PARTICIÓN DE HEXAEDROS CONVEXOS DE CARAS CUADRILÁTERAS EN PIRÁMIDES


Libro interactivo

José R. Galo Sánchez
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021

Tabla de contenido

Introducciónv

PARTE I: Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada1

    1. Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada3

        1.1. Cuatro descomposiciones clásicas3

        1.2. Descomposición general5

PARTE II: Partición de un cubo en pirámides de base triangular9

    1. Partición de un cubo en pirámides de base triangular11

        1.1. Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada11

        1.2. Partición mediante construcción específica13

    2. Descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares16

        2.1. Pirámide tipo Y21

        2.2. Pirámide tipo Z21

        2.3. Pirámides tipo X22

        2.4. Particiones del prisma triangular en pirámides triangulares equivalentes23

    3. Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes26

        3.1. Opción A27

        3.2. Opción B32

        3.3. Síntesis33

PARTE III: Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera35

    1. Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en pirámides de base cuadrilátera37

        1.1. Definición de un paralelepípedo38

        1.2. Partición del paralelepípedo40

        1.3. Definición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4}43

        1.4. Partición del hexaedro convexo44

iii

Introducción

El cubo o hexaedro regular, lo mismo que el resto de los poliedros regulares convexos ―los sólidos platónicos―, tiene un atractivo generalizado tanto para expertos como para profanos. Los primeros, para profundizar en su estudio y análisis, habitualmente suelen proceder a realizar cortes planos con objeto de determinar cuáles son las diferentes secciones poligonales que pueden obtenerse; o bien buscan conocer diferentes descomposiciones o particiones del mismo en otros poliedros. Y algunos de los segundos, y muchos de los primeros, seguro que se han encontrado en algún momento con la actividad lúdica de elaborar puzles o rompecabezas consistentes en montar un cubo a partir de unas piezas dadas; o bien, realizando una lectura recíproca, el diseñador y constructor de estos puzles ha de plantearse cómo partir un cubo en diferentes piezas y sobre ellas puede autoimponerse ciertas restricciones o establecer cierta homogeneidad en la forma, el volumen o cualquier otro atributo o propiedad. En particular se puede establecer, por ejemplo, que las piezas sean de un mismo tipo e incluso iguales. La elegancia alcanzada en la partición obtenida, o la mayor o menor dificultad que involucra el adoptar un criterio u otro, es matizable y opinable y, por tanto, no nos adentraremos en ello. Un planteamiento usual es la partición del cubo¹ en pirámides de base cuadrada y en pirámides de base triangular.

En la primera parte se aborda un análisis de la partición del cubo en pirámides de base cuadrada. La partición mínima está compuesta por tres pirámides congruentes y es usual encontrar en la literatura la partición en cuatro (congruentes dos a dos), cinco (cuatro congruentes y una desigual) y seis pirámides congruentes. En este trabajo se engloban todas estas situaciones como casos particulares de una partición genérica basada en la consideración de un punto de la frontera o del interior del cubo que se configura como vértice o cúspide de todas las pirámides constituyentes de la partición. Para cada uno de esos puntos se obtiene una partición y se incluyen recursos interactivos que la muestran virtualmente y, a la vez, aportan los desarrollos planos de las diferentes pirámides permitiendo su impresión y reproducción tangible.

v

La división en dos o más pirámides triangulares de cada una de las pirámides cuadriláteras obtenidas en las particiones de los paralelepípedos analizadas en la tercera parte, nos conduce a particiones que tienen un cardinal mínimo de seis pudiendo distinguirse en este caso particiones no prismáticas y prismáticas, compuestas todas por pirámides equivalentes entre sí.

La partición de cardinal mínimo, formada por cinco piramides, requiere una construcción específica que se detalla en cada uno de los cuatro tipos de paralelepípedos y también en el caso general del hexaedro.

A continuación se estudian las particiones prismáticas y para ello primero se analiza la partición de prismas procedentes de la división de cada uno de los diferentes paralelepípedos en dos prismas. En todos los casos siempre son seis las particiones que se obtienen, cada una compuesta por tres pirámides equivalentes entre sí, pero varían las posibles congruencias entre ellas, así como las diferentes pirámides obtenidas en cada caso. En concreto, para un prisma procedente de:

• Un romboiedro son seis particiones no congruentes con doce pirámides diferentes.
• Un romboedro hay que considerar dos casos posibles. En el primero se distinguen tres particiones no congruentes y seis tipos de pirámides, y en el segundo nos encontramos cuatro particiones y también seis tipos.
• Un ortoedro hay que distinguir tres casos, según la regularidad que presente, y cada uno conduce a: tres particiones y seis tipos de pirámides, tres particiones y cinco tipos, y dos particiones y cuatro tipos.
• Un cubo, como ya se vió, son dos las particiones con tres tipos de pirámides.

El análisis anterior nos permite cuantificar y conocer las particiones de cada paralelepípedo y este estudio se presenta siguiendo un esquema general común, yendo desde el caso más regular (el cubo) al menos regular (romboiedro).

• Para un cubo, analizado en la parte primera, se tienen ocho particiones con tres tipos de pirámides. De ellas dos están compuestas sólo por pirámides congruentes entre sí.
• Para un ortoedro los tres casos posibles conducen a: ocho particiones no congruentes con cuatro tipos de pirámides, doce particiones con cinco tipos y doce particiones con seis tipos.

vii

parte i

Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada

1. Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada

1.1 Cuatro descomposiciones clásicas

Consideremos un cubo de arista unidad³ y busquemos realizar una partición del mismo en pirámides de base cuadrada atendiendo a que el cardinal de los elementos que componen la partición sea mínimo o que entre sí sean lo más regulares o similares posible. Son cuatro las situaciones que usualmente suelen divulgarse:

• Descomposición en tres pirámides iguales ―estrictamente deberíamos de decir congruentes⁴― (interactuar con la escena 1). Al quedar dividido el cubo en tres partes iguales, este caso suele ponerse como un ejemplo visual de por qué el volumen de una pirámide se calcula como:

  V_pirámide = (1/3) Área_Base · altura

  e incluso éste puede ser el primer paso para realizar una demostración de esa igualdad.

  Escena 1. Descomposición de un cubo en tres pirámides cuadradas iguales.

3

• Descomposición en seis pirámides iguales (escena 4).

  Escena 4. Descomposición de un cubo en seis pirámides cuadradas iguales.

Estas cuatro descomposiciones no son más que situaciones particulares de una partición general del cubo que se realiza en base a los ocho vértices y a un punto adicional del mismo. Veámoslo a continuación.

