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Tabla de contenido
Prefacio
Este libro, "Física Básica II", ha sido diseñado con un propósito claro: proporcionar una introducción rigurosa, estructurada y accesible a los principios físicos que gobiernan las interacciones fundamentales del universo, integrando la teoría clásica con las herramientas digitales del siglo XXI.
El estudio de la física en este nivel marca un punto de inflexión para el estudiante. Mientras que la mecánica clásica se ocupa de lo tangible y visible, la Física II nos invita a comprender fenómenos a menudo invisibles pero omnipresentes: los campos. Desde la fuerza invisible que mantiene a los planetas en órbita hasta las interacciones electromagnéticas que hacen posible nuestra tecnología moderna, este texto busca desmitificar lo abstracto mediante un enfoque visual y práctico.
Estructura y Contenido
El contenido abarca los temas esenciales del currículo universitario estándar para cursos de ingeniería y ciencias. La obra se estructura en un viaje conceptual que comienza con la interacción gravitacional, sentando las bases de las fuerzas a distancia. Posteriormente, nos adentramos en el vasto mundo de la interacción eléctrica y magnética, analizando desde las cargas estáticas y los circuitos de corriente directa hasta la inducción electromagnética. El recorrido culmina con la síntesis magistral de las ecuaciones de Maxwell, la piedra angular sobre la que se edifica gran parte de la física moderna y las telecomunicaciones.
Enfoque Pedagógico e Interactividad
Entendemos que la física no se aprende solo leyendo, sino haciendo y observando. Por ello, hemos trascendido el formato del libro de texto
tradicional. A lo largo de estas páginas, la precisión matemática se complementa con ilustraciones dinámicas, simulaciones y ejercicios interactivos.
Gracias a la colaboración con proyectos educativos de vanguardia como DescartesJS, WebSim y PhET de Colorado, y a la inclusión de código interactivo en JavaScript desarrollado por Joel Espinosa Longi (IMATE, UNAM), este libro se convierte en un laboratorio virtual. Estas herramientas permiten al estudiante modificar variables, visualizar líneas de campo y experimentar con circuitos en tiempo real, transformando conceptos teóricos complejos en experiencias de aprendizaje tangibles.
A quién va dirigido
Este libro está dirigido principalmente a estudiantes universitarios de ingeniería y ciencias que ya poseen fundamentos de mecánica y cálculo, y que inician su camino en el electromagnetismo. No obstante, su claridad expositiva lo hace igualmente valioso para cualquier persona interesada en comprender los principios que rigen la naturaleza.
Agradecimientos
Finalmente, los autores deseamos expresar nuestra profunda gratitud al profesor Juan Guillermo Rivera Berrío por sus invaluables enseñanzas en el área de la inteligencia artificial y las herramientas digitales, sin las cuales la realización de este libro interactivo no hubiese sido posible.
Luis M. Castellanos
Roberto E. Lorduy
Introducción
Interacciones fundamentales de la naturaleza Es claro que dos cuerpos pueden influirse mutuamente solo si tienen algún contacto entre
ellos. Este contacto implica la aplicación de una fuerza que puede ser directa o a distancia
(ejerciendo alguna fuerza entre ellos) Cuando esto ocurre decimos que hay una interacción entre
los cuerpos.
Los físicos han identificado cuatro interacciones (o fuerzas)
fundamentales conocidas en la naturaleza según la fuente que las produce, ellas son : 1. La interacción gravitacional
(Fuerza de atracción universal de Newton) la cual es debida a la existencia de las masas (dos
masas se atraen siempre sin importar la distancia entre ellas), si no existen masas, no existe
fuerza gravitacional. 2. La interacción electromagnética (La fuerza de Coulomb) la
cual es debida a la existencia de las cargas eléctricas (dos cargas se atraen o se repelen sin
importar la distancia entre ellas). 3. La interacción electrodébil la cual es la
responsable de los decaimientos radiactivos y ocurre en los núcleos densamente poblados (Los
átomos más pesados). 4. La interacción fuerte (La fuerza Nuclear) la cual se
manifiesta entre partículas nucleares en el interior del núcleo de los átomos y solo existe o
funciona a distancias muy cortas (nanómetros). Esta fuerza mantiene los protones (cargados
positivamente) unidos en el interior de los núcleos atómicos; si no fuera por la fuerza nuclear
no existiríamos. En este curso estudiaremos detalladamente dos de estas interacciones: la
interacción gravitacional y la interacción electromagnética.
Empezamos entonces con la interacción gravitacional.
Capítulo 1
GRAVITACIÓN
INTERACCIÓN GRAVITACIONAL
Las primeras hipótesis y teorías relacionadas con el movimiento planetario se basaban en
observaciones, especulaciones mentales y deducciones lógicas apoyadas en el sentido común de las
cosas.
Entre los pueblos de la antigüedad fueron los griegos, entre ellos ARISTÓTELES, quienes
consideraron la tierra como el centro geométrico del universo. A esta descripción se la conoce
en las historias de las ciencias como TEORIA GEOCÉNTRICA. Cerca del año 150 después de Cristo,
el astrónomo PTOLOMEO de Alejandría desarrolla la teoría de las EPICICLOIDES para explicar el
movimiento de los planetas alrededor de la tierra. En forma sencilla suponía que el planeta
describía, con movimiento uniforme, un círculo denominado EPICICLO, cuyo centro a su vez se
desplazaba en un círculo mayor, concéntrico con la tierra y llamado DEFERENTE. La trayectoria
resultante del planeta es así una EPICICLOIDE.
La descripción geocéntrica de los griegos fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo XVI,
el monje polaco NICOLÁS COPÉRNICO propone el modelo HELIOCÉNTRICO en el que describe el
movimiento de todos los planetas, incluyendo la tierra, alrededor del sol, el cual estaría en el
centro.
El Modelo de COPÉRNICO y las mediciones astronómicas del sistema solar realizadas por el más
grande observador de la época - TYCHO BRAHE - le permitieron a JOHANNES KEPLER, quien fue ayudante
de Brahe, la formulación de sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas, las tres leyes son
una descripción cinemática del movimiento planetario, y establecen:
I. La órbita de los planetas es una elipse, estando el sol en uno de sus focos.
II. El vector posición de cualquier planeta con respecto al sol barre áreas iguales de la
elipse en tiempos iguales.
III. Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los
cubos de las distancias promedio al sol, ($P^2= kr^3$), donde k es una constante de
proporcionalidad igual para todos los planetas.
El sol, el cuerpo más grande de nuestro sistema planetario, coincide prácticamente
con el CENTRO DE MASA DEL SISTEMA, y se mueve más lentamente que los planetas. Esto justifica el
haberlo escogido como CENTRO DE REFERENCIA, ya que es prácticamente un sistema inercial.
Las ideas de KEPLER constituyen la primera tentativa de unificar la física con la
astronomía. ISAAC NEWTON, en un esfuerzo por determinar la interacción responsable del
movimiento de los planetas y con la ayuda de las leyes de KEPLER, realiza su contribución a la
ciencia introduciendo la Ley de Gravitación Universal, formulada en 1666 y publicada en 1687, en un capítulo del texto "Principios Matemáticos de la
filosofía Natural
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Sir Isaac Newton (1642-1727) Es autor de los
Philosophi Naturalis Principia Matemática, conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Como dijimos
antes, Newton estuvo bastante influenciado por los estudios previos realizados por Johannes
Kepler y Nicolás Copérnico quienes fueron sus antecesores. La contribución de Newton, y quizá la
más importante en el desarrollo de la mecánica, fue el descubrimiento de la LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Newton demuestra que, si un planeta obedece la primera ley de
Kepler, la fuerza debe ser proporcional a $\frac{1}{r^2}$ , siendo $r$ la distancia entre dos
cuerpos, que pueden ser dos planetas, sol y planeta, o dos partículas pequeñas. Por otra parte,
la segunda ley de Kepler indica que la fuerza asociada con la Interacción Gravitacional es de
tipo central, es decir la fuerza actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos
interactuantes. Si suponemos que la interacción gravitatoria es una propiedad universal de toda
materia, la fuerza $F$ asociada con la interacción debe ser proporcional a la cantidad de
materia de cada cuerpo, luego si $m_1$ y $m_2$ son las masas que interactúan, podemos escribir:
$$F\quad ∝\quad (\frac{m_1m_2}{r^2})\tag{1.1}$$ La proporcionalidad se puede convertir en una
igualdad mediante la introducción de un factor constante G
$$F = G(\frac{m_1m_2}{r^2})\tag{1.2}$$ G se determina experimentalmenteExperimento de la balanza de torsión de CAVENDISH, se llama constante de gravitación universal, y su valor medido en unidades MKSC es: $G =
6,67\times10^{-11}Nm^2/kg^2$
La ecuación (1.2) puede expresarse en forma vectorial por medio de un vector unitario
$\hat{u_r}$, dirigido de $m_2$ a $m_1$, en este caso la fuerza gravitacional que actúa sobre $m_2$
debido a $m_1$ es:
$$\vec{F_{12}}=-G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{u_r} \tag{1.3}$$ El signo menos en la ecuación (1.3) indica
que $m_2$ es atraída por $m_1$. De la misma manera la fuerza sobre $m_1$ debido a $m_2$, designada
por$\vec{F_{21}}$ es igual en magnitud a $\vec{F_{12}}$ y en dirección opuesta, esto es, dichas
fuerzas forman una pareja de acción – reacción: $\vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}$
La ecuación (1.3) es válida para un sistema aislado de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$
(puntuales) separadas una distancia $r$. La ecuación se puede aplicar también a un sistema de varias
masas puntuales, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo No. 1 Considere tres masas puntuales $m_1$, $m_2$ y $m_3$ localizadas en los vértices
de un triángulo rectángulo como se muestra en la figura (1.3). Las distancias entre las masas están
indicadas. Encontrar la fuerza gravitacional que actúa sobre $m_3$ debido a $m_1$ y $m_2$.
Solución:
Dibujando las interacciones gravitacionales entre $m_3$ y $m_1$ y entre $m_3$ y $m_2$, vemos que la
fuerza resultante, que actúa sobre $m_3$ es:
$$\vec{F}= \vec{F_{31}}+\vec{F_{32}}$$
Estos vectores se muestran en la figura de la izquierda (Fig1.4) Donde vemos que:
$$\vec{F_{31}}=F_{31}\hat{i}+F_{31}\hat{j}$$ y $$\vec{F_{32}}=F_{32}\hat{i}$$ La magnitud de
la fuerza resultante sobre $m_3$ es: $$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$ Además: $$F_x=F_{32}+F_{31}cosθ
;\quad F_y=F_{31} Senθ$$ De acuerdo con la ley de gravitación la intensidad o magnitud de la fuerza
de atracción entre las dos masas puntuales $m_3$ y $m_2$ viene dada por:
$$F_{32} = G\bigg(\frac{m_3m_2}{r^2}\bigg)$$ De la geometría de la figura (1.4):
$$Cosθ=\frac{b}{c}\quad y \quad Senθ=\frac{a}{c}$$ Reemplazando en $F_x \;y \;F_y $ obtenemos:
$$F_x=G\frac{m_3 m_2}{b^2} + G\frac{m_3 m_1}{c^2}\frac{b}{c} =Gm_3(\frac{m_2}{b^2} +\frac{m_1b}{c^3}
)$$ $$F_y=G(\frac{m_3 m_1}{c^2})\frac{a}{c} =Gm_3 (\frac{m_1a}{c^3} )$$ Luego reemplazando $F_X
\;y\; F_Y$ en $F$ tenemos:
Considere las cuatro masas idénticas $m$ localizadas en los vértices de un cuadrado de lado $a$,
como se muestra en la figura(1.5).
Encuentre la magnitud de la fuerza que actúa sobre una de las masas, debido a las otras tres
Solución De la ley de Gravitación tenemos que la magnitud de la fuerza
sobre la masa seleccionada(ver figura 1.6) es:
por otro lado, podemos notar de la figura 1.6 que:
θ=45° por lo tanto,
$$Sen θ= Cosθ= \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Además $F_x$ = $F_y,$ tenemos entonces:
$$F_x= F_y= G\frac{m^2}{a^2} (1+\frac{1}{2√2})=1.35G\frac{m^2}{a^2}$$ Reemplazando en $F$
finalmente obtenemos:
$$👉F=\sqrt{2(1.35G \frac{m^2}{a^2} )^2 }=1.35G\frac{m^2}{a^2 }\sqrt{2} $$
Ejercicios Complementarios
Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre la masa localizada en el
vértice inferior derecho del cuadrado.
¿Cuál sería la fuerza que actuaría sobre una quinta masa, idéntica a las demás, localizada
en el centro del cuadrado?
Estrategias y sugerencias para la solución de problemas 1. Dibuje las interacciones y tenga en cuenta sobre cual masa se realizan. Dibuje las
fuerzas que actúan sobre la masa. 2. Escoja un sistema de referencia apropiado. 3.
Realice las operaciones teniendo presente que la fuerza es un vector.
EL CAMPO GRAVITACIONAL
Este concepto permite salvar las dificultades que entraña aceptar que los cuerpos interaccionan
a cierta distancia unos de otros: Cuando se empuja un carro varado no es difícil entender
como tiene lugar la interacción entre las manos de la persona que empuja y el carro, puesto que
las manos y el carro “Están en contacto”. Sin embargo, ¿Cómo podemos explicar la interacción
entre el sol y la tierra, separados por una distancia de millones de kilómetros? ¿Son distintas
la interacción entre las manos de la persona con el carro y la del sol y la tierra? Si
analizamos rigurosamente el término “contacto” veremos que, en realidad, no hay diferencia entre
uno y otro caso. El término “contacto”, entendido como distancia nula entre dos cuerpos, no
existe, pues todas las interacciones que se producen en los cuerpos son interacciones a
distancia. Quedan en pie las preguntas: ¿Cómo se transmite la interacción? ¿A qué velocidad se
transmite?Estas inquietudes pueden discutirse para profundizar más el concepto que deseamos
desarrollar, conocido como campo gravitacional. Describiremos ahora las interacciones
gravitacionales entre masas puntualesMasas puntuales: aquellos cuerpos esféricos en los que se considera que su masa está
concentrada en un punto llamado centro de masa.
para ahondar en el concepto de Campo Gravitacional
Intensidad de campo gravitacional Supongamos que tenemos una masa $M$ y que colocamos, en diferentes posiciones alrededor de
$M$, otra masa $m$ como se muestra en la Fig 1.7, observe que en cada posición la masa $m$
experimenta una fuerza debida a su interacción gravitacional con $M$ dada por la ecuación (1.3).
De acuerdo con la Ley Gravitacional Universal, en cada posición de $m$, la masa $M$, experimenta
también una fuerza igual y opuesta, pero por el momento estamos interesados en la fuerza que
actúa sobre $m$.
La presencia de una masa en el espacio modifica este espacio, y a cada punto del espacio en el
vecindario de la masa le asociamos un vector al cual denominamos intensidad de campo gravitacional
$\vec{g}$ mostrado en la figura (1.7), que se reconoce por la fuerza que actúa sobre 𝑚.
Podemos decir que la Intensidad del Campo Gravitacional $\vec{g}$ producida por una masa 𝑀 en un
punto $P$ se define como la fuerza ejercida sobre la unidad de masa colocada en P
.
Es decir si
$$\vec{F}=-G(\frac{Mm}{r^2} )\hat{u_r}$$ Entonces $$\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m}=-G
\frac{M}{r^2}\hat{u_r}\tag{1.4}$$ En la figura (1.8), $\vec{g}$ tiene la dirección opuesta al vector
unitario $\hat{u_r}$ o sea que $\vec{g}$ señala siempre hacia la masa que lo produce. La ecuación.
(1.4) expresa el campo gravitacional a una distancia $r$ de una masa puntual $M$. Las unidades de
$g$ se miden en $\frac{N}{Kg}$ o $\frac{m}{S^2}$ y son dimensionalmente equivalente a una
aceleración. Esta aceleración es conocida como la aceleración de la gravedad $\vec{g}$.
En consecuencia, si suponemos que nuestro planeta es esférico de radio $R$ y masa $M$, la
expresión para $\vec{g}$ es:
$$\vec{g}=-G\frac{M}{R^2}\hat{u_r}=-9.8 \frac{m}{s^2}\hat{u_r}$$ Consideremos ahora varias
masas $m_1, m_2, m_3$, colocadas discretamente en el espacio y a diferentes distancias $r_1, r_2,r_3
..$cada una produciendo su propio campo gravitacional $\vec{g_1}$, $\vec{g_2}$, $\vec{g_3}$,
...respectivamente (Fig1.9)
La fuerza total sobre una partícula de masa $m$ colocada en
un punto $P$ es:
$$\vec{F}=m\vec{g_1}+ m\vec{g_2}+m\vec{g_3}..+$$ $$\vec{F}=m(\vec{g_1}+ \vec{g_2}+\vec{g_3}+..
)=m\vec{g}$$ Donde
$$\vec{g}=\vec{g_1}+ \vec{g_2}+ \vec{g_3} +⋯$$
Es decir, la fuerza total debida al campo gravitacional producidas por las masas $m_1$, $m_2$,
$m_3$, ........ en $P$ viene dado por la suma vectorial de los campos producidos por cada masa en
$P$
Definido el campo gravitacional que crea una masa, vamos a intentar establecer una
representación de éste.
Una masa puntual $M$ crea un campo gravitacional radial, dirigido siempre hacia la masa que lo
produce.
Supongamos que rodeamos la masa M que crea el campo con dos superficies esféricas, tal como se
muestra en la figura 1.10 Vemos que en la superficie $S_2$, el número de líneas por unidad de
superficie es menor que en la superficie $S_1$. Esta “densidad de líneas” disminuye con el
cuadrado de la distancia, a medida que nos alejamos de M, de este modo, un campo gravitacional
puede representarse figurativamente por líneas de fuerza. Se traza una línea de fuerza de
modo que en cada punto la dirección del campo es tangente a la línea que pasa por el punto. Las
líneas de fuerza se trazan de modo que su densidad sea proporcional a la
intensidad de campo.
Si consideramos el campo creado por dos masas idénticas, separadas una distancia $r$, podemos
representarlo como se aprecia en la figura 1.11, se puede observar cómo en cada punto el campo
es tangente a la línea de fuerza. Así mismo, la región que existe entre las masas presenta una
menor densidad de líneas de fuerza, ya que corresponde a una zona en la que el campo se debilita
La figura 1.12 muestra el campo alrededor de dos masas diferentes por ejemplo la Tierra y la
Luna. Aquí las líneas no son radiales y en la vecindad del punto A, la intensidad del campo es
muy débil. (En A es cero).
Ejemplo No. 3 Considere que la Luna tiene una masa de $7.36\times10^{22}$ Kg, un radio aproximado de
$1.74\times10^6 m$. Calcular la gravedad y el peso de un cuerpo de 80 Kg. En la superficie de la
Luna. Solución: $\quad$ $\vec{g_l}=G\frac{m_L}{R_L^2}\hat{u}$ $\quad$ usando
$\quad$ $G=6,672×10^{-11 }\frac{Nm^2}{Kg^2}$
$$\vec{g_l}=6,72×10^{-11} \frac{Nm^2}{Kg^2}×\frac{7,36×10^{22} Kg}{(1,74×10^6 m)^2}
=1.62\frac{m}{s^2}$$ El cuerpo pesara$\;$ $$👉W_L=mg_L=129,6N$$
Ejemplo No. 4
Dos masas iguales $m$, están separadas una distancia $2a$ (Fig 1.13). Calcular el campo
gravitacional producido por estas dos masas en el punto $P$
Solución: La magnitud del campo gravitacional resultante en el punto $P$ es:
$g= \sqrt{g_x^2+g_y^2 }$
$g_x= g_1 Cosθ-g_2 Cosθ$
De la figura 1.14 podemos observar que $|g_1 |= |g_2 |$,
En consecuencia
$g_(x )=0 \quad$ y $\quad g_y=2g_1 Senθ$
Donde
$\qquad$ $g_1=G \frac{m}{a^2+b^2 }$ $\quad$ y $\qquad$ $Senθ=\frac{b}{(a^2+b^2 )^1⁄2}$
Por lo tanto:
$\qquad$ $g_y=2G \frac{m⋅b}{(a^2+b^2 )^3⁄2}$
Reemplazando en $g$ obtenemos:
$$g=\sqrt{0^2+(2G\frac{mb}{(a^2+b^2)^3/2})^2}$$ $$👉 \vec{g}=2G\frac{mb}{(a^2+b^2)^3/2}\hat{j}$$
Ejercicio Complementario
Se tiene una masa $m_3$ ubicada en el punto (Figura1.15) $P(3,2)$ ¿Cuál sería la fuerza
gravitacional total que actuaría sobre la masa $m_3$ situada en el punto $P$? (Mire el ejemplo
anterior)
Ejemplo 5
Se colocan tres masas en las esquinas de un rectángulo, como se muestra en la figura 1.16
Determinar las componentes $x$ y $y$ del campo gravitacional en el punto $P$. (Otra esquina del
rectángulo).
1. Un planeta tiene la mitad del radio de la tierra, pero su masa es dos veces la masa de la
tierra. ¿Cual es la intensidad del campo gravitacional en la superficie de dicho planeta?
$Rta:78.4\frac{m}{s^2}$
2a. Calcule la intensidad del campo gravitacional
$\vec{g}$ producido por las masas que se indican en la figura 1.18 en el punto (3,1). Las distancias
se miden en metros y los valores de las masas son $m_1 = m_2 = m_3 = 100Kg$
2b. ¿Cual será el valor de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 100kg colocada en
dicho punto?
3. Dos cuerpos se en cuentran separados una distancia de $0.2m$ y se atraen uno al otro con
una fuerza de $1.0\times 10^{-8}N$.
Si la masa total de los dos cuerpos es de $5.0 kg$. ¿Cual es la masa de cada uno?
$Rta: 3 Kg \quad y \quad 2Kg$
4. Tres masa puntuales de $5Kg$ están localizadas en un plano XY como se muestra en la figura
1.19
i. ¿Cual es la magnitud de la fuerza resultante sobre la masa localizada en
$X=0$, $Y =0.4m$ debido a las otras masas? $Rta:7,36\times 10^{-9}N$
ii.
Calcular el campo gravitacional en el origen de coordenadas debido a las tres masas.
$Rta2.08\times 10^{-9}\frac{N}{Kg}$
4. Un hombre pesa $70Kgf$. Suponiendo
que el radio de la tierra se duplicara, cuanto pesaría si: i.La masa de tierra
permaneciera constante
$Rta:17.5Kgf$
ii. densidad promedio de la tierra permaneciera constante
$Rta:140Kgf$
EL CONCEPTO DE MASA Y CARGA DISTRIBUIDA
Ya hemos visto que la fuerza de atracción universal entre masas (dada por la ley de atracción
universal de Newton) se formuló inicialmente usando el concepto de masa puntual. También hemos dicho
antes que entendemos por masa o cargas puntuales cualquier masa o carga cuya ubicación está
localizada de tal manera que su posición en el espacio es bien definida por un punto. Por el
contrario
una masa o carga distribuida no es posible localizarla en un punto específico del espacio
sino en alguna región de espacio
bien sea una longitud (una dimensión) una superficie (dos dimensiones) o un volumen (tres
dimensiones). Las distribuciones de masa se caracterizan por sus densidades las cuales denotamos por
las letras $\lambda$ (densidad lineal), $\sigma$(densidad superficial) y $\rho$ (densidad
volumétrica).
A continuación describimos en detalle el significado de cada una de estas densidades:
Densidad lineal $\lambda$: Es la cantidad de masa -o carga- contenida en la unidad de longitud. Se define matemáticamente
como
$\lambda =\frac{dm}{dl}$. Si la distribución es uniforme entonces$\;$ $\lambda =\frac{m}{l}$
Densidad superficial $\sigma$: Es la cantidad de masa -o carga- contenida en la
unidad de superficie. Se define matemáticamente como
$\sigma =\frac{dm}{ds}$. Si la distribución es uniforme entonces $\;$ $\sigma=\frac{m}{s}$
Densidad volumétrica $\rho$: Es la cantidad de masa -o carga- contenida en la
unidad de volumen. Se define matemáticamente como
$\rho =\frac{dm}{dv}$. Si la distribución es uniforme entonces $\;$ $\rho=\frac{m}{v}$
Una distribución lineal de masa, como un alambre delgado por ejemplo, se puede construir
apilando pequeñas masas puntuales una a continuación de la otra. Cuando escogemos un $dm$
este puede ser tan pequeño como una de las masas puntuales que construyen el alambre
cualquier distribución lineal de masa -o carga- se puede construir a partir de masas o cargas
puntuales.
Así una distribución lineal es el resultado de unir consecutivamente una detrás de
otra a muchas masas - o cargas-puntuales como se muestra en la figura de la izquierda. Se
caracteriza esta distribución por la cantidad de masa contenida en la unidad de longitud que
llamamos $\lambda$ y
produce un campo gravitacional a cierta distancia $r$ equivalente a la suma (integral)
de todos los campos producidos por todas las masas que lo componen
El campo gravitacional producido por una distribución lineal de masa se calcula
encontrando primero el campo producido por una pequeña cantidad de masa $dm$ contenida en un
elemento de longitud $dl$
Similarmente es posible considerar una supericie construida de muchos alambres paralelos. En
este caso $dm$ es la masa puntual "contenida" en la unidad de superficie es decir, $dm =\sigma
ds$
El campo total producido por la superficie será entonces
$$\vec{g}_{superficie} = \int G\frac{\sigma ds}{r^2}\hat{u_r}\tag{1.6}$$ Igualmente, una
distribución volumétrica cualquiera produce en general un campo total:
$$\vec{g}_{volumen} = \int G\frac{\rho dV}{r^2}\hat{u_r}\tag{1.7}$$
Ejemplo 6 Se tiene una distribución lineal de masa en forma de semi anillo de
radio $R$ con densidad lineal $\lambda$ (Figura 1.20). Encontrar el campo gravitacional
$\vec{g}$ producido por esta distribución en el punto $O$
Solución
Como podemos observar inmediatamente se trata de una distribución lineal de masa, por lo tanto,
el campo gravitacional total producido por el semi anillo viene dado por la ecuación 1.5
Notemos que cada diferencial de masa $dm$ en la figura 1.20 produce un vector $dg$ en una dirección
diferente que los demás $dm$, con lo cual, en la integral 1.8 (es decir la suma) quedaríamos
sumando infinitos vectores en diferentes direcciones, esto dificulta muchísimo la ejecución
de la integral, entonces como procedemos?.
Como sabemos, cuando se trata de sumar muchos vectores la idea es buscar siempre la manera de
sumar vectores paralelos, para lo cual recurrimos a sus componentes rectangulares, con este fin debemos realizar un
análisis de las simetrías del problema
Observe que a la izquierda del eje $y$ existe otro $dm$ simétricamente
ubicado (en color rojo) el cual produce un $dg$ igual en magnitud y en un ángulo
$\theta$ igual, pero a la izquierda del eje $y$. Cada uno de estos vectores tiene componentes
rectangulares en $x$ y $y$ como nos muestra figura 1.21 donde notamos que las componentes a lo largo
del eje $x$ se anulan, es decir, cuando recorremos todo el semi anillo solo tenemos que sumar las
componentes $d\vec{g}_y$ de los campos producidos por cada $dm$ del semi anillo
$$ d\vec{g} = \Big(G\frac{\lambda dl}{r^2}Cos\theta \Big)\hat{j} \qquad\vec{g}_{total} = \int
\Big(G\frac{\lambda dl}{r^2}Cos\theta \Big)\hat{j} $$ Para realizar la integral notamos que $dl =
Rd\theta$ $\quad$ y hacemos la sustitución $\quad$ $r \implies R$
De modo que los límites de integración sobre el ángulo $\theta$ podrían ir desde $\theta = 0$ hasta
$\theta = \pi$, o también podríamos escoger desde $\theta = 0$, $\;$ hasta $\theta =\frac{\pi}{2}$ y
luego multiplicar por dos con el fin de cubrir todo el semicírculo
$$\vec{g}_{total} = 2\times\int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big(G\frac{\lambda R d\theta}{R^2}Cos\theta
\Big)\hat{j} = 2\times G\frac{\lambda R }{R^2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big(Cos\theta d\theta
\Big)\hat{j}$$ $$\vec{g}_{Total}=-\frac{2\lambda
G}{R}\Big[\Big(sen\theta\Big)_0^{\frac{\pi}{2}}\Big]\hat{j} =
-2G\lambda\Big[sen{\frac{\pi}{2}}-sen0^0 \Big]$$ $$👉\vec{g}_{Total}=\frac{2\lambda G}{R}\hat{j}$$
Ejemplo7. Una distribución lineal en forma de alambre delgado con densidad lineal $\lambda$ y
longitud $L$ está recostado sobre el eje de las $X$ tal y como se muestra en la figura 1.22. El
extremo izquierdo del alambre está ubicado a una distancia $d$ del origen de coordenadas. Calcular
el campo gravitacional $\vec{g}$ producido por esta distribución lineal en el punto $O$.
