GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
Geometría
 
1. sistema de referencia en el plano

Es un conjunto R = {O, (x,y)}  O punto fijo , llamado origen
 (x,y) base
 
A CADA PUNTO P DEL PLANO se le asocia SU VECTOR POSICIÓN OP QUE TIENE UNAS COORDENADAS

El punto P da lugar al vector OP

El vector OP tiene de coordenadas (4,3) respecto de la base B(x,y) 

El punto P tiene de coordenadas (4,3) respecto del sistema de referencia R .
 

 

1.- Cambia los valores de a y b y puedes ver cómo a otro punto P, corresponde otro vector OP. 

2.- Observa cómo las coordenadas de OP(a,b), siempre serán las coordenadas de P(a,b).

2.   Aplicaciones de los vectores a problemas geomÉtricos
2.1. Coordenadas del vector que une dos puntos dados por sus coordenadas
En esta escena hay tres vectores que cumplen:  OA + AB = OB . Por tanto: AB = OB - OA   y puesto que
coordenadas de OA = coordenadas de A   y coordenadas de OB = coordenadas de B  resulta que:
coordenadas del vector AB = coordenadas de su extremo B - coordenadas de su origen A

Compruébalo moviendo los puntos A y B en la escena

En esta escena el movimiento de estos puntos lo hemos limitado para que el vector AB siempre tenga la misma dirección

EJERCICIO 1

1.- En el inicio de la escena vemos que AB = (3,-6) ¿Cuáles son  las coordenadas del vector BA? Anótalo en tu cuaderno.
Ayuda: Coloca el punto A donde está el B y viceversa

2.- Ahora le vas a dar a las coordenadas de los puntos A y B los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector AB en cada caso y después compruébalo en la escena:

 
A=(4,8)   B=(6,4)   AB=?  A=(8,0)   B=(5,6)   AB=? 
A=(5,6)   B=(7,2)   AB=?  A=(6,4)   B=(6,4)   AB=? 
2.2. Comprobación de que tres puntos están alineados

Los puntos A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: 

AB = (x2-x1 , y2-y1)
BC = (x3-x2 , y3-y2)

EJERCICIO 2

1.- En esta escena puedes mover los puntos B y C, para comprobar que las coordenadas de los vectores AB y BC son proporcionales, ya que los puntos A, B y C están alineados. 
Anota en tu cuaderno las coordenadas de A, B y C, la de los vectores AB y BC y la proporción entre las x y las y en el inicio de la escena.

2.- Calcula las coordenadas de BC si C=(5,2) y A y B no cambian. 

3.- Calcula ahora la razón entre la x de AB y la x de BC.

4.- Calcula también la razón entre la y de AB y la y de BC. Te tiene que dar lo mismo que la razón entre las x. 

5.- Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto C al (5,2)

En esta escena tenemos tres puntos P(1,4) , Q(5,-2) y R(m,n)
Moviendo adecuadamente el punto R , o cambiando los valores de m y/o n , puedes conseguir que los puntos P , Q y R estén en la misma recta azul, o sea, ALINEADOS.

EJERCICIO 3

1.- Mueve el punto R para que sea m=7, y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de n obtenido. 

2.- Copia en tu cuaderno estos cálculos. Son los necesarios para hallar el valor de n observado en el apartado anterior: 

PQ=(5-1,-2-3)=(4,-5) 
QR=(7-5,n+2)=(2,n+2) 
 
 ;  n+2= -10/4 ; n= -4,5

3.- Ahora mueve el punto R para que sea n=6, y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de m obtenido. 

4.- Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de m que has observado en el apartado anterior. 

5.- Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores PQ y QR son proporcionales.

2.3. Punto medio de un segmento

En esta escena aparece una suma de vectores: OA + OB = OS   siendo OS la diagonal del paralelogramo OASB .
Las diagonales se cortan en sus puntos medios. Por tanto: , 
donde A=(x1,y1) y B(x2,y2).

Las coordenadas del punto medio , M , de un segmento de extremos A=(x1,y1) , B(x2,y2) son:

Moviendo con el ratón los puntos A y/o B  podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio M, del segmento AB en cada caso.

EJERCICIO 4

1.-Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(-3,7), B(7,-1).  

2.-Comprueba el resultado en la escena.

EJERCICIO 5

1.-Calcula en tu cuaderno el simétrico, P', del punto P(8,4) respecto de Q(4,1)

Ayuda : Q será el punto medio del segmento PP'

 2.-Comprueba el resultado en la escena.

       
           
  Ángela Núñez Castaín (2001)
Adaptación a DescartesJS: Ángela Nuñez Castaín y Mª José García Cebrian (2017)
 
ProyectoDescartes.org. Año 2017
 
 

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