2023 - Año 3
Número 5
Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Revista Digital Red Descartes
https://proyectodescartes.org/revista/index.html
ISSN: 2792-4483
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

La “Revista Digital Red Descartes” tiene como objetivo principal la difusión de todo lo concerniente al proyecto Descartes ―proyecto educativo de ámbito global que persigue la mejora de la educación apoyándose en las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) y en las del aprendizaje y el conocimiento (TAC)―, pero con visión abierta a acoger todo aquello que signifique un gran avance en el ámbito educativo con herramientas y recursos similares.

Nuestra revista se caracteriza y distingue por ser una publicación interactiva, es decir, aporta como elemento identificador el que dentro de su contenido aparecen elementos que dan respuesta adecuada, contextualizada, a las acciones que sobre ellos realice el lector/actor. Esa interactividad es identificadora del aporte que suministran los recursos desarrollados con nuestra herramienta Descartes, pero sin exclusividad a ellos. Nuestra línea de trabajo está abierta a cualquier recurso promotor del aprendizaje y del conocimiento, aunque tengamos obviamente nuestra predilección personal básica por lo que promovemos, desarrollamos y difundimos ¡desde casi un cuarto de siglo de existencia!

Así pues, abrimos una nueva línea de trabajo, inmersa en nuestro sello editorial y servicio altruista, con vocación de seguir transmitiéndoles interés por la educación y, en particular, con la utilización de los recursos educativos interactivos de nuestro proyecto Descartes, desarrollados con la herramienta homónima: Descartes, y en una revista con soporte en los “Libros interactivos de RED Descartes”. Confiamos poder rebatir a Quintiliano cuando afirmaba: “Facilius est multa facere quam diu” ―Es más fácil hacer muchas cosas que hacer una durante mucho tiempo―.

Consejo Editorial
Presidente
Ángel Cabezudo Bueno
Coordinación editorial
Juan Guillermo Rivera Berrío
Editores
Mª José García Cebrian
Yecid E. Gaviria Restrepo
José Román Galo Sánchez
José Antonio Salgueiro
Administración web
Francisco Rodríguez Villanego
Josep Mª Navarro Canut
Código JavaScript
Joel Espinosa Longi
Colaboradores
Elena Álvarez Saiz
Carlos A. Rojas Hincapié
Edison Arbey Escobar
Ramiro A. Lopera Sánchez
Manuel Muñoz Cañadas
Diseño de portada
Julieth A. Gómez Hernández
Viñetas: klipartz.com/
Recursos interactivos:
DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
ISSN: 2792-4483

EDITORIAL

La producción de contenidos digitales de la Red Educativa Digital Descartes no para en el segundo semestre de 2022, tampoco lo hace las continuas mejoras del editor DescartesJS. Nuestra biblioteca de libros interactivos se ha enriquecido con obras como: "Telescopio espacial James Webb - El comienzo", "Cuarta Revolución Industrial - Fundamentos", "Compostaje y lombricultivo ", "Matemáticas para las Ciencias 3" y "Mucho teatro (De y para instituto)".

En este número de la "Revista Digital Red Descartes" presentamos nueve artículos. De nuevo Joel nos sorprende con un artículo que da cuenta de la mejora en el editor DescartesJS, al incorporar gradientes y patrones al editor de colores. Las extraordinarias imágenes del telescopio espacial James Webb no han sido ajenas para nuestra Red, en dos artículos se describen las primeras imágenes capturadas por el Webb y algunos métodos de visualización, tanto en animación como en objetos interactivos. José Galo contribuye con un artículo sobre las superficies regladas desarrollables con todo el rigor matemático que ello conlleva, además de aportar escenas interactivas, desarrolladas con DescartesJS. Jorge Andrés Rodríguez presenta una reflexión sobre la enseñanza del diseño, en la que, según el autor, hay dos elementos fundamentales, el saber práctico que sugiere una acción y el teórico que sienta las bases para el contexto.

En la práctica docente, el uso de herramientas -digitales o no- se presentan experiencias especiales que ameritan sistematizarlas; en ese sentido, Manuel Muñoz nos expone experiencias del alumnado de Educación Primaria, empleando plantillas con un círculo fraccionado en diversos sectores o fracciones iguales de diferentes valores. Por su parte, José Antonio Salgueiro, nos presenta un artículo que describe cómo usar el editor DescartesJS, para crear contenidos digitales.

SUMAR

06 | Proyecto Descartes en el tiempo José Antonio Salgueiro González

10 | Un encuentro que cambió mi vida Juan Guillermo Rivera Berrío

18 | Una aplicación de DescartesJS: Embaldosados nxn con L-Triominós Ángel Cabezudo Bueno

44 | Tipografías externas en escenas de DescartesJS Joel Espinosa Longi

54 | Cómo conocí el editor DescartesJS Marisol Ramos Astudillo

ARIO

Mi práctica docente en los orígenes del Proyecto Descartes José Antonio Salgueiro González | 58

La incidencia del proyecto Descartes en la labor como docente de Ciencias Básicas John Jairo García Mora | 76

Desarrollo de Objetos Virtuales de Aprendizaje con Descartes. Una agradable experiencia. Hernán Darío Ortiz Alzate | 84

El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal José R. Galo Sánchez | 96

Publicaciones iCartesiLibri 2023 | 194

# Proyecto Descartes en el tiempo

## Por José Antonio Salgueiro González (España)

En 2023 conmemoramos el veinticinco aniversario de Proyecto Descartes, una de las iniciativas más valiosas para conseguir una incorporación generalizada y eficiente de las TIC en el área de Matemáticas con nuevos procesos metodológicos. Por ello, desde RED Descartes estamos diseñando una serie de eventos y actividades con el objetivo de celebrar esta importante efemérides junto a nuestros socios, usuarios y seguidores de este proyecto educativo, a uno y otro lado de la mar océana.

El proyecto Descartes surge en junio de 1998 por iniciativa del entonces Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (PNTIC), posteriormente Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa (CNICE) y en la actualidad Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado (INTEF) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. El diseño se realizó en un momento en que Internet comienza a despuntar en España, algunos centros de Enseñanza Secundaria comienzan a tener acceso a Internet a través de un módem, con bastantes limitaciones de velocidad, pero todo apunta hacia un crecimiento generalizado de su uso, como después se ha producidoEtapas de desarrollo. Decisiones iniciales..

Ha resultado ardua la tarea de sintetizar estos veinticinco años desde la aparición de la primera versión de la herramienta de autor Descartes, el proyecto educativo asociado y las acciones encaminadas para formar al profesorado, generar recursos educativos abiertos e interactivos que abarcan todas las etapas educativas (Infantil, Primaria, Secundaria y Universidad), experimentar y validar los recursos en el aula, incorporar mejoras, divulgar todos los aspectos del proyecto en encuentros, jornadas y

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congresos, desarrollar proyectos de colaboración escolar y constituir una red docente bien conectada.

Llegado el momento de recorrer históricamente un proyecto de semejante magnitud, debemos diferenciar perfectamente la etapa comprendida desde 1998 hasta 2013, como proyecto institucional del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte de España, y la posterior a 2013, como organización no gubernamental sin ánimo de lucro.

Indudablemente, la mayor dificultad recae en la primera etapa, pues algunos ámbitos del proyecto ya no se encuentran publicados en la red de internet, han cambiado sus direcciones, existen enlaces rotos y un número importante de materiales obsoletos. No obstante, hemos podido recuperar algunos revisando nuestras unidades de almacenamiento y los CD y DVD publicados anualmente por CNICECentro Nacional de Información y Comunicación Educativa, ISFTICInstituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado, ITEInstituto de Tecnologías Educativas y, ahora, INTEF, Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del profesorado, aunque algún recurso mostrado no coincide fielmente con el original.

La dinámica y criterios seguidos han consistido básicamente en:

- Diseñar un recurso con la herramienta de autor DescartesJS.
- Seleccionar las acciones más representativas de cada año.
- Mostrar todos los aspectos del proyecto.
- Procurar la representatividad de todos los sectores de RED Descartes, tanto en España como en los países implicados.
- Mantener la máxima fidelidad histórica.

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Ahora necesitábamos una herramienta visual para ordenar cronológicamente la historia de Proyecto Descartes durante este cuarto de siglo, y la inspiración llegó navegando por el libro interactivo "Cuarta revolución industrial. Fundamentos"Cuarta revolución industrial. Fundamentos, que en una de sus páginas contiene una línea de tiempo interactiva dedicada a la historia del Metaverso.

Seguidamente, ofrecemos el concepto de línea de tiempo interactiva proporcionado por ChatSonic, una IA (Inteligencia Artificial) bastante conocida:

Una línea de tiempo interactiva es una herramienta gráfica avanzada que le permite a un usuario visualizar el orden cronológico de los eventos con detalles adicionales, como imágenes, vídeos y descripciones. Esta herramienta le permite a los usuarios profundizar en el contexto de una determinada situación, a organizar mejor una historia, a identificar relaciones entre eventos, a monitorizar los progresos de un proyecto y a comparar los resultados entre diferentes periodos de tiempo. [1] [2] [3]
Referencias:
[1] Crea tus líneas temporales gratis - Visme
[2] Crea líneas de tiempo interactivas
[3] 20 herramientas para crear líneas de tiempo

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Ofrecemos una línea de tiempo interactiva que, aunque puede visualizarse en el contenedor, ya sea revista digital o libro interactivo, recomendamos ampliarla desde la flecha que aparece en la esquina superior derecha y, posteriormente, maximizar la ventana.

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# Un encuentro que cambió mi vida

## Por Juan Guillermo Rivera Berrío (Colombia)

Representación de un cubo con marcador.

En 2008 estaba desarrollando mi tesis de doctorado y, a la vez, impartía un curso de Cálculo Integral. En las primeras sesiones del curso surgieron varios interro- gantes que, casualmente, coinci- dían con otros que estaba lidiando en mi tesis ¿por qué la percepción de algunos fenómenos del mundo es tan débil?, ¿por qué es tan difícil representar objetos del mundo 3D? Una de mis conclusiones, en mi investigación, es que la percepción aumenta cuando hay buenas representaciones de un objeto de conocimiento; por ello, mi preocupación estuvo centrada en ¿cómo hacer una buena representación de los sólidos de revolución?

Representación de un sólido de revolución con tiza.

En los años anteriores, cuando no usábamos marcadores, hacíamos buenas representa- ciones con el uso magistral de la "tiza". Eramos expertos con las tizas de colores y los som- breados que con los dedos hacíamos sobre la pizarra, obteniendo buenas represen- taciones, y un buen callo en el dedo índice, que 15 años después apenas está desapareciendo.

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Con otros profesores, también preocupados por tener mejores representaciones, conformamos un grupo de investigación, que llamamos grupo "Gnomon". En ese entonces, nos presentan el software "Cabri" que nos deja sorprendidos por sus excelentes gráficos, tanto en 2D como en 3D. Pero, era software de pago que, por las condiciones económicas de nuestros estudiantes, sería un desacierto pedirles que lo compraran. En nuestra búsqueda, nos topamos con GeoGebra y nos convertimos en geogebreros... excelentes geogebreros, a tal punto que creamos el primer Instituto colombiano de GeoGebra. Pero, el GeoGebra de ese entonces carecía de representaciones 3D, lo cual no daba respuesta a uno de mis interrogantes ¿cómo hacer una buena representación de los sólidos de revolución?, para mi curso de Cálculo Integral.

Buscador Google de 2008.

Continué mi búsqueda en el Google de esa época, con las dificultades ocasionadas por la lentitud de la red y la rápida expansión de información basura que hacía más penosa la búsqueda. Poco a poco, fueron apareciendo alternativas como CaR y herramientas de autor como JClic, pero ninguno daba respuesta a mi pregunta.

Página Descartes de 2008.

Apareció algo que se llamaba Descartes, con los apartados Unidades Didácticas, Aplica- ciones, Miscelánea y EDA, del Instituto Nacional de Tecno- logías Educativas y de Forma- ción del Profesorado (INTEF), de España. Encontré que tenía objetos interactivos en 3D... entonces... ¡Descartes me atrapó!

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Igual que un niño con un nuevo juguete, inicié una exploración profunda de la página, econtrando una excelente documentación sobre Descartes 2D, tal como se aprecia en la siguiente presentación:

Documentación técnica de Descartes 2D.