Solución
Escogemos un $dm$ sobre cualquier parte del alambre y trazamos su distancia al punto donde queremos
calcular el campo, en este caso el punto $O$. El $dm$ produce en $O$ un campo $\vec{g}$(flecha en
color azul) dado por:
$$d\vec{g} = G\frac{dm}{x^2}\hat{i} = G\frac{\lambda dl}{x^2}\hat{i}$$ Nótese que cualquier $dm$ del
alambre produce campo en la misma dirección, es decir, la dirección positiva del eje $X$ por lo
tanto podemos sumar las contribuciones de todos los elementos $dm$ contenidos en el alambre pues al
hacerlo estamos sumando vectores paralelos.
De modo que $$\vec{g}_{Total} = G\lambda\int_d^{d+L}\frac{dx}{x^2}\hat{i}=
=-\Big[G\lambda \Big(\frac{1}{x}\Big)_d^{d+L} \Big]\hat{i}$$ $$👉\vec{g}_{Total}=G\lambda
\Big(\frac{L}{d(d+L)} \Big)\hat{i}$$
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
¿Que entendemos por energía potencial gravitacional?. En términos muy sencillos es el trabajo que
debemos realizar para construir o fabricar cualquier configuración de masas ya sean masas puntuales
o masas distribuidas.
Se define una configuración de masas como un arreglo particular con algún diseño geométrico,
por ejemplo, dos masas separadas una distancia $r$ entre ellas es una configuración (de hecho, es la
mas sencilla que se conoce). Tres masas colocadas en los vértices de un triángulo isóceles de lado
$l$ es otra configuración (podría ser cualquier triángulo no necesariamente isóceles) lo mismo que
cuatro masas en los vértices de un rectángulo, o pentágono, octágono etc
En la sección anterior hemos considerado que una masa distribuida está construida a partir de masas
puntuales, siguiendo esta línea de pensamiento podemos pensar que cualquier distribución continua de
masa, cualquiera sea su forma, requiere para su construcción la realización de un trabajo. En lo que
sigue ilustramos esta idea calculando el trabajo requerido para construir la configuración mas
elemental que existe: dos masas separadas cierta distancia $r$
Lo Primero que debemos suponer es que las dos masas están separadas una distancia tan grande que no
interactúan entre ellas , esto sólo es posible si la distancia entre ellas es infinita, por lo
tanto, para construir ésta configuración debemos "traer" la masa $m_2$ desde el infinito y colocarla
a una distancia $r$ de la masa $m_1$, lo cual sólo es posible realizando un trabajo que llamaremos
$W$.Este trabajo viene dado por:
$$W = \int_{\infty}^r \vec{F}.d\vec{r}\tag{1.9}$$ Debido a que queremos traer la masa $m_2$ con
velocidad constante, la fuerza $\vec{F}$ ejercida sobre la masa $m_2$ debe ser una fuerza de
contención en dirección contraria al desplazamiento$\;$ (la ejerce el hombre de camisa roja en la
figura 1.23) y es igual y contraria a la fuerza de atracción ejercida por $m_1$ sobre $m_2.$
Entonces
$$W = G\int_{\infty}^r(\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{i}).(-\hat{i}dr)=-Gm_1m_2\int_{\infty}^r
\frac{dr}{r^2}$$ $$W = -Gm_1m_2 \Big(-\frac{1}{r}\Big)_{\infty}^r = \frac{Gm_1m_2}{r}\tag{1.10}$$
Una vez realizado el trabajo la configuración "almacena" esta energía (recuerde que el trabajo es
energía) la cual podemos escribir
$$E_P = -\frac{Gm_1m_2}{r}\tag{1.11}$$
Ejemplo8. Encontrar la energía potencial almacenada, o el trabajo necesario para
construir una configuración geométrica triangular de tres masas idénticamente iguales colocadas en
los vértices de un triángulo equilátero (Fig 1.24)
Solución
El procedimiento para construir una configuración cualquiera a partir de masas puntuales consiste en
asumir siempre que hay una primera masa, la cual no necesitó de ningún trabajo pues antes que ella
no había otras masas, esta es la masa primigenia.
Las otras masas deben ser atraídas a la configuración realizando trabajo contra las fuerzas de todas
la masas que han sido traídas antes. Supongamos entonces que ya tenemos la primera masa $m_1$ en el
vértice superior,la segunda masa $m_2$ la colocamos a una distancia $a$ de modo que :
El trabajo para "traer" la masa $m_2$ contra $m_1$ es:
$$E_P =-G\frac{m_1m_2}{a}$$ El trabajo para "traer" la masa $m_3$ contra $m_2$ y $m_1$ es:
$$E_P =(-G\frac{m_1m_3}{a})+(-G\frac{m_2m_3}{a})$$ El trabajo para construir toda la configuración
cuando las masas son iguales ($m_1 = m_2 = m_3$) será entonces :
$$👉E_P =
-3\frac{Gm^2}{a}$$
Movimiento Orbital. Una aplicación inmediata y muy útil de las ideas estudiadas en la sección
anterior tiene que ver con el movimiento de los cuerpos girando alrededor de otros cuerpos. En la
figura 1.25 tenemos una masa $m$ girando (orbitando) alrededor de otra masa $M$ con velocidad
$\vec{v}$. Ambas masas tienen velocidad de rotación vistas por un observador ubicado en un sistema
coordenado externo al sistema de las dos masas, pero si $M > > m$ este mismo observador verá
la masa $M$ en reposo y la masa $m$ orbitando alrededor de $M$.
La energía mecánica total del sistema viene dada por la suma de las energías cinéticas
más potencial de la configuración
$$E_{mecánica} =E =E_{k}+E_{p}$$ $$E = \frac{mv^2}{2} -\frac{GMm}{r}\tag{1.12}$$ El resultado (1.12)
representa la energía total del sistema medida por un observador situado en la masa $M$. Analizando
el sistema desde el punto de vista dinámico notaremos que la masa $m$ está sometida a una fuerza
centrípeta que la obliga a girar en círculos alrededor de $M$
$$ F_c = ma_c\tag{1.13}$$ Ahora bien, la única fuerza centrípeta posible que actúa sobre $m$ es la
fuerza de atracción universal dada por la ley de Newton:
$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\tag{1.14}$$ $$\frac{GMm}{2r}=\frac{mv^2}{2}\tag{1.15}$$ La ecuación
(1.15) es el resultado de simplificar $r$ en el denominador de (1.14) y además multiplicar por
$1/2$.
Ahora utilizamos el resultado (1.15) para sustituir el término de energía cinética en
(1.12) y obtener para la energía mecánica total
$$E = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}$$ $$E = -\frac{GMm}{2r}\tag{1.16}$$ La energía mecánica total
negativa es característica de estos sistemas usualmente llamados "sistemas ligados" los cuales son
además los sistemas dinámicos más estables conocidos, es por ello que los observamos con regularidad
a nivel cósmico tanto a nivel macroscópico, como los sistemas planetarios, como a nivel subatómico
(si aceptamos el modelo atómico planetario propuesto por Rutherford para el átomo)
Mientras la energía del sistema sea negativa la masa $m$ es un satélite obligado a
orbitar alrededor de $M$. Se puede "liberar" la masa $m$ haciendo que la energía mecánica en
(1.12) sea positiva, es decir que la energía mínima no negativa sea cero, esto último se logra
elevando el valor de la energía cinética hasta igualar el valor de la energía potencial
gravitacional en (1.12)
$$\frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{r}\implies v_e = \sqrt{2\frac{GM}{r}}\tag{1.17}$$ La velocidad (1.17)se
llama velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para liberar el satélite de su órbita.
Algo muy interesante de la velocidad de escape es que no depende de la masa del satélite, es decir,
es lo mismo liberar un satélite con masa de un gramo que uno con masa de una tonelada.
Actividad de Simulación-Gravedad y Órbitas A través de la plataforma de simulación en ciencias Phet desarrollada por la
universidad de colorado, se realizará una actividad didáctica orientada a aplicar los
conceptos fundamentales de gravitación universal, tales como: análisis de fuerzas, ley de
gravitación universal de Newton y leyes de kepler Esta simulación tiene como propósito
complementar el estudio de los fenómenos físicos mediante el uso de herramientas de simulación
que permitan ilustrar de manera animada y divertida el movimiento de cuerpos que describen
trayectorias periódicas en el espacio
Actividades 1. Habilita las opciones de Trayectoria y cuadrícula, ¿que tipo de trayectoria
describe el planeta tierra respecto al sol? 2. Habilita las opciones: fuerza de gravedad y velocidad lineal. ¿Como se modela esta
fuerza gravitacional? que variables físicas influyen en dicho modelo? 3. ¿Que sucede con la trayectoria del planeta tierra sin presencia de la fuerza de
gravedad? 4. ¿Se presentan cambios en a fuerza de gravedad cuando se duplica la masa del planeta
tierra? 5. ¿Que sucede con la fuerza de gravedad cuando el planeta tierra está mas cerca del
sol?
6. Agrega la Luna en el entorno de la simulación, ¿Como es el comportamiento de la
Luna con respecto a la tierra? explica este fenómeno 7. El radio promedio de nuestro planeta es de 6371km. Calcule la velocidad de un punto
cualquiera ubicado sobre el ecuador terrestre. ¿Puede afirmarse que todos los puntos sobre
la superficie del planeta se mueven a la misma velocidad?
CUESTIONARIO CAPITULO1
Capítulo 2
INTERACCIÓN ELÉCTRICA
LA CARGA ELÉCTRICA
La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia. No sabemos que es o porque se origina
dicha carga, lo que sabemos con certeza es que la materia ordinaria se compone de átomos y
éstos a su vez se componen de otras partículas llamadas protones ($p^+$) y electrones ($e^-$).
Los primeros se encuentran en lo que se denomina el núcleo del átomo y los segundos, en las capas
exteriores del mismo girando alrededor del núcleo. La existencia de la carga eléctrica trae dos consecuencias inmediatas (Fig 2.1):
1. Produce o genera el campo eléctrico $\vec{E}$
2. Su movimiento ordenado o flujo dirigido genera corrientes eléctricas las cuales a su vez
generan el campo magnético $\vec{B}$
Podríamos entonces afirmar que la carga eléctrica es la responsable de todas las interacciones
electromagnéticas. Existen dos tipos de carga eléctrica (positiva y negativa). Los electrones poseen
carga negativa y los protones cargas positivas, aunque son iguales en valor absoluto. Robert Millikan, en
1909 pudo medir el valor de dicha carga, estableciendo que su valor es $e =1.602\times10^{-19}
Coulombs$.
La carga eléctrica de cualquier cuerpo es siempre un múltiplo del valor $e$. En general todo cuerpo
o sustancia está intrínsicamente construido de cargas eléctricas positivas y negativas, pero ésto no
quiere decir que esté dotado de una carga neta, la carga eléctrica de un cuerpo puede ser :
1. Negativa cuando tiene menos protones que electrones
2. Positiva, cuando tiene menos electrones que protones
3. neutra, cuando tiene igual número de electrones que protones.
En una interacción la carga eléctrica de cualquier sistema físico es idéntica antes y
después de la interacción, aunque se encuentre distribuida de otra forma. Esto se conoce como
el principio de conservación de la carga: La carga eléctrica ni se crea ni se destruye ya que su valor permanece constante
Charles Agustin Coulomb (1736-1806) pudo describir exitosamente la fuerza entre dos cargas
eléctricas puntuales mediante lo que hoy se conoce como la Ley de Coulomb. La Ley de Coulomb establece que: "La fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales es
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa, y está en la dirección de la línea que las une"
En la ley de coulomb la carga debe ser una carga puntual porque deben ser perfectamente
localizadas ya que la distancia $r$ entre las dos cargas debe ser definida con precisión,
esto no sería posible si las cargas tienen alguna extensión distribuida en una longitud, superficie
o volumen.
La expresión matemática de la ley de coulomb para la fuerza entre dos cargas eléctricas viene dada
por
$$\vec{F} =\frac{kq_1q_2}{r^2}\hat{u}_r\tag{2.1}$$
$k$ es la llamada constante dieléctrica, $\hat{u}_r$es un vector unitario en la dirección de
la línea que une las dos cargas y su sentido específico dependerá de la acción sobre cada carga
Actividad de Simulación. La siguiente simulación permite familiarizarnos de manera
cuantitativa con la fuerza de coulomb. La simulación trabaja con dos escalas diferentes: una
escala macro y una escala atómica, al hacer click en cualquiera de las dos escalas el
estudiante puede percibir la dependencia de la fuerza de coulomb con respecto al valor de
las cargas y la distancia de separación entre ellas habilitando diferentes valores para
ambos parámetros
Actividades
En el entorno de la simulación habilite las opciones para valores de carga y distancia de
separación entre las cargas
1. Escoja dos cargas de $4\mu c$ cada una separadas 8cm. Tome nota de la fuerza entre las
cargas y verifique el resultado utilizando la ecuación (2.1)
2. Quítele un coulomb a una de las cargas y agrégueselo a la otra carga. Mida la fuerza entre
la cargas. verifique el resultado utilizando la ecuación (2.1)
3. Escoja dos cargas iguales de signo contrario y sepárelas 4cm. Cada carga con un valor de
2$\mu c$, con el sensor de medida de la simulación encuentre el punto donde una tercera
carga $Q$ cualquiera no experimenta fuerza. Verifique (2.1)
EL CAMPO ELÉCTRICO
La carga eléctrica altera el espacio que la rodea. Es decir, cualquier otra carga colocada en un
punto cualquiera a cierta distancia $r$ sentirá la presencia de la otra carga eléctrica, esto era de
esperarse dado que la fuerza de coulomb definida antes actúa sin importar la distancia entre las
cargas. Para manejar de manera sencilla la fuerza entre dos cargas puntuales de cualquier tamaño se
introduce la idea de campo eléctrico. El campo eléctrico se define como la
fuerza eléctrica por unidad de carga y su dirección se toma como la dirección de la fuerza que
ejercería sobre una carga positiva de prueba.
Esto puede verse mejor utilizando el concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) introducido por
Michel Faraday (1791-1867). Las líneas de campo son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo
varía la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del espacio e indican la
trayectoria que seguiría la unidad de carga positiva (es decir las cargas de prueba ) si se la
abandonara libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las
cargas negativas.
La figura 2.3 ilustra la acción del campo eléctrico sobre una carga de prueba. El campo producido
por la carga positiva de la izquierda es representado por flechas saliendo de la carga, esto quiere
decir que la carga de prueba (por definición positiva) es repelida. En cambio el campo producido por
la carga negativa se representa por flechas entrando en la carga, esto quiere decir que la carga de
prueba es atraída.
Matemáticamente se define el campo eléctrico $\vec{E}$ creado por la carga puntual $q_1$ en un punto
cualquiera $P$ como:
$$\vec{E} =k\frac{q_1}{r^2}\hat{u}_r\tag{2.2}$$
Donde $q_1$ es la carga creadora del campo y puede ser positiva, 0 negativa $k$ es la constante
dieléctrica, $r$ es la distancia desde la carga fuente al punto $P$ y $\hat{u}_r$ es un vector
unitario dirigido desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo eléctrico. El campo
eléctrico depende únicamente de la carga fuente y la distan $r$ al punto donde se quiere calcular el
campo. En el sistema internacional se mide en $\frac{N}{C}$ o $\frac{V}{m}$
Note que la dirección del campo eléctrico en el punto $P$ es un vector "saliendo" si lo produce una
carga positiva (en la misma dirección de $\hat{u}_r$) o "entrando" si lo produce una carga negativa
(en la dirección opuesta de $\hat{u}_r$)
Actividad de Simulación -cargas Eléctricas y Campos- En esta simulación complementamos
el estudio de la interacción eléctrica ilustrando de manera gráfica y animada el
comportamiento del campo eléctrico y su dependencia de los parámetros de carga y distancia.
Note la barra en la parte inferior de la simulación
.
Note que existen tres iconos dentro de esta barra, uno para la carga positiva otro para la
carga negativa y uno de color amarillo que representa un sensor de medida
Actividades
1. Haga click en cualquiera de los iconos de carga eléctrica y arrástrelo a la pantalla,
habilite el indicador de campo eléctrico y haga una lectura de su valor con el sensor de
medida (icono amarillo)
2. Escoja dos valores iguales de cargas positivas con una separación cualquiera, ¿cuánto
vale la fuerza entre las cargas?
3. ¿Cambia la fuerza de coulomb cuando se cambia el valor de las cargas? Cuando se varía la
distancia de separación?
4. Escoja dos valores de carga y simultáneamente una separación cualquiera entre ellas,
verifique el valor de la fuerza de coulomb.
5. Cambie los valores de carga y separación (ambos) escogidos en el numeral anterior de tal
manera que la fuerza de coulomb se duplique
6. Escoja dos cargas del mismo signo y de valor 6$\mu C$ cada una separadas 8cm. Verifique
el valor numérico de la fuerza de coulomb.
7. Quítele 2$\mu C$ a una de las cargas y se los agrega a la otra carga sin cambiar la
separación. Calcule el valor de la fuerza de Coulomb
8. Note en el numeral anterior que le valor total de las cargas involucradas (12$\mu C$) y la
distancia entre ellas no cambió ¿Que puede argumentar sobre el resultado obtenido en este
numeral?
Carga Distribuida
La ecuación (2.2) nos permite calcular el campo producido por una carga puntual a una distancia $r$.
Para calcular el campo producido por una carga distribuida debemos primero caracterizar las
distintas maneras posibles como se puede distribuir una carga eléctrica. Estas maneras son tres :
lineal , superficial y volumétrica.
La distribución lineal la caracterizamos por la letra $\lambda$, y significa la cantidad de carga
eléctrica contenida en la unidad de longitud. La distribución superficial la caracterizamos por la
letra $\sigma$, y significa la cantidad de carga eléctrica contenida en la unidad de superficie.
La distribución volumétrica la caracterizamos por la letra $\rho$, y significa la cantidad de carga
eléctrica contenida en la unidad de volumen.
A continuación, describimos en detalle el
significado de cada una de estas densidades:
Densidad lineal $\lambda$: Es la cantidad de carga- contenida en la unidad de longitud. Si la
distribución es uniforme se define matemáticamente como:
$\lambda =\frac{q}{l}$, $\;$ Si la distribución NO es uniforme entonces $\;$ $\lambda
=\frac{dq}{dl}$.
Densidad superficial $\sigma$: Es la cantidad de carga contenida en la unidad de superficie.
Si la distribución es uniforme se define matemáticamente como:
$\sigma =\frac{q}{s}$, $\;$ Si la distribución NO es uniforme entonces $\;$ $\sigma
=\frac{dq}{ds}$.
Densidad volumétrica $\rho$: Es la cantidad de carga contenida en la unidad de volumen. Si la
distribución es uniforme se define matemáticamente como:
$\rho =\frac{q}{V}$, $\;$ Si la distribución NO es uniforme entonces $\;$ $\rho =\frac{dq}{dV}$.
En lo sigue presentaremos algunos ejemplos de cálculo de campo eléctrico producidos por
distribuciones de carga.
Ejemplo 1
Calcular el campo eléctrico producido por un anillo de radio $u$ y densidad lineal de carga
positiva $\lambda$ en un punto cualquiera sobre el eje perpendicular al plano del anillo y
que pasa por su centro
Solución
Para encontrar el campo total producido por el anillo procedemos a escoger un elemento de carga $dQ$
sobre el anillo y trazamos la distancia $r$ al punto. Dado que el elemento $dQ$ es positivo,
producirá un campo vectorial saliente en una dirección $\theta$ como se muestra en la fig 2.5 (en
color rojo).
Podemos escribir el elemento diferencial de carga $dQ$ ubicado sobre un pequeño elemento $dl$ en el
anillo de radio $u$, el cual producirá en cualquier punto sobre el eje un campo eléctrico pequeño
$d\vec{E}$ dado por :
$$d\vec{E} = k\frac{dQ}{r^2}\hat{u}$$
El campo total en ese punto será entonces la suma de todas las contribuciones $d\vec{E}$ producidas
por todos los elementos diferenciales $dQ$ sobre el anillo:
$$\vec{E} = \int k\frac{dQ}{r^2}\hat{u}\tag{2.3}$$ No existe ningún error ni de física o matemáticamente
en escribir la ecuación (2.3), sin embargo, no es aconsejable usar esta ecuación por una razón muy
sencilla: El integrando es un vector y quedaríamos sumando infinitos vectores NO paralelos
En este punto debemos recordar que los vectores son objetos que siguen reglas especiales de suma,
resta ó multiplicación por lo cual una integral no es apropiada para sumar infinitos vectores a
diferentes ángulos (es decir no paralelos) de manera directa como lo establece el cálculo de
integrales. por lo tanto, debemos buscar la manera de reducir el problema a una suma de vectores
paralelos, es decir, los vectores que constituyen el integrando de la ecuación (2.3) deben ser
paralelos. Para conseguir esto notemos que en el anillo de la figura 2.5 existe un elemento de carga
$dQ´$ simétricamente opuesto a $dQ$, el cual crea un campo eléctrico $d\vec{E´}$ (color verde).
Tanto $d\vec{E}$ como $d\vec{E´}$ se pueden descomponer en componentes rectangulares $d\vec{E}_x$ y
$d\vec{E}_y$ para el vector $\vec{E}$ (rojo) e igualmente $d\vec{E}_{x}^´$ y $d\vec{E}_{y}^´$ para
el vector $d\vec{E´}$ (verde).
Las componentes verticales en la dirección $y$ se cancelan y sólo quedamos con las componentes
horizontales de ambos vectores $d\vec{E}_x$ y $d\vec{E´}_x$, de modo que la contribución al campo de
las dos cargas $dQ$ y $dQ´$es la suma de las componentes horizontales de los campos. Claramente cada
elemento de carga $dQ$ en el anillo tiene un simétrico opuesto $dQ´$. De modo que el campo total
$\vec{E}$ en el punto $P$ será debido solamente a la suma de las componentes horizontales
Podemos entonces escribir: $$ \vec{E} = \int (E_x dx)\hat{i}\tag{2.4}$$ Dado que estamos sumando
vectores paralelos podemos "soltar" las flechas de vectores y escribir simplemente (ver Figura 2.5
):
$$E = \int dE Cos\theta = k\int \frac{dQ}{r^2} Cos\theta=k\int\frac{dQ}{r^2}\frac{x}{r}$$
Notemos que $r$ y $x$ son constantes de integración (ver Figura 2.5), por lo tanto: $$E =
\frac{k}{r^3}x\int dQ = xQ\frac{k}{r^3}$$ $Q$ es la carga total del anillo la cual en términos de
$\lambda$ (que es conocida) y de la longitud total $l$ del anillo viene dada por:
$$\lambda = \frac{Q}{l} = \frac{Q}{2\pi u} \implies Q = \lambda 2\pi u$$ Por otro lado la longitud
total del anillo es : $l = 2\pi u$, asi que reemplazando los valores de $Q$ y $r$ en la expresión
para $E$ obtenemos:
$$ E = \frac{kx\lambda 2\pi u}{(u^2+x^2)^{3/2}}$$
vectorialmente $$👉\vec{E} = \frac{kx\lambda 2\pi u}{(u^2+x^2)^{3/2}}\hat{i}\tag{2.5}$$
Ejemplo 2
calcular el campo eléctrico producido por un disco de radio $R$ y densidad superficial de carga
positiva $\sigma$ en un punto cualquiera sobre el eje perpendicular al plano del disco
(Figura2.6)
Solución
Conocido el campo eléctrico debido a un anillo de carga y dado por el resultado (2.5) podemos
calcular el campo del disco imaginando que éste se construye a partir de una cantidad infinita de
anillos consecutivos cada uno de radio (variable) $R´$. El anillo más pequeño tiene un radio de $R´=
0$ y el más grande (borde del disco) un radio de $R´= R$.
El campo eléctrico producido por el disco será entonces:
$$\vec{E}_{Disco} = \int \vec{E}_{Anillos} = \int \frac{kx\lambda 2\pi
u}{(u^2+x^2)^{3/2}}\hat{i}\tag{2.6}$$ Debemos advertir dos cosas en la ecuación (2.6):
1. El radio $u$ del anillo era una constante en el ejercicio anterior pues se trataba de un sólo
anillo. Ahora es una variable pues tenemos infinitos anillos cuyos campos pretendemos sumar para
obtener el campo del disco, por lo tanto, debemos sustituir a $u$ por la variable $R´$, es decir, $u
\rightarrow R´$
2. Note que no aparece la variable de integración en (2.6). Ello se debe a que está escondida en la
densidad superficial definida como :
$\sigma = \frac{dq}{ds}$. Recordemos que $ds$ es un pequeño elemento superficial en la cual está
contenida la carga $dq$.
El valor de este pequeño elemento de superficie para un disco de radio $R´$ viene dado por $ ds =
dldR´$ donde $dl$ es un diferencial de longitud o diferencial de arco sobre el circulo de radio
$R´$, por lo tanto:
$$ \sigma= \frac{dq}{ds} =\frac{dq}{dldR´} = \frac{\lambda}{dR´}$$
Hemos usado la definición de la densidad lineal decarga : $\lambda = \frac{dq}{dl}$
De modo que: $$\sigma dR´ = \lambda\tag{2.7}$$ Reemplazando (2.7) en (2.6) obtenemos:
$$\vec{E}_{Disco} = k\pi x\sigma \int \frac{2R´dR´}{(R´^2+x^2)^{3/2}}\hat{i}\tag{2.8}$$ Esta
integral se resuelve fácilmente por sustitución trigonométrica haciendo :
$ U = R´^2 + x^2 \implies dU = 2R´dR´$
Comentario. utilizar el resultado del anillo nos permitió ahorrar el trabajo de cálculo
detallado que implica calcular el campo producido por un elemento diferencial del disco y luego
considerar el análisis de simetría par los componentes vectoriales, este paso previo ya está
realizado con el cálculo del anillo donde se han realizado las consideraciones de simetría
necesarias que nos llevan a escribir la ecuación (2.9). Esta metodología de trabajo es muy usada en
distintas situaciones, por ejemplo, podemos calcular el campo producido por un cilindro hueco de
longitud $L$ utilizando el resultado del campo creado por un anillo, también podemos calcular el
campo producido por un cilindro sólido utilizando el resultado de un disco.
Ejemplo 3
Considere un cilindro sólido de longitud $L$ y radio $R$(Figura 2.7). Calcular el campo eléctrico
producido en cualquier punto de su eje coaxial y a una distancia $h$ de su cara superior.
Solución
dado que el cilindro es macizo podemos usar el resultado (2.9) obtenido para el disco, simplemente
cambiamos la variable $x$ por $z$ y escribimos:
Igual que en el caso del disco, no aparece la variable de integración. Ello se debe a que está
escondida en la densidad superficial $\sigma$.
Veamos :
$$\rho =\frac{dQ}{dV} = \frac{dQ}{drdldz}$$ Note que $drdl = dA$ $\;$ Por lo tanto:
$$\rho =\frac{dQ}{dV} = \frac{dQ}{dzdA} = \frac{\sigma}{dz}$$ De modo que $\;$ $\;$ $\rho dz
=\sigma$
La integral nos queda entonces:
$$👉\vec{E}_{Cilindro}=2k\pi\rho \int_{z=0}^{z=L} [zdz(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}
)]\hat{k}\tag{2.10}$$
Ejemplo4
Hallar el campo eléctrico creado por un alambre delgado muy largo (infinito) con una densidad lineal
de carga negativa $\lambda$ en un punto alejado una distancia $R$ (Figura2.8)
Solución
El alambre infinito es una distribución lineal. Para calcular el campo eléctrico en el punto $P$
procedemos a escoger un diferencial $dq$ en cualquier punto del alambre y trazar la distancia de
este elemento al punto de cálculo. Una vez hecho ésto dibujamos el campo creado en $P$ por el
elemento de carga $dq$. Nótese que es un vector dirigido Hacía $dq$ debido a que $dq$ es negativo y
los campos creados por cargas negativas llegan a las cargas
Este elemento de carga crea entonces un campo eléctrico dado por .
$$ d\vec{E} = k\frac{dq}{r^2}\hat{u}\tag{2.11}$$ Se trata entonces de sumar todas las contribuciones
de campo eléctrico $d\vec{E}$ producidas por cada uno de los elementos $dq$ que componen el alambre
infinito. Esto implica integrar la expresión (2.11) y en consecuencia quedaríamos sumando infinitos
vectores NO paralelos lo cual es sumamente incómodo por decir lo menos.
