INTRODUCCIÓN
En este objeto se busca determinar cuál es el camino
mínimo que hay que recorrer sobre la superficie lateral de un
cono recto. Al ser una
superficie desarrollable es posible reducir el problema
tridimensional a uno bidimensional.
OBJETIVOS
- Aproximar un cono por prismas.
- Obtener el desarrollo plano de un cono.
- Observar las geodésicas en la superficie lateral de un cono.
INSTRUCCIONES
En este objeto interactivo podemos
acceder a tres escenas. En ellas se muestra que la geometría en la superficie lateral de un cono es euclídea ya que es una superficie desarrollable. Se busca mostrar cual es el camino
mínimo (geodésica) que ha de seguirse para ir entre dos puntos, ambos situados en
la superficie lateral de un cono recto.
En este objeto no se consideran las bases, si éstas se
consideran el problema de determinar las geodésicas requiere un
estudio diferenciado.
En el recurso podemos elegir mediante el menú ubicado en la parte inferior tres opciones:
- Aproximación de un cono por una pirámide. En esta primera opción se consideran
dos espacios, uno permanente y otro ocultable mediante el
control etiquetado "¿comparar?".
En el primero se muestra una
pirámide regular donde exclusivamente se consideran las caras
laterales, y mediante la interacción con ella se puede obtener
su desarrollo. La
interacción se realiza mediante diferentes controles:
a) En la parte superior:
-
Un control numérico,
modificable mediante pulsación o variación del campo numérico,
etiquetado como "Nº de caras" que permite representar
desde la pirámide triangular a la pirámide con base un polígono de
60
lados. El polígono representado se corresponde con aquel cuyos
vértices son las raíces de la unidad, es decir, que puede
inscribirse en una circunferencia de radio uno. Obviamente esta
consideración no afecta al concepto tratado y se da como
referencia comparativa con la altura que se desee considerar.
-
Otro control numérico,
con análoga funcionalidad que el anterior, que permite modificar
la altura en un rango entre 0,5 y 3,0.
b) En la parte
central:
-
Un control numérico
denotado "caras desplegadas" que toma valores desde 0 al número
de vértices menos uno y que permite en un único movimiento
mostrar el desarrollo parcial de la correspondiente pirámide
considerada.
-
Dos controles tipo
botón que permiten seleccionar, según se desee, el desplegado o
plegado de la pirámide. Esta selección activa y desactiva la animación.
-
Para una adecuada
visualización (como es usual en los objetos de este proyecto)
puede situarse sobre el cilindro y girarlo sin más que pulsar el
botón izquierdo del ratón y desplazarlo, o puede cambiar
la escala con el botón derecho y desplazándolo a su vez.
La variación del número
de caras (desde 3 a 60) permite visualizar como la superficie
lateral de la pirámide va aproximándose a la superficie lateral del
cono. Esta aproximación puede ser visualizada, comparativamente con el
cono, sin más que seleccionar en el control superior
etiquetado "¿cono?" la opción "si". El adecuado giro de la
pirámide y cono, para observar las bases, permitirá ver esta
aproximación.
Adicionalmente la
selección de la opción "sí" en el control "¿comparar?" dibuja un
subespacio donde se compara el volumen del cono considerado
(señalado por una línea roja) con el volumen de la pirámide
(reflejado con un punto azul que deja rastro) correspondiente a
cada elección de número de caras. Puede observarse como el
volumen de la pirámide es creciente respecto al número de caras y
éste se aproxima al volumen del cono. La pulsación del botón
etiquetado "limpiar rastro" permite borrar el rastro dejado por
el punto que representa el volumen de la pirámide cuando se
cambie bien la altura o bien el radio.
- Desarrollo de un cono.
En esta opción se muestra un cono en el que puede cambiarse,
mediante los controles situados en la parte superior de la
escena, el radio de la circunferencia que constituye su base,
así como la altura del mismo. Dos controles tipo botón permiten
seleccionar, según se desee, desarrollar o enrollar el cono,
mostrando su carácter desarrollable.
- Geodésicas en un cono. En esta tercera
escena, se muestra simultáneamente un cono y su
correspondiente desarrollo plano.
Dado que el cono es una superficie desarrollable la distancia
mínima ha de coincidir con un segmento recto en dicho
desarrollo. Indiquemos que las geodésicas del cono (salvo
sus generatrices) no son loxódromas (puede consultarse el objeto
de aprendizaje, relativo a éstas, en este mismo proyecto).
Aparecen dos espacios o
zona interrelacionadas. Adicionalmente a lo indicado en las
escenas anteriores, en la parte izquierda:
-
Se dispone de dos
controles gráficos correspondientes a dos puntos, etiquetados
como P y Q, que pueden ubicarse en cualquier lugar del
desarrollo.
-
Se representan los
segmentos rectilíneos que permiten el enlace entre los puntos P
y Q en el desarrollo plano (simultáneamente se representan sobre
la cara lateral del cono). El segmento que da la distancia
mínima se colorea en negro y en azul el
otro (cuando exista).
-
Hay que indicar que los
bordes inicial y final que se representan en el
desarrollo plano (sector circular) realmente se corresponden con una
única generatriz del cono, por ello el punto P se restringe a la
generatriz inicial (siempre es posible comenzar el desarrollo en
la generatriz que deseada) y simultáneamente se refleja en
la generatriz final que es necesaria representar para delimitar
el sector circular.
En la parte derecha de
la escena se refleja el camino, sobre el cono, correspondiente
a lo reflejado en el desarrollo anterior. Esta representación
puede combinarse con el desarrollo parcial o total de dicho
cono.
En el botón de actividades se tiene una guía para practicar con esta escena y profundizar en su potencial educativo.
También se puede realizar un test relacionado con "Geodésicas en el cono".
NOTA BENE
|