INDICACIONES

INTRODUCCIÓN

Problemas Clásicos. La "Trisección de un ángulo" y la "Cuadratura del círculo".

Esta utilidad muestra de forma muy resumida y esquemática una introducción al estudio de algunas de las soluciones propuestas, en su día, por los geómetras griegos para resolver los problemas mencionados y que, por no cumplir con las normas de 'uso exclusivo de regla y compás', no fueron aceptadas oficialmente.

La concepción dinámica de las entidades geométricas elementales: punto, recta... y la abstracción del concepto de proporción hacen que aquellos geómetras manipularan el número pi (π) y sus partes con absoluta soltura.

Las siguientes escenas son un sincero reconocimiento y homenaje al prodigioso logro de los antiguos geómetras griegos y muestran como el desplazamiento de un punto, bajo ciertas condiciones, genera un lugar geométrico (l. g.) y gracias a las propiedades de este lugar puede trisecarse cualquier ángulo o encontrar la cuadratura de un círculo o.... Virtualmente los procedimientos son exactos e impecables según muestran las escenas de la miscelánea.

En la siguiente escena, al activar la animación, comienza la rotación de la semirrecta y el desplazamiento del punto P sobre ella. La curva (l. g.) que el rastro de P genera es conocida como "espiral de Arquímedes".



espiral - solución de Arquímedes

En esta otra escena el punto P, común a los segmentos s y t, al activar la animación describe la curva conocida como trisectriz de Hipias.




trisectriz - de Hipias

Hemos particularizado el estudio a las soluciones de Arquímedes, Hipias y Dinóstrato.

Si se tiene interés en conocer una justificación más pormenorizada, histórica y técnicamente fundamentada podemos leer el interesante artículo de la revista de cultura científica de la FACULTAD DE CIENCIAS de la UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO (UNAM) escrito por la profesora Nieves Martínez del Departamento de Matemáticas. Apasionante documento que junto al de Fernando Bombal 'La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión', publicado por la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas Fisicas y Naturales de la Universidad Complutense de Madrid (vol.105, nº 2 -2012-) conforman una excelente base y punto de partida para una profundización en el estudio de la Geometría Clásica debido a que ambos trabajos aportan en si mismos una información muy valiosa y además cuentan con una bibliografía muy cuidada.

OBJETIVOS

  • Conocer la existencia de los problemas fundamentales que se planteó la Geometría en la Grecia clásica y cuyas soluciones no fueron aceptadas en la época por contravenir alguna condición del uso de la regla y/o el compás.

  • Introducir al análisis y procedimientos de la Geometría Clásica.

  • Profundizar en el estudio de las proporciones.

  • Comprender los métodos geométricos.

  • Aplicación de los conceptos de la trigonometría y de los movimientos en el plano.

INSTRUCCIONES

menu

La utilidad consta de seis apartados o escenas independientes. Se accede a cada uno de ellos utilizando el menú situado en la parte inferior izquierda de cada escena, tal y como muestra la gráfica anterior. Para hacer uso de las prestaciones de cada apartado hay, distribuidos en la parte inferior de las escenas, uno o más botones cuyas utilidades se detallan a continuación:

  • Arquímedes I

    Al método arquimediano I, le hemos llamado "aproximado" porque para cada ángulo hay que:

    • usar la regla marcada
    • ajustar la posición de dicha regla para que estén alineados los dos puntos de las marcas: E y F, con A que determina al ángulo. El punto E debe permanecer en el eje horizontal y F en la semicircunferencia.
    • En la práctica ambas acciones pueden generar cierta inexactitud en el resultado.

    En la escena correspondiente a la opción Arquímedes I observamos la trisección perfectamente ajustada. Al mover el punto E se altera dicho ajuste y hay que reposicionar E, en el supuesto de encontrar alguna dificultad en esta tarea puede usarse el botón Inicio que revierte la escena a su situación inicial.

  • Arquímedes II

    Esta opción nos lleva a la escena que, al hacer click en el botón anima animar, nos muestra como se genera la espiral de Arquímedes. La animación puede detenerse en cualquier instante con el botón parar parar.
    El pulsador r controla la longitud del radio de la circunferencia.
    El pulsador t controla/muestra la amplitud del ángulo, en radianes, que el punto G describe al girar en la circunferencia.
    El botón información informa, al ser activado, hace visible un panel cuyo contenido depende del valor del pulsador paso, dicho contenido facilita el uso de la escena. Cada panel tiene, en la parte superior derecha, su propio botón de ocultamiento.
    El botón créditos créditos situa a la escena en su contexto y el botón Inicio devuelve a la escena a su estado inicial.

  • Arquímedes III

    En esta ocasión se accede a la escena que muestra, de forma justificada, la cuadratura del círculo mediante la espiral de Arquímedes.
    Los botones: informa, créditos, animar hacen una labor similar a la que hacian en la escena anterior y el botón iniciar hace las veces del botón Inicio. El pulsador alfa controla/muestra la amplitud del ángulo, en radianes, que los puntos B y P describen al giran alrededor del origen.

  • Hipias I

    La miscelánea muestra en primer lugar esta escena por respeto a la cronología de la curva (l. g.).

    El objetivo de la escena es mostrar la construcción del l. g. de forma que cuando el segmento horizontal realiza un desplazamiento de 2 · r el extremo del otro recorre un arco de longitud π · r

    El uso de los botones y pulsadores ya ha sido explicado en opciones anteriores o es trivial.

  • Hipias II

    La escena muestra y comprueba gráficamente la trisección de un ángulo agudo. Es necesario hacer click en el botón animar animar y dejar que el punto G haga su recorrido de ida y vuelta, una vez realizado el movimiento puede detenerse la animación y analizar la trisección detenidamente.

  • Dinóstrato

    La Cuadratura del Círculo, según Dinóstrato, paso a paso.

    La forma óptima de usar la utilidad es animando la escena y cuando el punto G haya recorrido entre 30º y 60º detener la animación y con ayuda del pulsador paso analizar la justificación teórica.