Éste es el mismo problema que tuvimos que enfrentar en el caso del anillo, por lo cual usamos un
análisis de simetría similar, para ello notemos que por cada elemento de carga $dq$ situado a una
distancia $l$ en la parte inferior al punto $O$ produciendo un campo pequeño $d\vec{E}$, existe un
$dq$ en la parte superior al punto $O$ a la misma distancia $l$ del punto $O$ que produce otro
$d\vec{E}$ en un ángulo idéntico pero opuesto con respecto a la horizontal, tal y como se muestra en
la figura(2.8).
Podemos descomponer cada uno de éstos vectores en sus componentes rectangulares con lo cual notamos
que las componentes en la dirección vertical (dirección $y$) se cancelan quedando solamente las
componentes horizontales (dirección $x$).
En resumen : En el proceso de sumar todas las contribuciones de todos los elementos de carga a lo
largo del alambre quedamos sumando solamente vectores paralelos a lo largo de la dirección $x$
$$d\vec{E_x} = -(k\frac{dq}{r^2}Cos\alpha)\hat{i}\tag{2.12}$$
El signo menos se debe al hecho que el vector total $\vec{E}$ en (2.12) tiene dirección opuesta al
vector unitario $\hat{i}$
Nótese además que los ángulos $\alpha$ y $\theta$ son complementarios, por lo tanto podemos realizar
el reemplazo $Cos\alpha = sen\theta$, de modo que (2.12) nos queda:
$$d\vec{E_x} = -\Big(k\frac{\lambda dl}{r^2}sen\theta \Big)\hat{i}\tag{2.13}$$ Hemos usado $dq = \lambda dl$,
note sin embargo que, aunque $dl$, aparece como variable de integración aún no hemos definido los
límites de integración. Para definir estos límites analizamos primero qué variables tenemos en
(2.13) y después cuál de ellas es la más apropiada o conveniente para establecer los límites.
Existen tres variables : $r$, $l$ y $\theta$. La variable más apropiada o conveniente resulta ser el
ángulo $\theta$ ya que nos permite tomar como límite inferior $\theta =0$ (en $\;$-$\infty$)$\;$ y
$\;$ $\theta = \pi$ (en $\;$+$\infty$) ó el caso equivalente $\theta =0$ como limite inferior y
$\theta = \frac{\pi}{2}$ como límite superior y luego multiplicar por dos. La multiplicación por dos
es obvia: se debe a que dada la simetría del problema, la contribución al campo eléctrico desde el
punto $O$ hacía arriba es la misma que desde el punto $O$ hacía abajo.
Una vez que escogemos el ángulo $\theta$ como variable de integración procedemos a escribir las
otras dos variables $r$ y $l$ como función del ángulo $\theta$:
$$d\vec{E}_x =-k\lambda \Big(\frac{RCosc^2\theta d\theta Sen\theta} {R^2Cosc^2\theta}\Big)\hat{i}$$
$$\vec{E}_x =\vec{E}_{Total} = -2\times \Big(\frac{k\lambda}{R} \int_{0}^{\pi/2} d\theta Sen\theta
\Big)\hat{i}$$ $$\vec{E}_{Total} = -2\times \Big(\frac{k\lambda}{R}Cos\theta \Big)_0^{\pi/2}\hat{i}
$$ $$👉\vec{E}_{Total} = -2\frac{k\lambda}{R}\hat{i} $$
Ejemplo 5
Hallar el campo eléctrico creado por una lámina infinita uniformemente cargada y densidad
superficial de carga $\sigma$ de ancho $W$ en un punto coplanar con la lámina y alejado una
distancia $b$ del borde de la lámina Solución
Nuevamente utilizaremos el resultado de un cálculo anterior (en este caso el resultado del alambre
infinito). Imaginaremos que la lámina está construida a partir de muchos alambres uno al lado de otro
de manera continua hasta formar una lámina de ancho $W$.
$\vec{E} = \int \vec{E}_{Alambre}$ $$\vec{E} = \int 2\frac{k\lambda}{R}\hat{i} = \int
2\frac{k\lambda}{x}\hat{i}\tag{2.16} $$ Note que no está explícita la variable de integración, para
encontrarla recordamos que la lámina es una superficie, por lo tanto, en vez de la densidad lineal
$lambda$ deberíamos tener $sigma$ en (2.16) sabemos que: $$\sigma = \frac{dq}{ds} =
\frac{dq}{dxdy}\tag{2.17}$$
En este punto podríamos usar $\lambda = \frac{dq}{dx}$ o $\lambda = \frac{dq}{dy}$. debemos escoger
ésta última porque queremos integrar sobre la variable $x$ dado que estamos sumando todas las
contribuciones al campo de todos los alambres infinitos alineados uno a continuación del otro a lo
largo de la dirección $x$.
Si escogemos $\lambda = \frac{dq}{dy}$ y reemplazamos en (2.17) obtenemos $\sigma =
\frac{\lambda}{dx}$ podemos entonces reescribir (2.17) en la forma
Responder a cada una de las preguntas del siguiente cuestionario señalando la opción correcta según
su criterio
1. En la figura de la derecha se muestran las líneas de campo eléctrico que provienen de dos
cargas $Q_1$ y $Q_2$. Para éste dibujo podemos concluir que:
A. $Q_1 > Q_2$ B. Tanto $Q_1$ como $Q_2$ tienen el mismo signo C. El campo podría ser cero en el punto $P_2$ D. El campo podría ser cero en el punto $P_1$ E. NDA
2. Dos cargas eléctricas positivas de valores $q$ y $2q$ se hallan separadas una distancia
$2r$.
Puede afirmarse que el campo eléctrico es cero en : A. En algún punto a la izquierda de $q$ B. En algún punto a la derecha de $q$ C. En algún punto entre $q$ y $2q$ D. En algún punto a la izquierda de $q$ E. NDA
3. Considere las dos cargas del ejercicio anterior. El campo eléctrico total en un punto
ubicado a la mitad de las dos cargas es: A. $\frac{kq}{r^2}$ dirigido hacía la carga $q$ B. 2$\frac{kq}{r^2}$ dirigido hacía la carga $q$ C. $\frac{kq}{r^2}$ dirigido hacía la carga $2q$ D. 2$\frac{kq}{r^2}$ dirigido hacía la carga $2q$ E. NDA
4. Una carga de prueba de $5\times 10^{-7}C$ recibe una fuerza horizontal hacía la derecha de
$3\times 10^{-4} N$. Determine la magnitud e intensidad del campo eléctrico en el punto donde está
colocada la carga.
5.
Tres cargas positivas iguales están en los vértices de un triángulo equilátero de lado $a$.
Determine el punto (diferente del infinito) donde el campo eléctrico vale cero
6. La varilla de la derecha tiene una longitud $l$ y densidad lineal de carga uniforme
(constante) $\lambda$
Calcule: i. las componentes $E_x$ y $E_y$ del campo eléctrico en el punto $P$, el cual se encuentra a
una altura $d$ como se muestra en la figura ii. El campo total resultante en el punto $P$
7. La arandela de la figura presenta una densidad de carga superficial $\sigma$ y tiene un
radio interno $a$ y externo $b$. Calcule el campo eléctrico $\vec{E}$ en un punto $P$ ubicado sobre
el eje perpendicular al plano de la arandela y a una altura $z$ del mismo.
Sugerencia: primero calcule el campo creado por un anillo de carga de radio $R$ en el punto
$P$ y utilice este resultado para calcular el campo eléctrico creado por la arandela
8. Un casquete semiesférico de radio $a$ tiene densidad superficial de carga uniforme
$\sigma$. Calcule el campo eléctrico en un punto $P$ sobre el eje $z$ a una distancia $R$ de la base
del casquete tal que $R > a$
9. Considere un cono de altura $h$ y base de radio $r$. La superficie del cono está cargada
uniformemente con una densidad superficial de carga uniforme $\sigma$. Calcule el campo eléctrico en
el centro de la base del cono
10. Una carga positiva $Q$ está distribuida de manera uniforme a lo largo del eje $y$
positivo sobre una barra delgada homogénea de longitud $a$ entre $y=0$ $\;$ y $\;$ $y= a$.
Determine las componentes horizontal y vertical del campo eléctrico debido a la barra en el punto
$P$ ubicado sobre el eje horizontal una distancia $x$ de la barra
FLUJO DE CAMPOS VECTORIALES
La palabra flujo la asociamos con la idea de "algo" que se mueve (por lo general algún fluido o gas)
Esta idea sin embargo no corresponde con exactitud a la realidad ya que un vector de campo tal como
los campos eléctricos o magnéticos pueden "fluir" sin que ello implique que estos campos se estén
moviendo. Esto se debe a que cuando queremos medir el flujo (es decir cuantificarlo) debemos
involucrar la superficie a través de la cual se realiza el flujo. Debemos tener claro entonces que el
"concepto" de flujo contiene necesariamente dos protagonistas: lo que fluye y la superficie a través
de la cual fluye.
Recordemos que una superficie es técnicamente hablando un vector perpendicular al plano geométrico
de la superficie y cuya magnitud o valor absoluto es el área geométrica de la superficie en
cuestión. Por ejemplo, el cuadrado en la figura de lado $a$ figura (2.16) es un vector cuya magnitud
es $a^2$.
La dirección de este vector como se ve en la figura viene dada por el vector unitario $\vec{u}_n$
normal (perpendicular) a la superficie
El flujo de cualquier vector $\vec{V}$ a través del área o plano geométrico de éste cuadrado debe
necesariamente atravesar el plano, es decir, debe existir un ángulo diferente de $\pi/2$ entre el
vector de superficie $\vec{S}$ y el vector que fluye $\vec{V}$ tal y como lo vemos en la figura
(2.17). Debido al carácter vectorial de $\vec{V}$, solo una parte del vector atraviesa la superficie
$\vec{S}$
¿Como medimos el flujo de cualquier vector $\vec{V}$?
Refiriéndonos a la figura (2.18), notamos que la componente $V_y$ no fluye a través de la superficie
$\vec{S}$ (avanza paralelo al plano geométrico) su flujo entonces vale cero, mientras que la
componente $V_x$ fluye totalmente a través de $\vec{S}$ (avanza perpendicular al plano geométrico),
¿Como medimos éste flujo?
LLamaremos al flujo de cualquier vector $\vec{V}$ a través de una superficie $\vec{S}$ con el nombre
$\Phi_{\vec{V}}$. Se puede ver claramente que éste flujo dependerá de la cantidad que fluye
multiplicada por el área geométrica de la superficie a través de la cual fluye
$$\Phi_{\vec{V}} = V_xS = (VCos\theta)S =VSCos\theta\tag{2.19}$$ Notemos que la ecuación (2.19)
tiene la forma de un producto escalar y la podemos escribir:
$$\Phi_{\vec{V}}= \vec{V}\cdot\vec{S}\tag{2.20}$$
Los vectores $\vec{V}$ y d$\vec{S}$ en la ecuación(2.19) son constantes. Para el caso en que ambos
vectores sean variables (ver figura 2.19) simplemente procedemos a sumar las contribuciones $d\Phi$
en todos los pequeños elementos de superficie $d\vec{S}$ es decir el flujo total a través de toda la
superficie será:
Comentario. La ecuación (2.21) es la expresión más general que se tiene para calcular flujos
pues se está asumiendo que es válida para cualquier campo vectorial $\vec{V}$ y cualquier superficie
$\vec{S}$. También asumimos que el tamaño del elemento $d\vec{S}$ es lo suficientemente pequeño como
para que el vector $\vec{V}$ tenga el mismo valor en cada punto en el interior de $\vec{ds}$
Flujo a Través de una Superficie Cerrada
A continuación examinamos el caso de un vector fluyendo a través de una superficie cilíndrica
cerrada. Podemos imaginar para el caso que nos ocupa que fluye agua a través de una tubería y la
representamos por las flechas color ladrillo dirigidas de izquierda a derecha en la figura
(2.20).
Note que debemos considerar el flujo de agua a través de tres superficies que forman el cilindro:
$\vec{S_1}$ dibujada como una flecha en color azul saliendo hacía la izquierda del volumen
cilíndrico.
$\vec{S_2}$ dibujada como una flecha en color azul saliendo hacía la derecha del volumen
cilíndrico.
$\vec{S_C}$ dibujada como una flecha en color azul saliendo perpendicular desde cualquier punto
sobre la superficie geométrica del cilindro.
El flujo del agua será entonces la suma de tres flujos a través de las tres superficies mencionadas,
entonces llamando $\vec{V}$ el vector que representa el agua tendremos : $$\Phi_{\vec{V}}=
\oint_S\vec{V}\cdot d\vec{S}\tag{2.22}$$
Hemos utilizado el símbolo $\oint$ de integral cerrada para indicar que debemos encontrar el flujo a
través de todas las superficies que rodean o delimitan el volumen cilíndrico, la ecuación (2.22) se
convierte entonces en :
$$\Phi_{\vec{V}}= \int\vec{V}_1\cdot d\vec{S}_1+ \int\vec{V}_2\cdot d\vec{S}_2 +\int\vec{V}_C\cdot
d\vec{S}_C\tag{2.23}$$ Notemos que de la figura (2.20) el vector $\vec{V}$ hace un ángulo de $\pi$
con la superficie $\vec{S}_1$ y de cero grados con la superficie $\vec{S}_2$, mientras que hace un
ángulo de $\pi/2$ con el vector $\vec{S}_C$, es decir, el último término de la ecuación (2.23) es
cero debido al producto punto (o producto escalar) entre los vectores $\vec{V}_C$ $\;$ y $\;$
$d\vec{S}_C$.
La ecuación (2.23) se reduce entonces a
$$\Phi_{\vec{V}}=-\int V_1dS_1 + \int V_2dS_2\tag{2.24}$$ El primer término de la ecuación (2.24)
representa la cantidad de agua que entra al cilindro atravesando toda la superficie $S_1$ (el área
geométrica circular de esa cara) igualmente el segundo término en (2.24), representa el agua que sale
del cilindro atravesando la superficie $S_2$, es claro que
si $S_1 = S_2$, entonces la cantidad de agua que entra en determinado tiempo es igual a la que
sale y por lo tanto el flujo total debe ser cero.
Este resultado (2.25) se cumple siempre y cuando
no exista ninguna clase de filtración del agua a través de las paredes del cilindro tales como
pequeños agujeros (llamados también sumideros) o incluso alguna intervención externa como una
fuente que agregue agua (una llave, por ejemplo). Éste resultado se expresa comúnmente en la afirmación:
El flujo a través de una superficie cerrada cualquiera es cero si y sólo si no existen
fuentes ni sumideros de lo que fluye
TEOREMA DE FLUJO Y LEY DE GAUSS
Johann Carl Fiedrich Gauss (1777-1855). Un excelente físico, matemático y astrónomo alemán
se percató que el resultado anterior podía utilizarse para calcular campos eléctricos. Inicialmente
Gauss calculó el flujo del campo eléctrico producido por una carga eléctrica puntual a través de una
superficie cualquiera. En éstas notas reproducimos ese cálculo realizado por Gauss pero lo haremos a
través de una superficie esférica no sólo por facilidad de cálculo sino también por razones
pedagógicas, ello sin embargo no le quita validez alguna al resultado el cual podemos considerar
válido para cualquier superficie
Consideremos entonces una carga puntual positiva $q$, rodeada de una superficie esférica de radio
$R$ como se muestra en la figura (2.21). El campo eléctrico producido está representado por flechas
que salen de la carga en forma radial. El flujo del campo a través de la superficie esférica será
entonces :
$$\Phi_{\vec{E}} = \oint \vec{E}\cdot d\vec{S}\tag{2.26}$$ Ahora bien, el campo eléctrico producido
por una carga puntual positiva cualquiera a una distancia $r$ viene dada por
$$\vec{E} = k\frac{q}{r^2}\hat{u}_r$$ remplazando en (2.26) para el caso de la esfera en la figura
2.21 obtenemos:
$$\Phi_{\vec{E}} = \oint k\frac{q}{R^2}\hat{u}_r\cdot d\vec{S} =\frac{kq}{R{^2}}\oint ds
=\frac{kq}{R^2}S$$ $S$ es la superficie de la esfera de radio $R$, es decir, $S = 4\pi R^2$ y además
$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Reemplazando estos valores en la expresión anterior obtenemos
finalmente:
$$\Phi_{\vec{E}} = \frac{q}{\epsilon_0}\tag{2.27}$$ Éste es el denominado teorema del flujo que
enunciamos formalmente de la siguiente manera: El flujo del vector de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al
valor de la carga neta encerrada dividida por $\epsilon_0$,
Es decir
: $$\Phi_{\vec{E}}= 0 $$ Si no hay cargas en su interior(fuentes de campo eléctrico)
$$\Phi_{\vec{E}}= \frac{q}{\epsilon_0} $$
en el caso que exista una fuente en su interior(la carga eléctrica en éste caso)
Ejemplo Ilustrativo Sobre Flujo de Campo Eléctrico
Un cubo de lado $a$ se halla inmerso en un campo eléctrico variable dado por la expresión $\vec{E} =
4x^2\hat{i}$ en un sistema coordenado $XYZ$. La distancia de la primera cara al eje $z$ también vale
$a$ (ver figura 2.22).
Calcular 1. El flujo del campo $\vec{E}$ a través de toda la superficie cúbica cerrada 2. La carga neta encerrada (si la hay)
Solución.
Dado que el campo eléctrico es paralelo al eje $X$ no fluye a través de cuatro caras: La cara
de arriba , la de abajo y las dos caras laterales. El flujo del campo será entonces la suma de los
flujos en dos caras: La cara anterior $\vec{S_1}$ y la cara posterior $\vec{S_2}$ del cubo
El resultado obtenido en la ecuación (2.28) nos dice que el flujo a través de la superficie cerrada
cúbica es diferente de cero y por lo tanto debe existir alguna carga positiva en el interior de la
superficie. Ésta carga la encontramos aplicando directamente el teorema de flujo, es decir la
ecuación (2.28)
$$ \Phi_{\vec{E}} = 12a^4 = \frac{q_{neta \; encerrada}}{\epsilon_0}$$ $$👉 q_{neta \; encerrada}=
\epsilon_0 12a^4$$ Ejemplo Ilustrativo Sobre cálculo del Campo eléctrico Usando la ley de Gauss
Una esfera de radio $r_0$ (Figura 2.23)presenta una distribución volumétrica de carga uniforme
positiva $\rho$.
Calcular 1 El campo eléctrico en el interior de la esfera ($r <r_0$) 2 El campo eléctrico en el exterior de la esfera ($r >r_0$)
Solución
En todo ejercicio de aplicación de la ley de Gauss empezamos por identificar la región donde
queremos calcular el campo, en éste caso identificamos dos regiones: dentro y fuera de la esfera,
comenzaremos por calcular el campo eléctrico en el interior de la esfera ($r <r_0$), para ello
marcamos un punto en el interior de la esfera y por ese punto trazamos una superficie con la
simetría del problema, en este caso una esfera la cual hemos dibujado en color azul. A esta superficie
Se le llama superficie gaussiana y le asignamos un radio $r$. Una vez trazada la superficie
gaussiana notamos que la carga encerrada es la que queda dentro de la gaussiana.
Escribimos la ley de Gauss:
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{qneta \; encerrada}{\epsilon_0}\tag{2.29}$$ Dada la simetría
del problema y puesto que la distribución de carga es positiva, el ángulo entre el elemento de
superficie $d\vec{S}$ y el campo $\vec{E}$ es de cero grados, (mire la figura 2.23), entonces la
ecuación (2.29) se convierte en
$$E4\pi r^2 = \frac{4}{3}\frac{\rho\pi r^3}{\epsilon_0}$$ $$👉E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \qquad
r < r_0 \tag{2.30}$$ De manera similar procedemos para $r > r_0$. El lector puede verificar
siguiendo el procedimiento anterior que en este caso $$👉E = \rho\frac{r_0^3}{3\epsilon_0r^2} \qquad
r >r_0 \tag{2.31}$$
Es interesante notar que la magnitud del campo eléctrico en el interior de la esfera ($r < r_0$),
es directamente proporcional a $r$. pero en el exterior de la esfera ($ r> r_0 $), la magnitud
del campo eléctrico E es inversamente proporcional a $r^2$, la gráfica que mostramos a la izquierda
nos proporciona una idea clara de este comportamiento
Ejercicios Propuestos Sobre Flujo de Campo Eléctrico 1 si a una superficie cerrada llegan más líneas de las que salen entonces puede decirse que
el flujo de campo eléctrico es:
A. Positivo $\;$ B. Negativo $\;$ C. infinito $\;$ D. cero $\;$
E. NDA
2.
Una superficie cuadrada de lado $a$ se encuentra en un campo eléctrico constante de $5 volt/m$.
Calcule el flujo del campo eléctrico a través de la superficie en todos los casos mostrados en la
figura, considere que el ángulo $\alpha$ vale $60^0$
3. Se tiene una superficie esférica cargada con una carga total Q(Figura 2.26). Describa que
sucede con el flujo (aumenta, disminuye, no cambia) a través de la superficie si :
A. La carga se triplica B. El radio de la esfera se duplica C. La superficie se cambia a un cubo D. La carga se coloca en otra posición dentro de la superficie E. ¿Podría utilizar la
ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico a una distancia $2R$ del centro de la esfera?
4A. Una carga puntual $Q$ se encuentra en el centro de un cubo de lado $a$ como se muestra en
la figura (2.27) . Determine el flujo
1. través de una de sus caras
2. través de toda la superficie cúbica cerrada
4B. Si se duplica el lado del cubo (es decir $2a$) determine el flujo:
1. través de una de sus caras
2. través de toda la superficie cúbica cerrada
5.Una línea de carga muy larga (infinita) con densidad lineal uniforme $\lambda$ (C/m)
atraviesa un cubo de lado $a$ perpendicularmente a dos de sus caras y por su centro.
1.¿Cuál es el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?
2. ¿Si duplicamos el lado del cubo cuanto es ahora el flujo?
6.
Una superficie cerrada en forma de cuña(ver figura 2.29) se halla inmersa en un campo
eléctrico constante $\vec{E}$. Las dimensiones de la superficie aparecen señaladas en la figura.
Encontrar: i. El flujo del campo eléctrico a través de toda la superficie cerrada. 2i. La carga eléctrica encerrada (si la hay)
Ejercicios Propuestos Sobre la ley de Gauss
7.
Se tiene una línea infinita con densidad de carga lineal uniforme. Determine el campo eléctrico una distancia $r$ de la línea
8. Una esfera no conductora de radio $a$ tiene una densidad de carga por unidad de volumen
uniforme. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera
9. Una esfera no conductora sólida de radio $a$ y carga uniforme $Q$ está ubicada en el
centro de un cascarón esférico conductor de radio interior $b$ y exterior $c$. Calcule el campo
eléctrico en las siguientes regiones:
a. Dentro de la esfera no conductora b. Entre la esfera no conductora y la conductora c. Dentro de la esfera conductora d. fuera de las esferas e. ¿Cuales son las densidades de cargas inducidas en las superficies interna y externa de la
esfera conductora?
10. Dos láminas de extensión infinitas , uniformemente cargadas están enfrentadas como se
muestra en la figura. La de la izquierda tiene una densidad superficial de carga $\sigma_A$ y la de
la derecha $\sigma_B.$ Halle el campo eléctrico en todas las regiones para la siguiente
configuración :
$\sigma_A=\sigma_0$ $\;$ y $\;$ $\sigma_B= -\sigma_0$
11. Considere una lámina infinita de espesor $2a$ no conductora con una carga
uniforme con densidad volumétrica $\rho.$ Calcule el campo eléctrico en términos de la distancia
$x$, medida desde el plano medio de la lámina en las siguientes regiones:
A. En el interior de la lámina B. En el exterior de la lámina C. Grafique el módulo(magnitud) de $E$ en función de $x$
12.
Considere dos cascarones cilíndricos conductores coaxiales (ver figura 2.35) de longitud
$L$ muy grande (infinitos). El cascarón interior contiene una carga total $Q$ y el exterior una
carga total $-Q$. Determine: a. El campo eléctrico en la región $r < R_1$ b. El campo eléctrico en la región $R_1<r<R_2$ c. la densidad de carga en cada una de las superficies conductoras
POTENCIAL ELÉCTRICO
Alejandro Volta (1745 - 1827) Químico y físico italiano, famoso por el descubrimiento del
metano en 1776 y la invención y desarrollo de la pila eléctrica en 1799, fue además el primero en
definir apropiadamente el concepto de potencial eléctrico.
Se define el potencial eléctrico como la energía potencial eléctrica ($E_{Pe}$) por unidad de
carga, se denota por $V$ y sus unidades en el sistema internacional de medida son voltios en honor a
Alejandro Volta.
Empezaremos aqui definiendo el potencial eléctrico $V$ producido por una carga eléctrica puntual $q$
como:
$$V = \frac{E_{Pe}}{q} \implies V = \frac{k\frac{Qq}{r}}{q}\tag{2.32}$$
$$V = k\frac{Q}{r}\tag{2.33}$$
¿Qué significa Realmente V?
la ecuación (2.33) se puede leer de la siguiente manera: "El potencial eléctrico creado por la carga
$Q$ en el puno $P$ es igual a la constante eléctrica $k$ multiplicada por la carga eléctrica que
produce el campo eléctrico a una distancia $r$ de donde está la carga"
Debido a la definición en términos de energía potencial eléctrica, dada para el potencial eléctrico
en (2.32), este potencial es en realidad una diferencia de potencial entre el punto $P$ y el
infinito.
Esto se entiende mejor si recordamos que la $E_{Pe}$ de configuración es el trabajo realizado para
ubicar dos cargas eléctricas una frente a otra cierta distancia $r$. Éste trabajo se realiza
suponiendo que una de las dos cargas está en el infinito y debemos "traerla" con velocidad constante
(sin aceleración) hasta colocarla en punto $P$ a una distancia $r$ de la otra carga. El trabajo
realizado entre $r = \infty$ $\;$ y $\;$ $r =r $ queda "almacenado" en la configuración en forma de
energía potencial. Cuando se aplica la definición (2.33) obtenemos la energía que quedó almacenada
por unidad de carga, es decir, el trabajo que se realizó por unidad de carga entre $r = \infty$ $\;$
y $\;$ $r =r $, lo cual establece que el potencial eléctrico $V$ dado por (2.33) es una diferencia
de potencial entre el infinito y el punto $P$
El argumento anterior implica tomar el infinito como nivel de referencia cero para el potencial
eléctrico. En la práctica ésto no es apropiado, en realidad el nivel de referencia cero puede ser
cualquier punto siempre que todas las medidas de potencial eléctrico se realicen con respecto a ese
punto. Usualmente ese punto o nivel de referencia cero se escoge según la situación que se esté
considerando, por ejemplo, en un automóvil se mide el potencial eléctrico de cualquier punto en su
interior con respecto al chasis del automóvil, es decir, conectaríamos una de las terminales del
voltímetro en cualquier punto del chasis (nivel de referencia cero) y la otra terminal en el punto
donde queremos medir el potencial. En una casa el nivel de referencia cero para el potencial es la
Tierra, de modo que todos los aparatos eléctricos trabajan con un potencial medido respecto a la
tierra.
Diferencia de Potencial Entre Dos Puntos
Nos proponemos ahora responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la diferencia de potencial entre
dos puntos separados una distancia $r$?. Note que ahora no se trata de la diferencia de potencial
entre un punto y el infinito. Para responder esta pregunta consideremos la figura 2.37
El potencial producido por $Q$ en los puntos $A$ y $B$ será :
$$V_A = k\frac{Q}{r_A} \qquad V_B = k\frac{Q}{r_B} $$ Por lo tanto, la diferencia de potencial entre
los dos puntos es :
$$ V_A- V_B=k\frac{Q}{r_A} - k\frac{Q}{r_B}\tag{2.34}$$ Notemos que por ser $Q$ positiva el
potencial en el punto $A$ es mayor que en el punto $B$, por el contrario , si la carga $Q$ tuviese
signo negativo el potencial en $B$ sería mayor que en $A$. Que sucedería si colocamos una carga de
prueba entre los puntos $A$ y $B$?
