Actividades: Geodésicas en un cono.

Escena primera:
Varía el número de caras y obtén las sucesivas pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, heptagonal, octogonal, eneagonal, decagonal, así sucesivamente hasta un máximo permitido de 60 caras. Elige una pirámide y modifica su altura. Elige una pirámide y efectúa su desplegado (desarrollo) y su plegado directamente usando el control "caras desplegadas". Realiza el plegado y desplegado mediante los botones "desplegar" y "plegar" junto al botón de animación. Usa el ratón y sus botones para girar el prisma y colócalo de manera que puedas observar la base. Selecciona la opción "sí" en el control "¿cono?" y varía el número de caras de la pirámide para observar como el polígono que define la base de dicha pirámide se aproxima a una circunferencia a medida que aumenta el número de caras. Selecciona la opción "sí" en el control "¿comparar?". Pulsa el botón "limpiar" para eliminar cualquier rastro anterior, y cambia el número de caras. Observa el volumen correspondiente a cada número de caras y compáralo con el volumen del cono señalado por la línea roja (el valor está escalado para una mejor comparación por lo que no ha de inferirse ningún valor numérico de la gráfica). Observa como el volumen de la pirámide es creciente respecto al número de caras y éste se aproxima al volumen del cilindro.
Escena segunda:
Selecciona un radio y una altura para el cono representado. Observa el desarrollo del cono en un sector circular. Puede detenerse/activarse el desarrollo pulsando los botones. Pulsa el botón enrollar y observa como se obtiene el cono a partir del sector. Análogamente puede detenerse el desarrollo los botones. Analiza cuando el desarrollo obtenido es un sector convexo y cuando es cóncavo. Determina la relación entre el radio y la altura que establece el paso de una situación a la otra. Expresa algebraicamente la relación encontrada.
Escena tercera:
Desplaza los puntos P y Q en el sector circular y observa en él como varían los segmentos rectilíneos que unen esos puntos. Fíjate como los colores de los segmentos varían según la posición de los puntos. Observa en que situaciones hay un sólo camino rectilíneo y exprésalo algebraicamente Fijados P y Q observa el camino mínimo que los une tanto en el desarrollo como en el cono. Gira el cono y observa la correspondencia entre los segmentos en ambas figuras. Desarrolla el cono mediante la animación y observa la correspondencia antes señalada. Considera los casos particulares en los que P y Q están en la misma generatriz. ¿Qué geodésicas pasan por el vértice?

Guía didáctica: Geodésicas en un cono.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, desde primero de secundaria hasta segundo de Bachillerato: En secundaria, Puede experimentarse "virtualmente", con el objeto de aprendizaje, el trabajo con conos y su desarrollo, y a la vez reproducir lo mismo con papel. Permite una ubicación y compresión espacial de un modelo geométrico "simple". Introduce la idea de camino mínimo en ámbitos no planos y de esta manera produce una aconsejable ruptura conceptual que permite la reflexión, una apertura crítica a nuevas ideas y un avance en la resolución de problemas. La introducción de una superficie no plana de uso habitual, y aparentemente simple, introduce la necesidad de analizar nuevas situaciones, plantearse nuevos problemas y buscar respuestas a esas nuevas situaciones. La proyección cónica de una esfera permite la elaboración de mapas, usualmente usados a este nivel. El límite de una sucesión, la aproximación de un término de ella al límite, el error de aproximación,... son conceptos que pueden visualizarse en la aproximación de una pirámide a un cono. De hecho la representación de un cono en un sistema informático es realmente un prisma. En primero de Bachillerato, El afijo de un número complejo y su representación binómica y modulo-argumental o polar permite la introducción de coordenadas polares en el plano, su relación con las coordenadas cartesianas y viceversa. En segundo de Bachillerato, adicionalmente a lo señalado, Permite la introducción de la ecuación de un cono. Determinación de curvas paramétricas en el espacio. Comparativamente con el cilindro las hélices cónicas no son geodésicas, pueden comparase ambas situaciones.

Ejercicios: Geodésicas en un cono.

Toma una hoja de papel, dibuja una circunferencia en ella, recórtala y enróllala para obtener la superficie lateral de un cono recto (tendrás que solapar parte del circulo). (1º ESO). Sobre la hoja de papel dibuja una recta y enrolla la hoja para obtener el cono y la curva que determina el camino más corto. (1º ESO). Definir lo que es un cono. Hallar la diferencia entre la superficie lateral de una pirámide hexagonal (el radio de la circunferencia circunscrita, al polígono que constituye la base, coincide con la longitud del lado) y la del cono circunscrito. (2º ESO). Hallar la diferencia entre el volumen de una pirámide hexagonal (el radio de la circunferencia circunscrita, al polígono que constituye la base, coincide con la longitud del lado) y el del cono circunscrito. (2º ESO). Determinar el área de la superficie lateral de una pirámide regular de n caras y hallar su límite cuando el número de caras tiende a infinito. Comparar lo obtenido con el área lateral de un cono (4º de ESO). Determinar el volumen de una pirámide regular de n caras y hallar su límite cuando el número de caras tiende a infinito. Comparar lo obtenido con el volumen de un cono (4º de ESO). Los vértices de un polígono regular se corresponden con los afijos de las raíces complejas de la unidad. Escribe las coordenadas de los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio uno. Represéntalo gráficamente. Halla la longitud del lado de dicho polígono. Si la circunferencia fuera de radio r ¿cuáles serían las coordenadas de los vértices y la longitud del lado? (1º Bach.). Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del origen de coordenadas en una cantidad constante r. (1º Bach.). Determinar la ecuación de un con cuyo eje coincide con el eje OZ y su base tiene radio r. (2º Bach.). Observar que todo punto en el plano, como afijo de un número complejo, puede venir determinado bien por sus coordenadas cartesiana (x, y) correspondientes a la forma binómica de un número complejo, o bien mediante las denominadas coordenadas polares o forma módulo argumental de dicho complejo. Establece la relación entre coordenadas cartesianas y polares, y viceversa. (1º Bach.). Hallar mediante una integral definida el volumen de un cono de radio r y altura h como sólido de revolución obtenido al girar un segmento que interseca a un eje y girarlo alrededor de él. (2º Bach.). Hallar la relación entre el volumen del cilindro, de la esfera y del cono. (2º ESO). Investigar la denomina proyección cónica y su empleo en la elaboración de mapas. Enunciar las ventajas e inconvenientes de esta proyección y compararla con la proyección cilíndrica. (3º ESO.). Las geodésicas en un cilindro son hélices. ¿En un cono son las geodésicas hélices cónicas? Investiga que es una hélice cónica y sus propiedades. (2º Bach.).