Luego me topé con el término 3D. Me olvidé de los demás apartados, concentrándome en cómo podría diseñar objetos 3D. La documentación técnica al respecto, fue mi mejor tutor (ver la documentación en la página siugiente).

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Documentación técnica de Descartes 3D (descargado de https://web.archive.org/).

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Como resultado de esta exploración y el estudio del módulo Descartes 3D, diseñé mis primeras escenas 3D, con el llamado Nippe DescartesLa palabra nippe se forma con las iniciales de "núcleo interactivo para programas educativos":

Por fin, había diseñado el sólido de revolución, que se genera rotando la función seno en el intervalo [a, b], representación que ya podía presentar a mis estudiantes de Cálculo Integral.

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Sólido de revolución de la función seno.

Los primeros objetos 3D son superficies paramétricas, que surgen de mi experiencia con el software K3DSurf, el cual me llevó a un siguiente interrogante ¿cómo intervenir los atributos del objeto representado desde la misma escena? La respuesta a este interrogante, haría más interactiva la escena, pues ahora solo permitía rotarla, ampliarla o reducirla. La respuesta estaba en los controles del Nippe Descartes, así que incorporé dos controles, tal como se ve en la escena interactiva de la derecha. Pero, al cambiar los valores de b, sólo obtenía volúmenes en los intervalos positivo o negativo de la función seno y, por otra parte, el control a desarrollaba el volumen.

Es en este momento que recurro a darle clic a la opción Contacta con nosotros de la página principal de Descartes, enviando un primer correo el 4 de marzo de 2008, solicitando autorización para usar el Nippe Desacrtes con nuestros alumnosEsta fecha es significativa, pues el Proyecto Descartes cumple 25 años, la Red Educativa Digital Descartes 10 años y yo 15 años:

Mi primer mensaje a José Galo

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En la siguiente presentación de diapositivas, transcribo las primeras comunicaciones con el Coordinador del Proyecto Descartes, Dr. José R. Galo Sánchez (haz clic en el botón de la esquina superior derecha, para verlas en una ventana más grande).

Primeros correos con Pepe.

A partir del segundo semestre, nuestra comunicación ha sido fluida, con 15 años de estrecha relación, de tal forma que ya he visitado su hogar y él el mío, ya no es el Dr. Galo, sino mi entrañable amigo "Pepe".

Pero, volviendo a mis representaciones 3D, logré resolver mis inquietudes o, mejor, Pepe aclaró mis dudas. Fruto de mi interés por

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las superficies paramétricas, con otro gran amigo y también enamorado de estas superficies, Josep M. Navarro Canut, publicamos el libro Curvas y superficies paramétricas en el Proyecto iCartesiLibri.

En el siguiente video, muestro una comparación de la caracola (Shell), entre el software K3DSurf y Descartes que, para 2008, no tenía mayores diferencias.

##### Vídeo

Comparación de la superficie paramétrica Shell, entre K3DSurf y Descartes.

Por todo lo dicho en este artículo, comprenderán porqué...

Descartes cambió mi vida

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# Una aplicación de DescartesJS:
Embaldosados nxn con L-Triominós

## Por Ángel Cabezudo Bueno (España)

Leyendo el artículo titulado “Embaldosando con L-triominós (Un ejemplo de demostración por inducción)” del profesor Raúl Ibáñez publicado en la revista digital Cuaderno de Cultura Científica (Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU), me surgió la idea de programar una escena con DescartesJS que permitiera a la vez que repasar algunos apartados interesantes sobre los mencionados embaldosados, manipular los L-Triomínos con tableros virtuales, entendiendo que esta herramienta permitiría al lector interesado abordar los retos que se proponen en el artículo.

Un triominó es una figura geométrica plana que se obtiene por unión de tres cuadrados iguales por alguno de sus lados. El triominó es un caso de poliminó, que se forma uniendo n cuadrados, dos piezas cuadradas comparten un lado completamente: dominó (2 piezas), triominó (3 piezas), tatraminó (4 piezas),…, n-minó (n piezas).

Existen dos casos de triominós

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En la Figura 6, se observa el I-triominó (3 piezas cuadradas en hilera formando una I) y el L-triominó (3 piezas cuadradas en forma de L) también llamado V-triominó pues la forma V se asemeja a la forma de la L.

En la escena interactiva siguiente se sugiere hacer clic izquierdo en el botón de la esquina superior derecha, para abrirla en una ventana más grande e interaccionar con ella.

Embaldosados nxn con L-Triominós

El tablero mxn es una superficie rectangular donde pueden acomodarse mxn piezas cuadradas iguales distribuidas en m filas y n columnas. En particular trabajaremos con tableros cuadrados nxn con la condición de que nxn-1 sea múltiplo de tres para que pueda ser embaldosado por L-triominós.

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Tablero 8x8.

La Figura 7 representa un tablero 8x8, que cuenta con 64 casillas, tal que puede ser embaldosado por 21 L-triominós, 64-1=63= 21x3 si eliminamos una casilla.
Tal tablero en el que eliminamos una casilla (coloreándola en negro o blanco, según las versiones) para que pueda ser embaldosado por L-triominós se dice que es deficiente.
Se plantean una serie de cuestiones que vamos a desarrollar y poder poner en práctica interaccionando con la escena de Descartes. La Figura 8 muestra la escena para el tablero deficiente 8x8.

tablero deficiente 8x8

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## Tableros deficientes posibles

La escena permite seleccionar 4 tableros: 4x4, 5x5, 7x7 y 8x8 de los que son posibles, que verifican nxn -1 = 3k, k= 1, 5, 8, 16 y 21.

Tableros deficientes posibles

Esto está justificado por razón de que los tableros nxn posibles que se pueden embaldosar con L-triominós son los correspondientes a n=2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14... lo cual es fácil de probar.

Seleccionado un tablero nxn y la opción Sí del control denominado Deficiente al inicio del programa y cada vez que se pulsa el botón denominado Otro, una casilla al azar se marca con color negro indicando que no debe ser ocupada por el L-triominó.

También es posible seleccionar una casilla determinada para hacer deficiente el tablero a través de los controles Fila y Columna lo que permite probar embaldosados con tableros deficientes elegidos a voluntad.

## Colores de los L-triominós

Los L-triominós para el tablero 8x8 pueden ser todos de un mismo color (gris) como se muestra en la Figura 8 o de un color diferente (azul, rojo o verde).

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L-triominós del tablero 8x8 con colores diferentes.

Se colorean siete en azul, siete en rojo y siete en verde para poder simular el curioso juego comercial llamado Vee-21, desarrollado por la empresa norteamericana de juegos de ingenio Kandon Enterprises.

Tablero 8x8.

Las reglas del Vee-21, son una combinación del problema del embaldosado de un tablero deficiente con L-triominós y el teorema de los cuatro colores “bastan cuatro colores para colorear un mapa geopolítico plano, sin que dos países con frontera común tengan el mismo color” (para más información consultar el artículo de Marta Macho ¿Cuatro colores son suficientes?).. En primer lugar, se coloca la pieza cuadrada unidad de color negro o blanco, dependiendo de la versión, en uno de los cuadrados del tablero 8 x 8 del juego, y entonces el reto consiste en colocar las 21 fichas con forma de L-triominó de manera

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que cubran completamente el tablero deficiente que ha quedado (es decir, teselar el tablero deficiente con los L- triominós), pero con una condición extra, que las fichas del mismo color no se puedan tocar entre sí, salvo quizás por los vértices, como en el teorema de los cuatro colores.

## Primera práctica con la escena de Descartes: Acomodación manual de un L-triominó en el tablero

Los L-Triominós aparecen al azar en el lado derecho de la escena, estos pueden ser girados 0º, 90º, 180º y 270º de forma recurrente y arrastrarlos para posicionarlos en el tablero utilizando para ello el puntero del ordenador. Cada clic izquierdo sobre L-Triominó lo hace girar en sentido positivo un cuarto de vuelta y manteniendo el clic derecho se puede arrastrar.

Control circular del L-Triominó.

Seleccionar el L-Triominó en el lado derecho de la escena haciendo clic izquierdo dentro del control circular, no visible, con centro en el vértice común que se indica en la figura. Aparece una señal de giro sobre la que se puede pulsar tantas veces como sean necesarias para que se acomode a las tres casillas del tablero que se quieran ocupar. La señal de giro desa- parece haciendo clic izquierdo o derecho fuera del control circular.

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Ajuste del L-Triominó.

Una vez girado convenien- temente el L-triominó puede ser llevado al tablero manteniendo un clic izquierdo presionado sobre el control central y arrastrando. Al dejar de presionar el L-triominó queda posicionado. Por tanto, interesa dejar de presionar cuando se halla encajado el vértice común del L-triominó en el vértice común de las tres casillas del tablero. En esta aproximación se apreciará un efecto de atracción o de imán que facilita el ajuste.

## Guardar y Recuperar (Cargar) los trabajos en la escena de Descartes

La escena permite guardar el trabajo hecho ya sea completo o incompleto, caso de que se desee terminar una sesión de trabajo para no perder lo hecho hasta ese momento. Para esto se dispone de dos controles de botón rotulados Guardar y Cargar.

Guardar, permite guardar en modo local, en un fichero de texto de tipo .txt, los parámetros de la escena necesarios para recuperar el trabajo en otro momento. El nombre que se propone por defecto es guardado.txt. El usuario puede decidir la carpeta local y el nombre del archivo que le resulte más adecuado. Si se ha instalado la aplicación en local se podrá utilizar la carpeta denominada memoria para los ficheros de texto.

Al pulsar el botón Cargar se nos permite acceder a la carpeta local donde guardamos el trabajo en el archivo .txt. Al hacer clic sobre el

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nombre del archivo se recupera la escena tal como estaba cuando se guardó.

## Segunda práctica con la escena de Descartes: Verificar que el tablero deficiente 8x8 puede ser recubierto siguiendo las reglas del juego Vee-21

Empezar por realizar con la escena de Descartes el embaldosado que se muestra en la Figura 11 con la casilla negra en la fila 3 y columna 5.

Practicar con la escena de Descartes. Antes de dar alguna pautas y principios básicos para ayudar a recubrir un tablero deficiente:

1. Realizar el recubrimiento de la Figura 11. Observar que las piezas del mismo color no han podido se separadas completamente. A lo sumo se tocan en un vérticeEn 2004 el profesor Andris Cibulis y su estudiante, Marina Klinova, de la University of Latvia, probaron que la separación total de los tres colores en el tablero deficiente 8x8 es imposible.
2. Realizar el recubrimiento de la Figura 11 pero cambiando los colores de las piezas.

## Revisión de los embaldosados posibles en tableros nxn deficientes

Es importante para ser eficaz en el embaldosado de un tablero deficiente de orden superior, al menos de 8x8, reconocer la posibilidad de recubrir partes más sencillas en un tablero. Esto es una buena práctica para abordar recubrimientos parciales más sencillos como los 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 7x7.

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Tablero 2x2

Tablero 2x2.

En un tablero 2x2 solo cabe un L-Triominó en cualquiera de los 4 giros posibles, por tanto, se puede acomodar a un tablero deficiente 2x2 dependiendo de la posición de la casilla negra.

Tablero 3x3

Tablero 3x3.

No puede ser embaldosado por 3 L-Triominós, en cualquier caso, siempre van a poderse acomodar 2 L-triominós y van a quedar tres casillas donde no encaja un tercer L-Triominó. Observar que no puede hacerse deficiente pues $3x3-1 = 8 \ne 3k$.

Tablero 4x4

Tablero 4x4.

Un tablero deficiente 4x4 puede ser embaldosado siempre con 5 L-triominós. Podemos ver el tablero descompuesto en 4 subtableros 2x2. La casilla negra ocupará uno de estos subtableros y puede ser cubierto por un L-triominó. Siempre es posible incorporar un segundo L-triominó que cubra una casilla de los otros tres subtableros 2x2 restantes, como vemos en la figura, de tal suerte que en cada uno de éstos pueda acomodarse sendos L-triominós.

