraste cada um dos seguintes números à caixa correspondente ao conjunto numérico abaixo, colocando-os no menor conjunto ao qual pertencem:

15

xercício 3

Imprimir: Resolva os seguintes exercícios apresentando o "passo a passo" para a solução.

16



17

Capítulo 1

Potenciação

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

1. Potenciação

Numa potenciação temos três elementos, a base, o expoente e a potência.

Uma potência é o resultado da multiplicação de um número por si mesmo várias vezes. O número que multiplicamos é chamado de base, o número de vezes que multiplicamos a base é chamado de expoente.

O expoente determina o número de vezes que a base é multiplicada por ela mesma:

20

xploremos

1. Insira a base e o expoente indicado, pressione a tecla "enter" e verifique.




2. Verifique inserindo a base e o expoente do exercício proposto e escreva a potência, (recorde (B)E = P), pressione a tecla "enter" para verificar.


21

1.1. Propiedades da potenciação

As propriedades da potenciação são válidas para todos os conjuntos númericos.


22

xploremos

Verifique o que você aprendeu nesta seção passo a passo.


Lembre-se, numa potência que tem como base outra potência, repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.

23

1.2. Pratiquemos

xercício 1

Clique no botão exercício, resolva em seu caderno, escreva o expoente, a menor base possível e pressione a tecla "enter" para verificar sua resposta.


24

xercício 2

Avalie o seu conhecimento sobre o que aprendeu nesta seção e responda às perguntas a seguir, selecionando a resposta correta.

25

Capítulo 2

Radiciação

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

2. Radiciação

Expressões radicais são expressões que incluem um radical, que é o símbolo para calcular uma raiz.

Numa radiciação temos os seguintes elementos:

28

2.1. Propriedades dos Radicais

29

2.2. Operações com Expressões Radicais

Para realizar adições ou subtrações de expressões radicais, elas devem ter o mesmo índice e o mesmo radicando, ou seja, radicandos semelhantes.

Resolva expressões radicais com adição e subtração. Insira o coeficiente numérico e o valor do radical, pressione a tecla "enter" e veja a solução.

30

2.3. Simplifique as expressões radicais

Para simplificar as expressões radicais, procuramos termos exponenciais dentro do radical, onde usamos fatoração ou fatoração de primos e aplicamos as regras de expoentes.

31

2.4. Pratiquemos

xercício 1

1. Resolva e simplifique em seu caderno aplicando as propriedades vistas no capítulo

2. Resolva e simplifique em seu caderno aplicando as propriedades vistas no capítulo

32

xercício 2

Avalie o seu conhecimento sobre o que aprendeu nesta seção e responda às seguintes perguntas:

33

Capítulo 3

Expressões Algébricas

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

3. Expressões algébricas

3.1.Definições preliminares

3.1.1. Expressões algébricas:

Combinação de números, letras, sinais de agrupamento, com as operações indicadas. Por exemplo:

3.1.2. Termos em uma expressão algébrica:

É chamado de termo em uma expressão algébrica, cada parte dela que vem a ser separada pelo sinal de mais (+) ou o sinal de menos (-), os termos são compostos de números e letras ou expressões numéricas multiplicadas entre si (chamadas de fatores). Por exemplo:

Um termo pode ser composto de uma parte literal (fator literal) e/ou um coeficiente numérico (fator numérico).

36

xploremos

Observe e explore as diferentes expressões algébricas.

Cena da Consolación Ruiz Gil com licença CC by-nc-sa

37

Quando um termo aparentemente não possui um coeficiente numérico, como na expressão algébrica b - 4c onde b é o termo que aparentemente não possui um coeficiente numérico, a unidade (1) é assumida como seu coeficiente numérico. Então, o termo 1b = b.

Para saber o valor numérico de uma expressão algébrica, as letras são substituídas por números reais e as operações são realizadas. Por exemplo:


3.1.3. Termos semelhantes:

Aquelas expressões que têm a mesma parte, literal (letras) ou radical (raízes). Por exemplo:

38

Termos semelhantes podem ser adicionados ou subtraídos. Por exemplo:


xercício

Simplifique os termos semelhantes nas expressões algébricas, quando possível.

39

Exploremos

Verifique o que aprendeu nesta seção:

———————————————
1   Ver http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/2m_b01_t02_s01_descartes-JS/index.html.

40

3.2. Polinômios

São expressões algébricas com características especiais, por exemplo, um polinômio na variável x, é uma expressão algébrica da forma:

P( x ) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

41

Alguns polinômios recebem nomes especiais de acordo com o número de termos que possuem:

Vamos simplificar polinômios, selecionando o tipo de operação e verificando sua solução.