1.2 Descomposición general

Para construir una partición del cubo en pirámides cuadradas es necesario, obligatorio, utilizar los ocho vértices del cubo y las doce aristas del mismo. Adicionalmente hay que seleccionar o marcar cuál o cuáles serán las cúspides de las pirámides a construir. La introducción de puntos adicionales a los vértices hará que aumente el número de combinaciones de cinco puntos que pueden realizarse y consecuentemente podrá incrementarse el número de pirámides de la partición (no todas las combinaciones posibles de vértices son viables para obtener una partición del cubo). Pasemos analizar diferentes alternativas:

• No incluir ningún punto adicional Esta elección obliga a que la cúspide de cada pirámide sea uno de los vértices del cubo y si además imponemos que todas las pirámides compartan la misma cúspide entonces obviamente obtendremos la partición de cardinal mínimo. Este

5

• cuando el punto elegido es el punto donde se intersecan las diagonales de la cara. Es el tercer caso expuesto con anterioridad. La partición, salvo isometrías, es independiente de la cara seleccionada.

  Figura 2. Punto ubicado en una cara, descomposición en cinco pirámides.

• Punto perteneciente al interior del cubo (ver figura 3). Esta situación hace que sean seis pirámides las que forman la partición. De las infinitas particiones posibles, cuando el punto seleccionado es el punto de intersección de las diagonales del cubo se tiene que las seis pirámides son iguales y regulares, éste es el cuarto caso mostrado antes.

  Figura 3. Punto ubicado en el interior del cubo, descomposición en seis pirámides.

7

parte ii

Partición de un cubo en pirámides de base triangular

1. Partición de un cubo en pirámides de base triangular

Podemos plantearnos, al menos, dos procedimientos para descomponer un cubo en pirámides triangulares. Uno, partiendo de las descomposiciones en pirámides de base cuadrada que hemos analizado anteriormente y otro abordando una construcción específica independiente.

1.1 Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada

Si partimos de las diferentes particiones del cubo en pirámides cuadradas analizadas en la sección anterior, entonces, automáticamente, son conocidas sendas particiones en pirámides triangulares sin más que considerar una de las dos diagonales del cuadrado que constituye la base en cada pirámide. Además las dos subpirámides obtenidas serán equivalentes⁵, pues la base inicial cuadrada ha quedado dividida en dos partes iguales y la altura es común a ambas y, por tanto, el volumen de cada una de esas pirámides triangulares es la mitad del volumen inicial. En este contexto tendríamos las siguientes situaciones:

• Considerando la partición mínima del cubo en tres pirámides cuadradas obtendríamos una subpartición en seis pirámides triangulares equivalentes. Dado que cada una de las pirámides cuadradas pueden dividirse de dos formas diferentes, según cual sea la diagonal del cuadrado que se considere, tendríamos a su vez varias posibilidades:
  • Si la diagonal que se considera conduce a dividir la pirámides cuadradas por su plano de simetría, entonces las seis pirámides son congruentes ya que hay tres coincidentes entre sí mediante traslación y giro (lo que de manera simplificada se suele indicar como iguales) y las otras tres son simétricas de las primeras ―denotaremos a una de las pirámides como tipo X₁ y a su simétrica como X₂ ―. La partición sería {X₁, X₂, X₁, X₂, X₁, X₂ }. Este caso es el que usualmente puede encontrarse en las fuentes literarias clásicas y en la Web, y que se reproduce de manera interactiva en la escena 6. Veremos que es una situación particular del estudio global que abordaremos en la siguiente sección, correspondiente a lo que denominaremos particiones prismáticas porque agrupando esas pirámides de tres en tres el cubo queda descompuesto en dos prismas triangulares. Este proceso de división podría repetirse considerando la mediana de las nuevas bases y así
  ———————————————
  ⁵   Dos pirámides son equivalentes, o en general dos figuras tridimensionales son equivalentes, si tienen igual volumen.
  

  11

Escena 7. Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes.

Escena 8. Partición de un cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas, caso general.

Todas las situaciones anteriores son, o pueden considerarse, interesantes y conducentes a puzles de cierta dificultad tanto en los casos en los que se busca la máxima congruencia o regularidad, como en la posición contraria. Pero ninguna de ellas conduce a la partición con cardinal mínimo, pues el planteamiento realizado viene condicionado por la partición previa en pirámides de base cuadrada. La partición mínima, como veremos en la próxima sección, se corresponde con cinco pirámides y salvo isometrías hay una única posibilidad para su construcción. Por ello, nuestro centro de interés se focalizará posteriormente en la citada descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes, que sin ser el caso único de cardinal mínimo sí que genera una variedad de situaciones que nos proponemos cuantificar y detallar.

1.2 Partición mediante construcción específica

En este apartado partiendo de un cubo de arista la unidad y de vértices {A, B, C, D, E, F, G, H } ―donde los cuatro primeros vértices constituyen la base superior y los otros cuatro la inferior―, nos planteamos realizar una partición del mismo en pirámides triangulares buscando por un lado que la descomposición tenga cardinal mínimo y, por otro, buscando alternativas en las que sin ser de cardinal mínimo se encuentren congruencias o equivalencias.

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• Cuando todas las diagonales correspondientes a las caras opuestas tienen distinta dirección las particiones en pirámides triangulares tienen más de seis pirámides, salvo:
  • Una partición con cinco elementos, que es la de cardenal mínimo, formada por cuatro pirámides trirrectángulas y un tetraedro regular (escena 11).

  Escena 11. Descomposición de un cubo en cinco pirámides triangulares.

  • Una con seis elementos, que es la indicada en la escena 7, compuesta por las pirámides {Y, Z, Y, Z, Y, Z }.
• Cuando al menos un par de las diagonales correspondientes a caras opuestas tienen la misma dirección entonces ese par junto a las dos aristas que son perpendiculares a ellas forman un rectángulo y la partición en pirámides triangulares es posible sólo si se introduce al menos un segmento que bien subdivida ese rectángulo en dos triángulos o bien que lo corte (ver escena 12). Al introducirse en la partición un nuevo elemento primario no puede obtenerse la partición de cardinal mínimo. Ese segmento adicional puede ser:
  • Una diagonal del cubo. Aquí la obtención de una partición obliga a incluir más elementos primarios, puntos y segmentos, y consecuentemente se incrementa el número de pirámides obtenidas.
  • La diagonal de ese rectángulo. En este caso el cubo queda dividido en dos prismas triangulares rectos con bases que son triángulos rectángulos isósceles ―particiones prismáticas―, situación que detallaremos a continuación y que como veremos conduce a un mínimo de seis pirámides triangulares; y en el caso de ser exactamente seis se cumple que son equivalentes, es decir, que tienen igual volumen.

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son tres, como mínimo, las pirámides que formarán la partición (ocho caras entre tres nos da un valor mayor que dos).

Figura 4. Prisma triangular.

Basándonos en que una pirámide triangular queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios, una forma de abordar la partición del prisma {A, B, C, E, F, G } en tres pirámides triangulares se logra considerando dos aristas no coplanarias, una de la base ABC y otra de la EFG (escena 13). Los cuatro vértices de esas dos aristas determinan una pirámide triangular que parte al prisma en tres bloques quedando fijadas así, junto a ésta, las otras dos pirámides buscadas.

