INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En este objeto se busca determinar cuál es el camino mínimo que hay que recorrer sobre la superficie lateral de un cilindro recto. Al ser una superficie desarrollable es posible reducir el problema tridimensional a uno bidimensional. OBJETIVOS Aproximar un cilindro por prismas. Obtener el desarrollo plano de un cilindro. Verificar que las geodésicas en la superficie lateral de un cilindro son hélices y en los casos extremos circunferencias o segmentos rectilíneos. Comprobar que las loxódromas coinciden con las geodésicas en el cilindro. INSTRUCCIONES En este objeto interactivo podemos acceder a tres escenas. En ellas se muestra que la geometría en la superficie lateral de un cilindro es euclídea ya que es una superficie desarrollable. Se busca mostrar cual es el camino mínimo (geodésica) que ha de seguirse para ir entre dos puntos, ambos situados en la superficie lateral de un cilindro recto. En este objeto no se consideran las bases, si éstas se consideran el problema de determinar las geodésicas requiere un estudio diferenciado. En el recurso podemos elegir mediante el menú ubicado en la parte inferior tres opciones: Aproximación de un cilindro por prismas. En esta opción se muestra un prisma regular donde exclusivamente se consideran las caras laterales, y mediante la interacción con él se puede obtener su desarrollo. La interacción se realiza mediante diferentes controles: a) En la parte superior: Un control numérico, modificable mediante pulsación o variación del campo numérico, etiquetado como "Nº de caras" que permite representar desde el prisma triangular al prisma con base un polígono de 15 lados. El polígono representado se corresponde con aquel cuyos vértices son las raíces de la unidad, es decir, que puede inscribirse en una circunferencia de radio uno. Obviamente esta consideración no afecta al concepto tratado y se da como referencia comparativa con la altura que se desee considerar. Otro control numérico, con análoga funcionalidad que el anterior, que permite modificar la altura en un rango entre 0,8 y 3,0. b) En la parte media: Un control numérico denotado "caras desplegadas" que toma valores desde 0 al número de vértices menos uno y que permite en un único movimiento mostrar el desarrollo parcial del correspondiente prisma considerado. Dos controles tipo botón que permiten seleccionar, según se desee, el desplegado o plegado del prisma. Estos botones activan y desactivan la animación. Para una adecuada visualización puede situarse sobre el cilindro y girarlo sin más que pulsar el botón izquierdo del ratón y desplazarlo, o puede cambiar la escala con el botón derecho y desplazándolo a su vez. La variación del número de caras (desde 3 a 60) permite visualizar como la superficie lateral del prisma va aproximándose a la superficie lateral del cilindro. Esta aproximación puede ser comparativa con el cilindro en sí, sin más que seleccionar en el control superior etiquetado "¿cilindro?" la opción "si". El adecuado giro del prisma y cilindro para observar las bases permitirá ver esta aproximación. Adicionalmente estando activa la opción "sí" en el control "¿comparar?" dibuja un subespacio donde se compara el volumen del cilindro considerado (señalado por una línea roja) con el volumen del prisma (reflejado con un punto azul que deja rastro) correspondiente a cada elección de número de caras. Puede observarse como el volumen del prisma es creciente respecto al número de caras y éste se aproxima al volumen del cilindro. Si cambia bien la altura o bien el radio puede borrar los rastros del punto que representa el volumen con el botón etiquetado "limpiar rastro" Desarrollo de un cilindro. En esta segunda opción se muestra un cilindro en el que puede cambiarse, mediante los controles situados en la parte superior de la escena, el radio de la circunferencia que constituye su base, así como la altura del mismo. Dos controles tipo botón permiten seleccionar, según se desee, desarrollar o enrollar el cilindro, mostrando su carácter desarrollable. Geodésicas y loxódromas en un cilindro. En esta opción se muestra simultáneamente un cilindro y su correspondiente desarrollo plano en dos zonas interrelacionadas. Dado que el cilindro es una superficie desarrollable la distancia mínima ha de coincidir con un segmento recto en dicho desarrollo. Para el cilindro la geodésica coincide con la loxódroma (línea que interseca los meridianos de una superficie formando un ángulo constante). Adicionalmente a lo indicado en las escenas anteriores, en la parte superior: Se dispone de dos controles gráficos correspondientes a dos puntos, etiquetados como P y Q, que pueden ubicarse en cualquier lugar del desarrollo. Se representan los segmentos rectilíneos que permiten el enlace entre los puntos P y Q en el desarrollo plano (simultáneamente se representan sobre la cara lateral del cilindro). Los segmentos se colorean en negro para aquellos que dan la distancia mínima y en azul el resto. Hay que indicar que los bordes inicial y final que se representan en el desarrollo plano (rectángulo) realmente se corresponden con una única generatriz del cilindro, por ello si se posiciona el punto P o el Q en el borde final estos puntos pasan a representarse en el borde inicial. En la parte inferior de la escena se refleja el camino, sobre el cilindro, correspondiente a lo reflejado en el desarrollo superior. Esta representación puede combinarse con el desarrollo parcial o total de dicho cilindro. En el botón de actividades se tiene una guía para practicar con esta escena y profundizar en su potencial educativo. También se puede realizar un test relacionado con "Geodésicas en el cilindro". NOTA BENE Esta escena se desarrolló en el año 2006 formando parte de un proyecto denominado "El metro: patrón inexacto para medir exactamente". Se ha adaptado a DescartesJS en 2020 como miscelánea.