La geometría del sobre rectangular

1. LA GEOMETRÍA DEL SOBRE RECTANGULAR

Al llegar a esta página hemos aprendido lo siguiente:

Un sobre rectangular se confecciona solamente a partir de un cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares doblando por los segmentos que se forman al unir los puntos medios de cada lado.
Si los lados de los triángulos que se superponen al rectángulo por plegado coinciden con sus diagonales el cuadrilátero es un rombo.
Se puede construir un sobre a partir de un cuadrado puesto que el cuadrado es un caso particular de rombo.
No es posible construir un sobre a partir de un paralelogramo cualquiera (que no sea un rombo).

La siguiente escena es una herramienta pensada para que puedan ser explicadas las propiedades geométricas que permiten llegar a las conclusiones relativas a sobres rectangulares.

Los puntos A, B, C y D son controles que podemos cambiar de posición permitiendo obtener distintos cuadriláteros.

La escena muestra un cuadrilátero ABCD, las diagonales AC y BD que se cortan en O y el paralelogramo M1M2M3M4 siendo M1, M2, M3 y M4 los puntos medios relativos respectivamente a AB, BC, CD y DA

¿Por qué M1M2M3M4 es un paralelogramo?

Hay que probar que el lado M1M2 es paralelo al lado M3M4 y que el lado M1M4 es paralelo al M2M3.

Prueba:

La diagonal BD divide al cuadrilátero ABCD en dos triángulos ADB y CBD.

El segmento M1M4 divide a los lados AD y AB en dos partes iguales y según el teorema de Thales M1M4 tiene que ser paralelo a BD y por tanto el triángulo ADB es semejante al AM4M1, con razón de semejanza M1M4/BD=1/2.

De igual manera el segmento M3M4 divide a los lados CD y CB en dos partes iguales y por el teorema de Thales, M2M3 tiene que ser paralelo a BD.

Queda probado que M1M4//BD y que M2M4//BD, por tanto M1M4//M2M3.

Razonando de forma similar llegamos a probar que M1M2//M3M4

¿En qué condiciones se cumple que M1M2M3M4 es un paralelogramo rectángulo?

Si los lados M1M4 y M2M3 son perpendiculares a los lados M1M2 y M3M4 el paralelogramo M1M2M3M4 es un rectángulo

Como hemos visto en el apartado anterior, los lados M1M4 y M2M3 son paralelos a la diagonal BD y los lados M1M2 y M3M4 son paralelos a la diagonal AC, consecuentemente, s i en el cuadrilátero ABCD las diagonales AC y BD son perpendiculares el paralelogramo M1M2M3M4 es rectángulo.

¿Por qué cuando las diagonales del cuadrilátero ABCD se cortan perpendicularmente se puede formar un sobre?

Esto tiene que ver con la propiedad de la simetría de los puntos A, B, C y D respecto de las rectas M1M4, M1M2, M2M3 y M3M4.

El punto simétrico del vértice A respecto de la recta M1M4 es A' verificando:

AA' es perpendicular a M1M4
AH=HA'

El triángulo AM1M4 es semejante al triángulo ABD cuya razón de semejanza es 1/2 como ya sabemos. Como resulta que AA' es la altura del triángulo ABD, el pie A' está en la base BD.

Cuando las diagonales AC y BD son perpendiculares el pie A' coincide con el punto de corte O, en estas condiciones el triángulo simétrico de AM1M4 es OM1M4

Podemos repetir el mismo razonamiento para los restantes triángulos BM1M2, CM2M3 y DM3M4

Sólamente cuando las diagonales AC y BD son perpendiculares los vértices A, B, C y D coinciden en O y se puede formar el sobre plegando el cuadrilátero por M1M2, M2M3, M3M4, M4M1.

Si las diagonales se cortan en su punto medio el cuadrilátero ABCD resulta ser un rombo.

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	Taller de Matemáticas: Las matemáticas que hay en un sobre