Hay sólo seis posibilidades:

• ― BC con EF que conduce a la pirámide BCEF y determina a ABCE y CEFG
• ― AC con EF que conduce a ACEF y determina a ABCF y CEFG
• ― AB con EG que conduce a ABEG y determina a ABCG y BEFG
• ― AB con FG que conduce a ABFG y determina a ABCG y AEFG
• ― AC con FG que conduce a ACFG y determina a ABCF y AEFG
• ― BC con EG que conduce a BCEG y determina a ABCE y BEFG

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Tabla 1. Aristas de las pirámides y longitud de las mismas.

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Cada partición del prisma la vamos a distinguir con el número romano que le hemos asignado o sin más que nombrar los tipos de pirámide que la forman para lo que convendremos hacerlo de arriba hacia abajo de acuerdo a la ubicación inicial de la pirámide en la que la base superior tiene de vértices ABC y la inferior EFG. Así la partición II viene dada por {Y, Z, X₂ }.

Procedamos a analizar cada uno de los tipos de pirámides que aparecen en dichas particiones.

2.1 Pirámide tipo Y

Atendiendo sólo a la forma, es decir, considerando que todas las caras son de igual color y no etiquetando los vértices, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, 1,√2 ,√2,√2 (escena 14). Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado √2 y tres triángulos rectángulos isósceles de catetos 1 y de hipotenusa√2. El desarrollo, como se ha representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría cualquiera de las alturas del triángulo equilátero y por tanto, independientemente de la orientación con la que se realiza el plegado (hacia dentro o hacia fuera) se obtiene la misma pirámide. El volumen de esta pirámide es 1/6 u³.

Escena 14. Pirámide triangular tipo Y y desarrollo plano de la misma.

2.2 Pirámide tipo Z

De manera análoga al caso anterior, si atendemos sólo a la forma, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, √2 ,√2, √2, √3 (escena 15). Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado √2, un rectángulo isósceles de catetos 1 e hipotenusa√2 y dos triángulos rectángulos de catetos 1 y√2e hipotenusa√3. Este desarrollo, como está representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría la altura del triángulo

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Ambas pirámides X₁ y X₂ son simétricas, una respecto a la otra, en el sentido de que si hacen coincidir dos caras que sean iguales el plano que separa a ambas pirámides es un plano de simetría de las mismas. Por tanto, congruentes entre sí.

2.4. Particiones del prisma triangular

Las seis particiones del prisma reflejadas en la tabla 2 están representadas en la escena 17, donde se han mantenido los colores usados anteriormente en cada tipo de pirámide para así poder distinguir a simple vista cuál es la pirámide utilizada: rojo para tipo Y, blanco para tipo Z, azul para X₁ y verde para X₂.

Escena 17. Particiones del prisma triangular.

Sin embargo, de esas seis particiones hay solamente dos que no son congruentes entre sí, pues tenemos que se cumplen las siguientes relaciones (escena 18):

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Así pues, salvo isometrías, sólo hay dos particiones diferentes del prisma en pirámides triangulares (escena 19). Basta considerar, por ejemplo, la partición I y la II.
Adicionalmente se verifica que en la partición tipo I las pirámides que la componen son congruentes entre sí (y consecuentemente equivalentes) y en la tipo II son sólo equivalentes.

Escena 19. Partición con piramides congruentes y partición con pirámides equivalentes.

En la escena 20 se refleja un modelo en papel de las particiones obtenidas y de la relación existente entre ellas.

Escena 20. Modelo en papel.

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Giro alrededor del eje Oz	Giros alrededor del eje Oz y del eje Oy	Simetría respecto a un plano

Tabla 3. Isometrías para obtener un cubo a partir de un prisma triangular.

3.1 Opción A

Consideramos como distinguibles las seis particiones del prisma y procedemos a construir el cubo a partir de ellas. Para ello, en la tabla 4 hemos indicado cómo se transforman esas seis particiones cuando les aplicamos las isometrías indicadas en la tabla 3.

Las seis particiones se transforman en las mismas seis. Consecuentemente, las diferentes particiones del cubo en seis pirámides equivalentes se obtienen sin más que hallar las variaciones con repetición de 6 elementos (las particiones del prisma I, II, III, IV, V y VI) tomados de dos en dos, es decir, un total de VR_6,2 = 6² = 36 posibilidades. Pero entre ellas hay congruencias que hemos de detectar.

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Entre ellas hay dos: {I-I, I-IV} que, en particular, están formadas por pirámides congruentes entre sí.

Escena 22. Congruencias mediante giro Oz de 180º.

Tabla5. Aplicación de isometrías a las treinta y seis particiones prismáticas del cubo.

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Tabla 6. Detección de congruencias entre las diferentes particiones del cubo.

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3.3 Síntesis

Independientemente de la opción o camino seleccionado del análisis anterior se concluye que, salvo isometrías, hay sólo ocho formas diferentes de descomponer prismáticamente el cubo en seis pirámides equivalentes y entre ellas hay dos en las que todas las pirámides son también congruentes entre sí (todo queda desarrollado y englobado en la escena 24).

Escena 24. Síntesis de la partición prismática de un cubo en pirámides equivalentes.

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parte iii

Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera

Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en pirámides de base cuadrilátera

Un cubo es un caso particular de paralelepípedo y éste lo es de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras, es decir, de un poliedro convexo que cuenta con ocho vértices, doce aristas y seis caras cuadriláteras que podemos representar como {4, 4, 4, 4, 4, 4}. Por la similitud de forma y propiedades entre estos poliedros es lógico plantearse la extensión del análisis realizado en la partición del cubo en pirámides cuadradas a a la partición de estos hexaedros en pirámides de base cuadrilátera y es lo que procederemos a realizar a continuación.

El procedimiento para realizar la partición en pirámides cuadriláteras será el mismo abordado en el caso del cubo, es decir, elegir un punto del interior o de la frontera del poliedro considerado y desde él trazar segmentos que lo unan con los ocho vértices y se reproducirán las situaciones observadas antes:

• Si el punto considerado es un vértice la descomposición estará compuesta por tres pirámides cuadriláteras.
• Si el punto pertenece a una arista serán cuatro las pirámides obtenidas.
• Si el punto es del interior de una cara son cinco las pirámides.
• Si el punto es del interior del hexaedro serán seis las pirámides.

Lo que obviamente cambiará es la regularidad y congruencia entre las pirámides obtenidas ya que ésta depende de la regularidad del poliedro inicial considerado.

