Para atender a los objetivos que se han fijado, veamos las siguientes actividades.
- Facilitar el estudio de las ecuaciones del cambio de base.
Veamos con un ejemplo como, dado un vector A en la base {U, V} obtener las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas de dicho vector A en otra base {U', V'}
El objetivo es: conocido A = (a, b)=a·U + b·V, U=(Ux, Uy,) V=(Vx, Vy), U'=(U'x, U'y,) V'=(V'x, V'y) obtener las ecuaciones algebraicas que permite obtener A = (a', b') = a'·U' + b'·V'
- Sea la base U=(1,0), V=(0,1) y A = (3, 3) = 3·U + 3·V = 3·(1,0) + 3·(0,1)
- Consideremos la nueva base U'=(2, 3), V'=(1, 2). Se trata de expresar A en esta base.
- Empezamos por escribir U y V en la nueva base U', V':
- U = (1, 0) = p11·(2, 3) + p21·(1, 2) = (2·p11+1·p21, 3·p11+2·p21) ⇒ 1 = 2·p11+1·p21, 0 = 3·p11+2·p21. Resolviendo: p11=2, p21=-3 ⇒ U = 2·U' -3·V'
- V = (0, 1) = p12·(2, 3) + p22·(1, 2) = (2·p12+1·p22, 3·p12+2·p22) ⇒ 0 = 2·p12+1·p22, 1 = 3·a12+2·a22. Resolviendo: p12=-1, p22=2 ⇒ V = -1·U'+2·V'=-U'+2·V'
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Sustituyendo en (1.): A = 3· U + 3· V = 3·(2· U' -3· V') + 3·(- U'+2· V') = (6-3)· U' + (-9+6)· V' = 3· U' -3· V'. Luego (3, -3) son las coordenadas de A en la nueva base.
Observar que |
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siendo |
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la matriz de trasformación de coordenadas. |
Resultando |
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Comprobar aplicando la matriz de transformación P, que si A = (a, b) = (5, 3) en la base canónica {U, V} entonces A = (a', b') = (7, -9) en la base U'=(2, 3), V'=(1, 2)
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