Actividades: Proyección de Mercator. Cartografía.

Escena primera:
Sobre la superficie terrestre están representadas tres superficies cuya base mide lo mismo y cuyos lados son paralelos siempre a los meridianos, es decir, su proyección debería de ser un cuadrado de igual superficie para las tres figuras. Pulsa proyectar para ver la proyección cilíndrica como se ha estudiado anteriormente en otro objeto. Observa la distorsión que se produce en las superficies. ¿Qué distorsión es mayor en horizontal o en vertical? La proyección de Mercator intenta mantener, al menos, las formas de los componentes. Como la distorsión en vertical es mayor que en horizontal colocó los paralelos a tal distancia que consiguiera que la distorsión en cada punto fuera la misma en ambas direcciones. Pulsa los controles de los paralelos 50º y 70º para acercarlos hacia el Ecuador hasta conseguir que las formas de las figuras recuperen su forma inicial. Observa ahora las áreas de las figuras ¿Se ha conservado? ¿Dónde se produce la diferencia? ¿Representará la proyección de Mercator con exactitud el mapa?
Escena segunda:
Vamos a dibujar un mapamundi con la proyección de Mercator. Elige un continente, pulsa proyectar y verás cómo se obtiene su proyección en el plano. Proyecta uno por uno todos los continentes hasta obtener el mapa completo ¿Crees que representa con exactitud a todos los países del mundo? ¿En qué zonas se comete el mayor error? Dibuja ahora sobre el globo terráqueo uno a uno los continentes sin proyectar y compara su forma con la que tienen en el mapa plano. ¿Crees que se mantiene la forma de los continentes en esta proyección? ¿Crees que la proyección de Mercator es conforme? (Busca en Internet lo que es una proyección conforme si no lo has hecho anteriormente en otro objeto). Dibuja de nuevo los continentes en el globo y compara su área con la de la proyección ¿Se respetan las áreas de todos los países? ¿Dónde encuentras la mayor distorsión? Compara el tamaño de Groenlandia y de Sudamérica tanto en el globo como en la proyección ¿Qué observas? ¿Crees que esta proyección representa con exactitud todo el globo terrestre? Existe otra proyección, llamada de Peters, que en lugar de respetar las formas respeta las áreas. Esta proyección, aunque muy controvertida, ha sido muy apoyada por ONGs y movimientos por el desarrollo del tercer mundo. Busca en Internet información sobre la misma, por qué creó tanta polémica en su momento y por qué es usada por los movimientos anteriores. ¿Cuál dirías que es más real, la de Mercator o la de Peters?

Guía didáctica: Proyección Mercator. Cartografía.

En objetos anteriores se ha abordado el problema de la proyección de la esfera terrestre sobre un plano. De esta forma se ha abordado la proyección cilíndrica y cónica como primeras aproximaciones al problema. A partir de la proyección cilíndrica surge la proyección de Mercator que aunque presenta también distorsiones, es una proyección mundialmente conocida y muy usada, sobre todo en navegación. Esta proyección fue realizada en el siglo XVI y se trata, al menos, de una proyección conforme, es decir, respeta los ángulos originales. El problema puede abordarse desde distintos puntos de vista, ya sea haciendo más hincapié simplemente en la descripción visual del problema o haciendo una resolución analítica de la proyección. Ello permite usar este objeto en todos los niveles, tanto en Secundaria como en Bachillerato. En Secundaria, Este objeto puede introducirse en el estudio de la geometría espacial a nivel descriptivo, que se inicia en los últimos cursos de primaria y se continúa en Secundaria. En primer lugar permitirá trabajar y visualizar los conceptos de esfera, cilindro, tangencia y proyección de un punto. En este nivel no pueden entenderse las ecuaciones usadas por Mercator y los posteriores desarrolladores de esta proyección, pero este objeto puede representar de una forma descriptiva el proceso seguido por Mercator a partir de la proyección cilíndrica para obtener su representación. Por otra parte, este objeto puede ser usado además en el área de Ciencias Sociales, concretamente en el estudio de la cartografía y sus aplicaciones. Asimismo puede ser usado en el área de Ética, comparando las proyecciones de Mercator y de Peters analizando como ambas transmiten una visión deformada de la realidad y sus repercusiones en el pensamiento social. En Bachillerato, Deducir las ecuaciones obtenidas por Mercator puede escapar al nivel curricular de esta Etapa, sin embargo, si es posible el uso de las mismas ya que se reducen a funciones trigonométricas y logarítmicas. Puede plantearse la necesidad de establecer modelos que expliquen la realidad y así, analizar las dificultades encontradas para transformar en expresión analítica las situaciones cotidianas que nos rodean. Este objeto puede ser de ayuda también en el área de Ciencias Sociales como aproximación descriptiva de las proyecciones.

Ejercicios: Proyección Mercator. Cartografía.

Busca en un atlas un mapa en proyección de Mercator. Mide la longitud y el ancho en su parte más ancha de Sudamérica y de Groenlandia. Ahora busca un globo terráqueo y repite la misma operación. ¿Se mantiene la proporción entre ambas medidas en ambos casos? (2º ESO) Con los datos del problema anterior calcula cuántas veces es mayor Sudamérica que Groenlandia en el globo terráqueo y en el mapamundi plano ¿Por qué se produce esta diferencia? (2º ESO) Calcula el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 10 cm de altura (2º ESO). Dos ciudades se encuentran en el paralelo 30º, pero una tiene longitud 30º y otra 50º. Sabiendo que el radio medio de la tierra es 6370 km calcula la distancia que separa dichas ciudades (1º de Bach.). Aplicando ahora las ecuaciones de la proyección de Mercator calcula la distancia que separaría a las dos ciudades en un mapa que estuviera realizado a escala real. (1º de Bach.). En un mapa realizado en proyección de Mercator, una ciudad dista del ecuador en vertical 5,2 cm. Sabiendo que su posición en el globo terráqueo viene determinada por una latitud de 40º y que el radio de la Tierra es de 6370 km calcula la escala del mapa. (1º de Bach.). Suponiendo una esfera de radio 1 calcula el error cometido al calcular la distancia entre dos ciudades situadas en el paralelo de 60º con longitudes 30º y 50º en un mapa realizado con proyección de Mercator. Repite el ejercicio si ahora las ciudades se encuentran a una longitud de 50º y 70º ¿Qué conclusión sacas? (1º de Bach.). Suponiendo una esfera de radio 1 calcula el error cometido al calcular la distancia entre dos ciudades situadas en el mismo meridiano con latitudes 30º y 50º en un mapa realizado con proyección de Mercator. Repite el ejercicio si ahora las ciudades se encuentran a una latitud de 50º y 70º ¿Qué conclusión sacas? (1º Bach.). Busca en Internet (www.tageo.com) las coordenadas geográficas (latitud y longitud) de las ciudades de Madrid, Paris, Oslo, Nueva York y Santiago de Chile. Considerando una esfera de radio 1, calcula sus coordenadas en una proyección de Mercator y represéntalas en un eje de coordenadas. (1º de Bach). La expresión para calcular la coordenada y de la proyección de Mercator puede venir dada por cinco ecuaciones distintas. Dos de ellas son las indicadas más abajo. Demuestra la igualdad entre las mismas. y = 1/2 * ln[(1+senφ)/(1-senφ)] y = ln (tgφ + secφ) (φ = latitud)