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Hemos seguido la técnica, como dice el dicho popular, de “divide y vencerás” que volveremos a utilizar más adelante.
Practicar con la escena de Descartes para embaldosar el tablero 4x4 deficiente con la casilla negra en (F, C) = (1, 1). Probar otros casos para afianzar la técnica indicada.

Tablero 5x5

Tablero 5x5.

En un tablero deficiente 5x5, en ciertos casos, es posible acomodar 8 L-Triominós dado que se cumple que 5x5-1=24=3x8. Ahora bien, se puede probar que no siempre se puede embaldosar. El caso de la figura es un caso posible.

Observar que la posición de la casilla negra permite descomponer el tablero en 4 regiones rectangulares 2x3 y en cada una pueden acoplarse 2 L-triominós.

Casos posibles.

Los casos posibles son aquellos donde la casilla negra se sitúa en la celda señalada con un asterisco ($*$) en la Figura 18.

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Un caso posible.

La Figura 19 muestra uno de estos casos. En realidad, es suficiente probar con la casilla negra en (1, 1), (3, 1) y (3, 3) ya que por simetría quedan probados los demás casos.

Probar que es imposible embaldosar el tablero 5x5 deficiente para los casos en que la casilla negra es alguna de las que no están marcadas con el asterisco en la Figura 18. En realidad, solo es suficiente verificar con 4 casillas, p. ej. las (1, 4), (2, 3) y (2, 4) ya que por simetría quedan probadas las restantes.

Caso (1, 4).

Veamos el caso (1, 4). Las opciones que se van teniendo sucesivamente para colocar un L-triominó conduce a situaciones como las de la figura o las correspondientes simétricas, imposible de embaldosar.

Unico caso posible en (1,3).

Probar la imposibilidad con el caso en que la casilla negra esté en (2,3) o en su simétrica (3,4) que se verifica de forma inmediata.
Observar que la posición del L-triominó colocado en la Figura 21 es el único posible para cubrir la casilla en (1,3), salvo el caso simétrico ¿Se puede seguir embaldosando?

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Tablero 7x7

En cualquier caso, siempre se va a poder embaldosar un tablero 7x7 deficiente con L-triominós. La demostración fue publicada por Martin Gardner en 2009 y reproduce la que Solomon W. Golomb le comunicó personalmente. Se basa en el estudio de tres casos posibles, con los correspondientes simétricos, donde puede ser situado un cuadrado 2x2 en el que iría la casilla negra, ver Figura 22.

Casos 7x7.

Una posibilidad consiste en situar un L-triominó en el cuadro 2x2 (borde rojo) donde está la casilla negra.

1. En los Casos 1 y 2 se puede descomponer el tablero en 7 rectángulos 2x3, cada uno con 2 L-triominós. Las seis casillas restantes se distribuyen en el cuadrado 2x2 donde va la casilla negra y en un L-triominó solitario.
2. En el Caso 3 el tablero se puede descomponer en 4 rectángulos 2x3, donde se pueden acomodar 8 L-triominós, el L-triominó en cuadrado 2x2 donde va la casilla negra y otros 7 L-triominós solitarios.
3. Probar los tres casos de los dos apartados anteriores, los de la figura o sus simétricos, con la escena de Descartes y guardar estos trabajos.

M. Gardner propuso buscar un embaldosado de entre los derivados del Caso 3 que maximice el número de rectángulos 2x3.

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M. Gardner propuso buscar un embaldosado de entre los derivados del Caso 3 que maximice el número de rectángulos 2x3.

Reto 7x7.

Problema: Tomando el reto propuesto por M. Gardner, encontrar un embaldosado en el tablero 7x7 deficiente de la Figura 23 descomponiéndolo en 6 rectángulos 2x3 y 4 L-triominós.
Observar que es un derivado del Caso 3 y los 4 L-triominós pueden ser solitarios.
Guardar el trabajo en la escena de Descartes.

Solución: Solo en el caso que haya resuelto el problema o si se le resiste y se da por vencido puede consultar la solución en la imagen al final de este artículo (apartado Soluciones).

Tablero 8x8

Veamos en primer lugar que el tablero 8x8 deficiente se puede siempre embaldosar con L-triominós.

Sabemos que los tableros 2x2 y 4x4 deficientes se pueden embaldosar con L-triominós. En el 2x2 cualquiera que sea la posición de la casilla negra siempre se va a poder acomodar un L-triominós en las 3 casillas restantes.

En al caso del 4x4 podemos descomponer el tablero en 4 de 2x2 de tal manera que la casilla negra pertenece a uno de estos 4 tableros y siempre es posible incorporar un segundo L-triominó que cubra una casilla de los otros tres subtableros 2x2 restantes, como vemos en la figura, de tal suerte que en cada uno de éstos

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pueda acomodarse sendos L-triominós.

Reto 8x8.

Siguiendo con esta técnica del “divide y vencerás” vamos a descomponer el tablero 8x8 deficiente en cuatro subtableros 4x4. En uno de estos subtableros se encontrará la casilla negra, pues bien, situemos un L-triominó en el centro del tablero 8x8 de tal manera que cada cuadrado del mismo ocupe una casilla de los restantes 3 subtableros 4x4. Cada subtablero 4x4 se puede embaldosar y en consecuencia el tablero 8x8.

Práctica: Embaldosar un tablero 8x8 deficiente con la escena de Descartes para los siguientes ejercicios.

Tener en cuenta que se usan L-triominós de 1 solo color.

Ejercicio 1.- Situar la casilla negra en (F, C) = (3, 2), como en la Figura 24.

Ejercicio 2.- Situar la casilla negra en (F, C) = (4, 5).

Ejercicio 3.- Generar tableros deficientes al azar. Basta con que el valor de fila o columna sea 0 y pulsar el control de botón Otro.

## Generalización para tableros 2nx2n: Inducción completa.

Vamos a generalizar este método de subdivisión para embaldosar tableros 2nx2n deficientes. El método se apoya en la demostración por inducción debida a Golomb.

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Tablero 2k-1x2k-1.

Hemos visto que los tableros deficientes para n = 1, 2, 3 se pueden embaldosar. Ahora supongamos que se puede embaldosar el tablero 2k-1x2k-1 y demostremos que también se puede embaldosar el tablero para n = k.
Es fácil comprender que el tablero 2kx2k = 2∙2k-1x2∙2k-1 tiene su lado de tamaño doble que el tablero 2k-1x2k-1 y en consecuencia se puede descom- poner en 4 subtableros 2k-1x2k-1. En uno de ellos estará la casilla negra y será deficiente y por tanto de forma similar a lo que hicimos en la Figura 24 del apartado anterior basta situar un L-triominó en el centro del tablero 2kx2k para “hacer como si fueran deficientes” los restantes 3 subtableros 2k-1x2k-1: los cuatro subtableros se pueden embaldosar y en consecuencia también el tablero 2kx2k.

## Teorema de I.P. Chu, R. Johnsonbaugh, para tableros deficiente mxm

La buena noticia ahora es la que recoge el teorema de I.P. Chu, R. Johnsonbaugh que afirma que todo tablero deficiente mxm, m2-1=3k, se puede recubrir con L-triominós, salvo para m=5.

No vamos a extendernos más en estos resultados que sobrepasan las posibilidades de la escena de Descartes que fue creada en un principio para simular el juego Vee-21, con L-triominós de tres colores. Se puede consultar el artículo del profesor Raúl Ibáñez con el que comenzamos este nuestro para conocer más detalles.

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## Soluciones del juego Vee-21

La empresa de juegos de ingenio Kandon Enterprises atendió la petición del profesor de matemáticas y ciencias de la computación, Norton Starr, para la realización de un juego basado en la demostración inductiva del embaldosado con L-triominós de tableros deficientes de 2nx2n cuadrados. A este juego constituido por un tablero de 8x8 se le incorporó un reto mayor consistente en 3 colores distintos y 7 L-triominós de cada color y conseguir que las piezas del mismo color no estén en contacto ni siquiera por los vértices, lo que constituye el problema de los tres colores. En 2004 el profesor Andris Cibulis de la Universidad de Letonia y su alumna Marina Klimova enviaron a Kandon la respuesta: el tercer color no se puede separar por completo. Quedará un solo contacto de vértice.

Tres de las respuestas que se enviaron son éstas, en la Figura 26. Ver otras en el enlace anterior y animamos a encontrar más soluciones con la escena de Descartes.

Tres respuestas del juego Vee-21.

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## El problema de colorear con tres colores un embaldosado 8x8 realizado con L-triominós

Se trata de verificar si a posteriori se pueden colorear los L-triominós que embaldosan un tablero 8x8 deficiente con la condición de que las fichas del mismo color no se toquen entre sí, excepto por un vértice. La respuesta es que no es posible en todos los casos. Veamos donde está la imposibilidad a partir de un embaldosado monocolor como el de la Figura 27.

Coloreo de un embaldosado 8x8 con tres colores (parte 1).

Empezamos por el tablero embaldosado arriba a la izquierda y coloreamos el L-triominó central en azul, p. ej. (se puede empezar coloreando con cualquiera de los 3 colores. Para evitar que las piezas del mismo color se toquen, una alternativa es la mostrada en la imagen 3 (otra posibilidad es alternar los colores rojo y verde).

Coloreo de un embaldosado 8x8 con tres colores (parte 2).

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La imagen 4 de la Figura 28, nos permite ver un posible resultado y hasta donde podemos llegar después de disponer los tres colores en los tres primeros cuadrantes de forma conveniente: para colorear el 4º y último cuadrante necesitamos disponer de 4 L-triominós y 3 colores para evitar que dos piezas del mismo color se toquen, excepto en un vértice y esto no es posible dado que ya se han utilizado las siete piezas de color verde y solo se dispone de 1 pieza de color verde y 3 de color azul.

La imagen 5 es otro resultado alternativo en el que para colorear el cuarto cuadrante disponemos de 2 piezas de color azul, 1 de color rojo y 1 de color verde, pero no es posible colocar las piezas de color azul sin que estas se toquen.

La escena de Descartes permite colorear el tablero deficiente 8x8 de la Figura 28 ya embaldosado. Para acceder a colorear el tablero embaldosado hay que pulsar el primer control de botón indicado en la flecha de la Figura 29.

Control para colorear el tablero embaldosado.

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La escena presenta un segundo control de botón que permite probar a colorear otro tablero 8x8 deficiente embaldosado, Figura 30. Intentar colorear sin que dos L-triominós del mismo color se toquen.

¿Será posible esta vez?

tablero 8x8 deficiente embaldosado.

Tablero deficiente embaldosado. Se trata de colorearlo cumpliendo con la regla de los tres colores del juego Vee-21. A lo sumo dos L-triominós del mismo color se pueden de tocan en un vértice.
Pulsar el segundo control de la Figura 29 para colorear tableros embaldosados y obtener la máscara que se ve en la figura 30.

## Embaldosados de tableros deficientes nxn con n mayor que 8

Aunque el propósito de este artículo ha estado orientado al embaldosado de un tablero deficiente 8x8 en relación con juego Vee-21 y el reto de hacerlo aplicando la regla de los tres colores, vamos a dar algunas pautas para embaldosar tableros deficientes de dimensión mayor a 8x8 (no descarto la posibilidad de elaborar otra escena para tableros de mayor dimensión o quizá lo haga algún lector interesado que sepa programar DescartesJS).

Ya hemos abordado la posibilidad con tableros de dimensión 2nx2n,

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pero ¿qué hacemos para otros casos que no se ajustan a este modelo?.

Algunas ideas al respecto para tableros de lado multiplos de 7 y para el tablero de lado 10.

1. Tablero deficiente de lado múltipo de 7.
   Ya hemos visto que el tablero deficiente 7x7 es siempre posible. En consecuencia el tablero (7x2n)x (7x2n), por ejemplo tableros de lado 14, 28 ó 56 se pueden embaldosar con L-trinominós utilizando el método de inducción que ya hemos dado a conocer.
2. Tablero deficiente de lado 10, 20, 40, 80,...., (10x2n)
   tablero 10x10.

   Dado que no es posible embaldosar siempre el tablero deficiente de lado 5, no podemos utilizar el método utilizado para embaldosar el tablero de lado doble 2x5, descomponiendo el tablero en cuatro cuadros de 5x5. Hay que seguir otro proceso. Por ejemplo observando, como hizo M. Gardner en 2009, que el tablero 10x10 se puede descomponer en un cuadrado 8x8, cuatro rectángulos 2x3 y 4 L-triominós sueltos, como se muestra en la Figura 31.
   El método de inducción nos va a permitir a partir del tablero 10x10 resolver tableros deficientes de lado 20, 40, 80... casos particulares del lado genérico (10x2n).