3.3. Adição e subtração de polinômios

Sejam os polinômios: P1 = x3 + 2x2 – 5x + 7 y P2 = 4x3 – 5x2 + 3

1. Coloca-se o primeiro polinômio e em seguida soma-se o segundo polinômio.

P1 + P2 = ( x3 + 2x2 – 5x + 7 ) + ( 4x3 – 5x2 + 3 )

2. Emininam-se os sinais de agrupamento (parênteses, colchetes, colchetes)

P1 + P2 = x3 + 2x2 – 5x + 7 + 4x3 – 5x2 + 3

Se um sinal de agrupamento (parênteses, colchetes, colchetes) for precedido de um sinal de mais (+), ao eliminar o sinal do agrupamento, todos os termos dentro dele terão os mesmos sinais, por outro lado se o agrupamento é precedido por um sinal de menos (-), ou seja, na subtração, ao eliminar o sinal do agrupamento todos os termos dentro dele mudam de sinal.

42

3. Realizam-se as operações de adição ou subtração com os termos semelhantes, os que não são semelhantes permanecem inalterados, após a realização das operações com os termos semelhantes eles são organizados em ordem crescente ou decrescente de acordo com o exponete da variável se for o caso.

P1 + P2 = ( x3 + 4x3 ) + ( 2x2 – 5x2 ) – 5x + ( 7 + 3 )
P1 + P2 = 5x3 - 3x2 – 5x + 10

Nota: Podemos somar ou subtrair dois ou mais polinômios. Para isso, somamos os termos semelhantes de cada polinômio.

Modifique os coeficientes de cada polinômio e observe os resultados.



43

Exploremos


Verifique o que aprendeu nesta seção:

44

3.4. Produto de monômios entre si

a. Os coeficientes numéricos dos termos são multiplicados, aplicando-se a regra do sinal:

Sinais iguais:( + ) Sinais diferentes:( - )
( + ) . ( + ) = ( + )
( - ) . ( - ) = ( + )		 ( - ) . ( + ) = ( - )
( - ) . ( + ) = ( - )

b. Aplica-se à parte literal, o produto de potências de mesma base: bm . bn = bm+n



45

3.5. Produto de polinômios

Para multiplicar polinômios entre sí, aplica-se a propriedade distributiva, multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo polinômio, exemplo:

(3x + 4) . (5x – 7) = 3x . (5x – 7) + 4 . (5x – 7)

Aplica-se a parte literal, o producto de potências de mesma base:

bm . bn = bm+n

Aplica-se a propriedade distributiva.

( (3x) . (5x) – (3x) . 7 ) + ( 4 . (5x) – 4 . 7 )

Soma-se os termos semelhantes.

15x2 – 21x + 20x – 28

portanto, (3x + 4) . (5x – 7) = 15x2 – 1x – 28

A lei dos sinais deve ser levada em consideração entre os termos a serem multiplicados, sendo os positivos aqueles que os precedem um sinal de mais (+) ou aqueles termos que aparentemente não possuem um sinal que os antecede; e os negativos são aqueles termos que são precedidos por um sinal de menos (-).

46

Exploremos

Verifique o que aprendeu nesta seção:

47

3.6. Produtos notáveis

São produtos especiais, que se destacam ​​em operações matemáticas e são baseados na potenciação de polinômios.

3.6.1. Quadrado da soma de dois termos

Corresponde ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo, vejamos como é gerado:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) - - - - - - - - Definição de potência

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Exemplo:

(2m + 3)2 = (2m)2 + 2 . (2m) . (3) + (3)2 = 4m2 + 12m + 9

3.6.2. Quadrado da diferença de dois termos

Corresponde ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo, vamos ver como é gerado:

(a - b)2 = (a - b) . (a - b) - - - - - - - - Definição de potência

48

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Exemplo: (y - 5x)2 = (y)2 - 2 . (y) . (5x) + (5x)2

= y2 - 10xy + 25x2

Se você tiver três ou mais termos, eles são agrupados e a mesma definição se aplica:

(a + b + c)2 = [( a + b ) + c]2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2b

Escreva os valores dos coeficientes e expoentes, pressione a tecla "enter" e observe o resultado quando você tiver expoentes diferentes dentro dos termos do binômio.

49

Exploremos

Verifique o que aprendeu nesta seção:

———————————————
3   Ver http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html.

