La espiral logarítmica y el crecimiento gnomónicoPor Ángel Cabezudo Bueno - (23-10-2015) |
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El crecimiento gnomónico es el que se produce para poder mantener la forma (semejanza) o proporción del objeto. Se manifiesta, p.e., en los tejidos más consistentes de los animales como los huesos, dientes cuernos o conchas. Muchas son las referencias hechas a la proporción áurea o divina como canon de las formas en la naturaleza, el arte o la arquitectura pero no podemos por menos de dejar constancia que en muchos de estos casos es más adecuado relacionarlo con el patrón humano o cordobés (descrito originalmente en un ensayo realizado en 1973 por el arquitecto Rafael de La-Hoz Castanys en el que relata la búsqueda de un canon en la arquitectura cordobesa). |
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El módulo del rectángulo cordobés (razón entre sus lados mayor y menor) es |
Nos interesa estudiar el crecimiento gnomónico de esta proporción pensando que es un crecimiento más natural al observar conchas de moluscos, imágenes de huracanes, remolinos de agua y galaxias,.... En el arte o la arquitectura resulta también un canon más cercano a la interpretación humana; no es extraño que muchos creadores hayan utilizado la razón cordobesa en sus trabajos (se denominó “razón cordobesa” pues fue hallada en la Mezquita de Córdoba, y es un canon que se repite con asiduidad en múltiples edificaciones de la ciudad; más tarde se pudo comprobar que se extiende a otras latitudes dentro y fuera de España). |
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El gnomon de un rectángulo es otro rectángulo que añadido al anterior produce un nuevo rectángulo semejante. De forma inversa, a partir de un rectángulo encontramos otro semejante más reducido. Ambos son denominados recíprocos y una manera de obtenerse se muestra en la imagen adjunta. Las diagonales de los rectángulos recíprocos son perpendiculares. El proceso se puede repetir indefinidamente y obtenemos la serie de gnómones que determinan el crecimiento gnomónico. La imagen siguiente representa el caso para el rectángulo cordobés. |
El crecimiento en la naturaleza se hace de forma continua; así pues buscamos una forma de ver cómo es el crecimiento gnomónico continuo sobre una forma rectangular. Los lados crecen continuamente manteniendo la semejanza de la figura. El movimiento en espiral representa adecuadamente esta circunstancia. |
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La determinación de la ecuación en coordenada polares Esta espiral es la trayectoria que sigue un punto que se mueve sobre una recta a una velocidad proporcional a su distancia al origen a la vez que la recta gira con velocidad angular constante: |
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(1) |
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La espiral es equiangular pues el ángulo ψ que forma la tangente a la curva con el radio vector es constante en cualquier punto. La espiral se denomina logarítmica pues integrando en (1) obtenemos que
El módulo rectangular (o razón entre lados del rectángulo) es el cociente Para la razón cordobesa vale De donde se obtiene que |
Teniendo en cuenta la razón áurea, Durero nos dejó un método para dibujar fácilmente una espiral. Debido a que el gnomon áureo es un cuadrado, dibujó un cuadrante de circunferencia en cada gnomon como se muestra en la siguiente figura: |
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Tratando de aplicar este método a la espiral cordobesa y debido a que el gnomon cordobés es rectangular (lados desiguales) el trazado nos pareció que debería de ajustarse a una elipse, lo que supone una generalización del método de Durero y esto es lo que obtenemos | |
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El resultado tiene su propia estética y establece un nuevo ámbito en el que merece la pena adentrarse a investigar y en ello estamos. Si realizamos una comparativa con las espirales logarítmicas, podemos apreciar la discrepancia entre la espiral gnomon-elíptica y la espiral logarítmica. |
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E. Logarítmica Áurea (línea roja) Aproximación de Durero (línea negra) |
E. Logarítmica Cordobesa (línea roja) Aproximación gnomon-elipse (línea negra) |
Recomendamos la lectura de los materiales que han precedido al que presentamos ahora, dentro de la producción de RED Descartes: |