¿Que es una carga de prueba? Es una herramienta muy útil definida como una
carga positiva muy pequeña, tan pequeña que el campo producido por ella es despreciable
Es claro que si $Q$ es positiva entonces una carga de prueba colocada entre $A$ y $B$ se movería
hacía la derecha ($V_A > V_B$), pero si $Q$ es negativa se movería hacía la izquierda ($V_B >
V_A$), en cualquier caso, ya sea que $Q$ sea positiva o negativa siempre se mueve de los puntos de
mayor potencial a los puntos de menor potencial. podemos establecer entonces el siguiente enunciado
: Las cargas eléctricas positivas se mueven de los puntos de mayor potencial a los puntos
de menor potencial
Este resultado es de gran importancia en la teoría de circuitos cuando
Acordamos o convenimos lo siguiente : En un circuito eléctrico la corriente eléctrica es debida a
los portadores de carga positiva, con lo cual podemos generalizar la afirmación escrita antes y
decir:
En un circuito eléctrico las corrientes se mueven de los puntos de mayor potencial a
los puntos de menor potencial
Potencial Eléctrico de Cargas Distribuidas
el potencial eléctrico en un punto cualquiera $P$ debido a una carga puntual $Q$ está definido en la
ecuación (2.33).
Para el caso de una carga distribuida aplicamos la misma técnica que hemos venido utilizando en
otras partes del curso tales como masas distribuidas o cálculo de campos eléctricos producidos por
cargas distribuidas. En el caso del potencial eléctrico el cálculo matemático se facilita mucho
debido a que el potencial eléctrico es una cantidad escalar y no vectorial, esto nos ahorra mucho
trabajo al no tener que lidiar con vectores. Podemos entonces escribir:
$$V = \int k\frac{dq}{r}\tag{2.35}$$ La aplicación de la ecuación (2.35) está muy bien ilustrada en
los ejercicios sobre carga distribuida desarrollados anteriormente y por lo tanto no consideramos
necesario insistir más en el tema. Consideramos más interesante investigar
cómo se calcula la diferencia de potencial en una región donde existe campo eléctrico,
para ello empezamos por escribir la expresión correspondiente al trabajo realizado para trasladar
entre dos puntos $A$ y $B$ a una carga eléctrica que se halla inmersa en el interior de un campo
eléctrico
En la expresión (2.36), $W_A^B$ es el trabajo realizado por la fuerza eléctrica $\vec{F}_E$ debida
al campo eléctrico presente en la región. Debemos recordar que el trabajo es lo mismo que la
energía, es decir, $W_{A}^B = E_{PA}^B$ con lo cual podemos deletrear la ecuación (2.36) como :
"Es la energía potencial que se genera y almacena cuando trasladamos una carga eléctrica
entre dos puntos $A$ y $B$ donde exista un campo eléctrico" Dividiendo por la carga $q$ ambos lados de la ecuación (2.36) obtenemos:
$$\frac{W_A^B}{q} = \int_A^B \Big(\frac{\vec{F}_E}{q}\Big)\cdot d\vec{r} $$ Note que
$\frac{W_A^B}{q}$, es la definición de la energía potencial eléctrica $E_{Pe}$ y
$\Big(\frac{F_E}{q}\Big)$ es la definición de campo eléctrico, podemos escribir entonces
Ejemplo ilustrativo En una región del espacio plano existe un campo eléctrico variable
definido por $\vec{E}=4x^2\hat{i}$. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos $P_1(2,4)$
y $P_2(6,2)$ (ver figura 2.38) Solución. Lo primero que debemos notar es la infinita cantidad de trayectorias posibles para
ir desde el punto $P_1$ hasta el punto $P_2.$ La más fácil y cómoda de todas las posibles resulta
ser
La que va desde $P_1(2,4)$ hasta el punto intermedio $C(2,2)$ y luego desde $C(2,2)$ hasta
$P_2(6,2)$
Escribimos entonces:
$$V_{P_1}^{P_2} = -\Big(\int_{P_1}^C\vec{E}\cdot d\vec{r} + \int_{C}^{P_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}
\Big)$$ La primera integral nos dice que caminemos desde $P_1$ hasta el punto $C$ sin importar que
trayectoria escojamos, pero es evidente que el camino más conveniente y directo es la línea recta
que une estos dos puntos. La segunda integral nos dice que debemos caminar desde el punto $C$ al
punto $P_2$, claramente el camino más conveniente en éste caso es la línea que une estos dos
puntos.
Ahora bien: Cuando caminamos de $P_1$ a $C$ el desplazamiento $d\vec{r}$ se realiza únicamente a lo
largo del eje $y$, por lo tanto, $d\vec{r}$ se convierte en $\hat{j}dy$, igualmente cuando caminamos
desde $C$ al punto $P_2$, $d\vec{r}$ se convierte en $\hat{i}dx$ entonces:
Campo Eléctrico Derivado de un Potencial
La ecuación (2.37) se puede escribir de la siguiente manera:
$$\int_A^B dV = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}$$ Recordemos del cálculo integral que, en una igualdad
entre dos integrales con los mismos límites, podemos igualar los integrandos, por lo tanto: $$dV =
-\vec{E}\cdot d\vec{r}$$ $$dV =-(\hat{i}E_x + \hat{j}E_y + \hat{k}E_z )\cdot(\hat{i}dx + \hat{j}dy +
\hat{k}dz ) $$ $$dV =-(E_xdx + E_ydy + E_zdz )\tag{2.38} $$ Podemos dividir ambos lados de la
ecuación (2.38) por cualquiera de los diferenciales de desplazamiento $dx$, $dy$ ó $dz$, teniendo
presente que el potencial eléctrico puede ser función de las tres variables (x,y,z) y obtenemos las
tres ecuaciones :
$$\frac{\partial V}{\partial x}=-E_x\tag{2.39a}$$ $$\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y\tag{2.39b}$$
$$\frac{\partial V}{\partial z}=-E_z\tag{2.39c}$$ Las ecuaciones (2.39a),(2.39b),(2.39c) establecen
que si conocemos la forma del potencial eléctrico en cierta región del espacio podemos obtener el
campo eléctrico.
A continuación, presentamos un ejercicio de aplicación
Ejemplo ilustrativo
En cierta región del espacio tridimensional existe un potencial eléctrico definido por $V(x, y, z) =
3xy^2 + x^3 + x^2y$. Encuentre el campo eléctrico en el punto $P$ de coordenadas $P(1,2,1)$ Solución
La magnitud del campo eléctrico en el punto $P$ será de acuerdo con el teorema de Pitágoras
$$E(121) = \sqrt{E_x^2(121) + E_y^2 (121)+ E_z^2(121)}\tag{2.40}$$ Necesitamos entonces encontrar
las componentes $E_x$, $E_y$, $E_z$ y evaluar a cada una de estas componentes en $P(121)$.
Entonces
Se define un condensador, también llamado capacitor, como una estructura formada por dos
conductores separados una distancia $d$ ambos cargados con la misma cantidad de cargas pero
de signo contrario. Considerando su forma geométrica existen diferentes tipos de condensadores, en éste curso
estudiaremos los tres mas comunes: el condensador de placas planas paralelas PPP (Figura 3.1), el
condensador esférico y el condensador cilíndrico.
Nótese que no hemos impuesto
ninguna condición en relación a la forma geométrica que puedan tener los conductores que
conforman el condensador, sin embargo, para usos prácticos ésta forma dependerá de los requerimientos tecnológicos exigidos.
Por otra parte, al tener los conductores cargas de signos opuestos existirá una fuerza atractiva
entre ellos que tiende a juntarlos por lo cual se introduce un medio no conductor o dieléctrico con
el fin de evitar esta juntura que sin duda causaría un corto circuito. Resulta interesante que estos
dielétricos aumentan la capacidad de almacenamiento de energía eléctrica del condensador mejorando
sus prestaciones y optimizando así su rendimiento. Finalmente señalemos que al conectar uno de
los conductores a un generador éste se carga e induce una carga de signo opuesto en el otro
conductor del condensador.
2. ¿Cuál es la función de un condensador?
La función principal de un condensador es almacenar cargas eléctricas y en consecuencia según
veremos más tarde energía eléctrica. En la industria son utilizados para suministrar intensas
pulsaciones eléctricas de láser, como también para desviar cargas eléctricas en movimiento, en los
circuitos electrónicos los capacitores se usan para manipular voltajes y corrientes variables con el
tiempo.
Queremos ahora explicar el mecanismo de almacenamiento de cargas en un condensador y sobre todo
cuanta carga puede almacenar . Para este fin utilizaremos un condensador PPP (Placas Planas
Paralelas) en la que una de las placas va a contener carga positiva y la otra negativa
(Figura3.2).
Imaginemos que empezamos por "traer y colocar" una pequeña cantidad de carga positiva y la
depositamos en la placa de la izquierda, cada electrón en la placa de la derecha se halla sometido a
una fuerza dada por
$$\vec{F} = -q\vec{E}\tag{3.1} $$
Debido al signo de la carga la fuerza está en el sentido opuesto al campo eléctrico $\vec{E}$, si la
fuerza es lo suficientemente intensa, los electrones pueden ser arrancados de la placa, lo cual
ocurre cuando aumenta el campo eléctrico entre las placas, y esto a su vez ocurre cada vez que
aumentamos la cantidad de carga que colocamos en las placas Resulta claro entonces que un condensador no puede soportar una cantidad ilimitada de
cargas ya que mientras más cargas coloquemos en las placas mayor será el campo eléctrico
entre ellas y por consiguiente mayor será la fuerza que el campo ejerce sobre las cargas en
las placas.
Lo anterior implica que debe existir un límite para la cantidad de carga que puede almacenar un
condensador para evitar que los electrones sean arrancados de las placas, éste límite se conoce como
capacitancia cuya función es cuantificar o medir la cantidad de carga que puede
aguantar el condensador sin que se destruya. Más adelante comprobaremos que medir esto es lo mismo
que medir cuanta energía puede almacenar el condensador entre sus placas
CAPACITANCIA
La capacitancia se mide en Faradios en honor a Michel Faraday, Físico y Químico Inglés (en sus
principios totalmente empírico) quien dedicó su vida al estudio de los fenómenos eléctricos y
magnéticos
La capacidad máxima de almacenar carga eléctrica que tiene un condensador sin que se destruya viene
dada por
$$C = \frac{Q}{V}\tag{3.2}$$ En la expresión (3.2) $Q$ es la carga absoluta (sin signo) depositada
en uno de los conductores que conforman el condensador y $V$ es la diferencia de potencial entre
ellos.
Esta definición, aunque correcta es poco práctica para propósitos tecnológicos ya que calcular
la capacitancia implicaría medir para cada ocasión cuánta carga tiene el condensador en una de las
placas y esto dependería de cada situación particular, como por ejemplo el tipo de circuito en que
se halla conectado el condensador, esto nos llevaría a concluir que la capacitancia de un
condensador depende del circuito donde esté conectado lo cual es falso.
La capacitancia de un condensador es constante y bien definida.
En lo que sigue nos proponemos particularizar la definición (3.2) para cada uno de los tres
condensadores mencionados al principio de este capítulo
Condensador de Placas Planas Paralelas (PPP)
Empezamos por notar que la diferencia de potencial eléctrico entre las placas del condensador $PPP$
no se conoce, por lo tanto debemos calcularla:
$$V_{1}^{2} = -\int_{1}^{2}\vec{E}\cdot d\vec{r}\tag{3.3}$$ Recordemos que $\vec{E}$ es el campo
eléctrico entre las dos placas etiquetadas con los números $1$ y $2$.
Dado que no conocemos $\vec{E}$ lo debemos calcular usando la ley de Gauss para lo cual escogemos un
cilindro recto de longitud cualquiera con superficies circulares de valor $S$ (círculos sombreados)
en ambos extremos del cilindro. Nótese que la Superficie de la cara anterior del cilindro la hemos
dibujado en el interior de la lámina 1 para aprovecharnos del hecho que el campo eléctrico
en el interior de un conductor es cero.
Escribimos la ley de gauss:
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{s} = \frac{\sigma S}{\epsilon_0}\tag{3.4}$$ $$\oint\vec{E}\cdot d\vec{s}=
\int\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1 + \int\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2 + \int\vec{E}_C\cdot d\vec{s}_C
=\frac{\sigma S}{\epsilon_0} $$ Notemos que la primera y la última integral se anulan. la primera
por estar la superficie $\vec{S}_1$ en el interior de la lámina donde el campo es cero en su
interior, la última se anula por existir un ángulo de $\pi/2$ entre $\vec{S}_c$ y el campo eléctrico
$\vec{E}$, por otro lado, el campo eléctrico $\vec{E}$ en cada punto de la superficie $S_2$ es el
mismo, por último, notemos que $S_1 = S_2 = S$
Entonces (3.4) nos queda:
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2 = \frac{\sigma S}{\epsilon_0}$$ $$ E =
\frac{\sigma}{\epsilon_0}\tag{3.5}$$ Debido a que la distribución superficial es uniforme en la
superficie de la lámina, la magnitud del campo eléctrico $\vec{E}$ entre las láminas también lo
será. Ahora podemos reemplazar (3.5) en (3.3) y obtener:
Notemos que $V_{1}^{2} = V_2 - V_1$ es negativo ya que $V_1 >V_2$. Esto se debe a que el
potencial en la lámina $1$ es mayor que en la lámina $2$, (recuerde que las corrientes se mueven de
los puntos de mayor potencial a los puntos de menor potencial). Esto lo podemos verificar con una
carga de prueba, si soltáramos una carga de prueba entre las dos placas ésta se movería hacía la
derecha, es decir hacia la lámina $2$ y por lo tanto concluiríamos que la lámina $1$ está a mayor
potencial que la lámina $2$. Entonces escribimos:
$$V_{1}^{2} = V_2 -V_1 = -V = -\frac{\sigma d}{\epsilon_0}$$ $$V_{1}^{2} = \frac{\sigma
d}{\epsilon_0}\tag{3.7}$$ Reemplazando (3.7) en (3.2) y teniendo en cuenta que la carga total $Q$ en
la lámina es $Q = \sigma A$, donde $A$ es el área total de la lámina obtenemos
$$C_{PPP} = \frac{\epsilon_0 A}{d}\tag{3.8}$$
Condensador Esférico
Básicamente un condensador esférico está formado por dos esferas huecas concéntricas (Figura3.4).
Para encontrar la capacitancia de este condensador cargamos las esferas con cargas iguales y
opuestas. Debemos hacer esto con el fin de realizar el procedimiento de cálculo similar al que
hicimos para el condensador $PPP$.
Empezamos por escribir:
$$C = \frac{Q}{V}\tag{3.9}$$ Seguidamente calculamos la diferencia de potencial entre las dos
esferas huecas. En la figura (3.4) hemos colocado la carga positiva en la esfera interior de modo
que el campo eléctrico estará dirigido de adentro hacia afuera. Escribimos:
$$V_{a}^{b} = -\int_{a}^{b}\vec{E}\cdot d\vec{r}\tag{3.10}$$ Los límites de la integral imponen que
caminemos desde la esfera de radio $a$ hasta la esfera de radio $b$. Dado que no conocemos la
magnitud del campo eléctrico $E$ debemos calcularlo, para ello usamos la ley de Gauss.
En referencia a la figura (3.5) trazamos una superficie gaussiana (circulo en negrilla) y escribimos:
$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{neta}}{\epsilon_0}$$ Note que la carga neta encerrada por
la gaussiana resulta ser la carga total $Q$. Después de ejecutar el producto punto (o producto
escalar) entre $\vec{E}$ y $d\vec{S}$ (ángulo $0^0$) realizamos el algebra y obtenemos al despejar
la magnitud del campo eléctrico
$$E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\tag{3.11}$$ (3.11) en (3.9) obtenemos:
$$C = \frac{4\pi\epsilon_0 ab}{b-a}\tag{3.12}$$
ENERGÍA ALMACENADA POR UN CONDENSADOR
Queremos ahora calcular cuanta energía potencial eléctrica es almacenada entre las placas de un
condensador cualquiera, para ello debemos relacionar cantidades como la energía potencial eléctrica
$E_P$, la diferencia de potencial eléctrico $V$ entre las placas y la carga $q$ que almacena el
condensador.
Recordemos la definición de potencial eléctrico
$$V = \frac{E_p}{q}$$ Ésta ecuación es válida cualquiera sea la cantidad de carga $q$ depositada en
cualquiera de las placas (dentro del límite que puede soportar un condensador) es decir :
$$ E_P = Vq \implies dE_P = Vdq $$ A partir de aquí podemos encontrar cuanta energía se almacena
entre los conductores que conforman el condensador según la carga que se acumula en ellos.
Integrando ambos lados de ésta ecuación y teniendo en cuenta la ecuación (3.9) escribimos:
$$\int_{0}^{E_P}dE_P =\int_{q = 0}^{q}\frac{q}{C}dq $$ Es claro que para los límites se debe cumplir
que cuando las placas no tienen cargas (q = 0) no existe ninguna energía potencial almacenada en el
condensador ($E_P = 0$), en cambio cuando existe alguna carga $q$ en las placas entonces la energía
potencial almacenada tendrá algún valor $E_P$ por lo tanto :
$$E_P= \int_{q = 0}^{q}\frac{q}{C}dq \implies E_P = \frac{q^2}{2C}\tag{3.13} $$ Con el resultado
(3.13) podemos observar la relación directa entre carga eléctrica y la energía potencial eléctrica,
para un modo más práctico hemos sustituido la carga $q$ en (3.13) por $q =VC$, quedando entonces la
energía potencial eléctrica en términos de la carga eléctrica y la capacitancia del condensador. Sin
embargo, el resultado (3.13) es de muy poca utilidad práctica para calcular la energía potencial
almacenada en el condensador, ello se debe a la dificultad de averiguar la carga que se almacena en
el condensador por ello resulta conveniente usar $q = VC$ en (3.13) y reescribir :
$$E_P = \frac{V^2 C^2}{2C} \implies E_P = \frac{V^2 C}{2}\tag{3.14}$$ esta ecuación (3.14) resulta
muy práctica a la hora de hallar la energía potencial eléctrica almacenada por un condensador. Note
que ésta depende del circuito al cual esté conectado el condensador, asi por ejemplo un circuito de
baja energía nos dará una medida pequeña de $V$ y por tanto almacenará poca energía $E_P$, mientras
que en uno de altas energías el voltímetro medidor arrojará altos valores de $V$ y por lo tanto
almacenará mayor energía potencial $E_P$. Debemos tener claro en todo momento un condensador tiene
un límite de energía que puede almacenar , más allá de ese límite el condensador se destruye
CONEXIONES ENTRE CONDENSADORES
Existen dos maneras básicas de conectar condensadores en un circuito: Serie y Paralelo, hay que decir sin embargo que en ocasiones no están conectados en ninguna de las dos formas, esto
puede ocurrir cuando se tienen circuitos construidos con dos o mas mallas
En La figura (3.6) podemos ver cuatro condensadores conectados en paralelo en lado izquierdo de la
pagina. En la figura de la derecha los cuatro condensadores se han reemplazado por un sólo
condensador (en color rojo) que cumple la función de los cuatro anteriores, por eso recibe el nombre
de "equivalente" y al circuito lo llamamos "circuito equivalente".
Toda conexión de dos o más condensadores en paralelo se puede reducir a un circuito
equivalente con un solo condensador
En la figura (3.7) podemos observar la otra conexión básica entre condensadores llamada conexión en
serie. Note que los cuatro condensadores conectados se pueden reemplazar por un solo condensador
(color rojo) también llamado "equivalente" el cual realiza la misma tarea que los cuatro anteriores.
Esto nos permite concluir: Toda conexión de dos o más condensadores en serie se puede reducir a un circuito
equivalente con un solo condensador
En lo que sigue estudiamos que caracteriza una conexión en serie y una conexión en paralelo
entre condensadores
Conexiones en Serie Entre Condensadores
Dos condensadores de un circuito están conectados en serie si por ellos pasa la misma corriente
eléctrica. Esta afirmación expresa la conservación de la carga eléctrica ya que no sería posible
justificar una diferencia de cargas eléctricas entre dos condensadores por los cuales circula la
misma corriente eléctrica. Note que en la conexión mostrada en la figura (3.7) la corriente que pasa
por los cuatro condensadores es la misma y por lo tanto cada uno de ellos acumula la misma carga en
sus placas, una diferencia entre las cargas acumuladas en las placas no se puede dar porque la
cargas se conservan y en una placa de cualquiera de los condensadores no pueden faltar o sobrar
cargas con respecto a las demás placas pues la corriente que llega a cada una de las placas de los
condensadores es la misma.
Capacitancia Equivalente de Condensadores Conectados en Serie
Un circuito eléctrico con condensadores conectados en serie como se muestra en la figura (3.8) puede
reducirse a un circuito con un solo condensador que realice la misma tarea que los conectados en el
circuito original. El condensador resultante debe tener entonces una capacitancia equivalente a los
condensadores del circuito original (Tres en el caso de la figura 3.8) cuyo valor se encuentra de la
siguiente manera
$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \implies
{C_{eq}}=\frac{C_1C_2C_3}{C_2C_3+C_1C_3+C_1C_2}$$ En general para un número cualquiera $N$ de
condensadores conectados en serie la capacitancia equivalente es :
Dos condensadores de un circuito están conectados en paralelo cuando la "caida o diferencia de
potencial " entre los extremos de los condensadores es la misma para todos, para que esto ocurra, la
conexión en paralelo de dos elementos de un circuito (condensadores en este caso) requiere que no
exista ningún elemento entre los extremos de los condensadores. En la figura (3.9) podemos observar
en la imagen de la izquierda una típica conexión en paralelo que involucra dos condensadores, note
que este circuito se reduce al circuito elemental de la derecha con un solo condensador equivalente,
este condensador equivalente debe tener entonces una
capacitancia equivalente a los condensadores del circuito original cuyo valor es la suma
directa de los condensadores conectados: $C_{eq} = C_1 + C_2$. En general para $N$ condensadores
conectados en paralelo la capacitancia del condensador equivalente viene dada por
$$C_{eq} = \sum_{n = 1}^{n = N} C_n\tag{3.16}$$ Observemos que la conexión en paralelo es más
eficiente para almacenar energía que la conexión en serie, para comprobarlo usemos dos condensadores
idénticos de capacitancia $C$ cada uno y miremos que sucede para cada conexión: 1. Conectados en Serie
La capacitancia equivalente es:
$$\frac{1}{C_{eq}} =\frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}\implies C_{eq} = \frac{C}{2}$$ La
energía potencial eléctrica almacenada según (3.14) será entonces:
$$E_P = \frac{V^2 C_{eq}}{2} = \frac{V^2}{2}\Big(\frac{C}{2}\Big)\implies E_P = \frac{V^2 C}{4}$$
2. Conectados en Paralelo
la capacitancia equivalente es : $$C_{eq} = C + C = 2C $$ La energía potencial eléctrica almacenada
según (3.14) será entonces:
$$E_P = \frac{V^2 C_{eq}}{2} = \frac{V^2}{2}(2C) \implies E_P = V^2C$$ 😦La conexión en paralelo almacena cuatro veces más energía que la conexión en serie
Actividad de Simulación - Condensadores A través de la plataforma de simulación en ciencias Phet desarrollada por la universidad de
colorado, se realizará una actividad didáctica orientada a entender e ilustrar el manejo de
condensadores y los conceptos asociados a éstos, tales como: capacitancia y energía
almacenada. observamos la simulación con dos ventanas : Condensador y
Bombilla
Clic en la Ventana del Condensador.
Cuando hace Click en esta ventana se despliega el cuadro de la figura 3.10. Note que esta figura
NO es interactiva (No es la simulación), en ella puede observar un condensador del tipo $PPP$
conectado a una batería de 1.5 Voltios y dos flechas verdes con las cuales puede cambiar sus
dimensiones (tamaño de las placas y distancia entre ellas). Los cuadros de la parte superior
permiten cambiar los parámetros de la simulación. Observe la existencia de un voltímetro el cual
puede arrastrar y utilizar para medir la diferencia de potencial entre las placas
Actividades 1. Manipulando las flechas verdes construya un condensador con 0.2 pF(pico Faradios)
de capacidad
2. Utilice el capacitor construido en el paso anterior y suministre un Voltaje de
0.8 Voltios, mida la capacitancia, la energía almacenada y la carga en las placas
3. suministre un voltaje de -1.2 voltios y mida la capacitancia, la energía
almacenada y la carga en las placas. ¿Qué elementos cambian su valor? (la capacitancia, la
energía almacenada y la carga )
CUESTIONARIO CAPITULO 3
Capitulo 4
CORRIENTE Y RESISTENCIA ELÉCTRICA
CORRIENTE Y RESISTENCIA ELÉCTRICA
En términos generales y cualitativos, La corriente eléctrica es carga por unidad de tiempo,
pero debido a que estamos hablando de corrientes eléctricas debemos ser más específicos. Una mejor
manera de pensar y entender la corriente eléctrica es imaginar la unidad de carga eléctrica (un
Coulomb) como una pequeña esferita. La corriente consiste entonces en contar cuantas esferitas pasan
por un punto determinado en un segundo
Cuando se aplica un campo eléctrico $\vec{E}$ como se muestra en la figura 4.1 los electrones se
mueven a la izquierda (flechas azules) al hacerlo, los huecos dejados por los electrones los cuales
son positivos por defecto, (flechas rojas) se mueven hacia la derecha. El movimiento de los electrones es la dirección real de la corriente, sin embargo, para poder
decir que las corrientes van de los puntos de mayor potencial a los de menor potencial adoptamos la
convención según la cual la dirección de la corriente la llevan los portadores de carga positivos
(los huecos) tal y como se muestra en la figura (4.1).
Para construir una definición de corriente eléctrica empezamos por escribir en términos matemáticos
la idea de lo que es corriente eléctrica (carga por unidad de tiempo)
$$I = \frac{carga}{tiempo} = \frac{Q}{t}\tag{4.1}$$ El acto físico de medir la corriente $I$
consiste en ubicarnos en un punto cualquiera de la longitud del conductor provistos con un
cronómetro o cualquier otro medidor de tiempo y contar cuantas esferitas pasan por ese punto en
cierto intervalo de tiempo $\Delta t$. Por ejemplo, si en un intervalo de tiempo $\Delta t = 10$
segundos pasaron 100 esferitas, entonces al aplicar la ecuación (4.1) observamos que :
$$ I = \frac{100 coulombs}{10 segundos} =10 Amperios$$
hemos introducido la unidad de medida llamada
Amperio, que se representa con la letra $A$. Note que
Un Amperio es igual a un coulomb por segundo. Esta definición de corriente es apropiada y
completa siempre y cuando el número de esferitas que pasen sea el mismo cada segundo, de lo
contrario la ecuación (4.1) no es aplicable, en estas situaciones cuando el número de esferitas que
pasan es diferente cada segundo (por ejemplo, en el caso de la corriente alterna) definimos la
corriente eléctrica como :
$$ I = \frac{dq}{dt}\tag{4.2}$$
Densidad de Corriente Eléctrica
La sección transversal de un condensador puede ser muy grande y por lo tanto existe la posibilidad
de tener una corriente distinta para diferentes puntos de la sección transversal del conductor, por
ésta razón nos proponemos ahora investigar el comportamiento de la corriente eléctrica a nivel
microscópico, para ello debemos calcular la corriente eléctrica que pasa por la unidad de área de
una sección transversal del conductor. Consideremos la figura (4.2) donde hemos
Dibujado la sección transversal circular $\Delta$s de un cilindro en la parte izquierda de la figura
y una sección de longitud $l$ del mismo cilindro
El propósito es contar cuantas esferitas atraviesan $\Delta S$ en un intervalo de tiempo $\Delta t$.
Después del intervalo $\Delta t$ la primera esferita que atravesó $\Delta S$ ha recorrido
una distancia $l$ con velocidad constante $v$ y
junto con las demás esferitas que vienen detrás forman un cilindro de lado $l$ como se
muestra en lado derecho de la figura (4.2). Si conocemos la densidad volumétrica de las esféritas,
es decir, el número de esferitas en la unidad de volumen, podemos calcular la cantidad total de
carga $Q$ contenida en el cilindro de lado $l$.
Esta cantidad de carga $Q$ vendrá dada por
$$ Q = nqV$$ Donde $n$ es el número de esferitas en la unidad de volumen, $q$ es la carga de cada
esferita (hemos dicho que es un coulomb), y $V$ es el volumen del cilindro, esta expresión la
podemos escribir en la forma
$$Q = nqv\Delta t\Delta S\tag{4.3}$$
$\Delta S$ es el área de la sección transversal del cilindro y $v$ es la llamada
velocidad de arrastre de las cargas, esta velocidad de arrastre es la velocidad
promedio común de los electrones en el interior del conductor con la que responden cuando se aplica
un campo eléctrico externo.
Hay que decir que $n$ es un número típico que depende de la naturaleza del conductor, no es el mismo
en el metal hierro que en el metal plata o el oro o el cobre etc.