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3. Problema: embaldosado del tablero deficiente 11x11
   1. Verificar que un tablero 11x11 deficiente se puede descomponer en un cuadrado 7x7, un cuadrado 5x5 y dos rectángulos 6x4. Observar que un rectángulo 6x4 cubre 4 rectángulos 2x3.
   2. ¿Qué condición debe cumplir la casilla negra que hace deficiente al tablero 11x11 para que pueda ser embaldosado con L-triominós?
   3. ¿Cuántos L-triominós son necesarios para embaldosar el tablero 11x11 deficiente?
   Consultar el apartado de soluciones para contrastar las respuestas dadas.

## Soluciones

Verificar que el tablero deficiente 8x8 puede ser recubierto siguiendo las reglas del juego Vee-21

Empezar por realizar con la escena de Descartes el embaldosado que se muestra en la Figura 11 con la casilla negra en la fila 3 y columna 5.

- Seleccionar la opción 8x8 en el control de menú nxn
- Seleccionar 3 colores en el control dee menú colores
- Seleccionar Sí en el control de menú deficiente.
- Seleccionar Fila = 3 y Columna = 5 en sendos controles de selección.
- Seleccionar a la derecha de la escena un L-triominó del color correspondiente al de la figura 6 del juego Vee-21, girarlo convenientemente y arrastrarlo para acomodarlo en el tablero de la escena. Conviene seguir un orden, p.ej., de izquierda a derecha y de arriba a abajo.

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- Repetir el paso anterior hasta embaldosar completamente el tablero con los 21 L-triominós.
- Guardar en local el ejercicio el fichero de texto solucion_Vee-21.txt

Tablero 7x7

Encontrar un embaldosado en el tablero 7x7 deficiente de la Figura 23 descomponiéndolo en 6 rectángulos 2x3 y 4 L-triominós.

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El problema de colorear con tres colores un embaldosado 8x8 realizado con L-triominós

Colorear el tablero embaldosado de la Figura 30, cumpliendo la regla de los tres colores.

En la imagen 1 vemos como colocar los cinco primeros L-triominós evitando que se toquen dos del mismo color. En las imágenes 2 y 3 podemos seguir cumpliendo la regla de los tres colores. Llegamos a la figura 4 en la que nos queda 3 L-triominós por colorear, pero solo disponemos de tres del mismo color, rojo, con lo cual resulta imposible resolver el problema.

Trata de buscar otras alternativas a partir de la imagen 1, incluso cambiando los colores y verifica que es imposible cumplir con la regla de los tres colores.

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Problema para el tablero deficiente 11x11

El tablero se ha descompuesto en un cuadrado 7x7 deficiente, siempre embaldosable, y un cuadrado 5x5 deficiente, procurando que la casilla negra sea una del cuadrado 5x5 que lo hace embaldosable. Los 2 rectángulos 6x4 se pueden descomponer en 8 rectángulos 3x2 que sabemos se pueden cubrir con dos L-triominós cada uno.
Se necesitan (112-1)/3 = 120/3 = 40 L-triominós para embaldosar el tablero.

## Bibliografía

1. Raúl Ibáñez, Embaldosando con L-triominós (Un ejemplo de demostración por inducción). Cuaderno de Cultura Científica. 16 de julio, 2014 en Matemoción.
   Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
   Bibliografía referida en el artículo anterior
   1.1.- Norton Starr, The Tromino Puzzle (Tiling a Deficient Checkerboard with L-Trominoes).
   1.2.- Kandon Enterprises

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1.3.- Solomon W. Golomb, Polyominoes, Princeton University Press, 1994.
1.4.- Marta Macho, ¿Cuatro colores son suficientes?, Un paseo por la geometría, UPV-EHU, 2005; versión on-line en divulgamat
1.5.- George E. Martin, Polyominoes, a guide to puzzles and problems in tiling, The Mathematical Association of America, 1996.
1.6.- Martin Gardner, L-tromino Tiling of Mutilated Chessboards, The College Mathematics Journal 40, n. 3, 2009, p. 162-168.
1.7- I. P. Chu, R. Johnsonbaugh, Tiling deficient boards with trominoes, Mathematics Magazine 59, 1986, p. 34-40.
1.8.- I. P. Chu, R. Johnsonbaugh, Tiling boards with trominoes, J. Rec. Math. 18, 1985–86, p. 188–193.
1.9.- Kandon Enterprises, el problema de los tres colores
1.10.- Martin Gardner, El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Alianza editorial, 1969.

2. Marcelo Ponce – Darío Evans – Adriana Rabino, Secuencia: juegos y demostraciones utilizando trominós- Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática www.gpdmatematica.org.ar

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# Tipografías externas en escenas de DescartesJS

## Por Joel Espinosa Longi (México)

Una tipografía web se refiere al conjunto de letras o fuentes (también conocidas como font) que se utilizan en el diseño y presentación de texto en un sitio web. En el pasado, la elección de fuentes disponibles para un sitio web estaba limitada a aquellas que el usuario final tenía instaladas en su computadora. Esto hacía imposible garantizar la presencia de una tipografía particular en el navegador del usuario. Para solucionar este problema, se desarrollaron las llamadas fuentes web seguras, que son un conjunto de tipografías que se encuentran presentes en la mayoría de los navegadores y sistemas, tales como Arial, Verdana, Georgia, Courier New, Times New Roman, entre otras. Durante mucho tiempo, estas tipografías fueron las más utilizadas en la presentación de texto en internet, otorgándole a las páginas web su característico aspecto.

En la actualidad, los sitios web utilizan tipografías embebidas (que se descargan de manera asíncrona al momento de acceder al sitio), lo que permite obtener la tipografía directamente en el navegador del usuario mediante una descarga no intrusiva. Este nuevo mecanismo de uso de tipografías web se adoptó alrededor del año 2009, cuando los navegadores comenzaron a implementar la declaración de CSS `@font-face` y se popularizaron los formatos de tipografías web, como el formato WOFF (Web Open Font Format). Tanto WOFF como su sucesor WOFF2 son formatos que almacenan tipografías de manera comprimida y son actualmente soportados por la mayoría de los navegadores modernos. Gracias a esto, los diseñadores web tienen una amplia variedad de opciones para elegir la tipografía perfecta para los diseños de sitios web.

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Este mecanismo de carga de tipografías funciona de manera asíncrona, descargando la tipografía indicada por la regla `@font-face` para aplicarla en la presentación del texto que la utilice. Es útil en páginas que presentan contenido directamente en HTML, ya que se puede mostrar el contenido del texto con una tipografía estándar mientras se completa la descarga de la tipografía específica. Sin embargo, puede generar un pequeño efecto de parpadeo conocido como FOUT (Flash Of Unstyled Text) al reemplazar el estilo de la tipografía.

En el caso de utilizar la tipografía para estilizar el texto que se dibuja en un elemento `<canvas>`, surge un problema si no se realiza explícitamente un redibujado de la información del canvas. Esto se debe a que los comandos de dibujo pueden ejecutarse antes de que la tipografía complete su descarga, lo que hace que el texto se muestre con una tipografía de respaldo. Este problema es especialmente importante para las escenas de DescartesJS, ya que estas utiliza el elemento `<canvas>` para su funcionamiento, y por lo general no es posible determinar el momento en el que se completa la descarga de una tipografía, lo que puede afectar el dibujado del texto en dichas escenas.

Para solucionar el problema de incluir una tipografía específica en una escena de DescartesJS, es necesario crear una hoja de estilo CSS que incluya el contenido de la tipografía codificada en base64 (una representación en texto de un archivo binario) en la regla `@font-face`. De esta forma, la tipografía estará disponible al momento de dibujar el contenido del `<canvas>`, lo que permitirá que las escenas de DescartesJS aprovechen la tipografía externa.

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No obstante, este método tiene algunas desventajas relacionadas con el uso de tipografías codificadas en base64. Aunque garantiza la disponibilidad de la tipografía antes de dibujar en el `<canvas>`, puede disminuir el rendimiento y retrasar el inicio de una escena de DescartesJS, especialmente si la tipografía es pesada. Además, la codificación en base64 aumenta el tamaño de la información en un 30% en comparación con el tamaño del archivo original, y algunos navegadores no guardan estos archivos codificados en base64 en el caché, lo que puede afectar el rendimiento en futuras visitas a un recurso interactivo. Además, la conversión de tipografías de formato woff a base64 y la manipulación de hojas de estilo CSS con cadenas largas de texto pueden ser complicadas. A pesar de esto, este método ha sido utilizado en diversos recursos interactivos creados con DescartesJS, como los que componen los proyectos:

- @prendeMx
  https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Primaria/AprendeMxUNAM/,
- Pizarra Interactiva
  https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Primaria/PizarraInteractiva/,
- Un100
  https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Licenciatura/Un100/,
- Recursos para la Formación Inicial de Profesores de Educación Básica Matemática (ReFIP)
  https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Primaria/REFIP/.

Donde se utilizan tipografías externas para mejorar la apariencia de los recursos interactivos.

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La limitación del uso directo de tipografías en escenas de DescartesJS radica en la imposibilidad de determinar cuándo se han cargado. Sin embargo, los navegadores modernos permiten la precarga de tipografías mediante el valor `"preload"` en el atributo `rel` de un elemento `<link>`, lo que garantiza que las tipografías se carguen antes de dibujar elementos en el `<canvas>`. Con esta técnica se puede especificar la ruta directa al archivo woff sin necesidad de convertirlo a base64. Por ejemplo:

`<link rel="preload" as="font" type="font/woff2" href="MiTipografia.woff2">`

El código anterior permite precargar el archivo "`MiTipografia.woff2`" para que esté listo antes de su utilización en la escena, y en conjunto con las reglas `@font-face` adecuadas, se pueden incorporar tipografías fácilmente en escenas de DescartesJS.

Es importante tener en cuenta que DescartesJS utiliza tres familias tipográficas: SansSerif, Serif y Monoespaciado, cada una con cuatro estilos asociados: regular, itálica, negrita e itálica-negrita. Esto significa que se pueden incorporar hasta 12 archivos de tipografía diferentes. Los nombres de las familias tipográficas en las escenas de DescartesJS son: `DJS_sansserif`, `DJS_serif` y `DJS_monospace`. Con esta información, se pueden crear las reglas CSS necesarias para utilizar tipografías externas en una escena de DescartesJS.

Es necesario definir las reglas para la precarga de los archivos mediante el uso de los siguientes elementos:

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    <link rel="preload" as="font" type="font/woff2" href="MiSansSerif_regular.woff2">

    <link rel="preload" as="font" type="font/woff2" href="MiSansSerif_italic.woff2">

    <link rel="preload" as="font" type="font/woff2" href="MiSansSerif_bold.woff2">

    <link rel="preload" as="font" type="font/woff2" href="MiSansSerif_italicbold.woff2">

Una vez definidos los archivos a precargar, se debe crear una hoja de estilos CSS con las reglas `@font-face` correspondientes, como se muestra a continuación:

    <style>
    /* tipo de letra sans serif regular */
    @font-face {
      font-family: 'DJS_sansserif';
      src: url("MiSansSerif_regular.woff2") format("woff2");
      font-weight: normal;
      font-style: normal;
    }

    /* tipo de letra sans serif itálica */
    @font-face {
      font-family: 'DJS_sansserif';
      src: url("MiSansSerif_italic.woff2") format("woff2");
      font-weight: normal;
      font-style: italic;
    }

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    /* tipo de letra sans serif negrita*/
    @font-face {
      font-family: 'DJS_sansserif';
      src: url("MiSansSerif_bold.woff2") format("woff2");
      font-weight: bold;
      font-style: normal;
    }

    /* tipo de letra sans serif itálica-negrita*/
    @font-face {
      font-family: 'DJS_sansserif';
      src: url("MiSansSerif_italicbold.woff2") format("woff2");
      font-weight: bold;
      font-style: italic;
    }
    </style>

Al incluir lo anterior directamente en la página HTML de una escena o en un archivo externo (como por ejemplo `style.css`), antes de la línea que incluye el intérprete de DescartesJS:

`<script type="text/javascript" src="lib/descartes-min.js" charset="utf-8"></script>`

es posible utilizar diversos tipos de tipografías.