50

3.6.3. Potências de binômios

Os binômios são desenvolvidos da seguinte forma:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Detalhando o desenvolvimento dos binômios, temos que:

  1. O número de termos do resultado é igual ao número do expoente do binômio mais uma unidade.
  2. O expoente do primeiro e do último termo do binômio são iguais ao expoente da potência do binômio.
  3. O expoente de "a" diminui um a um em cada termo e, por outro lado, "b" aumenta um a um para cada termo.
  4. Todos os termos do desenvolvimento de cada binômio são positivos, exceto os da forma (a – b)2, (a – b)3, (a – b)4,…, que têm os sinais alternados : ( + ), ( - ), ( + ), ( - ), …
  5. Ao analisar os coeficientes numéricos para cada termo do desenvolvimento de uma potência de binômio, observa-se que os coeficientes dos termos simétricos são iguais.

51

Os termos simétricos possuem os mesmos coeficientes, isso permite que os coeficientes de cada binômio sejam organizados na forma de um triângulo conhecido como:

Triângulo de Pascal

Com este triângulo pode-se deduzir que:

  1. Os coeficientes dos termos extremos são iguais a um.
  2. Adicionando dois coeficientes seguidos de uma linha, obtemos o coeficiente da próxima linha.

Exemplo:

(m – 2n)5 = (m)5 – 5(m)4(2n) + 10(m)3(2n)2 – 10(m)2(2n)3 + 5(m)(2n)4 – (2n)5

(m – 2n)5 = m5 – 10m4n + 40m3n2 – 80m2n3 + 80mn4 – 32n5

52

3.7. Divisão de polinômios

3.7.1. Divisão de monômios

Para dividir dois monômios:

  1. Os coeficientes são divididos, aplicando a lei dos sinais.
  2. Na parte literal, aplica-se a propriedade de divisão de potências de mesma base:

53

3.7.2. Divisão de um polinômio por um monômio

Para dividir um polinômio por um monômio, divide-se cada termo do polinômio pelo monômio, levando-se em consideração a lei dos sinais e as propriedades de potências de mesma base, exemplo:

3.7.3. Divisão de um polinômio por outro polinômio

  1. Completamos, se necessário, e em seguida ordenamos os polinômios em ordem decrescente.
  2. Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, para obter o primeiro termo do quociente.
  3. Multiplicamos este primeiro termo do quociente por cada um dos termos do divisor e subtraímos o resultado do dividendo, obtendo-se assim um dividendo parcial.
  4. Continuamos a partir deste dividendo parcial, conforme indicado no passo 2, até obter um resto com um expoente menor que o expoente do divisor.
  5. Se o resultado for ZERO a divisão é EXATA.

54

Exploremos

Observe nos exercícios, você verá que para fazer a divisão iniciamos sempre dividindo os monômios de maior grau, depois multiplicamos esse quociente pelo divisor, mudamos o sinal e somamos ao dividendo. Este processo é repetido até que um resto de grau menor que o grau do divisor seja obtido. A divisão de polinômios deve atender a duas condições. A primeira, que o Dividendo = divisor·cociente + resto e, a segunda, que gr(resto)<gr(divisor)
O grau do quociente é a diferença dos graus do dividendo e do divisor. Quando o resto é zero, o dividendo é considerado divisível pelo divisor

Cena de Consolación Ruiz Gil com licença CC by-nc-sa

55

Na cena seguinte podemos ver as divisões dos polinômios expressos apenas pelos seus coeficientes, cujo procedimento é o mesmo:divisão dos coeficientes, multiplicação do último coeficiente vezes o divisor mudança de sinal e o resultado, soma com o restante do dividendo.

Observe vários exercícios em cada um dos três níveis da cena.

Cena de Consolación Ruiz Gil com licença CC by-nc-sa

56

3.8. Pratiquemos

xercício 1

Simplifique a seguinte expressão algébrica de (adição, subtração, produtos, quocientes e potências), resolva primeiro em seu caderno e depois verifique a solução.


57

xercício 2

Verifique o que aprendeu nesta seção resolvendo a atividade:

58

Capítulo 4

Fatoração

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

4. Fatoração de polinômios

Fatorar um polinômio é expressá-lo como o produto de outros polinômios que possuam um grau inferior ao seu. Casos de fatoração:

4.1. Fator comum

Refere-se ao termo comum de um polinômio, eles podem ser fatores numéricos ou fatores literais. Para encontrar o fator comum, faça o seguinte:

  1. Encontre o fator comum numérico que corresponde ao MDC dos coeficientes dos termos semelhantes do polinômio (MDC = produto dos fatores comuns elevados ao seu menor expoente).
  2. Encontre o fator comum literal que corresponde ao MDC das partes literais dos termos semelhantes do polinômio (MDC = produto das variáveis comuns elevadas ao seu menor expoente).
  3. O fator comum para o polinômio corresponde à multiplicação do fator comum numérico pelo fator comum literal.