Dividiendo ambos lados de la ecuación (4.3) por $\Delta t$ obtenemos:
$$I = nqv\Delta S\tag{4.4}$$
La ecuación (4.4) nos permite introducir una nueva cantidad denominada
densidad de corriente la cual se acostumbra a representar por la letra $\vec{J},$ note
que es un vector cuya magnitud la escribimos así :
$$J = nqv\tag{4.5}$$ dado que la definición de $J$ está en términos de la velocidad de arrastre $v$,
en general $\vec{J}$ es un vector que debiéramos escribir:
$\vec{J} = nq\vec{v}$.
La ecuación (4.4) nos proporciona la magnitud de $\vec{J}$ en términos de las propiedades del medio
tales como $n$, $q$ y $v$.
Sustituyendo (4.4) en (4.5) obtenemos una expresión muy significativa para $I$:
$$I = J\Delta S\tag{4.6}$$ La ecuación (4.6) nos muestra que $J$ significa corriente por unidad de
área y puesto que el área es un vector como lo es $\vec{J}$, podemos escribir (4.6) como:
$$\int dI = \int\vec{J}\cdot d\vec{S} \implies I =\int\vec{J}\cdot d\vec{S}\tag{4.7}$$ Lo cual nos
dice que
la corriente eléctrica $I$ es el flujo de la densidad de corriente eléctrica $\vec{J}$.
Además, si tomamos en cuenta la ecuación (4.5) debemos concluir que $\vec{J}$ depende del conductor
que estemos usando, esto se puede ver conectando en paralelo como en la figura (4.3) varios
conductores (por ejemplo, Ag, Au, Cu, Al), los cuatro alambres presentan diferentes densidades
volumétricas de esferitas, es decir diferentes valores de $n$ (Y quizás diferentes velocidades de
arrastre $v$). Dado que la conexión es en paralelo, los alambres se hallan conectados al mismo
potencial, sin embargo, los amperímetros no miden la misma corriente a través de los cuatro
conductores por lo cual debemos concluir que esto se debe a que la densidad de corriente $J$ es
distinta en cada uno dada su dependencia de $n$ y $v$ mostrada en la ecuación (4.5).
Las diferentes respuestas observadas para cada alambre se resumen en la ecuación:
$$\vec{J} = \sigma \vec{E}\tag{4.8}$$
Donde $\sigma$ es la conductividad del medio y es una cantidad típica, es decir,
cada conductor tiene un $\sigma$ característico
Ejemplo 1
Suponga que la corriente que pasa por un conductor es una función exponencial del tiempo de la forma
$I(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$, donde $I_0$ es la corriente inicial (en $t= 0$), $\tau$ es una
constante con dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor.
a) Cuanta carga $Q$ pasa por este punto entre $\;$ $t = 0$ $\;$ y $\;$ $t = \tau$
b) Cuanta carga $Q$ pasa por este punto entre $\;$ $t = 0$ $\;$ y $\;$ $t = \infty$
Solución
a)Sabemos según la ecuación (4.2) que
$$ I = \frac{dq}{dt}\implies dq=Idt\implies dq = I_0e^{-\frac{t}{\tau}}dt$$ $$\int_{q =0}^{Q}dq
=\int_{t =0}^{\tau}I_0e^{-\frac{t}{\tau}}dt $$ $$Q = \tau I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}- \tau I_0
e^{-\frac{0}{\tau}}\implies 👉Q = \tau I_0(e-1)$$ b) La solución aquí tiene el mismo procedimiento
que la parte anterior, sólo cambian los límites de integración así que podemos escribir:
$$ 👉Q = \big(\tau I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}\big) \approx I_0\tau$$
Ejemplo 2
La figura (4.4) representa un conductor de sección transversal circular no uniforme por el cual se
transporta una corriente de 5 amperios. El radio de la sección transversal $A_1$ es $0.4cm$.
Encuentre :
a) La magnitud de la densidad de corriente a través de $S_1$
b) Suponga que la densidad de corriente eléctrica a través de $S_1$ es 4 veces mayor que en $S_2$,
encuentre el radio de $S_2$
Solución
a) De acuerdo con la ecuación (4.7) la corriente eléctrica $I$ es el flujo de la densidad de
corriente $\vec{J}$, este flujo es constante a través de cualquier sección transversal, esto lo
podemos ver gráficamente en la figura (4.4) en las secciones transversales de color verde y rojo,
note que el flujo en la sección transversal verde de área $A_1$ y longitud $\Delta x_1$ debe ser el
mismo que en la sección transversal roja de área $A_2$ y longitud $\Delta x_2$, es decir, la
cantidad de esferitas que atraviesan el área $A_1$ en la unidad de tiempo con velocidad $v_1$ es la
misma que atraviesan el área $A_2$ en la unidad de tiempo con velocidad $v_2$ (Por supuesto que $v_2
> v_1$)
En conclusión $$I_1 = I_2$$ Es decir: $$J_1A_1 = J_2A_2$$ Reemplazando valores y despejando $J_1$
obtenemos $$👉 J_1 = \frac{5}{\pi(4\times10^{-3})^2}\quad A/m^2 $$ b) Sabemos que $$J_1A_1 =
J_2A_2$$ Y dado que nos dicen que $$J_1 = 4J_2\implies 4J_2S_1 = J_2S_2\implies 4S_1 = S_2$$ $$4\pi
r^2_1 = \pi r^2_2\implies 👉r_2 = 2r_1 $$
Resistencia Eléctrica
Usualmente trabajamos en el laboratorio con resistencias predeterminadas, las cuales consisten en un
pequeño cilindro hecho de cerámica y dos alambres conductores en los extremos.
Algunas de éstas resistencias vienen con un código de colores que permiten conocer el valor de la
resistencia y que tanto deterioro presenta. Este tipo de resistencia se conectan en un circuito sin
importar el orden de los extremos, por ello el valor medio de la resistencia es siempre el mismo
pues sólo hay una manera posible de conexión.
En esta sección aprenderemos que
la resistencia eléctrica depende de la geometría del conductor y de cómo se conecta el
circuito, para ello deduciremos primero una expresión matemática general que nos permitirá calcular la
resistencia, en cualquier caso
Consideremos una resistencia conectada por sus extremos a una fuente como se muestra en
la figura 4.7, existe una relación entre la corriente $I$ que atraviesa la resistencia $R$ y la
diferencia de potencial $V$ medida entre los extremos de la resistencia. Esta relación se llama Ley
de Ohm y se escribe
$$V = IR\tag{4.9}$$ Queremos calcular la resistencia eléctrica de la pequeña sección $dl$ en la
figura (4.6)para ello usamos la definición de la densidad de corriente eléctrica por unidad de
área
$$J = \frac{I}{A}\tag{4.10}$$ Usando la ecuación (4.8) podemos reescribir (4.10) como
$$\sigma E = \frac{I}{A}\tag{4.11} $$ hemos dejado de lado los símbolos vectoriales para $E$ y $A$
porque de acuerdo con la figura (4.6) éstos dos vectores son paralelos. Note que entre los extremos
$a$ y $b$ del pequeño elemento $dl$ el campo eléctrico es constante (por ser $dl$ muy pequeño). Se
cumple entonces
Ahora bien :
$$V_{a}^{b} =V_a -V_b = -V (Recuerde \; que \; V_b > V_a) $$ Por lo tanto
$$V_{a}^{b} =-V = -El\implies V = El\tag{4.12}$$ La diferencia de potencial V entre los extremos $a$
y $b$ es tan pequeña como lo es $dl$ de modo que podemos escribir : $V \rightarrow dV$. Cuando
reescribimos la ecuación (4.12) para el pequeño segmento $dl$ tenemos
$$dV = Edl \implies E = \frac{dV}{dl}\tag{4.13}$$ reemplazando la ecuación (4.13) en (4.11) tenemos
:
$$\sigma\frac{dV}{dl} = \frac{I}{A}\implies dV = I\Big(\frac{dl}{\sigma A}\Big)$$ Cuando comparamos
este resultado con la ecuación (4.9) observamos que la cantidad entre paréntesis debe ser la pequeña
resistencia $dR$ entre los extremos $ab$ del segmento $dl$ del alambre, podemos escribir entonces
$$dR = \Big(\frac{dl}{\sigma A}\Big)$$ Por lo tanto, la resistencia total del alambre entre los
extremos 1 y 2 es :
$$R = \int_{1}^{2}\frac{dl}{\sigma A}\tag{4.14}$$
Para el caso particular en que $A = cte$ obtenemos
$$R = \rho \frac{l}{A}\tag{4.15}$$ Donde $\rho$ es la llamada resistividad del medio definida como
$\rho =1/\sigma$
Ejemplo 1
Considere un cilindro hueco como el de la figura (4.8), de longitud $L$ con radio interior $a$ y
exterior $b$.
Los extremos del cilindro están conectados a una fuente de voltaje $V$ tal y como se muestra en la
figura, es decir, la corriente fluye paralela al eje del cilindro
Solución
Observando la figura(4.8) notamos que la corriente eléctrica fluye a través de la sección
transversal hueca constante de valor $\pi(b^2 -a^2)$, por lo tanto, podemos aplicar directamente la
ecuación (4.15)
$$ 👉R = \rho\frac{L}{\pi(b^2 -a^2)}$$
Ejemplo 2
Considere el mismo cilindro anterior, pero con diferente conexión a la fuente. Uno de los
extremos de la fuente se conecta a la superficie interior del cilindro y el otro extremo a la
superficie exterior como se ve en la figura (4.9). Encuentre la resistencia $R$ para esta conexión
Solución
Notemos que la conexión ahora genera corrientes eléctricas radiales de adentro hacia afuera, por lo
tanto, en la integral (4.14) sustituimos $dl \rightarrow dr$ y notamos que la corriente atraviesa
ahora superficies cilíndricas en su camino hacia la superficie empezando en un cilindro de radio $a$
y terminando en un cilindro de radio $b$, escribimos entonces:
$$R = \int_{a}^{b}\frac{dr}{\sigma A} = \frac{1}{\sigma}\int_{a}^{b}\frac{dr}{2\pi r L}$$ $$ 👉R =
\frac{\rho}{2\pi L}ln \big(\frac{b}{a}\big)$$
Nótese que la resistencia, como se dijo al principio, depende de la conexión con la fuente. El mismo
cilindro presenta dos resistencias diferentes según como esté conectado a la fuente
Ejemplo 3
Se tiene un cono truncado de altura $h$ y radios $r$ y $R$. El cono se conecta a una fuente de
potencia como se muestra en la figura 4.10.
Calcular la resistencia eléctrica del cono dada la conexión mostrada
Solución
Debido a la conexión con la fuente, la corriente atravesará el cono de arriba hacia abajo como lo
muestra la flecha de color azul en la figura (4.10), por lo tanto, nuestro diferencial $dl$ en la
ecuación (4.14) es un incremento diferencial dirigido hacia abajo.
Por otro lado el área que atraviesa la corriente cuando avanza de arriba hacia abajo son círculos de
área cada vez mayor, por lo tanto, $A$ no es una constante y en consecuencia no puede salir de la
integral en (4.14) y debemos buscar una relación entre $dl$ y el radio $r$. Para encontrar esta
relación dibujamos la línea 1-2 y notamos que los triángulos $134$ y $125$ son triángulos semejantes
(ver Figura 4.11), lo cual nos permite escribir la siguientes relaciones válidas entre los lados de
dos triángulos semejantes:
$$\frac{lado 13}{lado 12} = \frac{lado 34}{lado 25} \implies \frac{l}{h}=\frac{r´-r}{R-r}\implies dl
=\frac{hdr´}{R-r} $$ Observe que la variable de integración es ahora $r$. Usando la relación $\rho =
1/\sigma$ escribimos :
$$ R = \rho\int_{R}^{r}\frac{dl}{A} = \rho\int_{R}^{r}\frac{1}{\pi r´^2}\times \frac{hdr´}{R-r} =
\frac{\rho h}{\pi (R-r)}\int_{R}^{r}\frac{dr´}{r´^2}$$ $$R = -\frac{\rho h}{\pi
(R-r)}\Big(\frac{1}{r´}\Big)_{R}^{r} =\frac{\rho h}{\pi (R-r)}\Big(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Big) R
=\frac{\rho h}{\pi}\Big(\frac{1}{rR}\Big) $$ $$👉R =\frac{\rho h}{\pi}\Big(\frac{1}{rR}\Big)$$
CUESTIONARIO CAPITULO4
Capitulo 5
CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA Y LEYES DE KIRCHHOFF
CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA Y LEYES DE KIRCHHOFF
Los circuitos de corriente directa están construidos casi siempre de varias mallas en las cuales se
distribuyen resistencias y condensadores de algún tipo, además de otros elementos tales como
baterías, inductancias, diodos etc.
Que es una malla en circuitos eléctricos ? En circuitos eléctricos, una malla es
un bucle cerrado que no contiene otros bucles dentro de sí mismo. Es decir, es un camino continuo y
cerrado que puede seguir la corriente, sin cruzar o dividirse en otros caminos cerrados. Una malla
es el circuito eléctrico más elemental posible La figura (5.1) nos muestra
una malla simple con solamente una resistencia y un condensador, mientras la figura
(5.2) nos muestra un circuito con varias mallas en las cuales podemos ver fuentes,
resistencias, corrientes e incluso un amperímetro
¿Qué significa resolver un circuito?
Por lo general un circuito se construye con valores conocidos de las resistencias y las fuentes, el
problema consiste entonces en calcular las corrientes en el circuito, esto se realiza utilizando dos
leyes muy conocidas llamadas las leyes de Kirchhoff :
Leyes de Kirchhoff
1. En un nodo las corrientes que entran son iguales a las corrientes que salen: $$I_i
=I_0\tag{5.1}$$ 2. La suma de las caídas de potencial eléctrico en los elementos de una malla es
igual a cero. Es decir
$$\sum_{n=1}^{n=N} V_n = 0\tag{5.2}$$ Donde 𝑁 es el número máximo de elementos del circuito. El
siguiente es un procedimiento recomendado – no es el único-para resolver un circuito:
1. Una vez dado el circuito con los elementos que lo componen, buscamos una fuente de
izquierda a derecha con el fin de hallar la dirección de la corriente.
2. Conocida la dirección de la corriente la dibujamos sobre todos y cada uno de los elementos
del circuito
3. Para cada nodo encontrado escribimos la primera ley de Kirchhoff
4. Contamos el número de mallas que forman el circuito y las etiquetamos, en este curso
acostumbramos a utilizar números romanos
5. Dibujamos el sentido en el cual vamos a recorrer o “caminar” la malla y escribimos la
segunda ley de Kirchhoff para cada malla.
Este último paso del procedimiento (paso 5) es de suma importancia porque cada término escrito puede
ser negativo o positivo lo cual se determina recordando que las corrientes van de los puntos de
mayor potencial a los puntos de menor potencial, es decir, cuando estamos caminando una malla y
pasamos una resistencia por la cual viene
una corriente en sentido contrario al signo de ese término es positiva, por el contrario, si
tiene el mismo sentido es negativo
Actividad de Simulación – Circuitos A través de la plataforma de simulación en ciencias Phet desarrollada por la Universidad de
Colorado, se realizará una actividad didáctica orientada a la construcción y manipulación de
circuitos de corriente directa.
Esta simulación permite construir cualquier circuito de corriente directa para lo cual se
dispone de todos los elementos necesarios en la margen izquierda: alambres de conexión,
batería, bombilla, interruptor resistencia. Para construir un circuito basta con hacer clic
y arrastrar al centro de la pantalla cualquiera de los elementos requeridos y luego unir los
extremos de los elementos entre sí.
La opción de desunir la juntura se realiza haciendo clic en la juntura de interés y cortando
con la tijera que se despliega en la misma.
Note que los instrumentos de medida usados en un circuito tales como voltímetro y
amperímetro se encuentran en la margen derecha y se activan al hacer clic sobre ellos.
otras lecturas de interés como las resistencias de la batería y los cables
usados para conectar los elementos también pueden habilitarse en la margen derecha. Los
valores específicos de las resistencias y baterías pueden ser asignados al hacer clic sobre
ellos cuando están en el circuito armado (no antes), mediante la manipulación de la barra
que aparece en la parte inferior la cual se despliega cuando se hace clic sobre el elemento
respectivo
En lo que sigue se realizan varias actividades con las cuales se pretende que el lector
adquiera un conocimiento adecuado de circuitos y habilidad y destreza en el manejo de los
mismos
Actividades 1. Construya un circuito con tres resistencias en serie y mida la resistencia
equivalente. Compare el valor mostrado en la simulación con el teórico calculado por
usted
2. Construya un circuito con tres resistencias en paralelo y mida la resistencia
equivalente. Compare el valor mostrado en la simulación con el teórico calculado por
usted
3. Construya el circuito mostrado en la figura (5.3) con los siguientes valores: $V_0
= 20$ voltios, $V_1 = 30$ voltios, $𝑅_1 = 10$ ohmios, $𝑅_2 = 𝑅_3 = 20$ ohmios. Mida los
valores para las corrientes eléctricas utilizando la simulación y compare con los valores
encontrados por usted. ¿La dirección de las corrientes mostradas por la simulación coincide
con las dibujadas?
4. Asigne un valor de 200 ohmios a la resistencia $𝑅_1$. ¿Qué cambios se observan?
Explique
5. Utilizando el circuito construido usando los parámetros del numeral 3, instale una
bombilla entre los nodos $a$ y $𝑏$ antes o después de $𝑅_1$ y observe su intensidad
6. Utilizando el circuito construido con los parámetros del numeral 4, instale una
bombilla entre los nodos 𝑎 y 𝑏 antes o después de $𝑅_1$ y observe su intensidad Explique los
cambios observados entre los numerales
Ejemplo1 .
El circuito de la figura (5.4) está compuesto por dos mallas, el valor de los potenciales,
resistencias y condensadores del circuito se suponen conocidos. Calcular las corrientes eléctricas
$I$, $I_1$, $I_2$
Solución
Procedemos a ubicar la primera fuente que encontramos de izquierda a derecha, es decir, $V_0$ y
luego dibujamos las corrientes, además, nombramos las mallas con las Letras $A$ y $B$ el sentido del
recorrido en las mallas tal y como lo exige el punto 5 del procedimiento, en este caso hemos
escogido el sentido horario a las agujas del reloj. Escribimos entonces las leyes de Kirchhoff
En el nodo 𝑎 se debe cumplir: $$I=I_1 + I_2\tag{5.3}$$ En la malla $A$:
$$V_0 - \frac{q_1}{C_1}-R_1I_1 = 0\tag{5.4}$$
En la malla $B$
$$-R_2I_2 -V-\frac{q_2}{C_2}+R_1I_1+\frac{q_1}{C_1}-I_2R_3=0\tag{5.5}$$ Las Ecuaciones (5.3), (5.4)
y (5.5) son un sistema de tres ecuaciones algebraicas simultáneas suficientes para encontrar las
tres incógnitas 𝐼, $𝐼_1$, $𝐼_2$
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Como ya hemos visto todo condensador en un circuito recibe carga hasta completar su capacidad, es
decir hasta quedar totalmente cargado.
Queremos ahora conocer su carga en cualquier instante de tiempo antes de llegar al límite de carga,
es decir, cuando se cierra 𝑆 y se establece la corriente, podemos aplicar la segunda de las leyes de
Kirchhoff
$$\sum_{n =1}^{n=N} V_n\tag{5.6}$$ Caminando en sentido horario y recordando que $I=dq/dt$,
escribimos para la malla de la figura (5.5)
$$V-\frac{q}{c}-R\frac{dq}{dt}=0$$ $$V-\frac{q}{C} = R\frac{dq}{dt}$$ Multiplicando por $1/R$ y
reordenando termino obtenemos
$$\frac{dq}{dt} = \frac{VC}{RC} - \frac{q}{RC}$$ por lo tanto:
$$ \frac{dq}{dt} = \frac{VC}{RC} - \frac{q}{RC}$$
$$\frac{dq}{(VC-q)} = \frac{dt}{RC}\tag{5.7}$$ Debemos integrar (5.7) teniendo presente que al
momento de cerrar el interruptor $S$ no hay carga en el condensador (𝑞 = 0) y transcurrido cierto
tiempo 𝑡 antes de que se complete la carga total en el condensador existirá cierta carga 𝑞.
$$\int_{0}^{q}\frac{dq}{(VC-q)}=\int_{0}^{t}\frac{dt}{RC}$$ $$ln\frac{VC-q}{VC} =-\frac{t}{Rc} $$
$$\frac{VC-q}{VC} = e^{-t/RC}$$ $$👉q(t) = VC(1-e^{-t/RC})\tag{5.8}$$ El producto 𝑅𝐶 se llama
constante de relajación y tiene unidades de tiempo.
Note que esta ecuación satisface las condiciones físicas de frontera, es decir cuando evaluamos
(5.8), En 𝑡 = 0 ⟹ 𝑞(0)=0 , y para 𝑡 ⟶ ∞ (o muy grande) , 𝑞(∞)=𝑉𝐶.
Debemos recordar siempre que (5.8) nos permite hallar 𝑞(𝑡) solo durante el tiempo que demora el
proceso de carga del condensador
Descarga de un Condensador Una vez cargado el condensador en el caso anterior ,abrimos 𝑆 y
quitamos la fuente, el condensador quedó completamente cargado. Para descargarlo cerramos 𝑆
(Fig.5.6). Ahora se establece una corriente a través de la resistencia 𝑅. La ley de mallas de
Kirchhoff queda ahora
$$-\frac{q}{C} - R\frac{dq}{dt}= 0 \implies \frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC} $$ $$\frac{dq}{q} =
-\frac{dt}{RC}\implies \int_{VC}^{q}\frac{dq}{q}= \int_{0}^{t}\frac{dt}{RC}$$ $$👉q(t) =
CVe^{-t/RC}\tag{5.9}$$
Actividad de Simulación – Carga y Descarga de un Condensador
Se realizará una actividad didáctica orientada a entender la carga y descarga de un
condensador. Este es el mismo entorno mostrado en la simulación de condensadores anterior
(Capitulo 4). Note que ahora cuenta con dos interruptores con los cuales puede cargar el
condensador (Conectando el condensador a la batería) o descargar el condensador moviendo los
interruptores a los terminales de las bombillas. Al igual que en la actividad anterior usted
puede medir la diferencia de potencial entre las placas habilitando el voltímetro que
aparece en el recuadro a la derecha
Actividades
1. Manipulando las flechas verdes, construya un condensador con la mínima capacitancia
posible permitida por la simulación y conéctelo a la batería.
2. Descargue el condensador anterior y mida el tiempo que demora la bombilla en apagarse.
3. Manipulando las flechas verdes, construya un condensador con la máxima capacitancia
posible permitida por la simulación y conéctelo a la batería
4. Descargue el condensador anterior y mida el tiempo que demora la bombilla en apagarse.
5. Compare los dos tiempos medidos y comente el resultado.
Ejercicio
En el circuito de la figura 5.7 el interruptor S, que ha estado abierto durante mucho tiempo, (𝑡 →
∞) se cierra repentinamente. Determine la constante de tiempo a) antes de que el interruptor se cierre b) después de que el interruptor ha cerrado. c) suponga que el interruptor se cierra en t=0. Determine la corriente que pasa por el
interruptor como una función del tiempo.
Solución a) Puede verse que antes de cerrar 𝑆, las resistencias de 50kΩ y 100KΩ están conectadas en
serie, por lo tanto, su resistencia equivalente será $$𝑅𝑒 = 50𝑘Ω + 100𝑘Ω = 150 𝑘Ω$$ La constante 𝜏 =
𝑅𝐶 Será:
$$\tau= (150 × 10^3 Ω) × (10 × 10^{-6}𝐹) = 1500 × 10^{-3}𝑆$$ $$👉\tau = 1.5 S$$
b) Después de cerrar el 𝑆, las resistencias del circuito quedan en paralelo, entonces la
resistencia equivalente del circuito será
$$\frac{1}{R_e}= \frac{1}{100}+\frac{1}{50}\implies R_e = 33.33K\Omega $$ Por lo tanto, la constante
de relajación será
$$\tau =R_eC = 33.33\times10^3\times10^{-6}S = 33.3 milisegundos$$
c) Aplicando Kirchhoff en la primera malla obtenemos
$$10−50𝐾Ω×I=0 ⟹𝐼= \frac{10}{50\times10^{3}} A$$
Ejemplo 2
El circuito de la figura (5.8) se ha conectado durante mucho tiempo. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través del capacitor? b) Si se desconecta la batería, ¿cuánto tiempo tarda el capacitor en descargarse hasta la
décima parte de su voltaje inicial?
Solución.
Dado que el circuito ha estado funcionando por largo rato (𝑡 → ∞) debemos suponer que el condensador
se cargó completamente. Esto significa que no existe corriente a través del condensador, por lo tanto, lo podemos eliminar del circuito, con lo cual quedan en serie las resistencias de 1 Ω y 4 Ω (ver figura 5.9),igualmente quedan en serie las de 8 Ω y 2 Ω.
Una vez que el condensador se ha cargado totalmente no cumple ninguna función ya que no permite el
paso de corriente, entonces la diferencia de potencial entre los puntos 𝑎 𝑦 𝑏 la podemos encontrar
siguiendo cualquiera de los dos caminos 𝑎𝑐𝑏 o bien 𝑎𝑑𝑏. Siguiendo el camino 𝑎𝑑𝑏 en la figura 5.9
escribimos la segunda de ley de Kirchhoff caminando la celda en el sentido antihorario
$$ V_{ab}-4i_1+2i_2 = 0\tag{5.10}$$ Pero no conocemos $i_1$, ni tampoco $𝑖_2$, debemos encontrarlas
y para eso utilizamos la malla e𝑐𝑎𝑑𝑓 y la malla 𝑒𝑐𝑏𝑑f
Remplazando estos valores en (5.10) y despejando 𝑉𝑎𝑏 obtenemos:
$$V_{ab} = 4 × 2 − 2 × 1 ⟹ 𝑉_{ab} = 6𝑉$$ El lector puede verificar que siguiendo el camino 𝑎𝑐𝑏, se
obtiene el mismo resultado c)
$$q(t)= CVe^{-t/RC}$$ $$\frac{CV}{10} = CVe^{-t/RC}\implies \frac{1}{10} = e^{-t/RC}$$
$$ln\frac{1}{10}=ln(e^{-t/RC})\implies ln1-ln10 = -\frac{t}{RC}$$ $$t = RC\times(2,3)segundos$$
Para encontrar cuánto vale el producto 𝑅𝐶 hallamos la resistencia equivalente de las 4 resistencias
que componen el circuito , como se desprecia el capacitor entonces las resistencias de 1 y 4 ohmios
nos quedan en serie. Su resistencia equivalente es 5 ohmios. Las resistencias de 8 y 2 ohmios en
serie presentan una equivalente de 10 ohmios, entonces el circuito de la figura 5.9 se reduce a la
figura 5.10. La resistencia equivalente es 3.3 ohmios, por lo tanto
$$\tau=RC_e = 3.3\Omega × 1\mu F = 33\times10^{-7} segundos$$
CUESTIONARIO CAPITULO5
Capitulo 6
LA INTERACCIÓN MAGNÉTICA
EL CAMPO MAGNÉTICO
Queremos investigar en lo que sigue sobre el otro campo presente en la teoría electromagnética, es
el llamado campo magnético denominado por la letra $\vec{B}$. Tenemos claro que la causa directa de
su existencia es el movimiento de las cargas eléctricas, es decir, las corrientes eléctricas. A
diferencia del campo eléctrico $\vec{E}$ , cuya existencia es debida a la carga eléctrica, el campo
magnético requiere que la carga se ponga en movimiento para poder existir
resumiendo, diremos entonces que la fuente de los campos magnéticos son las corrientes
eléctricas y por lo tanto donde quiera que hay corriente eléctrica, hay campo magnético. Cuál es la dirección del vector campo $\vec{B}$ ? La dirección del campo magnético se establece
apuntando el dedo pulgar de la mano derecha en la dirección que avanza la corriente y cerrando los
dedos. El campo $\vec{B}$ serán círculos concéntricos en la dirección que apuntan los dedos de la
mano derecha como se ve en la figura 6.1. En lo que sigue nos proponemos calcular el campo magnético
producido por una corriente eléctrica.
LEY DE BIOT-SAVART
Consideremos un alambre cualquiera que transporta una corriente 𝐼. El propósito es hallar el campo
magnético $\vec{B}$ en el punto 𝑃 creado por la corriente 𝐼 que lleva el alambre de longitud AB.
Procedemos a escoger un pequeño elemento de longitud del alambre el cual denotamos por 𝑑𝑙 (ver
figura 6.2) y desde aquí trazamos la distancia 𝑟 al punto 𝑃, luego dibujamos el vector unitario
$\hat{u_T}$ tangente al elemento 𝑑𝑙 y el vector unitario $\hat{u_r}$ a lo largo de la distancia 𝑟 y
dirigido hacía el punto 𝑃.