Desde el punto de vista teórico la abstracción permite iniciar el planteamiento sin más que marcar “sea un paralelepípedo o sea un hexaedro convexo de caras cuadriláteras”, pero la definición de uno y otro a nivel técnico conlleva el establecimiento de los datos mínimos que determinan dichos poliedros, facilitar la introducción de estos datos al usuario y controlar que efectivamente los datos aportados por el mismo son conducentes a un sólido en la situación aquí considerada y advertir en caso de no serlo. Es un hecho habitual que cuando se desea controlar informáticamente la definición genérica de un objeto matemático su control no sea siempre algo obvio y requiera planteamientos adicionales que sin embargo quedan como evidentes en la

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Figura 5. Definición de un paralelepípedo fijando un vértice y otros tres adyacentes a él.

En dicha escena 25, con objeto de facilitar la reproducción de los diferentes tipos de paralelepípedos y analizar las descomposiciones obtenidas en cada caso particular, se le ofrece al usuario la posibilidad de que seleccione el tipo de paralelepípedo que desea:

• Cubo. Dibuja un cubo de arista unidad, pero la longitud de ésta obviamente no es significativa para la partición. Un mero cambio de escala, una homotecia relaciona a todos los cubos.
• Ortoedro en el que mediante dos controles se permite variar la longitud de las aristas y así poder trabajar con ortoedros que tengan tres o dos dimensiones diferentes e incluso obtener el caso particular del cubo.
• Romboedro en el que basta indicar la amplitud del ángulo agudo, o recto en el caso extremo, que determina el rombo común a todas las caras. Aquí tampoco es significativa la longitud de la arista.
• Romboiedro en general, indicando los cuatro vértices no coplanarios ya señalados.

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Para cualquier paralelepípedo se verifica que la partición mínima, la de menor número de pirámides, se obtiene cuando el punto común de todas las cúspides de dichas pirámides coincide con un vértice del paralelepípedo. Son tres las pirámides cuadriláteras que componen esa partición y además son equivalentes.

Si bien en la escena 25, sin más que definir adecuadamente los vértices, se puede reproducir la situación antes indicada para cada uno de los tipos de paralelepípedos (cubo, ortoedro, romboedro y romboiedro) en las siguientes escenas se reflejan ejemplos que facilitan la observación de lo señalado en cada situación particular.

Partición de un cubo en tres pirámides cuadriláteras

Este caso ya se ha analizado en detalle en la Parte I, página 3, escena 1.

Partición de un ortoedro en tres pirámides cuadriláteras

En la escena 26 se ha considerado como ejemplo el ortoedro [-0.5, 0]x[-0.5, 1]x[-0.5, 0.5], es decir, con diferentes dimensiones. Como cúspide de las pirámides cuadriláteras se ha tomado el vértice de coordenadas (0, 1, 0.5). Esta escena es la número 25, pero fijando los valores correspondientes a este ejemplo y desactivando los controles que permitirían su modificación.

Escena 26. Un ejemplo de una partición mínima de un ortoedro en pirámides cuadriláteras.

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1.3 Definición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4}

En este caso una posible alternativa para definir este hexaedro es establecer dos vértices opuestos y para cada uno de ellos marcar la dirección y sentido de las tres aristas que se intersecan en él. Así, para cada vértice se determinan tres planos y si la intersección es adecuada determinan las seis caras cuadriláteras. La escena controla que la intersección de dichos planos sea conducente al deseado hexaedro y aporta detalles de las posibles causas que acontecen cuando el poliedro obtenido no sea del tipo buscado o cuando con los datos aportados no sea posible su construcción. Ver figura 6.

Figura 6. Definición de un hexaedro convexo{4,4,4,4,4,4}.

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parte iv

Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base triangular

Análogamente a lo realizado en el cubo, la partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base triangular puede abordarse desde dos perspectivas o procedimientos:

• Descomposición de cada una de las pirámides cuadriláteras obtenidas en la parte III de este artículo en dos triangulares. En este caso, consecuentemente, tendremos que:
  
  • Si el punto considerado es un vértice del hexaedro la descomposición estará compuesta por tres pirámides cuadriláteras que conducen a seis triangulares.
  • Si el punto pertenece a una arista serán cuatro las pirámides cuadriláteras obtenidas y ocho las triangulares.
  • Si el punto es del interior de una cara son cinco las pirámides cuadriláteras y diez las triangulares.
  • Si el punto es del interior del hexaedro serán seis las pirámides cuadriláteras y doce las triangulares.

• Construcción específica.

En el primer caso la partición mínima estará compuesta por seis pirámides triangulares, la correspondiente a la descomposición de la partición en tres pirámides cuadriláteras, pero es imprescindible la segunda perspectiva para poder obtener la partición con menor número de elementos que es la compuesta por cinco pirámides triangulares.

1. Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en pirámides de base triangular por descomposición de pirámides cuadriláteras

Dentro de este apartado analizaremos primero el caso particular del paralelepípedo porque el paralelismo que se exige a sus caras traslada, en determinados casos, algunas de las situaciones observadas en el caso particular del cubo. Por ejemplo, la existencia de particiones prismáticas que para el cubo y el ortoedro son prismas rectos y en el caso del romboedro y romboiedro son prismas inclinados.

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En todos los casos las seis pirámides triangulares obtenidas son equivalentes, pues partimos de tres pirámides cuadriláteras ―en concreto las bases son paralelogramos― equivalentes y lo que hacemos es dividir la base cuadrilátera en dos triángulos de igual área y ello es lo que conduce a dos pirámides triangulares cada una con volumen la mitad del volumen de la pirámide cuadrilátera original y, por tanto, equivalentes.

De nuevo, aunque la escena 30 permite reproducir cualquier situación, en las siguientes escenas reflejaremos ejemplos de particiones no prismáticas para cada uno de los tipos particulares de paralelepípedos.

Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares

Es el caso particular analizado en la parte II, página 13, escena 7.

Partición no prismática de un ortoedro en seis pirámides triangulares

En la escena 31 se muestra la partición no prismática del ortoedro [-0.5, 0]x[-0.5, 1]x[-0.5, 0.5]. Como cúspide de las pirámides cuadriláteras se ha tomado el vértice de coordenadas (0, 1, 0.5) y para que la partición no sea prismática todas las diagonales que dividen a las caras del ortoedro tienen distinta dirección.

Escena 31. Un ejemplo de una partición no prismática de un ortoedro.

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1.2 Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} mediante división de pirámides cuadriláteras en triangulares

La escena 34 permite realizar interactivamente la descomposición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides triangulares mediante la división de las pirámides de base cuadrilátera obtenidas en la parte III, p. 44. Como ya se ha indicado, con este procedimiento, la partición mínima está compuesta por seis pirámides triangulares.

Escena 34. Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en seis pirámides triangulares.

Si las diagonales de dos caras opuestas del hexaedro están en un mismo plano, éste divide al hexaedro en dos pentaedros {3,4,4,4,3}, es decir, pentaedros pseudo-prismáticos ―prismas estrictos sólo cuando el hexaedro es un paralelepípedo―. Lo analizaremos posteriormente.

2. Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} mediante construcción específica

La determinación de la partición de cardinal mínimo de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en pirámides triangulares requiere abordar una construcción específica y diferente al planteamiento realizado en la sección anterior. Esta construcción sigue un proceso análogo al realizado en la

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Pueden darse, por tanto, las siguientes situaciones:

• Que todas las diagonales tengan distinta dirección, de manera que:
  • Si esas seis diagonales no conforman una pirámide única, entonces se obtienen las particiones no prismáticas analizadas en el punto 1.1.
  • Si con esas seis diagonales se construye una pirámide triangular, ésta queda ubicada en el interior del paralelepípedo y lo fracciona en cinco pirámides, obteniéndose la partición de cardinal mínimo (escena 37).
    Se verifica que las cuatro pirámides exteriores son equivalentes entre sí y el volumen de cada una de ellas es la sexta parte del volumen total y, por tanto, el volumen de la pirámide interior es la tercera parte del total.

Escena 37. Partición de un paralelepído en pirámides triangulares con cardinal mínimo (cinco pirámides).

• Que al menos halla dos diagonales que sean paralelas. En este caso esas dos diagonales determinan un plano que divide al paralelepípedo en dos prismas triangulares, lo cual conduce a particiones prismáticas que analizaremos posteriormente y que contarán como mínimo con seis pirámides triangulares.

2.2 Partición mínima de un hexaedro convexo en pirámides triangulares

Si el hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} no es un paralelepípedo hemos de indicar que la situación análoga a la antes señalada, relativa a diagonales de caras opuestas con diferente dirección, se

53

Escena 38. Partición de un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} en cinco pirámides triangulares.

• Que al menos haya dos diagonales de caras opuestas que no sean coplanarias, pero que estén conectadas por aristas. Por ejemplo, en la imagen derecha de la figura 7 las diagonales AC y EG están en esa situación. Por tanto, la poligonal cerrada ACGE al no ser plana no determina la cara de un poliedro y consecuentemente para abordar la partición es necesario introducir elementos adicionales como podría ser el segmento EC o el AG (el hexaedro inicial queda partido en dos hexaedros {3,4,4,3,3,3}, descomposición que denominaremos hexaédrica) u otros que atraviesen la región espacial enmarcada por dicha poligonal. La necesaria introducción de estos nuevos elementos conduce a que la partición no pueda ser de cardinal mínimo, tendrá un mínimo de seis pirámides.
• Que al menos haya dos diagonales de caras opuestas que sean coplanarias. El hexaedro queda dividido en dos pentaedros {3,4,4,4,3} y la partición decimos que es pseudo-prismática (puede considerarse como un caso particular de la descomposición hexaédrica del apartado anterior). Como mínimo la partición del hexaedro tendrá seis pirámides.

3. Partición prismática de un paralelepípedo en pirámides triangulares

En la sección 2.1 se ha observado que en un paralelepípedo cuando hay al menos dos diagonales de caras opuestas que son coplanarias, entonces puede descomponerse en dos prismas

55

Escena 39. Partición de un paralelepípedo en dos prismas triangulares.

3.1 Partición de un prisma triangular oblicuo en pirámides triangulares

Consideremos inicialmente el caso más genérico, el de un prisma oblicuo de base un triángulo escaleno (ver escena 40), y posteriormente iremos concretando los diferentes casos particulares.

57

Escena 41. Partición de un prisma triangular oblicuo en pirámides triangulares.

Partición de un prisma procedente de un romboiedro

Si consideramos que el prisma triangular procede de la partición de un romboiedro, entonces, en general, las longitudes l, a, b, c, d1, d2, d3, d4, d5, d6 son distintas. En base a ello, en la escena 42 se refleja una tabla donde se detalla cada una de las seis particiones posibles, señalando los vértices de las tres pirámides que conforman cada partición e indicando con un 1 los segmentos que constituyen sus aristas. Esta escena cuenta también con un menú, ubicado en la parte superior, donde se puede seleccionar ver las particiones y observar, si se desea, los segmentos con sendas etiquetas que reflejan su medida.

59

Al tener esos diez segmentos diferente longitud, las doce pirámides son diferentes (en esa tabla en la columna "Pirámide tipo" las hemos numerado del 1 al 12) y en la escena 43 pueden compararse todas ellas, dos a dos. Para cada pirámide se ha coloreado su exterior (en rojo y en azul) y el interior en blanco, pudiendo obtenerse su desarrollo plano mediante una animación, si bien, éste, se muestra directamente en la parte inferior, permitiendo proceder a su impresión y reproducción física si se desea.

Escena 43. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un romboiedro.

Ha de tenerse presente que a partir de un desarrollo plano, según se pliegue en un sentido u otro, se obtienen dos pirámides con aristas iguales, pero diferente orientación, es decir, el exterior pasa a ser el interior y viceversa. Ambas son congruentes mediante una simetría central. De esto haremos uso en la partición prismática de cada paralelepípedo.

También, al comparar las seis particiones entre sí se observa que no hay ninguna congruencia entre ellas. Todas están constituidas por grupos de pirámides diferentes.

61

Comparando las doce pirámides entre sí (escena 45), se observa que sólo hay seis tipos diferentes, si bien pueden aparecer con distinta orientación, es decir, que son congruentes mediante una simetría central o especular (según se desee o necesite). En la tabla, esta congruencia se ha indicado incluyendo un asterisco a continuación del tipo. Por ejemplo ACEF y ACFG son ambas de tipo 4, pero tienen distinta orientación, ACFG es la simétrica de ACFG y viceversa. Las pirámides de tipo 3, 5 y 6 son simétricas y, por tanto, 3 = 3*, 5 = 5* y 6 = 6*.
En esta escena pueden imprimirse los desarrollos planos de todas las pirámides y construir las diferentes particiones.

Escena 45. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un romboedro (primer caso).

También, al comparar las particiones entre sí, encontramos que son congruentes dos a dos, pues son simétricas por parejas: la I con la IV, II y V, y III y VI (en la tabla se representan con igual color). Así pues, son tres las formas de dividir un prisma de este tipo, salvo congruencias.

63

Comparando las doce pirámides entre sí (escena 47), de nuevo se observa que hay seis tipos diferentes. De ellas la 1 y la 2 son simétricas (1 = 1* y 2 = 2*); la 3 es asimétrica y aparece en las particiones tanto la 3 como la 3*; y las 4, 5 y 6 son asimétricas y no aparecen en las particiones las pirámides 4*, 5*y 6*. Estas observaciones anteriores serán de interés cuando abordemos la contrucción de las particiones prismáticas del romboedro.
Al igual que en los casos anteriores, pueden imprimirse los desarrollos planos de todas las pirámides y construir las diferentes particiones.

Escena 47. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un romboedro (segundo caso).

