Objetivo

Encuentra los ceros de la función $f(x)=ax^{2}+bx+c$, con $a$, $b$ y $c$ enteros.

Procedimiento

Se llama cero de una función polinomial a aquellos valores de la variable para los cuales la función vale cero.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma $ax^{2}+bx+c=0$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales. Si un número $n$ es una solución de una ecuación polinomial $P(x)=0$, entonces se dice que $n$ es una raíz de la ecuación.

Existen tres métodos para hallar las raíces de una ecuación del tipo $ax^{2}+bx+c=0$, donde $a$, $b$ y $c$ son números enteros:

• Factorización simple.
• Completando el cuadrado.
• Fórmula cuadrática.

Nota del revisor:
El presente recurso y su objetivo, "Ceros de funciones polinomiales de grado 2", se relaciona con otros dos rescursos del proyecto Prometeo y que se incorporan en la sección de Álgebra:

$\bullet \space$Factorización de trinomios del tipo $\space ax^2+bx+c$

Aquí se explica con detalle algebraico como realizar la factorización del trinomio, se ponen ejemplos y se puede realizar ejercicios.

$\bullet \space$Ecuaciones cuadráticas completas $\space ax^2+bx+c=0$

En este recurso se ponen ejemplos de los tres métodos indicados para resolver una ecuación cuadrática completa y se puede ejercitar para obtener las soluciones que resultan ser los ceros de una función polinomial de grado $2$ que es el objetivo del actual resurso.

Se revisa y se modifica la redacción del método "Completando el cuadrado" en el siguiente apartado "Solución".

Solución

Factorización simple

Consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios, luego se iguala a cero cada binomio y se encuentra el valor de $x$.

Para convertir la ecuación de la forma $ax^{2}+bx+c=0$, con $a$, $b$ y $c$ enteros, en un producto de binomios, se requiere:

1. Determinar dos números cuyo producto sea $ac$ y cuya suma sea $b$.
2. Sustituir el coeficiente $b$ con la suma de los números encontrados en el paso anterior.
3. Factorizar por agrupamiento.

Para encontrar los ceros de la función, sólo se necesita:

4. Igualar a cero cada uno de los binomios y encontrar el valor de $x$.

Completando el cuadrado

Este método consiste en llevar la ecuación de la forma $ax^{2}+bx+c=0$ a la forma
$x^{2}+b'x=c'$, con $a'=1$ y luego completar el cuadrado. Para esto se requiere:

1. Dividir el polinomio igualado a $0$ entre el valor de $a$.
2. Pasar $c'$ al segundo miembro.
3. Completar el binomio con el termino adecuado para que resulte un trinomio cuadrado perfecto. Sumar este término también en el segundo miembro para mantener la igualdad: $(x-k)^2 = k+c'$
4. Para encontrar los ceros de la función, se despeja $x$ después de extraer la raíz cuadrada a ambos miembros.

Fórmula cuadrática

En ocasiones, cuando se tiene que resolver una ecuación de segundo grado, la ecuación resultante no puede resolverse por alguno de los dos método anteriores, factorización o completar el cuadrado. Ademas, este último método resulta laborioso y se podrían cometer errores si no se procede con cuidado.

Sin embargo, si se aplica éste método a la ecuación general de segundo grado se obtiene una fórmula que permite encontrar la solución de manera mucho más sencilla y directa. Esta fórmula llamada fórmula cuadrática se expresa como:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

A las expresiones resultantes se les conoce con el nombre de solución general de la ecuación general de segundo grado.

El método consiste en sustituir los valores de $a$, $b$ y $c$ de la ecuación cuadrática en la fórmula y resolverla. Para que la fórmula pueda resolverse, la expresión que está dentro del radical, llamada discriminante, debe ser mayor o igual que cero, de otro modo no es posible extraer la raíz. Por lo tanto, cuando ocurre que $b^{2}-4ac < 0$ significa que la ecuación cuadrática no tiene solución.

Ejemplos

En el recuadro que se presenta a continuación, observa cómo se determinan los ceros de una función polinomial de grado $2$ mediante el uso de la fórmula cuadrática. Presiona el pulsador que se localiza en el extremo superior derecho y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se encuentra en el extremo inferior de la derecha.

Ejercicios

Para los ejercicios siguientes, elige el método que prefieras y resuelve lo que se pide en tu cuaderno. Una vez hecho esto, escribe tus resultados sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo; en caso de que esto no ocurra, deberás reintentarlo. Dar respuesta a las dos raices antes de verificar su solución. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.