Escribimos la ley de Biot-Savart
$$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\hat{u_t}\times\hat{u_r}}{r^2} dl\tag{6.1}$$ La ecuación (6.1)
nos dice que la corriente contenida en el elemento 𝑑𝑙 produce en 𝑃 un campo muy pequeño dado por
(6.1) y entrando al plano de la hoja según las reglas de la mano derecha. El campo total producido
en 𝑃 será entonces la suma de todos los campos producidos por todos los elementos de corriente 𝐼𝑑𝑙 ,
es decir,
$$\vec{B}=\int_{A}^{B}\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\hat{u_t}\times\hat{u_r}}{r^2} dl\tag{6.2}$$ Las
unidades del campo magnético en el Sistema internacional de medidas es el Tesla (T) y $\mu_{0}$ es
la permitividad del espacio libre vacío cuyo valor exacto es $\mu_{0}=4\pi×10^{-7}𝑇/𝑚𝐴.$ Note algo
interesante y curioso:
debido al producto vectorial $\hat{u_t}\times\hat{u_r},$ no se genera campo magnético en la
dirección de avance de la corriente (𝜃=0)
Ejemplo 1.
Considere un alambre muy largo que lleva una corriente 𝐼. Calcule El campo magnético en un punto
ubicado a una distancia 𝑅 del alambre
Solución.
Escogemos el elemento diferencial 𝑑𝑙 y trazamos la distancia $𝑟$ al punto 𝑃 donde vamos a calcular
el campo $\vec{B}$ dado por
$$\vec{B}=\int\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\hat{u_t}\times\hat{u_r}}{r^2} dl\tag{6.3}$$ Note que en la
figura 6.3 hemos dibujado los vectores unitarios con colores diferentes: rojo $(\hat{u_t})$ para el
vector unitario tangente y verde para $(\hat{u_r})$ para el vector unitario en la dirección de 𝑟.
Desarrollando el producto vectorial entre estos dos vectores (6.3) nos queda
$$\vec{B}=\int\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{(sen\theta)\hat{u_e}}{r^2} dl\tag{6.4}$$
$\hat{u_e}$, es el vector unitario entrando que resulta de ejecutar el producto vectorial
$\hat{u_t}\times\hat{u_r}$ y $\theta$ es el ángulo entre ellos, notemos además que todo elemento de
corriente $ 𝐼𝑑𝑙$ del alambre crea un campo $d\vec{B}$ entrando en el plano de la hoja en el punto 𝑃.
La integral en (6.4) no
tiene límites de integración todavía, ello se debe a que el integrando se halla en términos de tres
variables: $𝑟, \theta \; y \;𝑙, $ para poder integrar debemos escoger la variable más conveniente.
El criterio de conveniencia más utilizado son los límites de integración, si escogemos $r\; ó \; l$
nos resultarían integrales con límites entre −$\infty$ $\;$y $\;$ +$\infty$ , estas integrales
llamadas impropias son a veces muy laboriosas para calcular, en cambio sí escogemos la variable
$\theta,$ los limites van desde $\theta=0$ hasta $\theta=\pi$, o bien podemos ir desde $\theta=0$
hasta $\theta=\pi/2$ y multiplicamos por 2
Una vez que hemos escogido la variable $\theta$, debemos escribir a $r\; y \; l$ como función de
$\theta$. Note de la figura (6.3) que $dl\rightarrow dy$ y además
$$sen\theta = \frac{R}{r}\implies r = Rcsc\theta$$ $$\implies r^2 =R^2(csc^2\theta)\tag{6.5} $$
$$cot\theta =\frac{y}{R}\implies y = Rcot\theta$$ $$\implies dy = Rcsc^2\theta d\theta\tag{6.6}$$
Remplazando (5) y (6) en (4) obtenemos -dejando de lado la etiqueta vectorial-
$$\vec{B}=\int\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{(sen\theta)\hat{u_e}Rcsc^2\theta d\theta}{R^2(csc^2\theta)}
dl\times 2$$ $$\frac{2\mu_0 I}{4\pi R}\int_{0}^{\pi/2} sen\theta d\theta = -\frac{\mu_{0}I}{2\pi
R}\big(cos\theta\big)_{0}^{\pi/2}$$ $$👉B = \frac{\mu_{0}I}{2\pi}R$$
Ejemplo 2.
Se tiene una corriente eléctrica I circulando en el anillo de radio R. Calcular el campo magnético
que produce la corriente I en el centro del círculo de radio $R$
Solución
Podemos notar del enunciado y la figura (6.4) que los vectores unitarios $𝒖̂_t\; y\; 𝒖̂_𝑟$ son
perpendiculares, entonces el producto vectorial $𝒖̂_t×𝒖̂_𝑟=𝒖̂_𝑥$ nos queda
$$ \vec{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\frac{𝒖̂_𝑥 }{r^2}dl\implies \vec{B} =\frac{\mu_0 I}{4\pi
R^2}\times 2\pi R𝒖̂_x$$ $$👉\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2R}𝒖̂_x$$
Ejemplo 3.
Calcular el campo magnético producido por una corriente 𝐼 que fluye por un círculo de radio 𝑅 en un
punto 𝑃 ubicado a una distancia 𝑧 del centro del círculo.
Solución. Escogemos el elemento de corriente $𝐼𝑑𝑙$ y trazamos la distancia $r$ del elemento
al punto $P$. El vector $\vec{B}$ creado en $𝑃$ por este pequeño elemento $𝐼𝑑𝑙$ es inclinado en un
ángulo $\theta$ con respecto a
una perpendicular al eje 𝑧 y lo mismo ocurre con todo los $\vec{B}$ creados por
cualquier otro elemento de corriente del círculo (ver figura 6.5), por lo tanto debemos tener
cuidado cuando queremos sumar todas las contribuciones $d\vec{B}$ producidas en 𝑃 porque no son
paralelas y como ya sabemos sumar (o sea integrar) infinitos vectores no paralelos es algo tedioso y
puede llegar a ser muy complicado.
El campo d$\vec{B}$ producido en 𝑃 tiene dos componentes rectangulares $d𝐵𝑦$ y $𝑑𝐵𝑧$.
Notemos además que simétricamente opuesto en la parte inferior del círculo existe un elemento $𝐼𝑑𝑙$
idéntico que crea en $P$ un campo $d\vec{B}$ el cual tiene también
dos componentes rectangulares $d\vec{B_y}$ y
$d\vec{B_z}$ (ver fig 6.6).
Las componentes verticales $d\vec{B_y}$ y
$d\vec{B_y}$ se anulan de modo que la suma de las contribuciones de
los elementos $𝐼𝑑𝑙$ simétricamente opuestos es simplemente la suma de las componentes $𝑑𝐵_𝑧$, este
análisis se puede aplicar a todos los elementos de corriente $𝐼𝑑𝑙$ del círculo con lo cual concluimos que
$$\vec{B} = \int dB_z\tag{6.7}$$
pero note que:
$$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\hat{u_t}\times\hat{u_r}}{r^2} dl$$
$$=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{(1)(1)sen\pi/2}{r^2}\hat{u_z}dl$$
$$=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{(1)(1)(1)}{r^2}\hat{u_z}dl$$
$$dB_z=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{sen\theta}{r^2}dl$$
$\;$ por lo tanto, para hallar el campo total producido en el punto $P$ sumamos la magnitud de todas
las componentes z del campo encontradas antes. Note que la distancia $r$ y el ángulo $\theta$ son
constantes y pueden salir de la integral. Reemplazando en (6.7) obtenemos:
$$\vec{B} = \int dB_z =\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{sen\theta}{r^2}\int dl$$ $$B
=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{sen\theta}{r^2}2\pi R$$ Observando de la figura que $r^2 = R^2 + z^2$ y
además $sen\theta = \frac{R}{r}$ podemos finalmente escribir :
$$👉B = \frac{\mu_0 I}{2(R^2+z^2)^3/2}$$
Ejercicios propuestos
1. Tres conductores muy largos portando cada uno una corriente de $2A$ salen
perpendicularmente al plano de la página. Asumiendo que 𝑎= 1cm, encuentre la magnitud y dirección
del campo magnético en los puntos 𝐴,𝐵,𝐶
2. Un alambre en forma de semicírculo doble lleva una corriente de 4 amperios. El
radio interior es 𝑎 y el exterior es 𝑏.
Calcular: El campo magnético producido por la corriente en el punto $P$
3. La Corriente eléctrica en la figura de izquierda es de 5 amperios. Calcule el campo
magnético producido por esta corriente en el punto P.
LEY DE AMPERE
André-Marie Ampere un excelente físico y matemático Francés encontró en 1831, otra manera de
calcular el campo magnético la cual es hoy conocida como la ley de ampere.
Esta ley es el equivalente a la ley de Gauss para calcular campo eléctrico y aunque es una ley
válida en cualquier situación sólo es de gran utilidad si existe simetría en el problema.
Matemáticamente se enuncia de la siguiente manera
$$\oint \vec{B}\cdot dl = \mu_0 I_n\tag{6.8}$$ Ocurre algo interesante en la aplicación de la ley de
Ampere y es que tenemos la libertad para escoger la dirección del diferencial $d\vec{l}$ por ello
escogemos siempre a $d\vec{l}$ paralelo al campo $\vec{B}$ de modo que (6.8) también se puede
escribir:
$$B2\pi r=\mu_0 I_n\tag{6.9} $$ Como podemos ver La ley de Ampere sirve para medir el campo
magnético para cualquier ruta de circuito cerrado siempre que haya simetría. La simetría nos
garantiza el mismo valor de magnitud para $\vec{B}$ en todos los puntos del circuito para que
podamos sacar la magnitud del campo magnético $\vec{B}$ debajo de la integral, notemos que
podemos leer la ley de Ampere de la siguiente manera: “la suma de los productos en la dirección del elemento de longitud es igual a la
permeabilidad magnética $\mu_0$ por la corriente neta $𝐼$ que atraviesa el área
encerrada por la trayectoria cerrada” Nótese que el enunciado describe trayectorias cerradas no necesariamente circulares
Ejemplo 1
El cilindro de la figura (6.8) tiene radio $𝑅$ y lleva una corriente $I$, calcular el campo
magnético $\vec{B}$ en las regiones 𝑟<𝑅 y 𝑟>𝑅
Solución.
1. $r <R$
dibujamos un círculo (círculo 2 negro) como se muestra en la figura (6.8) y escribimos
$$B2\pi r = \mu_0 I_n\tag{6.10}$$ No debemos olvidar que la corriente neta $𝐼𝑛$ es la corriente que
atraviesa el área del círculo 2, el cual tiene un radio cualquiera $ 𝑟<𝑅$, esta corriente es
distinta a la corriente total $𝐼$ que va por el alambre.
La corriente neta $𝐼𝑛=𝐽∆𝑆$, donde $J$ es la densidad de corriente eléctrica está definida por la
ecuación (4.6) del capítulo 4 y $∆𝑆$ es el área atravesada por la corriente en este caso el área del
círculo 2. Debemos entonces encontrar 𝐽 $$J = \frac{I}{\pi R^2} = \frac{I_n}{\pi r^2}\implies I_n =
\frac{r^2}{R^2}\tag{6.11} $$ Reemplazando (6.11) en (6.10) obtenemos para la magnitud de $B$:
$$B = \frac{\mu_0 r^2}{R^2}I \qquad r <R\tag{6.12}$$
2. Para $r>R$
Dibujamos ahora el círculo 1 (color azul) de radio $𝑟$ y notamos que la corriente atravesando el
área del círculo 1 es la corriente total $𝐼$.
$$B2\pi r = \mu_0 I_n\tag{6.13}\implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \qquad R>r$$
Ejemplo 2
Se tiene un solenoide (o bobina) muy largo de longitud 𝐿 y diámetro D como el que se muestra en la
figura. La bobina tiene 𝑁 vueltas (o espiras) y por ella circula una corriente 𝑰 como se muestra en
la figura (6.9). Utilice la ley de ampere para:
i. Calcular el campo magnético dentro y fuera de la espira.
2i. ¿Qué dirección tiene el campo creado por la bobina?
Solución Las espiras que componen el solenoide llevan una corriente eléctrica en el sentido horario
como se muestra en la figura (6.10).Esta corriente produce un campo magnético paralelo al eje 𝑋 que
va de derecha a izquierda (ver figura 6.10)
Esta corriente produce un campo magnético paralelo al eje 𝑋 que va de derecha a izquierda.
Dividimos ahora el solenoide en dos secciones longitudinales a lo largo del eje de las 𝑋. Las dos
mitades separadas se ven a la derecha. Escogemos la mitad izquierda del solenoide (los semi aros a
la izquierda del plano) y notemos que la corriente que circula en el sentido horario se observa
saliendo por el extremo superior del semianillo y entrando por la parte inferior(Figura 6.11).
Utilizamos ahora esta mitad izquierda para calcular el campo magnético mediante la ley de Ampere.
Primero calculamos el campo magnético fuera del solenoide, Escribimos:
La corriente neta que aparece en la ecuación (6.14) vale cero pues la corriente que atraviesa el
área saliendo del plano (sale del plano de la hoja hacia nuestros ojos) es igual a la que entra al
plano de la hoja. La ecuación (6.14) nos queda entonces:
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} =0$$ $$B=0\tag{6.15}$$
Es decir, el campo magnético en el exterior de un solenoide vale cero Campo en el interior del Solenoide. Ahora escogemos nuestra amperiana como se muestra en la
figura (6.12), escribimos: $\oint \vec{B}.d\vec{l} = \mu_0 I_n$, nuestra trayectoria tiene cuatro
segmentos, pero ya hemos demostrado antes que el campo en el exterior vale cero por lo tanto
escribimos solo tres integrales $$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}= \int_{a}^{b} \vec{B}\cdot d\vec{l}+
\int_{b}^{c} \vec{B}\cdot d\vec{l}+\int_{d}^{a} \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_n$$ Las dos últimas
integrales valen cero porque la dirección del campo $\vec{B}$ y la dirección $d\vec{l}$ son
perpendiculares, entonces
$$Bl = \mu_0 NI \implies 👉 B = \mu_0 nI \tag{6.16}$$ Donde 𝑛=𝑁/𝑙 es la densidad de espiras por
unidad de longitud
Resumen y conclusiones
Existen dos modos de calcular el campo magnético, la ley de Biot – Savart y
la ley de ampere, la ley de Biot- Savart es una simple integral. Cualquier estudiante que
pueda realizar una integral y conozca el producto vectorial entre dos vectores puede calcular el
campo magnético producido por una corriente, esta es una ley general sin restricción alguna que
siempre se puede aplicar. La ley de Ampere en cambio es un camino corto para encontrar el campo
magnético, pero requiere de simetría (por lo general simetrías cilíndricas), puede afirmarse que es
el equivalente de la ley de gauss que nos resultó muy práctica para calcular campos
eléctricos
Ejercicios Propuestos1. En la figura de la derecha se tiene un cable coaxial, el alambre interno tiene radio 𝒂 y
lleva una corriente 𝒊 hacia la derecha. El cable externo tiene radio interior 𝑏 y exterior 𝑐, y
lleva Una corriente 2𝒊 hacia la izquierda
Dibuje y calcule el campo magnético creado por las corrientes en las regiones:
i) 𝑟 < 𝑎 $\qquad$ 2𝑖). 𝑏< 𝑟<𝑐 $\qquad$ 3𝑖). 𝑟 > 𝑐
Nota: recuerde que la densidad de corriente eléctrica viene dada por $\vec{J} =i/A$
2. Una corriente de 10 amperios viaja por un alambre cilíndrico muy largo de radio 𝑅 = 0.5𝑚.
Calcular el flujo del campo magnético creado por la corriente a través de la superficie rectangular
mostrada (sombreada)
LEY DE AMPERE -MAXWELL
La ley de Ampere expresada por la ecuación 6.8 o equivalentemente la 6.9 es válida para cualquier
trayectoria cerrada alrededor de la corriente sin importar su forma geométrica especifica siempre y
cuando la corriente eléctrica sea constante en el tiempo.
Hemos dicho sin embargo que si queremos utilizar esta ley para calcular campos magnéticos
debemos escoger la simetría apropiada según sea el caso. La condición de corrientes constantes
limita la aplicación y utilización de la ley de Ampere a situaciones estacionarias excluyendo por lo
tanto los campos dependientes del tiempo $\vec{E(t)}$ y $\vec{B(t)}$. Esta limitación permaneció sin
resolver durante casi 20 años y no sabemos con certeza si Ampere, quien murió en 1836, abordó o
intentó resolver el problema, en todo caso solo hasta 1855 Maxwell propone la solución cuando
publica un artículo titulado “On Faraday Lines of Force" basado en una analogía con la hidrodinámica
donde relaciona campos magnéticos con las corrientes eléctricas que los producen. En lo que sigue a
continuación trataremos de explicar en detalle la limitación de la ley original de ampere y la
propuesta de Maxwell para resolver esta limitación
1. El problema que presenta la ley original de Ampere.
Empezaremos por escribir la ley de Ampere en su forma original
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_n$$ La cual podemos deletrear del siguiente modo : “
La integral o suma a lo largo de una línea cerrada de los productos $\vec{B}\cdot d\vec{l}$
tiene siempre el valor $\mu_0 I_n$“
$I_n$ es la corriente neta que atraviesa el
área limitada por la línea cerrada. En esta última frase que hemos escrito en color rojo hemos señalado donde está el problema
veamos: la línea cerrada o en forma de circulo (que llamaremos C) de color azul (No la que
corresponde al circuito) puede limitar dos superficies distintas según decidamos: La superficie
$\vec{S_1}$ o la superficie $\vec{S_2}$, esto puede verse claramente si notamos que cualquier
superficie está limitada por una línea cerrada -que en nuestro caso es la línea circular C-
la cual puede contener la superficie coplanar es decir la superficie circular contenida o limitada
por C que hemos llamado $\vec{S_1}$ o la superficie en forma de obloide que hemos llamado
$\vec{S_2}$. En general la línea C puede limitar infinito número de superficies, aqui nos
enfocaremos sólo en las dos superficies dibujadas :$\vec{S_1}$ (el circulo) y $\vec{S_2}$ (el
obloide)
Caso1
C limita la superficie $𝑺_1$, entonces la corriente de conducción $𝐼_𝐶$ atraviesa la superficie
$𝑺_1$ y la ley de Ampere se escribe
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_C$$ Por lo tanto, existe un campo magnético $B$ alrededor
del alambre con valor de
$$𝐵= \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ Donde $𝑟$ es el radio del círculo definido por la línea que encierra o
limita la superficie $\vec{S_2}$
Caso2
C limita la superficie $\vec{S_2}$, entonces la corriente de conducción $𝐼_𝐶$
NO atraviesa la superficie $\vec{S_2}$ porque no existe corriente de conducción entre las
placas de un condensador. En éste caso la ley de Ampere se escribe
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = 0$$ Esto nos dice que no existe campo magnético alrededor del
alambre, por lo tanto, tenemos una contradicción: aunque se trata del mismo circuito, estamos
obteniendo dos resultados diferentes. Esto no ocurre con una fuente de corriente directa porque las
corrientes generadas por estas fuentes son constantes y se detienen una vez que el condensador se
carga completamente (𝐼 =0 ⟹𝐵=0), mientras que las fuentes de corriente alterna cargan y descargan el
condensador continuamente y, por lo tanto, la corriente 𝐼(𝑡) nunca deja de existir ni tampoco el
campo magnético $\vec{B} $
La propuesta de Maxwell.
Maxwell resuelve este problema postulando un término adicional al lado derecho de la ley de Ampere,
que incluye un factor llamado corriente de desplazamiento $𝐼_D$ definido como: $$I_D = \epsilon_0
\frac{d\Phi_E}{dt}\tag{6.17}$$ La ley de Ampere Modificada por Maxwell (ley de Ampere-Maxwell) se
escribe entonces : $$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0(I_C+ I_D)\tag{6.18}$$
Recordemos que $\epsilon_0$ es la permitividad eléctrica del espacio libre y $\Phi_E$ es el conocido
flujo eléctrico a través de la superficie limitada por la trayectoria de integración (la línea
cerrada 𝑪)
$$\Phi_E = \int\vec{E}\cdot d\vec{S}\tag{6.19}$$ Conforme el capacitor se carga (o descarga), el
campo eléctrico cambiante entre las placas puede considerarse equivalente a una corriente que actúa
como una continuación de la corriente de conducción en el alambre, veámoslo:
La ecuación (6.17) se puede escribir:
$$I_D=\epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}=\epsilon_0 \frac{d}{dt}(\int\vec{E}\cdot d\vec{S})$$ Note que la
superficie 𝑆 es el área de la placa del condensador, es decir, $\vec{𝑺} =\vec{𝑨}$ porque es allí
donde existe el campo eléctrico 𝑬 (ver figura 6.18) y el ángulo $\theta$ es cero grados, podemos
escribir entonces: $$I_D=\epsilon_0 \frac{d}{dt}(EA)\tag{6.20}$$ Pero el campo eléctrico entre las
placas de un condensador de placas planas paralelas (PPP) viene dado por $𝐸= \sigma/\epsilon_0$ por
lo tanto (6.20) nos queda $$I_D=\epsilon_0 \frac{d}{dt}(EA)=\frac{d}{dt}(\sigma A)=\frac{d}{dt}(q) =
I_C\tag{6.21}$$ Es decir, La corriente de desplazamiento resulta ser la misma que la corriente de
conducción. La ley de Ampere-Maxwell se escribe $$\oint \vec{B}\cdot \vec{dl} = \mu_0I_C +
\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E\tag{6.22}$$
MOVIMIENTOS DE CARGAS ELÉCTRICAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO
La Fuerza de Lorentz Las cargas eléctricas reaccionan a los campos magnéticos según la velocidad con que ingresen
al campo magnético, debemos aclarar que solo hay reacción o respuesta si la carga está en movimiento
en el interior del campo, es decir, cualquier carga eléctrica en reposo en el interior del campo no
experimenta ninguna fuerza sobre ella, en cambio toda carga 𝑞 en movimiento experimentará una fuerza
según sea la dirección relativa entre la velocidad $\vec{v_q}$ de la carga con el campo magnético
$\vec{B}$.
A continuación describimos lo afirmado antes:
Escenario 1:
La carga 𝒒 se mueve con velocidad paralela o antiparalela al campo $\vec{B}$ . La
fuerza sobre la carga es cero, de modo que la carga no altera su trayectoria
Escenario 2:
La carga 𝒒 se mueve con velocidad $\vec{v_q}$ perpendicular al campo $\vec{B}$ , la
carga describe una órbita circular, de modo que la fuerza que actúa sobre la carga es centrípeta.
Escenario 3:
La carga 𝒒 ingresa con velocidad $v_q$ formando un ángulo $\theta$ con la dirección del campo
$\vec{B}$, la carga describe una órbita circular y además deriva a lo largo de la dirección de
entrada. La fuerza sobre la carga es una fuerza centrípeta debido a la componente perpendicular
$\vec{v_p}$ al campo, pero la carga deriva a la derecha debido a la componente de velocidad
longitudinal $\vec{v_l}$ paralela al campo. Necesitamos una expresión matemática para la fuerza
sobre la carga capaz de explicar cada uno de los tres escenarios mostrados arriba. La expresión
matemática más adecuada resultó ser un producto vectorial entre la velocidad de la carga y el campo
magnético, fue encontrada y propuesta por el físico Holandés Hendrick Antón Lorentz: $$\vec{F}
=q\vec{v}\times\vec{B}\tag{6.23}$$ Esta expresión es válida para la fuerza que un campo magnético
ejerce sobre una sola carga, nótese que reproduce todos los escenarios mostrados, incluyendo el caso
cuando $\vec{v} =0.$ Cuando la velocidad no es cero, la carga ingresa a la región de campo magnético
como un vector cualquiera, podemos entonces descomponerla en sus dos componentes rectangulares, una
de las componentes en la dirección del campo que llamaremos componente longitudinal y la otra en la
dirección perpendicular a la dirección del campo magnético, que llamaremos la componente
perpendicular, la fuerza magnética sobre la carga será entonces
$$\vec{F} = q(\vec{v_p}\times \vec{B} + \vec{v_l}\times \vec{B})$$ El segundo término dentro
del paréntesis se anula porque el ángulo entre $\vec{v_l}$ Y el campo magnético $\vec{B}$ es cero,
es decir no existe fuerza alguna actuando en la dirección del campo magnético. La ecuación nos queda
entonces
$$\vec{F} = q(\vec{v_p}\times \vec{B} )\tag{6.24}$$ De modo que no importa el ángulo de entrada que
tenga la velocidad con que la carga ingrese al campo, la fuerza sobre la carga siempre será
centrípeta. Consideremos ahora la situación particular en la cual la carga entra en dirección
perpendicular a la dirección del campo magnético y desarrollemos el producto vectorial dado en
(6.24)
$$\vec{F}= (qv_pBsen\pi/2)\hat{u_c}$$ Donde 𝒖̂𝑐 es un vector unitario en la dirección centrípeta, es
decir, la dirección radial del círculo descrito por la carga. Tomando solo la magnitud de la fuerza
y conociendo que $sen\pi/2 = 1$ obtenemos
$$F = qv_pB\tag{6.25}$$ Queremos ahora describir el movimiento de la carga eléctrica en el interior
del campo desde el punto de vista dinámico es decir utilizando la segunda ley de Newton 𝐹=𝑚𝑎, para
un movimiento circular la segunda ley de Newton queda
$$ 𝐹_c=𝑚𝑎_c\tag{6.26}$$ Donde $𝐹_c$ es la Fuerza centrípeta dada por (6.25) y $𝑎_c$ es la
aceleración centrípeta, recordemos que en un movimiento circular la aceleración centrípeta y la
velocidad tangencial (en este caso $𝑣_𝑃 = 𝑣_{𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙}$) están relacionadas mediante la ecuación
$𝑎_c=v^2/r$
Entonces:
$$qv_pB = ma_c = m\frac{v^2}{r}\tag{6.27}$$ Esta ecuación describe el movimiento de una partícula
cargada en una región donde existe un campo magnético y nos sirve para observar más de cerca las
características de este movimiento, queremos despejar de (6.27) el radio $𝑟$ y la velocidad
tangencial de la órbita en términos de los parámetros $𝑚 ,𝑞 ,𝐵 $, para ello tengamos en cuenta que
$v_p = v$ 1. Encontremos el radio de la órbita 𝑟 :
$$𝑞𝐵=𝑚\frac{v}{r}$$ $$r =\frac{mv}{qB}\tag{6.28} $$ Notemos que $𝑟 \; y \; 𝐵$ son inversamente
proporcionales, es decir a mayor intensidad de campo magnético menor es el radio de la orbita
2. Encontremos la velocidad angular 𝜔:
$$qB = m\frac{wr}{r}$$ $$w = \frac{qB}{m}\tag{6.29}$$ Recordemos que la velocidad tangencial
$𝑣=\omega 𝑟$, es decir, si encontramos $\omega$ encontramos $v.$ observe que la velocidad y el campo
son directamente proporcionales. En una región donde exista un campo magnético las partículas
giraran más rápido y con menor radio en las regiones donde el campo sea más intenso, al revés
giraran más lento y con radio mayor donde el campo sea menos intenso
Ejemplo
Se tiene un campo magnético $\vec{B}=10\hat{i}$ Teslas y una masa de 0.1 gramo que está
cargada positivamente con una carga de $2 \mu C$ que se mueve con una velocidad de $5m/s$ que entra a
un campo magnético siguiendo una dirección de 30° grados con el eje de las 𝑌(Figura 6.22).
calcule
a)
el paso de rosca 𝑃 del helicoide que describe la carga b) el radio del círculo descrito Solución.
Se llama paso de rosca $𝑃$ la distancia que un tornillo avanza cuando gira una vuelta completa, en
este caso sería la distancia recorrida a lo largo del eje 𝑋 con velocidad constante $v_𝑥$ mientras
la carga completa una vuelta, es decir, $$P = v_x T\tag{6.30}$$ $T$ es el período del movimiento
circular y $v_x$ es la componente de la velocidad paralela al campo dada por
$$v_x=V_0sen30^0\tag{6.31}$$ similarmente $$v_y = V_0cos30^0\tag{6.32}$$ El radio viene dado por la
ecuación (6.28)
$$r = \frac{mv}{qB}$$
Necesitamos por lo tanto hallar el periodo $𝑇$ del movimiento circular, para ello recordamos que $T
= 2\pi/\omega$, por lo tanto, si encontramos $\omega$ encontramos $𝑇$. En un movimiento circular la
velocidad tangencial (en este caso $v_y$) está relacionada con la velocidad angular $\omega$
mediante la formula $v = \omega r$
Es decir: $$\omega =\frac{v}{r}=\frac{v_y}{r}\tag{6.33}$$ Reemplazando (6.28) y (6.29) en (6.33)
obtenemos
Dado que el campo magnético ejerce fuerza sobre una sola carga eléctrica, es lógico suponer que hace
fuerza sobre las corrientes eléctricas puesto que estas no son otra cosa que muchas cargas
individuales moviéndose ordenadamente en el interior de algún conductor. Para encontrar la fuerza
sobre un conductor necesitamos conocer cuántas cargas 𝑛 tiene el conductor en la unidad de volumen,
la longitud 𝐿 del conductor y por supuesto la fuerza sobre cada carga, es decir, la ecuación
(6.23).
