INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En este objeto se muestra la existencia de otra geometría no euclídea. El disco de Poincaré es un ejemplo de geometría plana hiperbólica. Sobre el círculo abierto unidad (no incluye la circunferencia frontera) se considera una métrica donde las geodésicas son diámetros o círculos ortogonales a la frontera. Se muestran las geodésicas, el paralelismo y cómo no se verifica el quinto postulado de Euclides. OBJETIVOS Visualizar las geodésicas en el disco de Poincaré. Observar geodésicas paralelas y secantes. Verificar que no se cumple el quinto postulado de Euclides pues por un punto exterior a una geodésica en el disco de Poincaré pueden trazarse infinitas geodésicas paralelas. Ver que a una geodésica pueden trazarse infinitas paralelas. INSTRUCCIONES En este objeto interactivo podemos acceder a cuatro escenas En ellas se muestra la existencia de una geometría no euclídea. En el recurso podemos elegir mediante el menú ubicado en la parte inferior a cuatro opciones: Geodésicas en el disco de Poincaré. En esta escena podemos observar en color blanco el círculo unidad abierto, es decir aquellos puntos que distan del origen de coordenadas menos de la unidad. Por tanto los puntos de la circunferencia de radio uno (dibujados en amarillo y los puntos exteriores a ella (dibujados en gris) no forman parte de dicho disco. En este disco de Poincaré (bajo la métrica denominada también con su nombre, y que no analizaremos aquí) las geodésicas, o caminos de longitud mínima, son los arcos de circunferencia que son ortogonales a la frontera del disco y los diámetros. Ello es lo se muestra en esta escena. Se dispone de dos controles gráficos situados en la frontera del disco y variando estos se observan diferentes geodésicas cuya frontera coincidiría con esos puntos. La activación de la opción del menú ¿Dibujar rectas tangentes? nos permite dibujar las rectas tangentes a la circunferencia unidad y a la geodésica que pasan por cada uno de los controles gráficos y así verificar que ambas son ortogonales o perpendiculares. Recordemos que el ángulo que forman dos curvas en un punto común viene dado por el ángulo de sus tangentes en ese punto y en el disco de Poincaré ésta también es la medición adecuada de ángulos. En el disco de Poincaré puede comprobarse que se verifican los cuatro primeros postulados de Euclides: Por dos puntos pasa sólo una geodésica. Todo segmento de geodésica puede extenderse indefinidamente (recordar que el disco es abierto) Todos los ángulos rectos son congruentes. Con un radio y un punto (centro) puede trazarse una "circunferencia" o línea constituida por los puntos equidistantes de dicho centro. (Por cierto ¿como son las "circunferencias" en el disco de Poincaré?) Paralelismo entre geodésicas en el disco de Poincaré. En la segunda escena, se refleja el concepto de paralelismo: "Dos geodésicas son paralelas si no se cortan en ningún punto". Se cuenta con cuatro controles etiquetados A, B, C, D, y las geodésicas que pasan respectivamente por A y B, y por C y D. Desplazando estos controles se dibujan las diferentes geodésicas y se refleja en el título superior si estas dos geodésicas son paralelas, secantes o coincidentes (ninguno, uno o todos los puntos en común). Cuando las rectas son secantes se dibuja el punto de intersección Negación del quinto postulado de Euclides. En la tercera escena, se muestra como en el disco de Poincaré no se verifica el quinto postulado de Euclides ("Por un punto exterior a una geodésica sólo puede trazarse una geodésica paralela"), ya que podemos observar como "por un punto exterior a una geodésica se pueden trazar infinitas paralelas. Disponemos de tres controles gráficos etiquetados A, B, P. Los dos primeros permiten dibujar la geodésica cuyos puntos frontera son A, B, y por P se pueden trazar las diferentes geodésicas que pasan por él sin más que usar el control (tipo pulsador) etiquetado con "Dibujar otra geodésica que pasa por P". En la parte superior derecha un literal nos indicará si las geodésicas dibujadas son secantes o paralelas. Infinitas paralelas a una geodésica. En la cuarta escena, se incide sobre la negación del quinto postulado de Euclides. En este caso se cuenta con un cuarto control gráfico Q, que permite un mayor control en el trazado de las infinitas paralelas a la geodésica de extremos A, B. En el botón de actividades se tiene una guía para practicar con esta escena y profundizar en su potencial educativo. También se puede realizar un test relacionado con "Geodésicas en el disco de Poincaré". NOTA BENE Esta escena se desarrolló en el año 2006 formando parte de un proyecto denominado "El metro: patrón inexacto para medir exactamente". Se ha adaptado a DescartesJS en 2020 como miscelánea.