INTRODUCCIÓN

Problemas Clásicos. La "Duplicación del cubo".

Dado un cubo de arista a, el problema consiste en construir, usando sólo la regla y el compás, la arista x de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo dado.

Éste es el enunciado clásico que no pudo ser resuelto por los matemáticos de la antigüedad griega pues la solución pasaba por obtener el valor de la raíz cúbica de 2; esto no es posible con el método de la regla y el compás y requería el empleo de herramientas y técnicas diferentes.

Hipócrates  de Chíos (470–410 aC) demostró que tal problema se reduce a encontrar dos medias proporcionales:

Si para una línea de longitud  se necesita encontrar una longitud tal que , es decir , basta con hallar dos medidas  e  tales que sean medias proporcionales entre y , es decir,

 

pues en estas condiciones se cumplirá que

A Platón (429-347 aC), se le atribuye una solución del problema de las medias proporcionales, creando un instrumento mecánico formado por dos reglas paralelas, una regla fija y una móvil.

El segmento OA tiene longitud a y el OB tiene longitud 2a

Instrumento mecánico

Acoplamiento para determinar las medias proporcionales x e y

• Se dibujan dos segmentos perpendiculares OA y OB, el primero de longitud a y el segundo de longitud doble 2a

• En el instrumento mecánico, la regla móvil es la HI que puede desplazarse paralelamente a la regla fija DE

• La determinación de los segmentos medios proporcionales se consigue acoplando el artilugio mecánico a los dos ejes OA y OB, como se observa en la imagen anterior. La regla móvil HI se ha separado de la fija DE una distancia 2a

Este acoplamiento determina dos triángulos rectángulos semejantes, ADH y DHB y aplicando la proporcionalidad correspondiente se obtiene  la altura OD  de ADH que es la medida del lado del cubo de volumen doble.

 Lo anterior se muestra de una forma práctica en el trabajo actual donde, con el artilugio desarrollado por la escuela platónica obtendremos la arista del cubo que duplica en volumen a uno dado.

La imagen siguiente se corresponde con la escena inicial de la utilidad y es conveniente analizarla para familiarizarse con los elementos que la conforman:

• En el eje horizontal el segmento OA arista del cubo inicial
• En el vertical el segmento OB doble que OA
• La poligonal GDEF con el segmento deslizante HI que es el artilugio Platónico
• Tres pulsadores:
  • A.x modifica la abscisa del punto A.
  • rot rota el artilugio.
  • d establece la distancia entre los segmentos DE y HI.
• Tres botones:
  • Información Conviene usarlo antes de realizar cualquier otra acción.
  • Créditos
  • Botón inicio Restaura la escena al momento inicial
• El control gráfico C (punto botón) que al ser desplazado, estando pulsado, mueve el artilugio por la escena.

OBJETIVOS

INSTRUCCIONES

Si tal y como indica la información de la escena ponemos los pulsadores con los valores: A.x igual a 1.5, rot. con 0.9 y d = 3 y a continuación desplazamos el botón C lentamente hasta que cumpla las condiciones:

• el segmento DE toque al punto A
• el punto D esté sobre el eje Y negativo
• el punto H esté en el eje X negativo
• y el segmento HI toque al punto B

entoces observamos que se muestra el contenido de la imagen siguiente

donde se ha obtenido el segmento OD que es la arista del cubo de volumen doble al inicial de arista 1.5 según se demuestra en la información de la escena.

Si a los pulsadores les asignamos: A.x = 3, rot. = 0.9 y d = 6 obtemos:

Si se tiene interés en avanzar en el conocimiento de esta rudimentaria máquina puede moverse el punto A y tratar de ajustarla hasta obtener la arista OD pertinente.

La escena está programada con cierta holgura con el fin de facilitar la determinación del segmento OD.