Comparando las particiones encontramos que son cuatro las formas de dividir un prisma de este tipo, salvo congruencias. En este caso I y V son congruentes mediante la composición de un giro alrededor del eje OY y otro alrededor de OZ (según la orientación inicial con la que se representa el prisma en la escena), e igualmente ocurre con IV y VI.
Adicionalmente se da la particularidad que la partición II está formada por pirámides que son sólo de un tipo, es decir, que son congruentes entre sí.

65

En la escena 49 se pueden comparar las doce pirámides y se puede comprobar que hay seis tipos diferentes, que todas son asimétricas y que en las diferentes particiones aparecen los seis tipos por parejas, es decir, una pirámide y su simétrica. Las doce pirámides son 1, 1*, 2, 2*, 3, 3*, 4, 4*, 5, 5*, 6 y 6*. Pueden imprimirse todos los desarrollos planos de esas pirámides y construir las diferentes particiones.

Escena 49. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un ortoedro (primer caso).

Comparando las particiones se obtiene que son tres las formas de dividir un prisma de este tipo, salvo congruencias. I y IV, II y III, V y VI coinciden respectivamente mediante una simetría especular y un giro, o bien de manera equivalente mediante una simetría central.

67

Aquí, al igual que en el caso general anterior, son tres las particiones obtenidas, pero sólo con cinco tipos de pirámides. En la escena 51 se pueden observar y comparar esos cinco tipos de pirámides. Las tipo 1, 2, 3 y 5 son asimétricas y aparecen con sus dos orientaciones posibles. Sin embargo la pirámide tipo 4 es simétrica, es decir, 4 = 4*.

Escena 51. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un ortoedro (segundo caso).

La partición I y la IV son congruentes mediante una simetría especular y un giro (o bien una simetría central). Y análoga situación acontece con las particiones II y III, y con las V y VI.

La escena permite obtener e imprimir los desarrollos planos de cada una de esas pirámides.

69

En este caso sólo tenemos cuatro tipos de pirámides diferentes, apareciendo en las dos orientaciones posibles. Las tipo 1, 2 y 4 son asimétricas y la 3 es simétrica (3 = 3*). La escena 53 permite comprobar lo indicado.

Escena 53. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un ortoedro (tercer caso).

Salvo congruencias solamente tenemos dos formas de partir este prisma. La partición I y la IV son congruentes mediante una simetría especular o bien una simetría central. Las cuatro particiones II, III, V y VI son congruentes entre sí: II y III mediante una simetría central; II y V con una simetría especular y II y VI realizando un giro.

De nuevo la escena permite obtener e imprimir los desarrollos planos de cada una de esas pirámides.

71

general planteado en el análisis de todos los casos anteriores.

De los tres tipos de pirámides, el 1 es una pirámide asimétrica y aparecen las dos orientaciones posibles: 1 y 1*. Las pirámides tipo 2 y 3 son simétricas. Todo es observable en la escena 55.

Escena 55. Comparación y desarrollos planos de las pirámides triangulares en la partición
de un prisma procedente de un cubo.

La partición I y la IV son congruentes mediante una simetría especular o bien una simetría central. Las cuatro particiones II, III, V y VI son congruentes entre sí: II y III mediante una simetría central; II y V con una simetría especular y II y VI realizando un giro. Así pues, salvo congruencias, solamente tenemos dos formas de partir este prisma, por ejemplo, las particiones I y II. Y, en particular, la I está formada por pirámides que también son congruentes entre sí.

La escena permite obtener e imprimir los desarrollos planos para su construcción en papel.

73

La pirámide tipo 2 es simétrica, es decir, 2 = 2*; y también lo es la 3, 3 = 3*.
En la escena 56 se pueden observar las cuatro pirámides (1, 1*, 2 y 3) y sus desarrollos planos.

Escena 56. Pirámides en la partición prismática de un cubo.

Aplicando un giro, una simetría especular y una simetría central se obtienen las siguientes congruencias entre las seis particiones:

	I	II	III	IV	V	VI
	I	VI	V	IV	III	II
	IV	V	VI	I	II	III
	IV	III	II	I	VI	V

75

Escena 57. Particiones del cubo en pirámides triangulares.
Desarrollos planos de la partición.

Partición prismática de un ortoedro (tercer caso)

Un ortoedro con dos dimensiones diferentes puede partirse en dos prismas dividiéndolo por las dos caras cuadradas opuestas. Salvo congruencias hay una única forma de hacerlo. Esos dos prismas tienen simetría especular respecto al plano de corte y simetría central respecto al punto de intersección de las diagonales del ortoedro.

Según lo analizado en la sección anterior (3.1), cada uno de esos prismas puede partirse en pirámides triangulares equivalentes de seis formas diferentes (I, II, III, IV, V y VI).

77

Aplicando un giro, una simetría especular y una simetría central se obtienen las siguientes congruencias entre las seis particiones:

	I	II	III	IV	V	VI
	I	VI	V	IV	III	II
	IV	V	VI	I	II	III
	IV	III	II	I	VI	V

La situación es similar, casi idéntica, al caso del cubo. Así pues, salvo transformaciones isométricas, hay sólo dos particiones diferentes (en las tablas anteriores se han reflejado usando el mismo color para todas particiones congruentes). Basta considerar, por ejemplo, la I y la II.

La construcción del ortoedro se aborda considerando dos de las particiones del prisma anterior y yuxtaponiéndolas. Son 36 las posibilidades, resultado de {I, II, III, IV, V, VI} x {I, II, III, IV, V, VI}. Pero, por las congruencias indicadas, basta considerar las posibles combinaciones de {I, II} con {I, II, III, IV, V, VI}, obteniéndose las siguientes posibilidades:

Pero entre ellas es necesario buscar posibles congruencias y detectamos que aplicando:

• un giro alrededor de Oy, I-V se transforma en I-III
• un giro alrededor de Oy, I-VI se transforma en I-II
• simetría central, II-IV se transforma en I-III

79

Partición prismática de un ortoedro (segundo caso)

Un ortoedro con dos dimensiones diferentes puede partirse en dos prismas si lo dividimos por dos caras rectangulares opuestas. Salvo congruencias hay una única forma de hacerlo. Esos dos prismas tienen simetría central respecto al punto de intersección de las diagonales del ortoedro.

Según lo analizado en la sección anterior (3.1), cada uno de esos prismas puede partirse en pirámides triangulares equivalentes de seis formas diferentes (I, II, III, IV, V y VI).

A su vez, cada partición está compuesta por tres pirámides y en ellas aparecen cinco tipos que identificamos como 1, 2, 3, 4 y 5.

