ACTIVIDADES

Para atender a los objetivos que se han fijado, veamos las siguientes actividades.

  • Posibilitar la comprensión intuitiva de la modificación de las coordenadas al modificar el vector manteniendo la misma base.

    1. Consideremos una nueva base {U, V} y un cierto vector A. Esto se consigue o bien arrastrando los controles rojos en los extremos de los vectores o bien escribiendo en los controles numéricos Ux, Uy, Vx, Vy, Ax, Ay.
    2. Leamos, en la expresión escrita en la parte superior de la escena, las coordenadas del vector A = a· U + b·V = (a, b)
    3. Modifiquemos el vector A en A' y mantengamos esa base. Observar que las coordenadas Ax, Ay en la base canónica han cambiado y también, muy probablemente |A|, el módulo de A.
    4. Leamos en la expresión escrita en la parte superior de la escena las nuevas coordenadas del vector A' = a'·U + b'·V = (a', b').
    5. Comprobar que (a, b) # (a', b')
  • Posibilitar la comprensión intuitiva de la modificación de las coordenadas al modificar la base manteniendo fijo el vector.

    1. Consideremos una nueva base {U, V} y un cierto vector A. Esto se consigue o bien arrastrando los controles rojos en los extremos de los vectores o bien escribiendo en los controles numéricos Ux, Uy, Vx, Vy, Ax, Ay.
    2. Leamos, en la expresión escrita en la parte superior de la escena, las coordenadas del vector A = a· U + b·V = (a, b)
    3. Modifiquemos los vectores de la base {U', V'} y mantengamos fijo el vector A. Observar que las coordenadas Ax, Ay en la base canónica han cambiado. En este caso el módulo |A| no ha cambiado. Decimos que el módulo de un vector es un invariante frente a un cambio de la base.
    4. Leamos en la expresión escrita en la parte superior de la escena las nuevas coordenadas del vector A = a'·U' + b'·V' = (a', b').
    5. Comprobar que (a, b) # (a', b')
  • Facilitar el estudio de las ecuaciones del cambio de base.

Veamos con un ejemplo como, dado un vector A en la base {U, V} obtener las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas de dicho vector A en otra base {U', V'}

El objetivo es: conocido A = (a, b)=a·U + b·V, U=(Ux, Uy,) V=(Vx, Vy), U'=(U'x, U'y,) V'=(V'x, V'y) obtener las ecuaciones algebraicas que permite obtener A = (a', b') = a'·U' + b'·V'

    1. Sea la base U=(1,0), V=(0,1) y A = (3, 3) = 3·U + 3·V = 3·(1,0) + 3·(0,1)
    2. Consideremos la nueva base U'=(2, 3), V'=(1, 2). Se trata de expresar A en esta base.
    3. Empezamos por escribir U y V en la nueva base U', V':
    4. U = (1, 0) = p11·(2, 3) + p21·(1, 2) = (2·p11+1·p21, 3·p11+2·p21) ⇒ 1 = 2·p11+1·p21, 0 = 3·p11+2·p21. Resolviendo: p11=2, p21=-3 ⇒ U = 2·U' -3·V'
    5. V = (0, 1) = p12·(2, 3) + p22·(1, 2) = (2·p12+1·p22, 3·p12+2·p22) ⇒ 0 = 2·p12+1·p22, 1 = 3·a12+2·a22. Resolviendo: p12=-1, p22=2 ⇒ V = -1·U'+2·V'=-U'+2·V'
    6. Sustituyendo en (1.): A = 3·U + 3·V = 3·(2·U' -3·V') + 3·(-U'+2·V') = (6-3)·U' + (-9+6)·V' = 3·U' -3·V'. Luego (3, -3) son las coordenadas de A en la nueva base.
      Observar que siendo la matriz de trasformación de coordenadas.
      Resultando      

Comprobar aplicando la matriz de transformación P, que si A = (a, b) = (5, 3) en la base canónica {U, V} entonces A = (a', b') = (7, -9) en la base U'=(2, 3), V'=(1, 2)