Consideremos la figura 6.23, donde un alambre que lleva una corriente 𝐼, se halla en el interior de
un campo magnético $\vec{B}$ entrando al plano de la hoja Hemos dibujado un elemento diferencial
$d\vec{l}$ en el
sentido que marcha la corriente cuya magnitud es $𝑑𝑙$. El pequeño cilindro amarillo de sección
transversal 𝐴 tiene entonces un volumen 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑙 y la cantidad de carga en su interior será
$$Q= 𝑛𝑞𝑑𝑉\tag{6.36}$$ Donde 𝑛 es el número de esferitas y 𝑞 es la carga de cada esferita, 𝑛𝑞 es
entonces la carga en la unidad de volumen. Es claro que la fuerza magnética sobre ese elemento de
volumen será:
$$\vec{F} = Q\vec{v}\times \vec{B}\tag{6.37}$$ Hemos considerado que todas las esferitas llevan en
promedio la misma velocidad $\vec{v}$. Si ahora sustituimos (6.36) en (6.37) obtenemos la fuerza
magnética en la unidad de volumen
$$d\vec{F} = nqdV(\vec{v}\times \vec{B})$$ Teniendo en cuenta que el elemento diferencial de volumen
$𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑙$, la fuerza sobre todo el conductor será entonces: $$
\vec{F}=\int_{1}^{2}nqA(\vec{v}\times \vec{B})dl\tag{6.38}$$ Debido a que la velocidad $\vec{v}$ es
siempre tangente al alambre en cualquier punto del alambre la podemos escribir $\vec{v} =
\hat{u_T}v$ por otro lado $\vec{𝑑𝑙}=\hat{u_T}dl$ con estas sustituciones la ecuación (6.38) nos
queda $$ \vec{F}=\int_{1}^{2}nqvA(\vec{dl}\times \vec{B})\tag{6.39}$$
Recordemos ahora que la densidad de corriente eléctrica la definimos en el capítulo IV (ecuación
4.5) como 𝐽=𝑛𝑞𝑣 de modo que (6.39) nos queda $$ \vec{F}=\int_{1}^{2}JA(\vec{dl}\times
\vec{B})\tag{6.39}$$ Teniendo en cuenta que además 𝐼 = 𝐽𝐴 finalmente obtenemos
$$ \vec{F}=I\int_{1}^{2}(\vec{dl}\times \vec{B})\tag{6.39}$$ Esta ecuación debe considerarse la
expresión general, correcta y apropiada para calcular la fuerza ejercida por el campo magnético
sobre un alambre de corriente cualquiera sea el campo magnético y sin importar la forma que tenga el
conductor, por eso en la situación más general posible resolver la integral en (6.39) puede llegar a
ser muy complicado. Afortunadamente la inmensa mayoría de situaciones comunes de aplicaciones
tecnológicas solo requieren de campos magnéticos constantes en cuyo caso lo podemos sacar de la
Integral y escribir (6.39) como:
$$ \vec{F}=I\Big[\int_{1}^{2}\vec{dl}\Big]\times \vec{B}\tag{6.40}$$ Debido a que $\vec{B}$ es parte
de un producto vectorial lo hemos sacado de la integral respetando el orden de posición que tenía
dentro de la integral, es decir por la derecha. Existen dos situaciones posibles en la integral
(6.40).
1. Se trata de un alambre cualquiera no cerrado en cuyo caso obtenemos $$
\vec{F}=I\Big[\int_{1}^{2}\vec{dl}\Big]\times \vec{B}\tag{6.41}\implies
\vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B} $$
2. Se trata de un alambre cualquiera cerrado (espira de corriente) en cuyo
caso obtenemos $$ \vec{F}=I\Big[\int_{1}^{2}\vec{dl}\Big]\times \vec{B}\tag{6.42}\implies \vec{F}=0
$$
Nótese que en la ecuación (6.41) la integral $[\int_{1}^{2}\vec{dl}] = \vec{L}$.
Recordemos que toda integral es una suma, por lo tanto, estamos sumando pequeños vectores $\vec{dl}$
desde el extremo 1 del alambre al extremo 2 lo cual se realiza uniendo con una recta la cola del
primer $\vec{dl}$ con la cabeza del ultimo $$\int_{1}^{2}\vec{dl} = \oint \vec{dl}= \vec{R} $$
Podemos concluir entonces que la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente cuando
$\vec{B}= constante$ es:
$$\vec{F}= I\vec{L}\times\vec{B} \qquad corrientes \; abiertas\tag{642a}$$ $$\vec{F}= 0 \qquad
corrientes \; cerradas\tag{642b}$$
Resumen y Conclusiones
El lector no debe olvidar que la ecuación general para calcular la fuerza sobre un alambre conductor
cualquiera en el interior de un campo magnético es la ecuación (6.39), las ecuaciones (6.42a) y
(6.42b) son el resultado de considerar el campo magnético $\vec{B}$ constante, aunque estos dos
resultados (ecuaciones 6.42) son la consecuencia más importante. El estudio de las espiras de
corriente cerradas constituye la base de muchas aplicaciones tecnológicas siendo la primera de ellas
el motor eléctrico.
La ecuación 6.42b) nos dice: Si un alambre conductor en forma de espira cerrada de cualquier forma
geométrica se halla inmersa en un campo magnético constante, pero sin llevar corriente permanece
quieta sin movimiento alguno, pero si le suministramos corriente eléctrica inmediatamente comienza a
rotar sin trasladarse. Nos formulamos la siguiente pregunta: ¿qué sucede si la espira permanece sin
corriente y la ponemos en rotación por algún medio? La respuesta a esta pregunta da lugar a uno de
los fenómenos más trascendentales en la historia de la física: la ley de inducción de Faraday, que
básicamente dice: “cualquier espira que rote en un campo magnético produce o genera corriente
eléctrica”.
Ejemplo1
Un alambre con densidad lineal de masa uniforme 𝜆= 0.6 g/cm transporta una corriente eléctrica de 4
amperios horizontalmente hacia la derecha y se halla inmerso en una región donde existe un campo
magnético. Hallar la dirección y magnitud mínima del campo magnético necesario para levantar este
alambre verticalmente hacía arriba.
Solución Cuando queremos hallar la fuerza magnética sobre una corriente abierta debemos tener en cuenta
que hay tres vectores involucrados, relacionados entre ellos por el producto vectorial dado en la
ecuación (6.41). Como la fuerza debe estar hacia arriba y la corriente va hacia la derecha, es claro
que por regla de mano derecha el campo magnético debe entrar perpendicular al plano de la hoja, por
lo tanto
Para levantar mínimamente el alambre debemos equilibrar su peso, es decir, la fuerza hacía arriba
que debe generar el campo magnético sobre la corriente que lleva el alambre debe ser $ 𝐹=𝑚𝑔$, donde
$m$ es la masa total del alambre.
Usando (6.42a) podemos escribir la magnitud de la fuerza magnética sobre el alambre:
$$F = ILB $$ $$ILB = \lambda Lg$$ Usando $m = \lambda L$ obtenemos
$$👉B = \frac{\lambda g}{I}$$
Ejemplo 2 . Un alambre que conduce una corriente 𝐼 va del punto 𝐴 al punto 𝐵 siguiendo
un camino muy irregular, se halla inmerso en una región de campo magnético $\vec{B}$ entrando al
plano de la hoja. Calcule la fuerza magnética sobre el alambre.
Solución.
Partiendo de la ecuación (4.37) tenemos poniendo límites entre 𝐴 𝑦 𝐵 $$\vec{F} =I
\Big[\int_{A}^{B}\vec{dl}\Big]\times \vec{B}$$ Pero la integral o sea la suma de todos los pequeños
vectores $\vec{dl}$ entre los extremos 𝐴 𝑦 𝐵 Nos produce $$\vec{R} =\int_{A}^{B}\vec{dl}$$
Por lo tanto, la fuerza sobre el alambre será
$$\vec{F}=I\vec{R}\times \vec{B}$$ cuya magnitud es: $$F =IRB$$ Hemos usado el hecho de que el
ángulo entre los vectores $ \vec{R} \; 𝑦 \; \vec{B}$ es $\pi/2$ . Debemos encontrar la magnitud 𝑅,
para ello usamos el Teorema de Pitágoras:
$$R = \sqrt{(8-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{40}$$ Sustituyendo éste resultado en la expresión anterior
para $F$obtenemos
$$👉F =IRB = \sqrt{40}IB$$
Ejemplo3.
En un alambre inmerso en un campo magnético $\vec{B}$ , fluye una corriente 𝐼 desde la izquierda
como se muestra en la figura. El campo magnético sale del plano de la hoja. Hallar la fuerza total
que actúa sobre éste alambre
Solución Acostumbramos a escribir $\vec{L}$ en la dirección que lleva la corriente. Calcularemos la
fuerza total sobre el alambre como la suma de tres fuerzas ejercidas sobre cada uno de los tres
segmentos. $a𝑏, 𝑏𝑐, 𝑦 \; 𝑐𝑑$
$$\vec{F}_{Total} = \vec{F_{ab}}+\vec{F_{bc}}+\vec{F_{cd}}\tag{6.43}$$ La fuerza sobre el
segmento $ab$ será
$$\vec{F}_{ab}=I\vec{L}_{ab}\times\vec{B}\implies \vec{F}_{ab}=(IL_{ab}B)\hat{u}_d=(IabB)\hat{u}_d$$
La fuerza sobre el segmento 𝑏𝑐 será
$$\vec{F}_{bc}=I\vec{L}_{bc}\times\vec{B}\implies \vec{F}_{bc}=(IL_{bc}B)\hat{u}_d=(I2RB)\hat{u}_d$$
La fuerza sobre el segmento cd será
$$\vec{F}_{cd}=I\vec{L}_{cd}\times\vec{B}\implies \vec{F}_{cd}=(IL_{cd}B)\hat{u}_d=(IcdB)\hat{u}_d$$
$\hat{u}_d$ es el vector unitario que resulta del producto vectorial cada vez que aplicamos la
ecuación (4 .39) para cada uno de los tres segmentos, la fuerza total será entonces
Hemos dicho antes que una corriente cerrada inmersa en un campo magnético experimenta fuerza cero,
esto quedó establecido en la ecuación (6.42b). De acuerdo con la segunda ley de Newton cualquier
cuerpo sobre el cual no actúa ninguna fuerza, tiende a mantener su estado físico de reposo (𝑣=0) o
de movimiento con velocidad constante (sin aceleración), en consecuencia, si una espira de corriente
cerrada de cualquier forma geométrica Se halla en reposo en el interior de un campo magnético
constante seguirá en reposo en el interior del campo. Se observa sin embargo que la espira gira
alrededor de su eje de rotación, con lo cual tenemos entonces un escenario en el cual la espira rota
sin trasladarse, este es el principio del motor eléctrico. Es importante señalar que
el campo magnético debe ser constante pues de lo contrario la espira tratará de
trasladarse. Nos preguntamos ¿qué tanto rota la espira?. Sabemos de la física 1 que la cantidad de
rotación de un cuerpo conocida como torque $\tau$ se calcula mediante la expresión:
$$\tau =\vec{b}\times\vec{F}$$ Donde $\vec{b}$ se le llama el brazo y $\vec{F}$ es la fuerza
aplicada.
Se define la magnitud del brazo $𝑏$ , como la distancia perpendicular trazada desde el punto o eje
de giro a la línea de acción de la fuerza aplicada, debido a que la rotación de la espira es
producida por el campo magnético, a este torque se le llama torque magnético.
En la figura 6.29 tenemos un campo magnético constante $\vec{B}$ en la dirección del eje $X$ y una
espira rectangular $𝑎𝑏𝑐𝑑$ con corriente $𝐼$ circulando en la dirección mostrada
Queremos calcular el torque de esta espira con respecto al eje z como se muestra en la figura, el
cual será la suma de los torques producidos por cada una de las fuerzas $\vec{F}_{ab}$ 𝑌
$\vec{F}_{dc}$. Para visualizar mejor la situación alineamos nuestro ojo a lo largo del eje 𝑍, así
las cosas, veríamos la línea frontal de la espira 𝑎𝑑 tal como se ve en la figura 4.16b y las fuerzas
que el campo magnético produce sobre los lados 𝑎𝑏 y 𝑐𝑑 encontradas mediante las ecuaciones (6.42a) y
(6.42b)
$$\tau_{total} = \tau_{ab} + \tau_{cd}\tag{6.44} $$
$\tau_{ab}$ significa torque producido por la fuerza $\vec{F}_{ab}$ y $\tau_{cd}$ significa torque
producido por la fuerza $\vec{F}_{cd}$
$$\tau_{total} =bF_{ab} + bF_{cd}\tag{6.45}$$ Debemos encontrar las fuerzas 𝐹𝑎𝑏 , 𝐹𝑐𝑑 y el brazo
𝑏.
Hallemos $𝐹_{𝑎𝑏}$ $$\vec{F}_{ab} =I\vec{L}\times \vec{B}= (ILB)\hat{u}_d$$ $$F_{ab} =
ILB\tag{6.46}$$ Hallemos $𝐹_{cd}$ $$\vec{F}_{cd} =I\vec{L}\times \vec{B}= (ILB)\hat{u}_d$$ $$F_{cd}
= ILB\tag{6.47}$$ De la figura (6.30) notamos que:
$$b = \Big(l/2 cos\theta \Big)\tag{6.48}$$ Reemplazando (6.46) (6.47) y (6.48) en (6.45)
obtenemos:
$$\tau_{total} = (l/2 cos\theta)ILB + (l/2 cos\theta)ILB$$ $$\tau_{total} = (
cos\theta)lILB\tag{6.49} $$ Notemos que el producto 𝑙𝐿 es el área de la espira entonces
$$\tau_{total} = ( cos\theta)IAB\tag{6.50} $$
Definimos ahora la cantidad conocida como momento magnético $\vec{m}=IA\hat{u}$.
La dirección del vector unitario $\hat{u}$ está determinada por la misma regla de la mano derecha
como se puede ver en el dibujo de la derecha(Figura 6.31). En el caso de la espira 𝑎𝑏𝑐𝑑 mostrada en
la figura (6.29)la corriente está en dirección opuesta, entonces su momento magnético está hacía
abajo.
Un dibujo de $\vec{m}$ para la espira rectangular 𝑎𝑏𝑐𝑑 nos presenta la situación
mostrada abajo en base a lo cual podemos reescribir la ecuación (6.50)
De la figura (6.32) podemos notar que por ser complementarios los ángulos $\alpha$ 𝑦 $\theta$
entonces $𝑐𝑜𝑠\theta=𝑠𝑒𝑛\alpha$ y la ecuación(6.50) se puede escribir entonces como
$$\tau_{total} = (sen\alpha)mB\tag{6.51}$$
Esta es la magnitud del producto vectorial
$$\tau = \vec{m}\times\vec{B}\tag{6.52}$$
LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY
Los trabajos de Ampere que lo llevaron a descubrir y a proponer luego su famosa Ley tuvieron mucha
difusión, causando gran impacto entre los investigadores de la época. Un joven investigador inglés,
Michael Faraday (1791-1867) repitió en su laboratorio los experimentos de Ampere y de otro gran
físico el Danés Hans Christian Ørsted (1777-1831). Una vez que entendió a fondo la física de estos
fenómenos, se planteó la siguiente cuestión: Se puede obtener magnetismo de la electricidad, ¿será
posible que se obtenga electricidad del magnetismo? De inmediato inició una serie de experimentos
para dar respuesta a esta pregunta.
Faraday fue uno de los más ilustres científicos experimentales del siglo XIX. Hijo de un herrero y
con estudios de educación elemental, ya que no tuvo oportunidad de enseñanza de mayor nivel, empezó
a trabajar como aprendiz de librero en 1808, dedicándose a la encuadernación. Como pasatiempo leía
los libros que le traían los clientes, en particular los de química y electricidad, lo que abrió
ante sus ojos un nuevo mundo, despertándose en él un gran interés por aumentar sus conocimientos.
Así empezó a estudiar cursos nocturnos que ofrecía en la Royal Institución (Institución Real para el
Desarrollo de las Ciencias) el científico Humphry Davy. Esta institución había sido fundada en 1799
y desde 1801 su director era Davy, uno de los científicos más prestigiados de Inglaterra. Faraday
escribió notas del curso que llevó con Davy. En 1812 Davy recibió una solicitud de trabajo de
Faraday, cuyo empleo de aprendiz como encuadernador estaba por concluir. Mandó al profesor, como
prueba de su capacidad, las notas que había escrito en el curso que el mismo Davy había dictado.
Faraday fue contratado como asistente de laboratorio en 1813, comenzando así una ilustre carrera en
la Royal Institución, que duró hasta su retiro, en 1861. De asistente pasó a reemplazante temporal
de Davy, y finalmente fue su sucesor. Faraday publicó su primer trabajo científico en 1816 y fue
elegido miembro de la Royal Instituto en 1827
Ley de Inducción
La ley de inducción de Faraday afirma:
“El cambio del flujo magnético a través de una espira de alambre da lugar a una
corriente eléctrica circulando en la espira”. La ley exige que el flujo a través de la espira cambie, en otras palabras, si el flujo a
través de una espira es constante, No hay efecto Faraday, es fácil observar este fenómeno; para ello
basta un imán y una espira como se muestra en la figura.
El movimiento del imán hacia la derecha aumenta el número de líneas atravesando el área de la
espira, es decir, aumenta el flujo del campo, el movimiento hacía la izquierda disminuye el
número de líneas que la atraviesan el campo, es decir, disminuye el flujo, si el imán no se
mueve el número de líneas atravesando el área no cambia y el flujo permanece constante por tanto no
hay efecto Faraday. Recordemos que el flujo del campo magnético $\vec{B}$ se escribe como
$$\Phi_{\vec{B}}=\int\vec{\vec{B}}\cdot \vec{dS}\tag{6.53}$$ El flujo de campo magnético cambia si
ocurren cualquiera de las siguientes tres situaciones:
a).cambia el área y el campo se mantiene constante
b).El área se mantiene constante y cambia el campo magnético
c).Cambian simultáneamente los dos, el área y el campo
Escoger cuál de las tres situaciones enumeradas antes es la mejor, o la más adecuada, es el gran
compromiso de la tarea tecnológica, por lo general la tercera opción (opción c) es descartada. En el
diseño y construcción de turbinas o generadores para generar electricidad pueden usarse
indistintamente las dos primeras situaciones. Para encontrar el potencial eléctrico inducido
(algunos libros llaman f.e.m) en la espira primero hallamos el flujo de campo magnético a partir de
la ecuación (6.53), sabemos que el potencial inducido se manifiesta cada vez que el flujo cambia por
lo tanto derivamos el flujo
$$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\int\vec{B}\cdot
d\vec{S}\tag{6.54}$$ La razón por la cual utilizamos derivadas parciales es que el flujo puede ser
función de varias variables y no solamente de una variable, al derivar parcialmente en el tiempo
estamos considerando esa posibilidad. Hemos dicho antes que para la gran mayoría de las aplicaciones
el campo magnético lo asumiremos constante, por lo tanto, la ecuación (6.54) la podemos escribir
Para $\vec{B} = Constante$
$$V_i=\frac{\partial \Phi_{\vec{B}}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\vec{B}\cdot
\vec{S})\tag{6.55}$$ Una vez conocido el potencial inducido en la espira usamos la ley de Ohm $𝑉
=IR$ para encontrar la corriente 𝐼 (si conocemos 𝑅), o bien para encontrar 𝑅 (si conocemos la
corriente $I$ )
Es una práctica común representar la $𝑉_𝑖$ por el símbolo de una fuente normal, por ejemplo, si el
imán de la figura 6.33 se mantiene moviendo únicamente a la derecha la corriente no cambia de
dirección y usamos el símbolo de fuente para corriente directa, es decir:
Si el imán se mueve a la derecha y a la izquierda La corriente cambia de dirección continuamente,
este es el caso de corriente alterna y usamos para la fuente el símbolo:
Ley de Lenz
Fue formulada por Heinrich Lenz en 1833. Esta ley nos dice en qué dirección fluye la corriente
inducida, y establece que la dirección de la corriente inducida por el efecto Faraday siempre es tal
que el campo magnético producido por ella se opone al cambio de flujo que la produce. Por ejemplo,
suponga el campo magnético de un imán fluyendo por una espira circular de área constante, cuando el
imán se acerca a la espira, el flujo a través de la espira aumenta porque más líneas de campo
atraviesan el área de la espira, Lenz nos dice que el campo producido por la corriente inducida debe
tener la dirección opuesta al campo del imán
Ejemplo 1.
En una región del espacio existe un campo magnético vertical constante
$\vec{B}$ , en la dirección positiva del eje 𝑌. La varilla conductora 𝐴𝐵 se desliza sobre un riel
conductor que tiene forma de U como se muestra en la figura 6.34. La varilla se mueve con velocidad $\vec{v}$ hacía la derecha, encuentre
:
1. El potencial eléctrico inducido 2. Si la resistencia eléctrica de la espira se considera $R$, encuentre la corriente
inducida
Solución
1. Para encontrar el potencial inducido $𝑉_𝑖$, Primero debemos hallar el flujo
$$\Phi_{\vec{B}}=\int\vec{\vec{B}}\cdot \vec{dS}= BS\tag{6.53}$$ Debido al movimiento de la varilla
el área 𝑆 de la espira varía continuamente, 𝑆 viene dado por 𝑆 = 𝐿𝑥, Por lo tanto, el potencial
inducido será
$$V_i =\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{\vec{B}}= \frac{\partial}{\partial t}(BLx)=BL\frac{\partial
x}{\partial t}$$ $$ 👉V_i = BLv$$
Nótese que hemos dibujado la corriente inducida en el sentido horario para satisfacer la Ley
de Lenz como puede verse fácilmente usando la regla de la mano derecha, el campo magnético que
produce esta corriente está dirigido hacia abajo tratando así de disminuir el campo externo entrando
a la espira desde abajo y por ende disminuir el aumento del flujo magnético
2. Tenemos ahora una espira con resistencia 𝑅 por la cual circula corriente causada por un
potencial eléctrico inducido $V_i$, situación que se puede plantear como un circuito normal en cuya
resistencia se cumple la ley de ohm
$$ 𝑉 = 𝑅𝐼⟹𝐼= \frac{V}{R}$$
Ejemplo 2
Una barra conductora vertical se desliza en contacto con un riel triangular también conductor el
cual está inmerso en un campo magnético constante que entra al plano de la hoja. La barra avanza con
velocidad 𝑣, encontrar el valor y el sentido de la corriente inducida en la espira suponiendo que
toda la resistencia de la espira 𝑎𝑏𝑐 tiene valor 𝑅
Solución
Este es un ejercicio similar al anterior, pero con diferente geometría, en efecto la espira de
corriente es el triángulo 𝑎𝑏𝑐, el movimiento de la barra hacía la derecha permite que más líneas de
campo entren al plano de la hoja atravesando el área de la espira aumentando así el flujo e
induciendo por lo tanto corriente eléctrica. La dirección de esta corriente inducida debe ser tal
que el campo creado por ella deberá salir del plano de la hoja para contrarrestar el campo entrando,
nos hemos apoyado en la regla de mano derecha para dibujar esta corriente inducida en la figura 6.36
Encontremos el flujo del campo magnético $\vec{B}$
Ahora note que el área 𝑆 de la espira 𝑎𝑏𝑐 es dos veces el área del triángulo 𝑎𝑏𝑑, es decir, S𝑎𝑏𝑐
=2𝑆𝑎𝑏𝑑 debemos entonces encontrar el área del triángulo 𝑎𝑏𝑑
$$S_{abd} = \frac{1}{2}(base)\times(altura) = XY\tag{2}$$ Donde $X =ad$ y $Y=bd$. Ahora note que el
triángulo 𝑎𝑏𝑑 (o el triángulo 𝑎𝑑𝑐) presentan un ángulo de $\pi/6$ , (30 grados) entonces de la
figura 6.36 vemos que $tan\theta= Y/X$.
por lo tanto,
$$Y = Xtan\theta\tag{3}$$
reemplazando en (2)obtenemos:
$$𝑆_{𝑎𝑏𝑑}=𝑋.(𝑋𝑡𝑎𝑛\theta)=X^2𝑡𝑎𝑛\theta \tag{4}$$ Entonces $$S_{abc}=2S_{abd}=2X^2tan\theta\tag{5}$$
Ahora (4) en (1) $$V_i = \frac{\partial (B2X^2 tan\theta)}{\partial t}=(2Btan\theta)\frac{\partial
X^2}{\partial t}$$ De modo que:
$$V_i = (4BXtan\theta)v$$ Finalmente $$👉I = \frac{V_i}{R}= \frac{4BXtan\theta}{R}v$$
Conclusiones y comentarios Cuando practicamos ejercicios sobre la Ley de Faraday nos damos cuenta de que podemos generar
energía eléctrica cambiando el área de flujo y manteniendo el campo magnético constante en la región
de espacio donde gira la espira, claro que también se puede generar al revés, es decir manteniendo
el área constante y poniendo a variar el campo magnético esto último sin embargo implica una mayor
dificultad y es poco práctico desde el punto de vista tecnológico, la razón es la siguiente: si el
campo $\vec{B}$ no es espacialmente constante entonces la fuerza $\vec{F}$ sobre la espira no es cero
y la espira trata de trasladarse haciendo presión a los soportes de los ejes de la espira lo cual
con el tiempo se refleja en daños que deben reparase. El campo magnético si puede variar en el
tiempo y la fuerza sobre la espira valer cero, sin embargo, esto tampoco es muy práctico por el
incremento de los costos económicos que ello implica. Ejercicios Propuestos
1.
Una espira rectangular de lado 𝑎 entra a una región de campo magnético rectangular de lado 2𝑎. Haga
una gráfica del voltaje inducido en la espira en función de la posición.
2. En la figura de la derecha se tiene un campo magnético de 4 teslas entrando perpendicular
al plano de la página. La barra mostrada se mueve hacia la derecha sobre dos rieles conectados
mediante una la resistencia eléctrica de 2 ohm la velocidad de la barra es v= 2m/s.
a). Calcule la corriente inducida a través de la resistencia
b). Cuando se induce una corriente sobre la barra el campo magnético presente ejercerá una fuerza
magnética, cuál es su valor
3. En la figura de la derecha encuentre la corriente y su dirección a través de la sección PQ
de longitud 𝑎= 65𝑐𝑚. Todo el circuito está inmerso en un campo magnético cuya magnitud varia con el
tiempo según la expresión $𝐵=10^{-3t}$ teslas Suponga que la resistencia unitaria del alambre es de
0.1Ω/𝑚
4. En la figura de la derecha existe un campo magnético de 2.5 teslas entrando al plano de la
página. La resistencia mostrada es 𝑅, tiene un valor de 6 ohms, y $l=1.2 𝑚$.¿ A que velocidad deberá
moverse la barra para producir una corriente de $0.5$ Amp en el resistor?
5. Un alambre es enrollado alrededor de un cilindro hecho de material aislante y además es
conectado a una fuente de corriente alterna y a una resistencia de 4 ohmios como se muestra en la
figura. Una bobina de radio R tiene 15 vueltas y rodea sin tocar el enrollado. El voltaje en voltios
suministrado por la fuente tiene la forma V = 8 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) y la frecuencia de oscilación es de 5 Hz.
Responda las siguientes preguntas :
a). ¿Cuánto vale el campo magnético creado por el enrollado?
b). ¿Se induce corriente en la bobina de 15 vueltas?
c). Si se induce corriente calcule su valor
GENERACIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Principio Básico de los Generadores o Turbinas. Hemos visto antes que se puede generar corriente
eléctrica si hacemos variar el flujo de campo magnético a través del área de una espira y esto se
consigue como ya dijimos antes en tres situaciones posibles
A) cambiando el área y manteniendo el campo constante
B) El área se mantiene constante y cambia el campo magnético
C) Cambian simultáneamente los dos, el área y el campo.