Existen sitios web que ofrecen la descarga gratuita de tipografías, entre los sitios más populares se encuentran:

- Google Fonts (https://fonts.google.com/).
- Font Squirrel (https://www.fontsquirrel.com/).

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- Fontshare (https://www.fontshare.com/).
- Fontesk (https://fontesk.com/license/ofl-gpl/).
- Fontstorage (https://fontstorage.com/).
- Font Library (https://fontlibrary.org).

Hay que tener en cuenta que se pueden encontrar diversos sitios web desde los que se pueden descargar tipografías de forma gratuita, pero es fundamental comprobar que posean una licencia de uso adecuada. Muchas tipografías solo permiten su uso de forma personal, lo que significa que no se pueden utilizar dentro de un página web. La licencia de fuentes más popular es la Open Font License (OFL), cuyo objetivo es fomentar el desarrollo global de proyectos de fuentes colaborativos, respaldar los esfuerzos de creación de fuentes de las comunidades académicas y lingüísticas, y proporcionar un marco gratuito y abierto en el que las fuentes puedan ser compartidas y mejoradas en colaboración con otros. Con esta licencia, las fuentes tipográficas se pueden utilizar, estudiar, modificar y redistribuir libremente, siempre y cuando no se vendan por sí solas. En este sentido, las fuentes, incluyendo cualquier trabajo derivado, pueden ser incluidas en paquetes, incrustadas, redistribuidas y/o vendidas con cualquier software, siempre y cuando no se utilicen los nombres reservados por los trabajos derivados. En resumen, una tipografía con una licencia OFL se puede utilizar sin restricciones para el desarrollo de recursos interactivos creados con DescartesJS.

Adicionalmente, hay que destacar que muchos de estos sitios ofrecen sus tipografías en formatos clásicos como ttf o otf, pero actualmente el formato más adecuado y compatible con la mayoría de los navegadores es woff2. Por lo tanto, se recomienda convertir las tipografías a este formato antes de utilizarlas. Algunos sitios útiles para realizar esta conversión son:

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- https://www.fontsquirrel.com/tools/webfont-generator,
- https://www.fontconverter.io/,
- https://cloudconvert.com/ttf-to-woff2 y
- https://anyconv.com/es/convertidor-de-ttf-a-woff2/.

A continuación se presenta una escena interactiva de DescartesJS que utiliza tipografías externas en formato woff2 en lugar de las tipografías incluidas.

Si se desea revisar el código del ejemplo, se puede descargar haciendo clic en el siguiente botón:

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Cabe destacar que, si bien se pueden especificar las tres familias tipográficas con sus cuatro estilos diferentes, solo es necesario hacerlo si se utilizan efectivamente en la escena. En caso de que, por ejemplo, se utilice solamente un tipo de texto SansSerif regular, incluir todos los diferentes archivos de tipografías sería un gasto innecesario de recursos, ya que dichos archivos deben ser descargados independientemente de si se utilizan o no. También es posible asociar una familia tipográfica diferente a las sugeridas, como una letra escrita a mano o una tipografía Serif o SansSerif, asociada a la familia `DJS_monospace`. Incluso si no se utilizan las variantes itálicas o negritas, es posible utilizar hasta 12 tipografías diferentes, una por cada variación de estilo presente en la configuración de las tipografías. No obstante, se debe tener en cuenta que el uso de demasiadas fuentes tipográficas en un mismo recurso puede afectar la compresión de las escenas interactivas, por lo que es recomendable utilizar solo las necesarias para lograr el efecto deseado y evitar confusión.

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Foto de Brett Jordan en Unsplash

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# Cómo conocí el editor DescartesJS

## Por Marisol Ramos Astudillo (Chile)

Conocí el editor de DescartesJS hace más de tres años gracias al canal de YouTube de ADJA, entonces comencé a investigar más acerca de este programa y me encontré con el canal del profesor Juan Guillermo Rivera y Red Descartes. En estos canales compartían actividades interactivas y plantillas realizadas en DescartesJS, tutoriales sobre cómo modificar dichas plantillas, como realizar actividades. Por supuesto quería aprender a realizar escenas interactivas y descargué el manual de DescartesJS, pero al principio me costó bastante comprender. Volví a los tutoriales de YouTube y el profesor Juan Guillermo me invitó al Curso de Objetos Interactivos. ¡Claro!, tomé el curso y me sorprendió todo el potencial que tiene el editor.

Sí, reconozco que me tomó tiempo comprender como programar en el editor. Pero valió la pena ya que cada día se aprende algo nuevo. Tomé el curso, investigué acerca del editor ya que quería aprender cómo hacer escenas interactivas para los más pequeños y así reforzar las matemáticas. Qué mejor mediante juegos. Con el editor de DescartesJS he logrado ese objetivo. Me gustaría hacer un sinfín de escenas, aunque para ello debo continuar aprendiendo más.

Este gran editor lleva muchos años entre nosotros. Las ventajas son las siguientes:

- Interfaz sencilla.
- Curva de aprendizaje media.
- Multiplataforma

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- Las escenas interactivas funcionan en cualquier sistema operativo y dispositivo.
- Se pueden insertar elementos multimedia a las escenas.

Antecesor y Sucesor (escena interactiva diseñada por Marisol Ramos).

Si eres docente y deseas implementar tus clases con divertidos juegos recomiendo el Editor DescartesJS. Así puedes hacer sencillos pero entretenidos juegos para repasar tanto aritmética como otras asignaturas.

Con algo de imaginación y creatividad puedes lograr crear tus actividades interactivas solo utilizando este gran editor que es DescartesJS. Los animo a conocer esta gran herramienta.

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Les aseguro que no se van a arrepentir.

Muy por el contrario, vas a ver como se abre un mundo nuevo lleno de posibilidades para crear tu propio material educativo.

Paso a paso irás armando escenas interactivas y muchas veces con muy pocas líneas de código. Escenas llenas de colores, imágenes, sonidos y hasta animaciones.

Vamos a sumar (escena interactiva diseñada por Marisol Ramos).

Por eso DescartesJS es en sí una gran herramienta que ayuda a los docentes y los que no somos docentes a crear material educativo.

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# Mi práctica docente en los orígenes del
Proyecto Descartes

## Por José Antonio Salgueiro González (España)

Cuando me incorporo al entonces Instituto de Formación Profesional "Bajo Guadalquivir" de Lebrija, en el año 1990, con dos años de experiencia docente en sendos centros de las mismas características, el recurso más potente del que disponíamos en el departamento para generar contenido, era una máquina de escribir Olivetti LINEA 98, con un carroPieza cilíndrica, giratoria y que se desplaza horizontalmente, donde se coloca el papel. largo.

##### Vídeo

Máquina de escribir Olivetti Línea 98.

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¡No te puedes ni imaginar la que pasábamos para plasmar en el folio una expresión algebraica sencilla! Por supuesto, olvídate de la simbología matemática.

Expresión trigonométrica con máquina de escribir

A su vez, recordemos que el servicio de reprografía del centro se componía de una multicopista, en principio de manivela y, posteriormente, eléctrica. Pero antes, debíamos elaborar el cliché en la máquina de escribir. ¡No disponíamos de fotocopiadora o no existían!

A principios de los años 90 del siglo pasado, adquirimos nuestro primer ordenador, un Amstrad cuyo modelo no puedo precisar, pero era parecido al de la imagen, solo que disponía de dos unidades para disquetes diferentes. Además, un compañero nos proporcionó un software llamado Writing Assistant, que se convirtió en nuestro primer procesador de textos, pero adolecía de simbología y expresiones matemáticas, así que tuvimos que buscar otras alternativas, como WordStar o WordPerfect, quiero recordar.

Eso sí: generalmente se ejecutaban en el sistema operativo MS-DOS y en lengua inglesa, lo que además de la dificultad impedía la escritura de tildes y algunos caracteres específicos de nuestro idioma, obligándonos a una auténtica chapuza como colocar las tildes y dichos caracteres de forma manuscrita sobre el texto ya impreso.

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Ordenador Amstrad PC 1512DD. De amintore fanfani en Flickr.
Licencia CC: BY-NC-SA

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Habíamos superado la época de la máquina de escribir, pero no todo estaba de nuestro lado, porque la impresora era matricial, de matriz de puntos o de agujas y el resultado final no era muy satisfactorio, aunque notablemente superior.

Texto matemático con impresora matricial.

El alumnado de la anterior Formación Profesional estudiaba cinco cursos, dos de primer grado y tres de segundo grado, es decir, accedían al centro con 14 años y salían con 19. Entre su plan de estudios cursaba matemáticas en 1º de primer grado y en todo el segundo grado, donde únicamente recibían dos horas de clase por curso. Recuerdo que el temario era imposible de impartir con esa distribución horaria, situación que se ha mantenido en todas las reformas. Por ello, no usábamos libro de texto, sino que se "daba por apuntes", que no siempre eran bien recogidos por un número importante de alumnos.

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Durante el verano de 1997, el departamento disponía ya de un ordenador 486, conocido como pentium, un software que permitía diseñar documentos de contenido matemático, que aprendimos a usar de forma autodidacta (¡No existían los tutoriales de Youtube!) y una impresora de inyección de tinta. Había llegado el momento de diseñar unos apuntes y empecé por los del último curso, pues había una considerable representación de alumnos y alumnas de todas las ramas que deseaban continuar estudios universitarios. Recuerdo incluso que dábamos horas extra de clases para este alumnado de forma voluntaria.

Usando Ami Pro, programa de procesamiento de texto de Lotus, que después se convertiría en Word Pro, diseñé estos "Apuntes de Cálculo Diferencial" destinados al alumnado de 5º de Formación Profesional del entonces IFP Bajo Guadalquivir, que se fotocopiaron y encuadernaron en el centro al mínimo precio para cubrir gastos. ¿Cómo compartirlos en aquella época? Hoy es todo más sencillo con los entornos virtuales de aprendizaje.

No he conseguido recuperar el último capítulo, dedicado al estudio y representación gráfica de funciones.

Acerca de Lotus Word Pro. Autoría propia.

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### Descartes tenía un año

En el curso escolar 1999/2000, ponemos en marcha en el IES Bajo Guadalquivir de Lebrija (España) el primer "Laboratorio de Matemáticas" con alumnado de 4º ESO (15-16 años), primera promoción tras la implantación de la LOGSE y transformación del anterior instituto de formación profesional en instituto de educación secundaria.

Se organizó como una actividad extraescolar, por tanto voluntaria, todos los jueves de 17:30 a 18:30, en el aula de informática que tenía el centro, equipada con quince ordenadores personales dotados de Windows'95 y una conexión RDSI que suministraba servicio a los despachos, secretaría y departamentos, gracias a la iniciativa del director, que también aparece en la imagen.

Laboratorio de Matemáticas - 4º ESO - Curso 1999/2000.

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Usamos el presentador HTML5 DZSlides narrador. Puedes ampliarlo desde la flecha que aparece en la esquina superior derecha y, posteriormente, avanzar o retroceder con el dedo, si te encuentras en un dispositivo móvil. Si estás en un PC, deberás usar las flechas de dirección del teclado, pudiendo pasar a pantalla completa pulsando la tecla f (full).

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Resulta curioso, ahora en el tiempo, que estuviéramos aprendiendo con Descartes sin saberlo. De hecho, su nombre no aparece en la presentación realizada aquel año y que compartimos aquí, sino que, como puede comprobarse en la cuarta diapositiva, figura como aplicaciones matemáticas de Internet.