La pirámide tipo 1 es asimétrica y aparece en sus dos orientaciones posibles que indicamos como 1 y 1*. Ambas están relacionadas mediante una simetría central. Sus desarrollos planos son simétricos, pero si se desea puede utilizarse un único desarrollo plano y plegando en un sentido se obtiene una y plegando en el sentido opuesto la otra. También acontece esta situación con las pirámides 2, 3 y 5, y sus respectivas 2*, 3* y 5*. Sin embargo, la pirámide tipo 4 es simétrica, es decir, 4 = 4*.
En la escena 60 se pueden observar las nueve pirámides (1, 1*, 2, 2*, 3, 3*, 4, 5 y 5*) y sus desarrollos planos.

Aplicando una simetría central se obtienen las siguientes congruencias entre las seis particiones:

	I	II	III	IV	V	VI
	IV	III	II	I	VI	V

81

La construcción del ortoedro se aborda considerando dos de las particiones del prisma anterior y yuxtaponiéndolas. Son 36 las posibilidades, resultado de {I, II, III, IV, V, VI} x {I, II, III, IV, V, VI}. Pero, por las congruencias indicadas, basta considerar las posibles combinaciones de {I, II, V} con {I, II, III, IV, V, VI}, obteniéndose las siguientes posibilidades:

Pero entre ellas es necesario buscar posibles congruencias y detectamos que aplicando:

• una simetría central, V-IV se transforma en I-VI.
• una simetría central, V-III se transforma en II-VI.
• una simetría central, II-IV se transforma en I-III.

Por ello, las posibilidades de partir un ortoedro, que cumpla las condiciones especificadas, en pirámides triangulares equivalentes son doce:

En la escena 61 pueden observarse estas doce particiones del ortoedro y obtenerse las que son congruentes con ellas. También pueden imprimirse los desarrollos planos de cada partición y reproducirse un modelo tangible de las mismas.

83

De las tres posibilidades indicadas mostraremos a continuación una de ellas. Las otras dos son análogas.

Según lo analizado en la sección anterior (3.1), cada uno de esos prismas puede partirse en pirámides triangulares equivalentes de seis formas diferentes (I, II, III, IV, V y VI).

A su vez, cada partición está compuesta por tres pirámides y en ellas aparecen seis tipos que identificamos como 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

La pirámide tipo 1 es asimétrica y aparece en sus dos orientaciones posibles que indicamos como 1 y 1*. Ambas están relacionadas mediante una simetría central. Sus desarrollos planos son simétricos, pero si se desea puede utilizarse un único desarrollo plano y plegando en un sentido se obtiene una y plegando en el sentido opuesto la otra. También acontece esta situación con las otras cinco pirámides 2, 3, 4, 5 y 6, y sus repectivas 2*, 3*, 4*, 5* y 6*.
En la escena 62 se pueden observar las doce pirámides (1, 1*, 2, 2*, 3, 3*, 4, 4*, 5, 5*, 6 y 6*) y sus desarrollos planos.

Aplicando una simetría central se obtienen las siguientes congruencias entre las seis particiones:

	I	II	III	IV	V	VI
	IV	III	II	I	VI	V

Así pues, salvo transformaciones isométricas, hay tres particiones diferentes (en las tablas anteriores se han reflejado usando el mismo color para todas particiones congruentes). Basta considerar, por ejemplo, la I, la II y la V.

85

La construcción del ortoedro se aborda considerando dos de las particiones del prisma anterior y yuxtaponiéndolas. Son 36 las posibilidades, resultado de {I, II, III, IV, V, VI} x {I, II, III, IV, V, VI}. Pero, al igual que en el segundo caso, por las congruencias indicadas basta considerar las posibles combinaciones de {I, II, V} con {I, II, III, IV, V, VI}, obteniéndose las siguientes posibilidades:

Pero entre ellas es necesario buscar posibles congruencias y detectamos que aplicando:

• una simetría central, V-IV se transforma en I-VI.
• una simetría central, V-III se transforma en II-VI.
• una simetría central, II-IV se transforma en I-III.

Por ello, las posibilidades de partir un ortoedro, que cumpla las condiciones especificadas, en pirámides triangulares equivalentes son doce:

En la escena 63 pueden observarse estas doce particiones del ortoedro y obtenerse las que son congruentes con ellas. También pueden imprimirse los desarrollos planos de cada partición y reproducirse un modelo tangible de las mismas.

87

a) Según lo analizado en la sección anterior (3.1), uno de esos prismas puede partirse en pirámides triangulares equivalentes de seis formas diferentes (I, II, III, IV, V y VI).

A su vez, cada partición está compuesta por tres pirámides y en ellas aparecen seis tipos que identificamos como 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

La pirámide tipo 3 es asimétrica y aparece en sus dos orientaciones posibles que indicamos como 3 y 3*. Ambas están relacionadas mediante una simetría central o una especular. Sus desarrollos planos son simétricos, pero si se desea puede utilizarse un único desarrollo plano y plegando en un sentido se obtiene una y plegando en el sentido opuesto la otra. Las pirámides 4, 5 y 6 también son asimétricas, pero en estas particiones no parecen sus simétricas 4*, 5* y 6*. Las pirámides 1 y 2 son simétricas (1 = 1* y 2 = 2*).

Aplicando un giro alrededor del eje Oz y otro alrededor de Oy, lo que es equivalente a una rotación alrededor de Ox, se obtienen las siguientes congruencias entre las seis particiones:

	I	IV
	V	VI

Así pues, salvo transformaciones isométricas, hay cuatro particiones diferentes (en las tablas anteriores se han reflejado usando el mismo color para todas particiones congruentes). Basta considerar, por ejemplo, la I, la II, la III y la IV.
En particular la partición II está formada por pirámides que son congruentes entre sí.

89

Escena 64. Pirámides en la partición prismática de un romboedro (caso segundo).

La construcción del ortoedro se aborda considerando una de las particiones del primer prisma analizado y otra del segundo, yuxtaponiéndolas. Son 36 las posibilidades resultado de {I, II, III, IV, V, VI} x {I', II', III', IV', V', VI'}. Pero por las congruencias indicadas basta considerar las resultantes de {I, II, III, IV} x {I', II', III', IV', V', VI'}, obteniéndose las siguientes posibilidades:

91

En la escena 65 pueden observarse estas particiones y las congruentes con ellas. Pueden imprimirse los desarrollos planos de cada partición y reproducirlas de manera tangible.

Escena 65. Particiones de un romboedro en pirámides triangulares (caso segundo). Desarrollos planos de la partición.

93

Así pues, salvo transformaciones isométricas, hay tres particiones diferentes (en las tablas anteriores se han reflejado usando el mismo color para todas particiones congruentes). Basta considerar, por ejemplo, la I, la II y la III.

b) El otro prisma puede partirse en pirámides triangulares equivalentes de seis formas diferentes (I', II', III', IV', V' y VI').

De manera similar, cada partición está compuesta por tres pirámides y en ellas aparecen los seis tipos de pirámides anteriores y sus simétricas.