Por razones que explicamos a continuación la opción A es la más aceptada y por ende la más
utilizada, veamos porque:
En la opción B se permite la variación del campo magnético, si esto ocurre entonces la fuerza
$\vec{F}$ que actúa sobre la espira es diferente de cero (Ecuación 6.42a) y por lo tanto la espira
trataría de moverse en alguna dirección haciendo presión sobre los soportes que sostienen los ejes,
esto deriva en un continuo “golpeteo” sobre los soportes lo cual termina deteriorando y finalmente
dañándolos (generalmente son las llamadas “balineras”) cuando esto ocurre se deben cambiar los
soportes, es decir detener la turbina y desmontarla para poder sustituir los soportes con las
consecuentes pérdidas económicas que esto representa. Las opciones B y C no son recomendables por el
argumento dado anteriormente, conviene aclarar que la tecnología para crear o producir campos
magnéticos constantes no es fácil de conseguir. Mecanismo Básico de un Generador de corriente Eléctrica
Una corriente eléctrica se genera cuando una espira (generalmente rectangular) rota en el interior
de un campo magnético, en adelante cuando digamos la palabra generador, nos referimos siempre a una
espira rotando en el interior de un campo magnético. Queremos calcular la corriente producida. En la parte izquierda de la figura 6.37
tenemos una vista general de la espira rotando (el generador más básico posible), a la derecha
tenemos una vista de la espira desde la parte superior, asumimos campo magnético constante. Al rotar
la espira el área atravesada por las líneas de campo magnético
es diferente, por ejemplo, cuando la barra en la figura de la derecha está en posición vertical, el
área de la espira atravesada por el campo es máxima pero cuando la barra está en posición horizontal
el área es cero, en su rotación la espira le “presenta” diferentes áreas de flujo al campo magnético
induciendo por lo tanto corriente eléctrica, calculemos ese flujo
$$\Phi_{\vec{B}}= \int\vec{B}\cdot \vec{dS}=\vec{B}\cdot \vec{S}=BScos\theta\tag{6.54}$$ El ángulo 𝜃
comprendido entre el campo magnético$\vec{B}$ y el vector de superficie $\vec{S}$ está cambiando
continuamente debido a la rotación de la espira la cual rota con velocidad angular 𝑤, el ángulo 𝜃 es
entonces el espacio angular recorrido con velocidad angular 𝑤 y viene dado por $\theta = 𝑤𝑡.$
La ecuación (6.54) nos queda
$$\Phi_{\vec{B}} = 𝐵𝑆𝑐𝑜𝑠\omega 𝑡\tag{6.55}$$ El voltaje inducido es entonces
$$V_i = \frac{\partial(BScos\omega t)}{\partial t}=-BS\omega sen\omega t \tag{6.56}$$ La corriente
inducida es :
$$I_i =-\frac{BS\omega sen\omega t }{R}$$ La cual podemos escribir: $$ I_i =I_0 sen\omega
t\tag{6.57}$$ $$I_0 = \frac{BS\omega}{R}$$
Abajo hemos dibujado 3 mecanismos para lograr la rotación de la espira Todos ellos son acoplados al
eje del generador sobre el cual se han montado un número N de espiras. Estos mecanismos están
diseñados para aprovechar la fuerza direccional de los fluidos (líquidos o gases)
Esquema general de una Termo Eléctrica
En una Hidroeléctrica se utiliza una “caída controlada” de agua desde cierta altura en cambio una
termo eléctrica utiliza vapor de agua cuya presión es utilizada para mover una rueda acoplada al eje
de la espira, en este dibujo el acoplamiento es mediante una correa. Las diferentes maneras de
obtener el vapor de agua clasifican a las diferentes termo eléctricas. El procedimiento básico es
muy sencillo: El agua es calentada por algún medio que puede ser cualquiera como la quema de carbón,
gasolina o por un proceso nuclear en el cual se controla una reacción en cadena de átomos
enriquecidos como uranio o plutonio, estas son las plantas nucleares, las cuales son muy eficientes,
pero requieren de un manejo sumamente cuidadoso
Ejercicios Propuestos:
Las tres figuras mostradas abajo a la izquierda consisten de un alambre muy largo que lleva una
corriente 𝐼 constante y una espira rectangular, de lados 𝑎 𝑦 𝑏. El lado más cercano a la varilla se
encuentra a una distancia 𝑐 de la misma. En todas las preguntas que siguen se debe responder dos
cosas (antes de empezar la solución de cada ejercicio):
i. Cuál es el concepto que se utilizará
2i. ¿No existe otro concepto que también se pueda utilizar para responder la misma Pregunta
Figura 1: Espira en reposo En la situación de la figura 1 mostrada a la derecha, la
espira está en reposo, es decir su velocidad es cero y además tampoco está rotando A). Encontrar el
campo magnético producido por la corriente 𝐼 de la varilla en cualquier punto a una distancia 𝑟 de
la varilla B). Hallar el flujo Φ𝐵 ⃗ del campo magnético a través de la espira ¿Existe corriente
inducida en la espira? Explique su respuesta
Figura 2: Espira en movimiento En la situación de la figura 2, la espira se mueve con
velocidad $\vec{v}$ A). Encontrar el campo magnético producido por la corriente 𝐼 de la varilla en cualquier
punto a una distancia 𝑟 de la varilla B).Hallar el flujo del campo magnético a través de la espira ¿Existe corriente inducida en la
espira? Explique su respuesta
Figura 3: espira en Rotación
En la situación mostrada en la figura 3 la espira no se traslada, pero si puede rotar con velocidad
angular 𝑤
A). Encontrar el campo magnético producido por la corriente 𝐼 de la varilla en cualquier
punto a una distancia 𝑟 de la varilla
B). Hallar el flujo del campo magnético a través de la espira ¿Existe corriente inducida en
la espira? Explique su respuesta
CUESTIONARIO CAPITULO 6
Capitulo 7
LAS ECUACIONES DE MAXWELL
1. ¿Que son las Ecuaciones Maxwell?
Las así llamadas ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales propuestas
en 1865 por El físico escoces James Clerk Maxwell asociadas con los campos eléctricos
$\vec{E}(r,t)$, magnéticos $\vec{B}(r,t)$y las fuentes que los producen es decir las cargas
eléctricas 𝑞, y las Corrientes eléctricas $\vec{J}$ . Aunque hoy sabemos que Maxwell había
descubierto las ecuaciones en 1861 solamente hasta el año 1865, Maxwell publicó un artículo titulado
'Una teoría dinámica del campo electromagnético' donde aparecen por primera vez.
2. ¿Qué función desempeñan las Ecuaciones de Maxwell? ¿Para qué sirven?
Estas ecuaciones describen el comportamiento espaciotemporal de los campos electromagnéticos al
interior de la materia, y también en el vacío. ¿Las ecuaciones de Maxwell y su posterior solución
fueron la base para dar respuesta a las preguntas más importantes de la epoca como por ejemplo que
es la luz? que relación existe entre el campo eléctrico y el campo magnético? En esta sección
abordaremos estas inquietudes y trataremos de darles respuesta para lo cual empezaremos por
responder la siguiente pregunta: ¿de dónde vienen las ecuaciones de Maxwell?
COMO SE OBTIENEN LAS ECUACIONES
Empecemos por decir que las ecuaciones no son en realidad de Maxwell, es cierto que Maxwell fue el primero en escribir estas ecuaciones en forma diferencial. En realidad contribuyó parcialmente en una de ellas:
La llamada ley de Ampere-Maxwell, las otras
ecuaciones se originan en:
1. Ley de Gauss para el Campo Eléctrico
$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int\frac{\rho}{\epsilon_0}dV\tag{7.1}$$ Donde 𝜌 es la densidad
volumétrica de carga eléctrica (carga por unidad de volumen), en el interior de la supereficie cerrada. La ley de gauss para el campo eléctrico nos indica que debemos encerrar la fuente del campo eléctrico (es decir la carga eléctrica) por una superficie que llamamos “superficie gaussiana”. Esta superficie puede tener
cualquier forma geométrica, pero si queremos usar la ley de gauss para calcular campos eléctricos la
superficie debe escogerse de acuerdo con la simetría del problema, para el caso de una carga puntual
como el mostrado en la figura 7.1 escogemos una superficie esférica, sin embargo, esto no compromete
la validez de la ley de gauss. 2. Ley de Gauss para el Campo Magnético
Las fuentes de los campos magnéticos son los imanes. Un imán siempre tiene un polo norte del cual
salen las líneas de campo y un polo sur al cual llegan las líneas de campo como se ve en la figura
7.2 Cuando aplicamos la ley de gauss debemos encerrar la fuente de campo (es decir el imán) por la
superficie Gaussiana (ver figura 7.3)
Note que el número de líneas que salen del polo norte y fluyen hacia afuera a través de la
superficie gaussiana (circulo en color morado) es el mismo número de líneas que fluyen hacia el
interior de la superficie
Gaussiana y llegan al polo sur, por lo tanto, el flujo total a través de la superficie gaussiana
vale cero. Podemos escribir entonces
$$\oint\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\tag{7.2}$$
3. Ley de Inducción de Faraday.
Faraday encontró que el cambio o variación del flujo magnético a través de una espira cerrada
construida con un alambre conductor inducía una diferencia de potencial entre los extremos del
alambre , algo que podemos escribir matemáticamente
$$V_{inducido} = \frac{\partial\Phi_{\vec{B}}}{\partial t} = \frac{\partial(\int\vec{B}\cdot
d\vec{S})}{\partial t}\tag{7.3}$$ Usamos ahora el resultado dado en (2.37) el cual establece que la
diferencia de potencial entre dos puntos se puede escribir :
$$V_{a}^{b} = -\int\vec{E}\cdot {\vec{dl}}$$ Para una espira cerrada : $$
V_{inducido}=-\oint\vec{E}\cdot \vec{dl}\tag{7.4}$$ reemplazando (7.4) en (7.3) obtenemos
Ley de Ampere-Maxwell.
La ley de Ampere modificada por Maxwell establece que
$$\oint\vec{B}\cdot \vec{dl}=\mu_0I + \mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_{\vec{E}}$$ Recordemos de
(4.7) que $𝐼 =\int\vec{J}\cdot \vec{dS}$ y además de (2.26)
$\Phi_{\vec{E}}=\oint\vec{E}\cdot\vec{dS}$, podemos escribir la ley de Ampere-Maxwell en la
forma:
$$\oint\vec{B}\cdot \vec{dl}=\mu_0\int\vec{J}\cdot
\vec{dS}+\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\oint\vec{E}\cdot \vec{dS}\tag{7.6}$$
Forma diferencial de las Ecuaciones de Maxwell.
El gran mérito de Maxwell consistió en escribir las ecuaciones (7.1),(7.2), (7.3) y (7.4) en forma
diferencial para lo cual utilizó dos teoremas matemáticos importantes:
Teorema de la Divergencia y Teorema de Stokes; No entraremos en detalles rigurosos y mucho menos demostraremos estos teoremas en estas notas,
para el lector inquieto sobre el tema lo invitamos a leer la literatura apropiada. El teorema de la
divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Gauss Ostrogradski, es un teorema
que relaciona el flujo de un campo vectorial cualquiera a través de una superficie cerrada con la
del campo en el volumen delimitado por dicha superficie. La divergencia mide la diferencia entre el
flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (en este caso $\vec{E}$) sobre la
superficie, por tanto, si el campo tiene "fuentes" al interior de la superficie la divergencia será
positiva, y si tiene "sumideros" Sera’ negativa. Notemos que este teorema convierte una integral de
superficie en una integral de volumen, para el caso del campo eléctrico $\vec{E}$ escribiríamos :
El símbolo $\vec{\nabla}$ se le conoce como “nabla”, es un operador vectorial que recibe distintos
nombres de acuerdo a la operación que realiza veamos:
i).Cuando actúa sobre un vector solo puede hallar dos cosas: la divergencia o su rotacional,
por ejemplo, al operar sobre el vector $\vec{E}$ puede encontrar la divergencia de ese vector :
$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}$ (divergencia) o bien el rotacional de ese vector:
$\vec{\nabla}\times\vec{E}$ (rotacional)
2i).Cuando actúa sobre una función escalar cualquiera, por ejemplo 𝑓(𝑟) solo puede encontrar
el gradiente de esa función, es decir: $\vec{\nabla}f(r)$
El operador nabla puede expresarse en diferentes tipos de coordenadas siendo las más utilizadas las
cartesianas, cilíndricas y esféricas:
$\nabla^2$ es conocido como Laplaciano y es costumbre escribirlo como :
$$\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial
y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\tag{A4}$$
Teorema de Stokes.
El teorema de Stokes establece que la integral de la componente normal del rotacional de un campo
vectorial $\vec{F}$ sobre una superficie $\vec{S}$ es igual a la integral de la componente
tangencial de$\vec{F}$ alrededor de la frontera C de $\vec{S}$. Se nombra así por George Gabriel
Stokes (1819–1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por
William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de
1850.
Notemos que este teorema convierte una integral de línea en una integral de superficie, por ejemplo,
para el caso del campo eléctrico $\vec{E}$ escribiríamos
Las 4 ecuaciones de Maxwell en forma diferencial resultan de aplicar el teorema de la divergencia
(T.D) a las ecuaciones (7.1) $\;$ y $\;$ (7.2) y aplicar y el teorema de Stokes (T.S) a las
ecuaciones (7.5)$\;$ y $\;$(7.6), con éste fin escribiremos a la izquierda éstas ecuaciones y las
mismas ecuaciones al lado derecho DESPUES de aplicar los mencionados teoremas
1.
$$\oint \vec{E}\cdot \vec{dS} = \frac{1}{\epsilon_0}\int\rho dV \implies \int(\vec{\nabla\cdot
\vec{E}})dV =\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho dV $$
2
$$\oint \vec{B}\cdot \vec{dS} = 0\implies \int\vec{\nabla}\cdot {\vec{B}}dV =0 $$
3 $$-\oint\vec{E}\cdot \vec{dl} =\frac{\partial}{\partial t}\Big(\int\vec{B}\cdot
\vec{dS}\Big)\implies \int(\vec{\nabla}\times\vec{E})\cdot \vec{dS}=-\frac{\partial}{\partial
t}\int\vec{B}\cdot \vec{dS}$$
4
$$\oint \vec{B}\cdot \vec{dl}=\mu_0\int\vec{J}\cdot \vec{dS}+\epsilon_0\mu_0\int\vec{J}\cdot
\vec{dS}\frac{d}{dt}\oint\vec{E}\cdot \vec{dS}\implies\\ \int(\vec{\nabla}\times\vec{B})\cdot
\vec{dS}=\mu_0\int\vec{J}\cdot \vec{dS}+\epsilon_0\mu_0\int\vec{J}\cdot
\vec{dS}\frac{d}{dt}\oint\vec{E}\cdot \vec{dS}$$ Notemos que en las ecuaciones de la derecha
(después de la flecha) podemos igualar los integrando a ambos lados de las igualdades para obtener
finalmente las famosas cuatro ecuaciones de maxwell :
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{E} =\frac{1}{\epsilon_0}\rho\tag{7.9}$$ $$ \vec{\nabla}\cdot \vec{B}
=0\tag{7.10} $$ $$ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}\tag{7.11}$$
$$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+ \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial
t}\tag{7.12}$$ Las ecuaciones De Maxwell descritas anteriormente describen los campos
Electromagnéticos en una región del espacio vacío donde pueden existir cargas eléctricas. Para
entender esto imagine una habitación cerrada vacía, Podemos introducir en esta habitación
algunas cargas eléctricas las cuales estarían separadas entre sí por regiones totalmente vacías de
materia. El campo electromagnético creado por las cargas en el interior de esta habitación estará
descrito por las ecuaciones de maxwell en varios escenarios posibles: Escenario 1. Las cargas en el interior de la habitación están en reposo ($\vec{v}$ = 0) En
este caso no existe corriente eléctrica $\vec{J}=0$, y $\vec{B}=0$(Recuerde que los campos
magnéticos son creados por las corrientes eléctricas ) además el campo $\vec{E}$ no depende del
tiempo, es decir, $\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} =0$, las ecuaciones de maxwell nos quedan:
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{E} =\frac{1}{\epsilon_0}\rho$$ $$ \vec{\nabla}\cdot \vec{B} =0 $$ $$
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}$$
Es decir, obtenemos las ecuaciones que describen la electrostática Escenario 2. Las cargas en el interior de la habitación están en movimiento uniforme
($\vec{v}≠ 0$) en este caso existe $\vec{J}$ y por tanto $\vec{B}$, las ecuaciones de maxwell nos
quedan
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{E} =\frac{1}{\epsilon_0}\rho$$ $$ \vec{\nabla}\cdot \vec{B} =0 $$ $$
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}$$
$$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$$
Es decir, obtenemos las ecuaciones que describen la Electrostática y la
Magnetostática
Escenario 3. Las cargas en el interior de la habitación están en movimiento no uniforme
($\vec{a}≠0$). Este es el caso más general posible para el cual utilizaríamos las ecuaciones de
Maxwell completas dadas
SOLUCIÓN A LAS ECUACIONES DE MAXWELL
Resolver las ecuaciones de maxwell es encontrar los campos $\vec{E}(\vec{r},t)$ 𝑦
$\vec{B}(\vec{r},t)$ en cualquiera de los tres escenarios posibles señalados anteriormente.
Solución a las Ecuaciones de Maxwell en el vacío
Para el propósito de estas notas queremos tomar en consideración el escenario numero 3 el cual
resulta ser el caso más general posible en el vacío, para ello imaginamos que nos encontramos en una
región de la habitación donde no hay cargas(y por lo tanto tampoco corrientes), los campos
$\vec{E}(\vec{r},t)$ 𝑦 $\vec{B}(\vec{r},t)$ en esta región son producidos por las cargas y
corrientes que se encuentran en el otro lado de la habitación, por lo tanto, en la región donde nos
encontramos no hay presencia de cargas ni corrientes con lo cual 𝜌=0 y $\vec{J}=0$ Las ecuaciones
$(7.9)\rightarrow(7.12)$ nos quedan:
Ahora tomamos el rotacional a ambos lados de la ecuación (7.11a)
$$\vec{\nabla}\times \vec{\nabla}\times\vec{E}=- \vec{\nabla}\times(\frac{\partial}{\partial
t}\vec{B}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}) \tag{7.13}$$ Usamos ahora la
identidad vectorial que establece que para cualquier vector $\vec{f}(r,t)$ se cumple que:
$$\vec{\nabla}\times \vec{\nabla}\times\vec{f} =\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot
\vec{f})−\nabla^2\vec{f}\tag{A5}$$ de manera que si $\vec{f}(r,t)$ es ahora el campo eléctrico
$\vec{E}$ y usamos la identidad (A5) obtenemos: $$\vec{\nabla}(\nabla\cdot
\vec{\vec{E}})-\nabla^2\vec{E}=- \vec{\nabla}\times(\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}) =
-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}) $$ Pero hemos dicho que estamos en el vacío,
es decir, $\rho = 0$, de modo que la ecuación (7.9a) se convierte en $\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0$ y
podemos escribir para la expresión anterior:
$$-\nabla^2\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}) $$ si ahora usamos la
ecuación (7.12a) podemos escribir:
$$ \nabla^2\vec{E} = \frac{\partial}{\partial t}({\mu_0\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial
t}\vec{E})$$ la cual escribimos como :
$$ \nabla^2\vec{E} -{\mu_0\epsilon_0}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\vec{E}=0 \tag{7.14}$$
El Campo eléctrico $\vec{E}$ satisface una Ecuación de Onda
Si en vez de tomar el rotacional a ambos lados de (7.11a), tomamos el rotacional a ambos lados de
(7.12a) y seguimos los mismos pasos del procedimiento anterior descubrimos que también
El Campo Magnético $\vec{B}$ satisface una Ecuación de Onda
$$ \nabla^2\vec{B} -{\mu_0\epsilon_0}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\vec{B}=0 \tag{7.15}$$ Las
ecuaciones de Maxwell constituyen el máximo logro en el estudio de la interacción electromagnética
ya que describe la electrostática y la magnetostática como casos particulares del caso general en
que los campos son dependientes del tiempo. En resumen:
1.Si $𝑞$ $\;$ se encuentra en reposo
:
Genera el campo electrostático $\vec{E}(x,y,z)$, existen dos maneras de calcularlo: i. usando la ecuación (2.2) si es una carga puntual o (2.3) si es una distribución ii. usando la ley de gauss, ecuación (2.29) ⟹ (se requiere simetría)
2. Si q se encuentra en movimiento con velocidad constante
genera campo electrostático $\vec{E}(x,y,z)$ y magnetostático $\vec{B}(x,y,z)$. El campo
$\vec{B}(x,y,z)$ se calcula i.. usando la ley de Biot-Savart, ecuación (6.2) ii. usando la ley de Ampere, ecuación (6.8) ⟹ (se requiere simetría)
3.Si q se encuentra en movimiento con aceleración genera campos dependientes del tiempo $\vec{E}(x,y,z,t)$ y $\vec{B}(x,y,z,t)$ los cuales se
calculan usando las ecuaciones de Maxwell, llegando al interesante resultado:
“ En cualquier región del espacio donde no haya cargas ni corrientes, los campos
electromagnéticos dependientes del tiempo solo pueden existir como ondas ”
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
¿Qué es una Onda?
En física, se utiliza la palabra “onda” para designar la trasmisión de energía sin desplazamiento
de materia. Se trata de una perturbación o agitación que se desplaza en un ambiente determinado y
que, después pasar, lo deja en su estado inicial. La altura (amplitud), la distancia (longitud o
ancho) de la perturbación y la duración de la perturbación depende de la energía suministrada
inicialmente. En algunos casos estas oscilaciones (u “ondulaciones”) pueden verse de manera simple y
directa. Sin embargo, existen muchos otros tipos de oscilaciones que no son visibles a simple vista,
tal es el caso de los vectores de los campos eléctrico $\vec{E}(\vec{r},t)$ y magnético
$\vec{B}(\vec{r},t)$. Note que hemos adoptado la escritura $\vec{E}(\vec{r},t)$ y
$\vec{B}(\vec{r},t)$ en vez de $\vec{E}(x,y,z,t)$ y $\vec{E}(x,y,z,t)$.
¿Cuántas Clases de Ondas Existen? Ondas Mecánicas. Son las que necesitan un medio material para propagarse y pueden ser
longitudinales cuando la perturbación oscila en la misma dirección que se propaga, o transversales,
cuando la perturbación oscila en dirección transversal a la que se propaga Ondas Electromagnéticas. . NO necesitan de ningún medio material para propagarse y siempre
son transversales
Características fundamentales.
Se pueden describir todas las ondas mediante tres características: Amplitud que corresponde a la altura de las oscilaciones (la perturbación); Longitud de Onda que mide la distancia entre dos oscilaciones (o perturbaciones) Frecuencia que refleja el número de oscilaciones por segundo (expresado en hercios e
inversamente proporcional a la longitud de onda); Las ondas mecánicas se describen con una ecuación
diferencial de la forma
$$\frac{d^2}{dx^2}f(x)-\frac{1}{v^2}f(x)=0\tag{7.16}$$ Donde 𝑣 es la velocidad de propagación de la onda y 𝑓(𝑥) es la perturbación que se propaga. En las ondas mecánicas esta perturbación es visible y
la velocidad de propagación depende del medio material en que se propaga.
Ahora queremos saber si las ondas que satisfacen las ecuaciones (7.14) y (7.15) son longitudinales o
transversales y además ¿Qué relación satisfacen $ \vec{E}(\vec{r},t)$ y $\vec{B}(\vec{r},t)$? que
velocidad tienen las OEM? En lo que sigue responderemos estas preguntas.
Para empezar, notemos que comparando (7.14) y (7.15) con (7.16) resulta obvio que la velocidad de la
onda eléctrica es :
$$v^2 = \frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\implies v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} =
\frac{1}{\sqrt{((4\pi×10^{-7})×8,854×10^{-12})}}$$ $$v = 2.997\times10^8 m/s\tag{7.17}$$ Esta es la
velocidad de la luz !!!😀😀
Podemos afirmar entonces que el vector de onda eléctrica $\vec{E}(\vec{r},t)$ viaja con una
velocidad igual a la velocidad de la luz 𝑐 (También vale para el magnético $\vec{B}(\vec{r},t)$). A
continuación, proponemos una solución para las ecuaciones diferenciales (7.14) y (7.15).
Para ello definamos primero la fase $\Phi$ como:
$$👉\Phi = (\vec{k}.\vec{r}-\omega t) \tag{7.18}$$ Las soluciones propuestas para (7.14) y (7.15)
son
$\vec{E}_0, \; \vec{B}_0$ son las amplitudes constantes de las perturbaciones eléctricas y
magnéticas respectivamente.
$\vec{k}$ es el vector de propagación de la onda, es decir, la dirección en que se propaga la
perturbación.
$\vec{r}$ es la posición donde medimos el valor de la perturbación, esta posición es medida con
respecto a algún origen de coordenadas. $\omega$ es la frecuencia de oscilación de la perturbación,
es decir, cuantas veces en un segundo alcanza su valor máximo (o mínimo).
Notemos que $$ \vec{k}\cdot \vec{r}=(\hat{i}k_x +\hat{j}k_y+\hat{k}k_z )\cdot (\hat{i}x
+\hat{j}y+\hat{k}z)$$ $$\vec{k}\cdot \vec{r}=xk_x+yk_y+zk_z\tag{7.21}$$ ✋ ¡¡Atención!! Note que
$\vec{k}$ , el vector de propagación de la onda(también llamado número de onda ) es diferente al
vector unitario $\vec{k}.$
Ahora debemos tener presente que las ecuaciones (7.19) y (7.20) deben satisfacer las ecuaciones de
Maxwell en el vacío o sea las ecuaciones. Empezamos con la primera de las ecuaciones de maxwell
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0\implies (\hat{i}\frac{\partial}{\partial
x}+\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial
z}).(\hat{i}E_x+\hat{j}E_y+\hat{k}E_Z)$$ $$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0\implies
\Big(\frac{\partial}{\partial x}E_x+\frac{\partial}{\partial y}E_y+\frac{\partial}{\partial z}E_z
\Big)\tag{7.22}$$ $$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=(E_{0x}k_x +E_{0y}k_y +E_{0z}k_z)Cos\Phi =0$$
$$(\vec{k}\cdot \vec{E}_0)Cos\Phi =0$$ Esta ecuación tiene que ser válida para cualquier valor del
coseno, esto solo es posible si se cumple
$$\vec{k}\cdot \vec{E}_0 = 0\tag{7.23}$$
Siguiendo el mismo procedimiento matemático para las ondas de campo magnético encontramos que
$$\vec{k}\cdot \vec{B}_0 = 0\tag{7.24}$$ Es decir, La amplitud de la onda y la dirección de la
propagación son perpendiculares Por lo tanto, LAS OEM SON TRANSVERSALES
Ahora exigimos que la solución de onda que hemos propuesto satisfaga la tercera de las ecuaciones de
Maxwell en el vacío (ecuación 7.11a) $$\vec{\nabla}\times\vec{E_0}=-\frac{\partial}{\partial
t}\vec{B}=\omega\vec{B}$$ Notemos que el rotacional es un producto vectorial. Usando las soluciones
propuestas (7.19) y (7.20) obtenemos:
$$ \vec{\nabla}\times\vec{E}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial
x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z
\end{vmatrix}=\omega\vec{B}\\ $$ Desarrollando el determinante con los valores para $\vec{E}$
obtenemos :
$$\hat{i}(𝑘_𝑦𝐸_𝑧− 𝑘_𝑧𝐸_𝑦)− \hat{j}(𝑘_𝑧𝐸_𝑥− 𝑘_𝑥𝐸_𝑧)+\hat{k}(𝑘_𝑥𝐸_𝑦− 𝑘_𝑦𝐸_𝑥)=𝑤\vec{B} $$ Esto es lo
mismo que :
$$\vec{k}\times \vec{E} =\omega \vec{B}\implies \vec{B}=\frac{1}{\omega}(\vec{k}\times \vec{E}
)\tag{7.25}$$ Sabemos que la magnitud 𝑘 del vector de propagación de cualquier onda se relaciona con
la frecuencia 𝑤 de la onda y su velocidad 𝑣 mediante la relación $𝑘= 𝑤/𝑣$, pero en el vacío las OEM
tienen la misma velocidad que la luz 𝑣 = 𝑐 de modo que debe cumplirse (para el vacío) $k=w/c $,
luego podemos escribir $\vec{k}=\frac{\omega}{c}\hat{k}$ y reemplazar en (7.25) con lo cual
obtenemos la importantisima relación
$$\vec{B}=\frac{1}{c}(\hat{k}\times\vec{E})\tag{7.26}$$ Dado que la onda es transversal $\vec{k}$ y
$\vec{E}$ son perpendiculares y obtenemos $$B = \frac{E}{c}\tag{7.27}$$
