## La espiral logarítmica y el crecimiento gnomónico Por Ángel Cabezudo Bueno - (23-10-2015)
El crecimiento gnomónico es el que se produce para poder mantener la forma (semejanza) o proporción del objeto. Se manifiesta, p.e., en los tejidos más consistentes de los animales como los huesos, dientes cuernos o conchas. Muchas son las referencias hechas a la proporción áurea o divina como canon de las formas en la naturaleza, el arte o la arquitectura pero no podemos por menos de dejar constancia que en muchos de estos casos es más adecuado relacionarlo con el patrón humano o cordobés (descrito originalmente en un ensayo realizado en 1973 por el arquitecto Rafael de La-Hoz Castanys en el que relata la búsqueda de un canon en la arquitectura cordobesa). |

| El módulo del rectángulo cordobés (razón entre sus lados mayor y menor) es (aproximadamente 1,307). Esta razón es la que existe entre el radio y el lado de un octógono regular y está por tanto relacionado con el ángulo de 45°.
Nos interesa estudiar el crecimiento gnomónico de esta proporción pensando que es un crecimiento más natural al observar conchas de moluscos, imágenes de huracanes, remolinos de agua y galaxias,.... En el arte o la arquitectura resulta también un canon más cercano a la interpretación humana; no es extraño que muchos creadores hayan utilizado la razón cordobesa en sus trabajos (se denominó “razón cordobesa” pues fue hallada en la Mezquita de Córdoba, y es un canon que se repite con asiduidad en múltiples edificaciones de la ciudad; más tarde se pudo comprobar que se extiende a otras latitudes dentro y fuera de España). |

| El gnomon de un rectángulo es otro rectángulo que añadido al anterior produce un nuevo rectángulo semejante. De forma inversa, a partir de un rectángulo encontramos otro semejante más reducido. Ambos son denominados recíprocos y una manera de obtenerse se muestra en la imagen adjunta. Las diagonales de los rectángulos recíprocos son perpendiculares. El proceso se puede repetir indefinidamente y obtenemos la serie de gnómones que determinan el crecimiento gnomónico. La imagen siguiente representa el caso para el rectángulo cordobés.
El crecimiento en la naturaleza se hace de forma continua; así pues buscamos una forma de ver cómo es el crecimiento gnomónico continuo sobre una forma rectangular. Los lados crecen continuamente manteniendo la semejanza de la figura. El movimiento en espiral representa adecuadamente esta circunstancia. |
La determinación de la ecuación en coordenada polares de la espiral logarítmica que se vincula con el crecimiento gnomónico se consigue calculando la relación . En la ecuación, s es un factor de escala. Esta espiral es la trayectoria que sigue un punto que se mueve sobre una recta a una velocidad proporcional a su distancia al origen a la vez que la recta gira con velocidad angular constante:

|  | (1)

| La espiral es equiangular pues el ángulo ψ que forma la tangente a la curva con el radio vector es constante en cualquier punto. La espiral se denomina logarítmica pues integrando en (1) obtenemos que + C El módulo rectangular (o razón entre lados del rectángulo) es el cociente de los módulos de dos radios vectores que difieren rad. Para la razón cordobesa vale con lo que De donde se obtiene que
Teniendo en cuenta la razón áurea, Durero nos dejó un método para dibujar fácilmente una espiral. Debido a que el gnomon áureo es un cuadrado, dibujó un cuadrante de circunferencia en cada gnomon como se muestra en la siguiente figura:

Tratando de aplicar este método a la espiral cordobesa y debido a que el gnomon cordobés es rectangular (lados desiguales) el trazado nos pareció que debería de ajustarse a una elipse, lo que supone una generalización del método de Durero y esto es lo que obtenemos
El resultado tiene su propia estética y establece un nuevo ámbito en el que merece la pena adentrarse a investigar y en ello estamos. Si realizamos una comparativa con las espirales logarítmicas, podemos apreciar la discrepancia entre la espiral gnomon-elíptica y la espiral logarítmica.
E. Logarítmica Áurea (línea roja) Aproximación de Durero (línea negra) | E. Logarítmica Cordobesa (línea roja) Aproximación gnomon-elipse (línea negra)
El trabajo que subyace en la escena de Descartes que acompaña a esta exposición ha sido el resultado estudiar la proporción cordobesa, el crecimiento gnomónico asociado a las formas rectangulares de módulo igual a dicha proporción y de vincular a esto una forma espiral equiangular o logarítmica. Recomendamos la lectura de los materiales que han precedido al que presentamos ahora, dentro de la producción de RED Descartes: Las matemáticas en la belleza Proporcionalidad. El rectángulo cordobés