62

Exemplo: Encontrar o fator comum para o polinômio: 3m3 – 6m2n

Fator comum numérico = MCD (3,6) = 3
Fator comum literal = m2
Portanto, o fator comum do polinômio 3m3 – 6m2n = 3m2

Agora, vamos ver passo a passo como encontrar o fator comum de um polinômio, clique no botão passo 1 e siga as instruções.

63

Uma vez que o fator comum para um determinado polinômio tenha sido encontrado, passamos a encontrar o outro fator que multiplica o fator comum, dividindo cada termo do polinômio dado pelo fator comum. Sendo desta forma completamente fatorado o polinômio dado.

4.2. Diferença de quadrados

Se caracteriza por ser uma diferença (subtração) entre dois términos que possuem raiz quadrada exata.

Exemplo: 9a2 – b2

raiz quadrada do primeiro termo ----> 3a
raiz quadrada do segundo termo ----> b

64

Uma diferença de quadrados é fatorada como a soma das raízes quadradas, multiplicada por sua diferença, simbolicamente temos:

a2 – b2 = ( a + b )( a – b )

xercício: Fatore os seguintes polinômios, se possível.

65

Exploremos

Verifique o que aprendeu nesta seção:

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4   Ver http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html.

66

4.3. Trinômio da forma x2 + bx + c

Esses trinômios são fatorados da seguinte forma:

Todo trinômio da forma x2 + bx + c, sempre que x2 + bx + c = 0 tem uma solução, equivalente ao produto de dois binômios ou fatores.

x2 + bx + c = ( x + p )( x + q )

Onde o primeiro termo de cada binômio é a raiz quadrada do primeiro termo do trinômio "x" e os segundos termos de cada binômio são os números p e q, cuja soma p + q = b e cujo produto p. q = c. Simbolicamente, você tem:

67

Pode-se apresentar um trinômio que tem a forma x2n + bxn + c, que é fatorado da mesma maneira.

Exemplo:

x4 – x2 – 6 = ( x2 - 3 )( x2 + 2 ) donde,

b = (-3 + 2) = -1
c = (-3)(2) = -6

xercício: vamos praticar a fatoração de alguns trinômios, se possível.


68

4.4. Trinômio da forma ax2 + bx + c

Esses trinômios são fatorados da seguinte forma:

Se caracterizam por serem muito semelhantes à forma x2n + bxn + c, com a diferença que a variável x2n já tem um coeficiente "a" diferente de zero e um. Por exemplo:

2x2 + 7x – 15
3x2 + 17x + 10
5x2 – 17x + 6

Para fatorar trinômios da forma ax2n + bxn + c, deve-se deixá-lo na forma y2n + byn + c, e então é resolvido como no caso anterior.

69

xercício: vamos praticar a fatoração de alguns trinômios, se possível.

70

Exploremos

Verifique o que aprendeu nesta seção:

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5   Ver http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html.

71

4.5. Soma de cubos

É uma soma entre dois termos cuja característica é que podem ser expressos como quantidades que podem ser elevadas ao cubo, portanto cada termo tem uma raiz cúbica exata.

Exemplo: x3 + 27 = x3 + 33

raiz cúbica do primeiro termo ----> x
raiz cúbica do segundo termo ----> 3

Para fatorar uma soma de cubos, devemos levar em consideração o seguinte:

  1. Uma soma de cubos é igual ao produto de um binômio (dois termos) por um trinômio (três termos).
  2. O binômio é formado pela soma das raízes cúbicas.
  3. O trinômio consiste em: quadrado da primeira raiz, produto das duas raízes e quadrado da segunda raiz.
  4. Os sinais do trinômio são: ( + ) , ( – ) , ( + ).

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Exemplo

y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 - 4xy + 16y2)

72

4.6. Diferença de cubos

Trata-se da subtração entre dois termos cuja característica é que podem ser expressos como quantidades que podem ser elevadas ao cubo, portanto cada termo possui uma raiz cúbica exata.

