INTRODUCCIÓN
En este objeto se busca determinar cuál es el camino
mínimo que hay que recorrer sobre la superficie lateral de un
cilindro recto. Al ser una
superficie desarrollable es posible reducir el problema
tridimensional a uno bidimensional.
OBJETIVOS
- Aproximar un cilindro por prismas.
- Obtener el desarrollo plano de un cilindro.
- Verificar que las geodésicas en la superficie lateral de un cilindro son hélices y en los casos extremos circunferencias o segmentos rectilíneos.
- Comprobar que las loxódromas coinciden con las geodésicas en el cilindro.
INSTRUCCIONES
En este objeto interactivo podemos
acceder a tres escenas. En ellas se muestra que la geometría en la superficie lateral de un cilindro es euclídea ya que es una superficie desarrollable. Se busca mostrar cual es el camino
mínimo (geodésica) que ha de seguirse para ir entre dos puntos, ambos situados en
la superficie lateral de un cilindro recto.
En este objeto no se consideran las bases, si éstas se
consideran el problema de determinar las geodésicas requiere un
estudio diferenciado.
En el recurso podemos elegir mediante el menú ubicado en la parte inferior tres opciones:
- Aproximación de un cilindro por prismas. En esta opción se muestra un
prisma regular donde exclusivamente se consideran las caras
laterales, y mediante la interacción con él se puede obtener
su desarrollo. La
interacción se realiza mediante diferentes controles:
a) En la parte superior:
-
Un control numérico,
modificable mediante pulsación o variación del campo numérico,
etiquetado como "Nº de caras" que permite representar
desde el prisma triangular al prisma con base un polígono de 15
lados. El polígono representado se corresponde con aquel cuyos
vértices son las raíces de la unidad, es decir, que puede
inscribirse en una circunferencia de radio uno. Obviamente esta
consideración no afecta al concepto tratado y se da como
referencia comparativa con la altura que se desee considerar.
-
Otro control numérico,
con análoga funcionalidad que el anterior, que permite modificar
la altura en un rango entre 0,8 y 3,0.
b) En la parte media:
-
Un control numérico
denotado "caras desplegadas" que toma valores desde 0 al número
de vértices menos uno y que permite en un único movimiento
mostrar el desarrollo parcial del correspondiente prisma
considerado.
-
Dos controles tipo
botón que permiten seleccionar, según se desee, el desplegado o
plegado del prisma. Estos botones activan y desactivan la
animación.
-
Para una adecuada
visualización
puede situarse sobre el cilindro y girarlo sin más que pulsar el
botón izquierdo del ratón y desplazarlo, o puede cambiar
la escala con el botón derecho y desplazándolo a su vez.
La variación del número
de caras (desde 3 a 60) permite visualizar como la superficie
lateral del prisma va aproximándose a la superficie lateral del
cilindro. Esta aproximación puede ser comparativa con el
cilindro en sí, sin más que seleccionar en el control superior
etiquetado "¿cilindro?" la opción "si". El adecuado giro del
prisma y cilindro para observar las bases permitirá ver esta
aproximación.
Adicionalmente estando
activa la opción "sí" en el control "¿comparar?" dibuja un subespacio donde se compara el volumen del cilindro considerado
(señalado por una línea roja) con el volumen del prisma
(reflejado con un punto azul que deja rastro) correspondiente a
cada elección de número de caras. Puede observarse como el
volumen del prisma es creciente respecto al número de caras y
éste se aproxima al volumen del cilindro. Si cambia bien la
altura o bien el radio puede borrar los rastros del punto que
representa el volumen con el botón etiquetado "limpiar rastro"
- Desarrollo de un cilindro.
En esta segunda opción se muestra un cilindro en el que puede cambiarse,
mediante los controles situados en la parte superior de la
escena, el radio de la circunferencia que constituye su base,
así como la altura del mismo. Dos controles tipo botón permiten
seleccionar, según se desee, desarrollar o enrollar el cilindro,
mostrando su carácter desarrollable.
- Geodésicas y loxódromas en un cilindro.
En esta opción se muestra simultáneamente un cilindro y su
correspondiente desarrollo plano en dos zonas interrelacionadas.
Dado que el cilindro es una superficie desarrollable la distancia
mínima ha de coincidir con un segmento recto en dicho
desarrollo. Para el cilindro la geodésica coincide con la
loxódroma (línea que interseca los meridianos de una superficie
formando un ángulo constante).
Adicionalmente a lo indicado en las
escenas anteriores, en la parte superior:
-
Se dispone de dos
controles gráficos correspondientes a dos puntos, etiquetados
como P y Q, que pueden ubicarse en cualquier lugar del
desarrollo.
-
Se representan los
segmentos rectilíneos que permiten el enlace entre los puntos P
y Q en el desarrollo plano (simultáneamente se representan sobre
la cara lateral del cilindro). Los segmentos se colorean en
negro para aquellos que dan la distancia mínima y en azul el
resto.
-
Hay que indicar que los
bordes inicial y final que se representan en el
desarrollo plano (rectángulo) realmente se corresponden con una
única generatriz del cilindro, por ello si se posiciona el punto P o
el Q en el borde final estos puntos pasan a representarse en
el borde inicial.
En la parte inferior de
la escena se refleja el camino, sobre el cilindro, correspondiente
a lo reflejado en el desarrollo superior. Esta representación
puede combinarse con el desarrollo parcial o total de dicho
cilindro.
En el botón de actividades se tiene una guía para practicar con esta escena y profundizar en su potencial educativo.
También se puede realizar un test relacionado con "Geodésicas en el cilindro".
NOTA BENE
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