Actividades: Geodésicas y loxódromas en un cilindro.

Escena primera:
Varía el número de caras y obtén los sucesivos prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, heptagonal, octogonal, eneagonal, decagonal, así sucesivamente hasta un máximo permitido de 60 caras. Elige un prisma y modifica su altura. Elige un prisma y efectúa su desplegado (desarrollo) y su plegado directamente usando el control "caras desplegadas". Realiza el plegado y desplegado mediante los botones "desplegar" y "plegar" junto al botón de animación. Usa el ratón y sus botones para girar el prisma y colócalo de manera que puedas observar la base. Selecciona la opción "sí" en el control "¿cilindro?" y varía el número de caras del prisma para observar como el polígono que define la base del prisma se aproxima a una circunferencia a medida que aumenta el número de caras. Selecciona la opción "sí" en el control "¿comparar?". Pulsa el botón "limpiar" para eliminar cualquier rastro anterior, y cambia el número de caras. Observa el volumen correspondiente a cada número de caras y compáralo con el volumen del cilindro señalado por la línea roja (el valor está escalado para una mejor comparación por lo que no ha de inferirse ningún valor numérico de la gráfica). Observa como el volumen del prisma es creciente respecto al número de caras y éste se aproxima al volumen del cilindro.
Escena segunda:
Selecciona un radio y una altura para el cilindro representado. Pulsa el botón "desarrollar" y observa el desarrollo del cilindro en un rectángulo. Puede detenerse pulsando de nuevo el botón. Pulsa el botón enrollar y observa como se obtiene el cilindro a partir del rectángulo. Análogamente puede detenerse el desarrollo pulsando de nuevo ese botón.
Escena tercera:
Desplaza los puntos P y Q en el rectángulo superior y observa en él como varían los segmentos rectilíneos que unen esos puntos. Fíjate como los colores de los segmentos varían según la posición de los puntos. Fijados P y Q observa el camino mínimo que los une tanto en el desarrollo como en el cilindro. Gira el cilindro y observa la correspondencia entre los segmentos en ambas figuras. Desarrolla el cilindro mediante la animación y observa la correspondencia de segmentos antes señalada. Considera los casos particulares en los que P y Q están en la misma vertical. Coloca los puntos P y Q casi en la misma vertical y observa en el cilindro la curva dibujada en azul. Esta curva se denomina hélice y te recordará el perfil de las denominadas escaleras de caracol.

Guía didáctica: Geodésicas y loxódromas en un cilindro.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, desde primero de secundaria hasta segundo de Bachillerato: En secundaria, Puede experimentarse "virtualmente ", con el objeto de aprendizaje, el trabajo con cilindros y su desarrollo, y a la vez reproducir lo mismo con papel. Permite una ubicación y compresión espacial de un modelo geométrico "simple". Introduce la idea de camino mínimo en ámbitos no planos y de esta manera produce una aconsejable ruptura conceptual que permite la reflexión, una apertura crítica a nuevas ideas y un avance en la resolución de problemas. La introducción de una superficie no plana de uso habitual, y aparentemente simple, introduce la necesidad de analizar nuevas situaciones, plantearse nuevos problemas y buscar respuestas a esas nuevas situaciones. La proyección cilíndrica de una esfera permite la elaboración de mapas mundi, usualmente usados a este nivel. El límite de una sucesión, la aproximación de un término de ella al límite, el error de aproximación,... son conceptos que pueden visualizarse en la aproximación de un prisma a un cilindro. De hecho la representación de un cilindro en un sistema informático es realmente un prisma. En primero de Bachillerato, El afijo de un número complejo y su representación binómica y modulo-argumental o polar permite la introducción de coordenadas polares en el plano, su relación con las coordenadas cartesianas y viceversa. En segundo de Bachillerato, adicionalmente a lo señalado, Permite la introducción de la ecuación de un cilindro, las coordenadas cilíndricas y su relación con las cartesianas. Determinación de curvas paramétricas en el espacio. Hélices y propiedades de las hélices.

Ejercicios: Geodésicas y loxódromas en un cilindro.

Toma una hoja de papel y enróllala para obtener la superficie lateral de un cilindro recto. (1º ESO). Sobre la hoja de papel dibuja una recta y enrolla la hoja para obtener el cilindro y la curva que determina el camino más corto. (1º ESO). Definir lo que es un cilindro. Hallar la diferencia entre la superficie lateral de un prisma hexagonal (el radio de la circunferencia circunscrita, al polígono que constituye la base, coincide con la longitud del lado) y la del cilindro circunscrito. (2º ESO). Hallar la diferencia entre el volumen de un prisma hexagonal (el radio de la circunferencia circunscrita, al polígono que constituye la base, coincide con la longitud del lado) y el del cilindro circunscrito. (2º ESO). Determinar el área de la superficie lateral de un prisma regular de n caras y hallar su límite cuando el número de caras tiende a infinito. Comparar lo obtenido con el área lateral de un cilindro (4º de ESO). Determinar el volumen de un prisma regular de n caras y hallar su límite cuando el número de caras tiende a infinito. Comparar lo obtenido con el volumen de un cilindro (4º de ESO). Los vértices de un polígono regular se corresponden con los afijos de las raíces complejas de la unidad. Escribe las coordenadas de los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio uno. Represéntalo gráficamente. Halla la longitud del lado de dicho polígono. Si la circunferencia fuera de radio r ¿cuáles serían las coordenadas de los vértices y la longitud del lado? (1º Bach.). Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del origen de coordenadas en una cantidad constante r. (1º Bach.). Determinar la ecuación de un cilindro cuyo eje coincide con el eje OZ y su base tiene radio r. (2º Bach.). Observar que todo punto en el plano como afijo de un número complejo puede venir determinado bien por sus coordenadas cartesiana (x, y) correspondientes a la forma binómica de un número complejo, o bien mediante las denominadas coordenadas polares o forma módulo argumental de dicho complejo. Establece la relación entre coordenadas cartesianas y polares, y viceversa. (1º Bach.). Investigar acerca de las denominadas coordenadas cilíndricas de un punto en el espacio. ¿Qué relación hay entre coordenadas polares en el plano y las cilíndricas en el espacio? (2º Bach). Hallar mediante una integral definida el volumen de un cilindro de radio r y altura h como sólido de revolución obtenido al girar un segmento de longitud h paralelo a uno de los ejes coordenados alrededor de él. (2º Bach.). Toda esfera de radio r puede inscribirse en un cilindro de igual radio y altura 2r. Hallar el volumen del cilindro, de la esfera y su razón. (2º ESO). Observar la correspondencia entre los meridianos de una esfera con las generatrices del cilindro circunscrito, y de los paralelos de la primera con los paralelos del segundo. ¿Dónde se emplea esta correspondencia? Examine un mapa mundi. (2º ESO.). Las geodésicas en un cilindro son hélices. Busca la ecuación de una hélice cilíndrica e investiga sobre la propiedad de que el ángulo que forma la hélice (que une dos puntos del cilindro) con cualquier generatriz es siempre constante. Comprobar que este ángulo es el ángulo que forma el segmento rectilíneo correspondiente al desarrollo plano de la hélice con la altura del rectángulo obtenido al desarrollar la superficie lateral del cilindro. (2º Bach.).