Por otra parte, revisando el programa de esta actividad extraescolar, con motivo de la elaboración de este artículo para la efemérides de los 25 años de Proyecto Descartes, nos hemos encontrado con frases que llaman la atención hoy en día. Así, por ejemplo:

- En los últimos años, las nuevas tecnologías en general, y los ordenadores en particular, se han ido incorporando de manera progresiva en los procesos de enseñanza y aprendizaje en el ámbito de las instituciones educativas.
- El desarrollo de la informática abre la posibilidad de incorporar la experimentación en la enseñanza.
- Menos conocida, por ser más reciente, es la incorporación de programas de Cálculo Simbólico al quehacer matemático de científicos e ingenieros.
- Sería contraproducente ignorar la realidad de estos nuevos instrumentos que permiten eliminar la parte rutinaria y potenciar la parte creativa.
- Queramos o no, en muy pocos años cualquier alumno podrá disponer en su calculadora de bolsillo de un Programa de Cálculo Simbólico. Conviene, pues, ir pensando en la forma de afrontar esta realidad.

Se resolverán con el ordenador todo tipo de problemas, con el objetivo prioritario de entender, asimilar, saber aplicar y, en definitiva, aprender matemáticas.

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Se dedicará poco tiempo a enseñar a usar el programa, proporcionando a los alumnos sobre la marcha las instrucciones sintácticas que necesiten. Además, para cada sesión se le proporcionará al alumno un guion con el enunciado de la actividad a realizar, y éste deberá cumplimentar una hoja de respuestas con el resultado de sus observaciones, conclusiones, etc. Ni más ni menos que la denominada hoja de trabajo en Proyecto Descartes, y que yo desconocía en aquel momento.

### Descartes tenía dos años

Al curso siguiente, con este alumnado matriculado ya en bachillerato, se reitera la actividad, con gran entusiasmo por ambas partes. Conviene recordar a las actuales generaciones que no teníamos móviles en esos años y que las imágenes se tomaron con una cámara de nuestro director que incorporaba un disquete (una especie de tarjeta de memoria) de nada más y nada menos que 1'44 MB.

Usamos el presentador HTML5 DZSlides narrador. Puedes ampliarlo desde la flecha que aparece en la esquina superior derecha y, posteriormente, avanzar o retroceder con el dedo, si te encuentras en un dispositivo móvil. Si estás en un PC, deberás usar las flechas de dirección del teclado, pudiendo pasar a pantalla completa pulsando la tecla f (full).

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### Descartes cumple tres años

Durante el curso escolar 2001/2002, coincidiendo con el tercer cumpleaños de Proyecto Descartes, el Laboratorio de Matemáticas se convierte en internivelar, con la implicación de alumnado de 4º ESO, 1º y 2º Bachillerato Tecnológico, actuando los últimos como monitores de los recientemente incorporados, bajo la coordinación del profesor.

En estas fechas, el centro disponía únicamente de una de las denominadas aulas de informática que, prácticamente, consumía su ocupación para impartir los contenidos de esa materia. También existían algunas de uso exclusivo para ciclos formativos.

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### Descartes tenía cuatro años

La amplia tarea desarrollada por el Laboratorio de Matemáticas no habría sido posible sin la colaboración y apoyo constantes del Departamento de Matemáticas y la dirección del centro. Así, durante el curso escolar 2002/2003 se incorpora, por vez primera, un grupo de alumnos y alumnas del primer ciclo de la ESO, concretamente de 2º (13 - 14 años), animados por su tutor y profesor de matemáticas.

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Aunque en el programa que figura en la presentación no aparece el nombre, sin saberlo, estábamos aprendiendo con las unidades didácticas de Proyecto Descartes, como podremos comprobar seguidamente.

Durante el curso 2019/2020, una alumna de 4º ESO me comenta en clase que ha visto un programa de Lebrija TV en el que aparecen alumnos y alumnas de nuestro centro aprendiendo matemáticas con

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ordenador, y que me hacen una pequeña entrevista, pero no recuerda el nombre del mismo. Posteriormente, y ya fuera de clase, el secretario del centro me dice que el programa es "Un viaje en el tiempo", que tiene gran aceptación por recordar noticias del pasado.

Pues bien, gracias a Lebrija TV, recuperamos este audiovisual como documento histórico en el que se deja constancia de los inicios de la incorporación de las TIC a la práctica docente en el IES Bajo Guadalquivir de Lebrija (España), de las inquietudes del profesorado y donde, además, puede apreciarse en el minuto 1:38 del mismo el aprendizaje con una unidad didáctica de Proyecto Descartes en el año 2002.

##### Vídeo

Aprendiendo con Descartes en 2002. Minuto 1:38

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Es curiosa la terminología usada en aquellos años, cuando no existían los centros TIC, ni la Escuela 2.0, ni atención personalizada basada en recursos tecnológicos, ni flipped classroom. Pero ya existía Proyecto Descartes, como se aprecia en uno de los monitores que, por cierto, muestra las típicas rayas horizontales al ser grabadas por una cámara.

En enero de 2003, Canal 2 Andalucía contacta con nuestro centro para invitarnos a participar en el programa "Mi Tierra", que estará dedicado a la comarca del Bajo Guadalquivir con una sesión específica sobre Lebrija.

Se pretenden mostrar tanto la cultura y la tradición como la innovación, siendo este último ámbito el criterio determinante por el que hemos sido seleccionados, pues rastreando internet han encontrado la página web del Laboratorio de Matemáticas, que venimos desarrollando desde 1999 como actividad extraescolar con el objetivo fundamental de incorporar software de cálculo simbólico y geometría dinámica, así como aplicaciones educativas de Internet, en el aprendizaje de las Matemáticas.

No era frecuente en aquellos años que el departamento de un centro de secundaria tuviera una página web actualizada para información y difusión de sus actividades. Todo gracias a un nuevo compañero que, además, me motivó y orientó en el camino de la formación a través de los cursos en línea de Thales-CICA y de INTEF. De hecho, una vez terminados un número importante de ellos, me recomendó inscribirme en un curso que se llamaba Descartes.

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##### Vídeo

Innovación educativa en el Bajo Guadalquivir. Canal 2 Andalucía.

Después de tantas ediciones y su difusión en la red de internet y en los medios de comunicación, el Laboratorio de Matemáticas adquirió un importante reconocimiento y productividad en el curso 2002/2003.

Dado que se menciona en la entrevista de Canal 2 Andalucía, enlazamos a la experiencia del Laboratorio Internacional, donde se desarrolló una práctica colaborativa entre nuestros alumnos y los del Colegio Mulay Hassan I de la ciudad marroquí de Xauen, con el objetivo de que podrían comunicarse matemáticamente a pesar de las diferencias lingüísticas, comprobando así la universalidad del lenguaje matemático.

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Compartimos, a modo de ejemplo, una pequeña recopilación de prácticas del laboratorio de la época, prácticas con Descartes y una selección aleatoria de actividades del concurso Rompecocos.

- Prácticas de laboratorio.
- Prácticas con Descartes.
- Concurso Rompecocos.

La mayor parte de la información ha sido rescatada del blog correspondiente al grupo de trabajo del CEP de Lebrija titulado "Las tecnologías del aprendizaje y el conocimiento al servicio de la recuperación y difusión del patrimonio histórico-educativo del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija", que coordiné durante cinco años consecutivos junto a un formidable equipo de profesionales con muchos años de experiencia en el centro, incluso en cargos directivos.

Patrimonio histórico-educativo del IES Bajo Guadalquivir.

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### Descartes cumple seis años

La experiencia acumulada durante los años del Laboratorio de Matemáticas resultó enriquecedora al máximo, proporcionándome la confianza y seguridad necesarias para incorporar las TIC a la práctica docente y gestionar un aula de informática, como se denominaban entonces. Ahora bien, en términos actuales, la competencia digital la había adquirido de forma autodidacta y compartiendo con otros compañeros, por ello, seguí el consejo comentado anteriormente y me inscribí en un curso de INTEF, entonces CNICE, que se llamaba Descartes Básico, donde adquirí, entre otros aspectos, la formación pedagógica. Así que, una vez finalizado, y en el mismo curso escolar, decido realizar el curso en línea Descartes 2.

##### Vídeo

Introducción a la Geometría Analítica con Descartes. Año 2004.

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El curso en línea, organizado en varias prácticas, tenía como objetivo fundamental adaptar una unidad didáctica interactiva, preparar un aula con el equipamiento y conexión necesarias y aplicar el recurso con el alumnado, emitiendo un informe final incluida la opinión anónima del mismo. Me decanté por diseñar una unidad, no muy extensa, dedicada a la Introducción a la Geometría Analítica para 4º ESO (15 - 16 años), utilizando un aula de un taller de ciclo formativo. Como estábamos en la primera quincena de mayo, el departamento organizaba, como cada año, el Día Escolar de las Matemáticas y el CEP de Lebrija nos había prestado una cámara de vídeo para la efemérides. Pues bien, con objeto de familiarizarme con ese dispositivo, decidí recoger un instante de la experiencia con Descartes, de lo cual me alegro enormemente en estos momentos.

Concluido el curso en línea, recibo una invitación de CNICE, hoy INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado), para participar en la Experimentación con Descartes en Andalucía (EDA 2005), junto a otros 30 docentes, siendo la primera iniciativa en España para realizar una incorporación generalizada de las TIC en el aula de Matemáticas durante todo el primer trimestre del curso académico, lo que supuso el colofón a todo el proceso formativo, pudiendo afrontar la nueva etapa en mi instituto como Centro TIC, equipado con 18 aulas con un ordenador para cada dos alumnos. Pero esto ya forma parte de otra historia.

Finalizo de redactar este artículo para la Revista Digital de RED Descartes, con temática monográfica sobre los 25 años de Proyecto Descartes, el 14 de marzo de 2023, Día Internacional de las Matemáticas.

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# La incidencia del proyecto Descartes en la labor como docente de Ciencias Básicas

## Por John Jairo García Mora (Colombia)

Durante treinta y siete años de estar comunicando el conoci- miento de las ciencias Básicas, estas se han transformado aceleradamente con la existencia de los recursos digitales, un primer momento en el cono- cimiento del “núcleo interactivo para programas educativos” en ese entonces nippe Descartes, fue una de las herramientas que nos permitió a los integrantes del grupo de investigación Innova- ción en Matemáticas y Nuevas Tecnologías para la Educación (GNOMON) del Instituto Tecno- lógico Metropolitano en asocio con el grupo ELIME externo a la institución, escribir el libro “Geometría Interactiva” y luego como resultado de una experiencia interinstitucional universitaria el texto “Cálculo Diferencial mediado por TIC y videos” que fueron motivando nuestra producción para generar escenas y textos interactivos (Figura 38) a medida que al interior del proyecto Descartes se generaban recursos cada vez más sofisticados y fáciles de editar.

Los recursos diseñados y la apli- cación de nuevas estrategias de enseñanza han permitido a los integrantes de la línea de inves- tigación “Gestión de conoci- miento y huevas tecnologías apli- cadas a la educación en Ciencias Básicas” contar las experiencias resultantes con el apoyo de Objetos Interactivos de Aprendi- zaje (OIA) en universidades de México, Perú y Argentina, ade- más de algunas al interior de Colombia.

Compartir las experiencias adquiridas con recursos digitales interactivos creados con el editor Descartes JS a colegas de otras latitudes, ha permitido evaluar de manera atenta los resultados

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de aprendizaje de los estu- diantes, analizando los cambios observables en el aula y en el trabajo independiente de los estudiantes.

Detectar los cambios logrados con el uso de escenas interac- tivas diseñadas con Descartes JS en Matemáticas Básicas, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y Álgebra Lineal entre otras se facilitó debido a que:

1. Se generó la necesidad de establecer objetivos de aprendizaje claros para ca- da interactivo diseñado ya que antes de implementar cualquier nueva estrategia de enseñanza con recursos digitales interactivos, es importante establecer obje- tivos de aprendizaje claros y medibles que se puedan eva-

Nuestras primeras experiencias en libros con referencia a escenas interactivas externas.

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luar. Estos objetivos deben ser específicos, medibles, alcanza- bles, relevantes y oportunos.

