Geometria analítica
do plano
INTERATIVO
GEOMETRIA ANALÍTICA DO PLANO
INTERATIVO
María José García Cebrian
Rede Educativa Digital Descartes, Espanha
Tradução para o portugues: Lindberg Barbosa Lira de Almeida
FAMASUL - Faculdade de Formação de Professores da Mata Sul -
Palmares/PE - Brasil.
Fundo Editorial
Córdoba (España)
2023
Título da obra Projeto do livro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Red Educativa Digital Descartes
ISBN: 978-84-18834-65-3
Geometria analítica do plano
Autor: María José García Cebrian
Traduçao: Lindberg Barbosa Lira de Almeida
Design de capa: Diana María Velásquez García
Livraria turn.js: Emmanuel García
Ferramenta de edição: DescartesJS
Fonte: Amaranth
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/
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Todos os objetos interativos e os conteúdos desta obra coletiva são protegidos pela Lei de Propriedade Intelectual.
Tabela de conteúdo
1. Vetores fixos e vetores livres3
2.1. Soma e produto por um escalar4
3.1. Dependência e independência linear5
3.4. Operações com vetores dados por suas coordenadas6
4.2. Produto escalar de dois vetores7
4.3. Interpretação geométrica do produto escalar8
1. Sistema de referência e pontos no plano13
1.2. Ponto médio de um segmento14
2.2. Outras formas da equação da reta17
iii
2.3. Retas paralelas e retas perpendiculares18
2.4. Posições relativas de duas retas no plano20
3. Exercícios resolvidos: Retas e pontos notáveis do triângulo22
2. Distâncias entre pontos e retas28
2.1. Distância entre dois pontos28
2.2. Distância entre um ponto e uma reta28
2.3. Distância entre duas retas29
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Introdução
A Geometria Analítica é o ramo da geometria que estuda certos objetos geométricos a partir de um sistema de coordenadas utilizando os métodos da álgebra e da análise matemática.
Sua invenção é atribuída a René Descartes (1596-1650), pois foi ele o primeiro a publicar o termo no apêndice da sua obra Discurso do Método, embora se saiba que Pierre de Fermat (1601-1665) conhecia e utilizava o método antes da sua publicação por Descartes.
No vídeo a seguir1 você pode ver um breve histórico da Geometria Analítica.
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| Este livro trata do estudo da Geometria Analítica Plana de acordo com os conteúdos de Matemática I para o 1º ano do Bacharelado na Espanha. Foi dividido em três partes diferentes. | |
Na Parte I são abordados os vetores, a base do desenvolvimento subseqüente.
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Na Parte II: O plano afim, está dedicada as retas, suas equações e posições relativas.
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Na Parte III: O plano métrico, aborda-se a resolução de diferentes problemas métricos no plano. O produto escalar nos permitirá calcular ângulos e distâncias no plano.
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No final de cada uma dessas seções sob o título "Praticar mais", há uma coleção de exercícios e problemas para consolidar os conceitos aprendidos. Por fim, é apresentado um questionário de autoavaliação que permite ao aluno avaliar os conhecimentos adquiridos. |
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parte i
Vetores
1. Vetores fixos e vetores livres
O conjunto IR2 é formado por todos os pares ordenados de números reais (x, y). O primeiro elemento, x, é a primeira componente do par; o segundo, y, é a segunda componente.
Dois elementos de IR2 são iguais se suas respectivas componentes também forem. Entre os elementos de IR2 podemos definir as seguintes operações:
- Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
- Produto por um escalar: t·(x1, y1) = (t·x1, t·y1)
Um elemento de IR2 pode ser representado por um ponto de forma habitual utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, formado por dois eixos perpendiculares X, Y que se cortam no ponto O. As retas são os eixos coordenados e o ponto O é a origem das coordenadas. Dado um ponto P(x, y), a primeira coordenada é associada ao eixo X e a segunda ao eixo Y.
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2. Operações com vetores
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3. Bases e coordenadas
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4. Produto escalar
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Exercícios para praticar
Abaixo estão mais exercícios para praticar vetores. Você pode escolher no menu o tipo que prefere para começar. A solução é oferecida para todos eles.
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parte ii
O plano afim
1. Sistema de referência e pontos no plano.
1.1. Pontos alinhados
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1.2. Ponto médio de um segmento
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2. Retas no plano
Uma reta no plano é determinada por um ponto P e um vetor diferente de zero v, chamado de vetor direcional ou diretor da reta.
Os pontos X da reta que passam por P(x0, y0) e têm por vetor diretor v(vx, vy) cumprem a relação vetorial PX = tv com t∈IR, e como OX = OP + PX podemos escrever OX = OP + tv.
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2.1. Equação da reta
Para encontrar a equação de uma reta, precisamos conhecer um ponto e um vetor direcional ou dois pontos sobre ela. Nesse caso, o vetor de direção é aquele que vai de um ponto ao outro.
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2.2. Outras formas da equação da reta
A inclinação indica o aumento ou diminuição da declividade da reta. Se m>0, a reta é crescente, se m<0 a reta é decrescente e se m=0, a reta nem cresce nem decresce, é paralela ao eixo OX.
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2.3. Retas paralelas e retas perpendiculares
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2.4. Posições relativas de duas retas no plano
A posição relativa de duas retas no plano é determinada pelo número de pontos comuns a elas. Assim, podemos ter retas:
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2.5. Feixe de retas
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3. Exercícios resolvidos: Retas e pontos notáveis do triângulo
As retas notáveis de um triângulo são as alturas, as medianas, as mediatrizes e as bissetrizes. Cada grupo de intersecções determina um ponto notável. Vejamos aqui os três primeiros.
- As alturas do triângulo são as perpendiculares a cada lado desde o vértice oposto. Interceptam-se em um ponto chamado ortocentro.
- As medianas do triângulo são as retas que unem cada vértice com o ponto médio do lado oposto. Interceptam-se em um ponto chamado baricentro.
- As mediatrizes do triângulo são as perpendiculares a cada lado por seu ponto médio. Interceptam-se em um ponto chamado circuncentro.
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Exercícios para praticar
Abaixo estão mais exercícios para praticar. Você pode escolher no menu o tipo que prefere para começar. A solução é oferecida para todos eles.
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parte iii
O plano métrico
1. Ângulo de duas retas
Duas retas secantes formam quatro ângulos iguais dois a dois, sendo os dois adjacentes suplementares. Consideraremos que o ângulo formado por duas retas é o menor deles que elas determinam e para calculá-lo, basta observar que coincide com o de seus vetores diretores.
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2. Distâncias entre pontos e retas
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2.3. Distância entre duas retas
A distância entre duas retas é a menor distância que pode ser obtida de um ponto de uma a um ponto da outra. Se as retas são secantes ou coincidentes, a distância entre elas é 0.
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3. Lugares geométricos
Um lugar geométrico é um conjunto de pontos com uma propriedade comum. A equação de um lugar geométrico é uma relação entre as variáveis x e y, que se verifica apenas nos pontos do plano P(x,y) que pertencem ao lugar geométrico. Vejamos dois exemplos.
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4. Exercícios resolvidos
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Exercícios para praticar
A seguir temos mais exercícios para praticar. Podes escolher no menu o tipo que prefiras para começar. Todos têm a solução disponível.
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Autoavaliação
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Bibliografia
- Vectores en el plano de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica del plano (Proyecto ed@d) de María José García Cebrian para Red Descartes (España).
- Vectores en el plano (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría del plano. Vectores y rectas. de José Luis Lorente.
- Matemáticas I, Capítulo 5: Geometría (Apuntes Marea Verde) de Andrés García Mirantes.
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