Exemplo: p3 - 8k3 = p3 - (2k)3

Raiz do cubo do primeiro termo ----> p
Raiz cúbica do segundo termo ----> 2k

Para fatorar uma diferença de cubos, devemos levar em conta o seguinte:

  1. Uma diferença de cubos é igual ao produto de um binômio (dois termos) por um trinômio (três termos).
  2. O binômio é formado pela diferença das raízes cúbicas.
  3. O trinômio consiste em: quadrado da primeira raiz, produto das duas raízes e quadrado da segunda raiz.
  4. Os sinais do trinômio são: ( + ) , ( + ) , ( + ).

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Exemplo

y3 - 64x3 = (y -4x)(y2 + 4xy + 16y2)

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Agora, vamos ver alguns exemplos de fatoração da soma e da diferença de cubos.

4.7. Fatoração por agrupamento

Alguns polinômios não podem ser fatorados diretamente, aplicando os casos vistos até agora, sendo necessário agrupar os termos de forma conveniente antes de fatorar

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4.8. Pratiquemos

xercício

Verifique o que aprendeu nesta seção resolvendo a atividade:

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Capítulo 5

Frações Algébricas

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Tradução: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

5. Frações Racionais

5.1. Simplificação de frações aritméticas

Recordemos:

Para simplificar as frações, escrevemos o numerador e o denominador como um produto de fatores e cancelamos os FATORES COMUNS a ambos.

CUIDADO! Não podemos simplificar os termos. Apenas fatores.

Uma fração aritmética está simplificada quando o único fator comum ao numerador e denominador é o número UM

.

Exemplo

Para simplificar, cancelamos os FATORES COMUNS ao numerador e denominador.

Quando o denominador de uma fração é zero (0), diz-se que a fração não existe ou não está definida.

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5.2. Simplificação de frações racionais

Como ocorre com as frações aritméticas, dizemos que uma fração algébrica está simplificada, quando o único fator comum ao numerador e denominador é o número UM, ou seja, quando o numerador e o denominador são primos entre si.

Para simplificar as frações algébricas, procedemos da seguinte forma:

  1. Fatoramos o numerador e o denominador.

  2. Cancelamos os FATORES COMUNS para o numerador e denominador (CUIDADO!). Não podemos cancelar termos, apenas fatores.

Exemplo

Em alguns casos, é necessário alterar a ordem dos termos de um ou vários fatores, como no segundo exemplo, é necessário alterar a ordem do fator (x - 6), por isso o fator foi precedido de um sinal de menos (-) e a ordem dos termos e seus sinais dentro do agrupamento foi alterado, deixando - (6 - x).

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xercício 1: Na cena seguinte, simplifique a expressão racional dada em seu caderno, a seguir verifique clicando no botão "Solução".



Cena de Consolación Ruiz Gil com licença CC by-nc-sa

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5.3. Soma e diferença de frações racionais

Para adicionar ou subtrair frações racionais, fazemos o seguinte:

  1. Encontramos o mínimo múltiplo comum (m.c.m) dos denominadores.
  2. Dividimos o m.c.m. encontrado pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo respectivo numerador.
  3. Realizamos as operações indicadas e simplificamos o resultado, se possível.

xercício 2: Vamos simplificar as expressões racionais de soma e diferença

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xercício 3
Resolva em seu caderno e pratique a simplificação de expressões racionais.

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5.4. Produto de frações racionais

Para multiplicar as frações racionais, fazemos o seguinte:

  1. Fatoramos em primeiro lugar os numeradores e denominadores.
  2. Os numeradores são multiplicados entre si e os denominadores entre si.
  3. Cancele os fatores comuns, ao numerador e denominador, que aparecem.

Vamos multiplicar e simplificar a seguinte fração racional:

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xercício 4
Vamos simplificar produtos de expressões racionais.

xercício 5
Resolva em seu caderno e pratique a simplificação de expressões racionais.

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5.5. Divisão de frações racionais

Para dividir frações racionais, fazemos o seguinte:

  1. Primeiro, substituimos a segunda fração pelo sua inversa, transformando a divisão em uma multiplicação.
  2. Continuamos com o mesmo processo de multiplicação, fatoramos todos os numeradores e denominadores.
  3. Os numeradores são multiplicados entre si e os denominadores entre si.
  4. Cancelamos os fatores comuns que aparecem entre o numerador e o denominador das frações.

Vamos dividir e simplificar a seguinte fração racional:

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xercício 6: Vamos simplificar as divisões de expressões racionais.

xercício 7
Resolva em seu caderno e pratique a simplificação de expressões racionais.

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5.6. Pratiquemos

xercício 8:

Simplifique as seguintes expressões racionais (adição, subtração, produtos, quocientes e potências), resolva primeiro em seu caderno e depois verifique a solução.

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Bibliografía


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