2. Se seleccionaron y utilizaron herramientas de seguimiento y análisis. Para detectar los cambios en el aprendizaje de los estudiantes, es necesario seleccionar y utilizar herra- mientas de seguimiento y análisis, como cuestionarios, encuestas, pruebas, evalua- ciones, estadísticas y otras herramientas.
   Hay que destacar que estas herramientas permiten evaluar el progreso de los estudiantes y detectar cualquier cambio que se observe, quién mejor que el docente que crea esos recursos interactivos.
3. Para contar esas experiencias se recopilaron y analizaron da- tos de los resultados de apren- dizaje.
   Luego de implementar las nue- vas estrategias de enseñanza, además, se incluyeron análisis de los datos de participación, datos de rendimiento, retro- alimentación de los estu- diantes y otros tipos de datos.
4. Se comunicó a otros colegas la comparación de los resultados obtenidos con los objetivos establecidos, con dicho balan- ce logramos evaluar si se estaban alcanzando los obje- tivos de aprendizaje y además, detectar cualquier cambio observado en el aprendizaje.
5. También compartimos con otros docentes los ajustes realizados en la estrategia de enseñanza con el aporte de las escenas diseñadas con el editor Descartes JS, cambios realizados cuando los resul- tados de aprendizaje no se alcanzaban o se observaban cambios inesperados, situa- ciones que implicaron modi- ficarlos.
   Dicha modificación hace refe- rencia a la estrategia de enseñanza, a la selección de nuevas herramientas de segui- miento y análisis, o en otras ocasiones y el ajuste de los objetivos de aprendizaje.

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El uso de objetos interactivos creados por los docentes puede cambiar el aprendizaje tradicional de varias maneras, las experiencias al interior de nuestra línea de investigación nos dicen que existen algunas formas en las que el aprendizaje puede cambiar, entre ellas tenemos:

- Mayor participación del estudiante: Los objetos in- teractivos creados con el editor Descartes JS o cual- quier otra herramienta del mismo tipo pueden involucrar a los estudiantes de manera más activa en el proceso de aprendizaje, lo que puede aumentar la participación y el interés que incluye todos los recursos diseñados.
  Prueba de lo anterior fue la presentación de una sopa de letras a los estudiantes de los programas de ingeniería en la Universidad del Atlántico (Colombia), un recurso con el cual se deseaba mostrar sus bondades para enlazar conceptos y definiciones de ingeniería, fue una parti- cipación que masiva que nos dejó sorprendidos ante una estrategia diseñada con el proyecto “Plantillas” del proyecto Descartes
- Los recursos diseñados y presentados a los estudiantes de las asignaturas antes men- cionadas contribuyen al aprendizaje personalizado. Los objetos interactivos pue- den adaptarse a las nece- sidades de aprendizaje indi- viduales de los estudiantes, permitiéndoles avanzar a su propio ritmo y brindándoles retroalimentación inmediata.
- Se ha buscado que las escenas interactivas estén enfocadas en la resolución de problemas y en la aplicación práctica de los conceptos, lo que puede ser más efectivo y dar valor agregado a la memorización de información.
- Nuestros diseños han buscado mejorar la retención de información debido a la interactividad puede rete- nerse la información de manera más exitosa en com-

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paración con el uso único de las conferencias tradicionales o los materiales de texto.

- Se facilita la retroalimen- tación: Los objetos interac- tivos diseñados con el editor Descartes JS pueden propor- cionar retroalimentación más detallada y específica que la que se puede obtener en un entorno tradicional de apren- dizaje.
- Estimulación de la creati- vidad: Los objetos interac- tivos pueden estimular la creatividad de los estu- diantes y ayudarles a desa- rrollar habilidades prácticas que pueden ser aplicadas en el mundo real.
- Desarrollo de habilidades tecnológicas: El uso de ob- jetos interactivos puede ayu- dar a los estudiantes a desa- rrollar habilidades tecno- lógicas que son cada vez más importantes en la sociedad actual.

Otro aspecto que se resalta con nuestros diseños interactivos hace referencia al aprendizaje adaptativo de las matemáticas, campo en el cual hemos realizado cerca del 85% del trabajo realizado para el aula o para el trabajo independiente de los estudiantes.

Actualmente estamos diseñando (Figura 39) un proyecto con esta orientación puesto que el apren- dizaje adaptativo lo entendemos como la capacidad de adaptarse al ritmo y estilo de aprendizaje, ello nos obliga a crear escenas interactivas para que cada estudiante individualmente sea participe integral de su apren- dizaje, para lograr objetivos de aprendizaje con recursos adap- tativos con escenas de Descartes JS, hemos empleado las estra- tegias que enumeramos a con- tinuación:

1. La elaboración y aplicación de una evaluación previa del conocimiento.
   Se refiere a un diseño que le permitirá que un docente adapte su enfoque para satis- facer las necesidades específi-

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Nuestras primeras experiencias en libros con referencia a escenas interactivas externas.

ficas de la mayoría de los estu- diantes de un grupo especifico.

2. Descartes JS lo hemos consi- derado una herramienta de aprendizaje adaptativo con el que nos hemos identificado a pesar de haya muchos dispo- nibles.
   Cuando hacemos referencia a los muchos disponibles habla- mos de los recursos del ecosistema educativo gober- nado por las TIC. Una escena de las que hemos realizado ayuda a los estudiantes a trabajar a su propio ritmo y nivel de comprensión.
3. Proporcionar retroalimenta- ción oportuna y específica en un interactivo puede ser muy efectivo para ayudar a los es- tudiantes a mejorar su com- prensión y de paso nos permite adaptar nuestro enfoque de enseñanza, lo que permite ayudar a que los estudiantes

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identifiquen y superaren los obstáculos en su aprendizaje.

4. Los recursos del proyecto Descartes facilitan ajustar el ritmo de enseñanza ya que algunos estudiantes pueden requerir más tiempo para comprender ciertos conceptos matemáticos.
5. El lenguaje Java Script de las escenas permite proporcionar múltiples formas de repre- sentar los conceptos, ya sea mediante la utilización de imágenes, gráficos, diagramas u otros medios para ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos de diferentes maneras.

Los diseños propios y ajenos en el marco del proyecto Descartes implícitamente nos invocan a res- ponder el siguiente cuestio- namiento: ¿Cuál es la evaluación ideal cuando se enseña a los estudiantes con el apoyo de la interactividad digital?

Cuando se enseña a los estudiantes con el apoyo de la interactividad digital, la eva- luación ideal es aquella que evalúa no solo el conocimiento adquirido, sino también las habilidades de los estudiantes para utilizar la tecnología y su capacidad para aplicar los cono- cimientos de manera práctica.

Algunos elementos clave que hemos incluido en las evaluación con escenas de Descartes JS son:

- Evaluación de la comprensión
- Evaluación de habilidades tec- nológicas
- Evaluación de habilidades prácticas
- Evaluación de la retroali- mentación, es importante evaluar la capacidad de los estudiantes para proporcionar y recibir retroalimentación constructiva.
- Evaluación de la reflexión: Las actividades de reflexión pue- den ayudar a los estudiantes a comprender mejor su propio aprendizaje y pueden ser una parte importante de la eva- luación.

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Finalmente, el trabajo con el grupo de investigación y por experiencia propia en la labor docente, se ha demostrado que el uso de objetos interactivos creados con Descartes JS por los docentes puede potencializar el aprendizaje tradicional al invo- lucrar a los estudiantes de manera más activa y perso- nalizada, centrarse en la reso- lución de problemas y la aplicación práctica, mejorar la retención y la retroalimentación, estimular la creatividad y desa- rrollar habilidades tecnológicas.

El proyecto Descartes con todos sus subproyectos le facilita a un docente las pautas necesarias para que en una escena se incluyan elementos que evalúen tanto el conocimiento adquirido como las habilidades tecnoló- gicas y prácticas de los estu- diantes, su capacidad para co- laborar y comunicarse en línea, y su capacidad para proporcionar y recibir retroalimentación cons- tructiva.

En pocas palabras, Descartes ha sido para la propia práctica docente y para el aprendizaje de mis estudiantes la mejor ayuda de la que hemos podido disponer. Por ello, muchas gracias a todos aquellos que cada día contri- buyen a que sea una hermosa idea llevada a la práctica es pos de facilitar el aprendizaje de los estudiantes y de la labor docente.

Esa labor en el marco de las TIC le ha asignado a los docentes diferentes roles:

- Diseñador de estrategias de aprendizaje
- Evaluador de recursos de aprendizaje
- Diseñador de rutas de apren- dizaje
- Diseñador de estrategias de evaluación

Roles que, antes de la era era digital no eran visibles y hoy, con los recursos que brinda el proyecto Descartes se facilitan cada día más.

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# Desarrollo de Objetos Virtuales de Aprendizaje con Descartes. Una agradable experiencia.

## Por Hernán Darío Ortiz Alzate (Colombia)

Aún conservo vivos los recuerdos cuando, por el año 2010, tuve los primeros contactos con el software Descartes, a partir de las capacitaciones brindadas por parte del doctor Juan Guillermo Rivera Berrío. Fue, a su vez, mi primera experiencia con el desarrollo objetos virtuales, teniendo la posibilidad de crearlos con mis incipientes conocimientos en programación.

Las bondades encontradas en la interacción con el programa me llenaron de motivación y tras decidir avanzar en el conocimiento de su manejo, con la asesoría permanente del doctor Rivera, fue como se me presentó la posibilidad de hacer parte del grupo Descartes Colombia y contribuir con la elaboración de más de 40 Objetos Virtuales de Aprendizaje en los proyectos Canals,https://proyectodescartes.org/canals/index.htm Pizarra Interactivahttps://proyectodescartes.org/PI/index.htm y Un_100.https://proyectodescartes.org/Un_100/index.htm Experiencia que me generó gran satisfacción al haber logrado superar cada uno de los retos que demandó el desarrollo de los diferentes objetos virtuales.

### Ejemplos de inmersión digital de materiales físicos en el Proyecto Canals

De los diferentes proyectos en que he tenido oportunidad de participar, la experiencia más significativa para mí corresponde a lo hecho en el proyecto Canals, ya que en este se propuso el reto de

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hacer la inmersión digital«La tecnología inmersiva hace referencia a la tecnología que intenta imitar una experiencia real a través de una réplica digital o simulada. Esta busca ser cada vez más realista, es decir, que sea más difícil diferenciar lo virtual de lo real.»
https://es.wikipedia.org/wiki/Tecnolog%C3%ADa_inmersiva de una serie de materiales manipulables, creados o compilados por la pedagoga española Maria Antonia Canals (1930-2022)Véase el artículo Maria Antònia Canals, in memoriam, quien fue una socia de la Red Educativa Digital Descartes.. Para ello se partió «del planteamiento axiomático de no desvirtuar el espíritu primigenio con el que fueron desarrollados» (Rivera y Galo, 2014), o cuando menos lograr cumplir con la intención formativa que con ellos se pretende alcanzar en la matemática escolar. Es así que, para el desarrollo de los objetos virtuales, a partir de los materiales seleccionados, se tuvo como referencia las imágenes y descripciones que se hacen de ellos, tanto en el Gabinete de Materiales y de Investigación para la Matemática en la Escuela (GAMAR)https://www2.udg.edu/projectesbiblioteca/GAMAR/Materials/tabid/17595/language/es-ES/Default.aspx como en Los Dossiers de Maria Antonia Canals (2009, 2010), requiriéndose de la aplicación de una serie de conocimientos matemáticos y buena dosis de creatividad e ingenio.
A continuación se referencian cuatro de los objetos virtuales desarrollados en el proyecto Canals: Balanza numérica “El mono”, Transformaciones Geométricas – Ejes de simetría I, Cuadriláteros y Doblado de papel, en los cuales se cuidó de guardar la mayor fidelidad con el material físico que le sirve de base. Adicionalmente, se expone el procedimiento geométrico seguido en la elaboración del último de ellos, en el cual se hace una aproximación a lo descrito sobre el material en el dossier "Superficies, volúmenes y líneas" (Canals, 2009a), siendo conscientes de que «una reformulación en un recurso digital no deja de ser una reinterpretación que a veces puede ser fiel y a veces necesita del voluntarioso aporte del que interpreta» (Rivera y Galo, 2014).

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Objeto 1: Balanza numérica “El mono”.

Imagen del material físico tomado del sitio web GAMAR, la cual sirvió de base para elaboración del objeto. |
| Objeto virtual resultante de la adaptación.

Objeto 2: Transformaciones Geométricas – Ejes de simetría I.

Imagen tomada del dossier Transformaciones geométricas (Canals, 2009b), la cual sirvió de base para elaboración del objeto. |
| Objeto virtual resultante de la adaptación.

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Objeto 3: Cuadriláteros.