También aplicando una simetría especular, similar a la anterior, se obtienen las congruencias análogas:

	I'	II'	III'	IV'	V'	VI'
	IV'	V'	VI'	I'	II'	III'

Así pues, salvo transformaciones isométricas, hay tres particiones diferentes (en las tablas anteriores se han reflejado usando el mismo color para todas particiones congruentes). Basta considerar, por ejemplo, I', II' y III'.

En la escena 66 se pueden observar las nueve pirámides (1, 1*, 2, 2*, 3, 4, 4*, 5 y 6) y sus desarrollos planos.

95

Aplicando una doble rotación en Oz y Oy, o su equivalente alredor de Ox, o una simetría central respecto al punto de intersección de las diagonales del romboedro, tenemos las siguientes transformaciones:

	I	II	III	IV	V	VI
	IV'	V'	VI'	I'	II'	III'
	I'	II'	III'	IV'	V'	VI'

Y sus análogas:

	I'	II'	III'	IV'	V'	VI'
	IV	V	VI	I	II	III
	I	II	III	IV	V	VI

Lo cual reduce las posibilidades a doce particiones, indicadas en la siguiente tabla:

97

Partición prismática de un romboiedro

En la sección 3.1, pp. 59-61, analizamos que un prisma procedente de un romboiedro puede descomponerse en seis particiones en las que intervienen doce pirámides triangulares diferentes y asimétricas. No existe ninguna congruencia entre estas particiones.

A partir de ese prisma, la construcción del romboiedro sólo es posible mediante la aplicación de una simetría central. Este prisma simétrico podrá descomponerse a su vez en seis particiones que son simétricas de las anteriores y que estarán compuestas por las respectivas pirámides simétricas (de nuevo denotamos por 1* la pirámide simétrica de la 1, y análogamente el resto).

En la escena 68 se reflejan las doce pirámides posibles y sus simétricas, en total veinticuatro pirámides. También puede obtenerse el desarrollo plano de todas ellas.

La yuxtaposición de esos dos prismas da lugar al romboiedro. Y consecuentemente las posibles particiones del mismo son 36, las resultantes del producto {I, II, III, IV, V, VI} x {I', II', III', IV', V', VI'}.

99

En la escena 69 pueden observarse estas trienta y seis particiones. Pueden imprimirse los desarrollos planos de cada partición y reproducirlas de manera tangible.

Escena 69. Particiones de un romboiedro en pirámides triangulares. Desarrollos planos de la partición.

101

• Ver las pirámides posibles. Opción mediante la que se muestran los desarrollos planos de las diferentes pirámides que pueden aparecer en las particiones. Aquí, en una rápida visión, puede interpretarse que algún desarrollo no coincide con los observados en los casos particulares analizados, pero una atenta observación conducirá a que no es más que un desarrollo equivalente.
• Elegir partición. Puede seleccionarse una de las 36 particiones posibles, ver las pirámides que intervienen en ella e imprimir su desarrollo.

Escena 70. Particiones prismáticas de un paralelepípedo en pirámides triangulares. Caso general.

103

4.1 Partición hexaédrica en pirámides triangulares

En la escena 72 se muestra la partición hexaédrica de un hexaedro {4,4,4,4,4,4} con vértices {A, B, C, D, E, F, G, H} en el que se han considerado las diagonales AC y EG que no son coplanarias y que están conectadas por las aristas AE y CG. Este hexaedro puede partirse en dos hexaedros {3,4,4,3,3,3} de dos maneras: seleccionando el segmento CE y el AG. Para cada una de estas dos elecciones cada uno de los hexaedros obtenidos pueden partirse en tres pirámides triangulares de tres formas diferentes.

Escena 72. Partición hexaédrica de un hexaedro {4,4,4,4,4,4} en pirámides triangulares.

105

Así pues, para una pareja de segmentos no coplanarios conectados por aristas obtenemos dieciocho particiones diferentes en la que intervienen 24 pirámides triangulares.

En la escena 73 se pueden observar todas esas particiones, las pirámides que las forman e imprimir el desarrollo plano de las mismas para reproducir físicamente dicho hexaedro.

Escena 73. Pirámides triangulares que intervienen en la partición hexaédrica de un hexaedro {4,4,4,4,4,4}.

107

En la tabla siguiente se detallan las diferentes particiones y las 24 pirámides que las componen (12 por cada pseudo-prisma).

Así pues, eligiendo una partición de cada pseudo-prisma obtenenos que el hexaedro {4,4,4,4,4,4} puede partirse de treinta y seis formas, las resultantes de {Ia, IIa, IIIa, IVa, Va, VIa} x {Ib, IIb, IIIb, IVb, Vb, VIb}.

En la escena 75 se pueden observar todas esas particiones, las pirámides que las forman e imprimir el desarrollo plano de las mismas para reproducir físicamente dicho hexaedro.

109

Conclusiones

En este artículo se ha abordado la partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras {4,4,4,4,4,4} en pirámides de caras cuadriláteras y pirámides triangulares. Realizando inicialmente el estudio del caso más regular, un cubo, se han establecido pautas para lograr un análisis más global y, a la vez, detallado para detectar las simplificaciones que introduce cualquier regularidad.

La partición en pirámides de base cuadrilátera presenta un esquema único basado en la consideración de un punto que se ubique bien en la frontera o bien en el interior del poliedro que vamos a partir. Este punto se configura como el vértice o cúspide común de las pirámides que conforman la partición y el hecho de que dicho poliedro sea más o menos regular lo que introduce es una mayor o menor regularidad en las pirámides obtenidas. La partición mímima está formada por tres pirámides y acontece cuando la cúspide seleccionada coincide con un vértice del hexaedro. Si el punto seleccionado se ubica en una arista, en una cara o en el interior se generan sendas particiones formadas por cuatro, cinco y seis pirámides respectivamente. Se aportan las herramientas interactivas suficientes para visualizar de manera digital dichas particiones y también para poder ver e imprimir los desarrollos planos de las pirámides de la partición con los que se puede construir tangiblemente el hexaedro partido.

La partición en pirámides de base triangular se aborda desde dos perspectivas: una basada en la división en dos de cada una de las pirámides cuadriláteras obtenidas en las particiones anteriores y otra mediante una construcción específica. La primera conduce a un mínimo de seis pirámides y la segunda a la partición mínima constituida por cinco pirámides.

• Para cada paralelepípedo hay una única forma de construir la partición mínima en cinco pirámides triangulares. Sin embargo para un hexaedro convexo {4,4,4,4,4,4} genérico se tienen dos formas de obtener esa partición.
• La partición en seis pirámides difiere en el caso de los paralelepípedos y el de un hexaedro genérico:
• Para los paralelepípedos las particiones pueden clasificarse en particiones no prismáticas y particiones prismáticas.
• Para un hexaedro genérico hablaremos de particiones pseudo-prismáticas y no pseudo-prismáticas, pero en este caso y dentro de estas últimas se detectan las que hemos denominado particiones hexaédricas.

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