Imagen del material físico tomado del sitio web GAMAR, la cual sirvió de base para elaboración del objeto. |
| Objeto virtual resultante de la adaptación.

Objeto 4: Doblado de papel.

Imagen del material físico tomado del sitio web GAMAR, la cual sirvió de base para elaboración del objeto. |
| Objeto virtual resultante de la adaptación.

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### Procedimiento geométrico seguido en la elaboración del objeto "Doblado de papel"

En este apartado se expondrá brevemente los pasos seguidos en las construcciones geométricas que, a partir de la visualización dinámica mediante el software DescartesJS, generan la percepción del doblado de papel.
En primer lugar se establece el polígono $ABCD$, donde ${A=(a,a)}$, ${B=(-a,a)}$, ${C=(-a,-a)}$ y ${D=(-a,a)}$, que representa la superficie del papel (superficie original). Posteriormente se establece el punto ${P=(x_{1},y_{1})}$ a partir del cual se modelará el doblado de papel (punto de control en el sistema), y cuya delimitación de movimiento será el cuadrilátero $ABCD$, esto es, ${-a<x_{1}<a}$ y ${-a<y_{1}<a}$. Se determina el punto medio del segmento $AP$, ${M=(x_{m},y_{m})}$, donde, ${x_{m}=(a+x_{1})/2}$ y ${y_{m}=(a+y_{1})/2}$ y se establece la pendiente $m_{1}$ de la recta que pasa por $P$ y $A$, donde ${m_{1}=(a-y_{m})/(a-x_{m})}$. Luego, se procede a elaborar las construcciones geométricas que llevan a generar la percepción de los diferentes dobleces de papel, lo cual se fundamenta en la simetría axial entre el polígono que representa el papel superpuesto (doblado) y el polígono que representa el papel removido de la superficie original, y cuyo eje axial es la línea de doblez. Así:

1. Percepción del doblez triangular, a partir de un vértice

a. Siendo ${m_{2}=-1/m_{1}}$, la pendiente de la recta perpendicular al segmento $AP$ y que pasa por $M$, se determinan ${Q=(x_{3},y_{3})}$ y ${R=(x_{2},y_{2})}$, los puntos de corte con los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, donde, ${x_{2}=a}$, ${y_{2}=m_{2}(a-x_{m})+y_{m}}$, ${y_{3}=a}$ y ${x_{3}=((a-y_{m})/m_{2})+x_{m}}$

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b. Se condiciona el sistema para que se muestre el polígono $QBCDR$ y, superpuesto a este, el triángulo $PQR$, siempre que ${(y_{1}<a)}$ &${(x_{1}<a)}$

La visualización dinámica de esta construcción geométrica tiene como límites el desplazamiento del punto $Q$ hasta el vértice $B$ y el desplazamiento del punto $R$ hasta el vértice $D$. Es por ello que se requiere de una segunda construcción geométrica que permita percibir el doblez superando el vértice $D$ y una tercera el vértice $B$.
2. Percepción del doblez cuadrangular, a partir de un vértice
En esta percepción se deben considerar dos casos:
A. Doblez cuadrangular vertical.

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a. Siendo ${m_{2}=-1/m_{1}}$, la pendiente de la recta perpendicular al segmento $AP$ y que pasa por $M$, se determinan ${S=(x_{3},a)}$ y ${T=(x_{4},-a)}$, los puntos de corte con los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, donde, ${x_{3}=((a-y_{m})/m_{2})+x_{m}}$ y ${x_{4}=m_{1}(y_{m}+a)+x_{m}}$.
b. Se establece la pendiente $m_{3}$ de la recta que pasa por $P$ y $S$ donde ${m_{3}=(a-y_{1})/(x_{3}-x_{1})}$.
c. Siendo ${m_{4}=-1/m_{3}}$, la pendiente de la recta perpendicular al segmento $PS$ y que pasa por $P$, se determinan el punto ${D'=(x_{5},y_{5})}$, tal que el segmento $PD'$ sea perpendicular al segmento $D'T$, donde, ${x_{5}=(m_{3}x_{4}-x_{4}x_{1}+y_{1}+a)/(m_{3}-m_{4})}$ y ${y_{5}=m_{3}(x_{5}-x_{4})-a}$.
d. Se condiciona el sistema para que se muestre el polígono $BSTDC$ y, superpuesto a este, el cuadrángulo $PSTD'$, siempre que ${(y_{5}<-a)}$.
Caso especial: Percepción del doblez rectangular vertical.

Esta percepción se da en el caso que ${y_{1}=a}$ y por lo tanto, $x_{3}$ será el punto medio entre $P$ y $A$, esto es, ${x_{3}=(a+x_{1})/2}$ y se condiciona el sistema para que se muestren los rectángulos $STD'P$ y $PBCD'$, donde, ${S=(x_{3},a)}$, ${T=(x_{3},-a)}$, ${D'=(x_{1},-a)}$, ${P=(x_{1},a)}$, ${B=(-a,a)}$ y ${C=(-a,-a)}$. |

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B. Doblez cuadrangular horizontal

a. Siendo ${m_{2}=-1/m_{1}}$, la pendiente de la recta perpendicular al segmento $AP$ y que pasa por $M$, se determinan ${W=(-a,y_{6})}$ y ${U=(a,y_{2})}$, los puntos de corte con los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, donde, ${y_{6}=-m_{2}(a+x_{m})+y_{m}}$.
b. Se establece la pendiente $m_{5}$ de la recta que pasa por $P$ y $U$, donde ${m_{5}=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})}$.
c. Siendo ${m_{6}=-1/m_{5}}$, la pendiente de la recta perpendicular al segmento $PU$ y que pasa por $P$, se determinan el punto ${B'=(x_{7},y_{7})}$, tal que el segmento $PB'$ sea perpendicular al segmento $B'W$, donde, ${x_{7}=(am_{5}+y_{6}+m_{6}x_{1}-y_{1})/(m_{6}-m_{5})}$ y ${y_{7}=m_{6}(x_{7}-x_{1})+y_{1}}$.
d. Se condiciona el sistema para que se muestre el polígono $WCDU$ y, superpuesto a este, el cuadrángulo $PUWB'$, siempre que ${(x_{7}<-a)}$.
Caso especial: Percepción del doblez rectangular horizontal.
Esta percepción se da en el caso que ${x_{1}=a}$ y por lo tanto, $y_{2}$ será el punto medio entre $P$ y $A$, esto es, ${y_{2}=(a+y_{1})/2}$ y se condiciona el sistema para que se muestren los rectángulos $WUPB'$ y $B'CDP$, donde, ${W=(-a,y_{2})}$, ${U=(a,y_{2})}$, ${P=(a,y_{1})}$, ${B'=(-a,y_{1})}$, ${C=(-a,-a)}$ y ${D=(a,-a)}$.

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Para visualizar la transición continua de los dobleces se establecen adicionalmente los siguientes condicionantes en el sistema:
${x_{m}=(x_{m}=a)?2.99:x_{m}}$
${y_{m}=(y_{m}=a)?2.99:y_{m}}$
${x_{2}=(y_{2}<-a)?x_{4}:x_{2}}$
${y_{2}=(y_{2}<-a)?y_{4}:y_{2}}$
${m_{3}=(x_{3}=x_{1})?.0001:(a-y_{1})/(x_{3}-x_{1})}$
${m_{3}=(m_{3}=0)?.01:m_{3}}$
${y_{3}=(x_{3}<-a)?y_{6}:y_{3}}$
${x_{3}=(x_{3}<-a)?x_{6}:x_{3}}$
${m_{5}=(x_{2}=x_{1})?100:(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})}$
${m_{5}=(m_{5}=0)?.0001:m_{5}}$

2. Percepción del doblez rectangular vertical y horizontal,a partir de un vértice

Esta percepción se fundamenta en la simetría axial entre la superficie rectángular de papel superpuesto (doblado) y la superficie rectángular removida de la superficie original, y cuyo eje axial es la línea de doblez. Así:

Doblez rectángular horizontal. Se condiciona el sistema para que se muestren los rectángulos PQR y el polígono QBCDR, siempre que (g1.y<a)&(g1.x<a).

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Rectángulo horizontal doblado: (-a,y2)(a,y2)(a,g1.y)(-a,g1.y)(-a,y2)
Rectángulo horizontal no recubierto: (-a,g1.y)(a,g1.y)(a,-a)(-a,-a)(-a,g1.y)
Rectángulo vertical doblado: (x3,a)(g1.x,a)(g1.x,-a)(x3,-a)(x3,a)
Rectángulo vertical no recubierto: (-a,a)(g1.x,a)(g1.x,-a)(-a,-a)(-a,a)

## Referencias bibliográficas

Canals, M.A. (2009a). Superficies, volúmenes y líneas. Colección “Los dossiers de María Antonia Canals” Associació de Mestres Rosa Sensat. ISBN: 9788492748129

Red Descartes 2021/Año 1, núm. 2

Canals, M.A. (2009b). Transformaciones geométricas. Colección “Los dossiers de María Antonia Canals” Associació de Mestres Rosa Sensat. ISBN: 9788492748143

Rivera J. y Galo, J. (2014). Proyecto Canals: Inmersión Digital de los Materiales de María Antonia Canals. XV Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.
https://www.researchgate.net/publication/331260595

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Maria Antònia Canals

##### Vídeo

Maria Antònia Canals, impulsora de la innovación en didáctica matemática (crédito: video de Universidad CEU).

##### Vídeo

Escola Ton i Guida (crédito: video de Relligant Nou Barris).

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# El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal

## Por José R. Galo Sánchez (España)

En el artículo "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.

Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro:

El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique (imagen de dominio público).

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Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:

El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles.

Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:

Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton.

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Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:

Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión.

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Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la imagen de abajo. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero $n$ se corresponde con los coeficientes del desarrollo de
$(a+x)^n$, por ejemplo, para $n = -1$ son los coeficientes de
$(a+x)^{-1}$ y para $n = 2$ los de $(a+x)^2$.

El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial.

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Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:

$$\dbinom{-n}{k} =(-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}$$

podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna $3$ los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son $\lbrace -1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...\rbrace$ que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como $\lbrace -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...\rbrace$, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son $\lbrace 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...\rbrace$ pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con $\lbrace 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...\rbrace$.

Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila $0$ y la $-1$ (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero.

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Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo.

También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila $-1$ se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna $0$ en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila $-2$ con los de la columna $1$ y, en general, la fila $-n$ con la columna $n-1$. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.

Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo.

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Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila $-1$ se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal $0$ en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila $-2$ con los de la diagonal $1$ y, en general, la fila $-n$ con la diagonal $n-1$.

Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo.

Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.

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Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo.

La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación.

En el recuadro izquierdo de la Figura 53 tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.

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Relación existente entre los coeficientes binomiales.

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Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.

Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero.

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En la parte izquierda (Figura 54) se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:

1. Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como $-n$, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de $(a+x)^{-n}$, tal y como indicamos en el artículo anterior.
   $$\begin{split} (a+x)^{-n} &= \sum_{k=0}^{\infin} \binom{-n}{k} a^{-n-k} x^k\\ &= \sum_{k=0}^{\infin} (-1)^k \binom{n+k-1}{k} a^{-n-k} x^k \end{split}\;\;\;\;|x|\lt a$$
2. Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de $(a-x)^{-n}$, pues tenemos que:
   $$\begin{split} (a-x)^{-n} &= (a+(-x))^{-n}\\ &= \sum_{k=0}^{\infin} \binom{-n}{k} a^{-n-k} (-x)^k\\ &= \sum_{k=0}^{\infin} \binom{n+k-1}{k} a^{-n-k} x^k \end{split}\;\;\;\;|x|\lt a$$
3. Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de $(a+x)^n$ y $(a-x)^n$.

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$$(a+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} x^k\;\;\;\; n \in \N\\ (a-x)^n = (a+(-x))^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} x^k$$

Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de $(a-x)^{-n}$ y a partir de este desarrollo el de $(a+x)^{-n}$ basta obtenerlo como $(a-(-x))^{-n}$, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de $(a+x)^n$ y el desarrollo de $(a-x)^n$ se obtiene como $(a+(-x))^n$.

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal.

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Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal.

Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y como lo observamos en la siguiente imagen.

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Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal.

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días. En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.

Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".

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