La espiral de N centros es una concatenación de arcos de circunferencia cuyos centros son los $N$ vértices de un polígono regular. Para su construcción se va rotando la elección del centro de manera sucesiva pasando de un vertice a su adyacente (en sentido dextrógiro o levórigo) y se incrementa su radio según una progresión aritmética de diferencia la longitud del lado de dicho polígono, la amplitud del arco es la del ángulo exterior del polígono, es decir $\frac{2\pi}{N}$. Realmente es una pseudo-espiral, tiene la forma de una espiral, pero no es una curva sino un conjunto de curvas que se van enlazando.

Si fijamos una cuerda a un punto de una curva y se extiende para que el segmento obtenido sea la recta tangente a la misma en ese punto, entonces al proceder a enrollarla, manteníéndola siempre tensa, se obtiene el lugar geométrico de los puntos del plano trazados por el extremo de la cuerda al que se le denomina involuta de la curva inicial. Una curva tiene infinitas involutas, una para cada punto inicial considerado.

Arquímedes definió la espiral que lleva su nombre afirmando: "Si se traza una línea recta en un plano y, permaneciendo fijo uno de sus extremos y haciéndola girar un número cualquiera de veces, vuelve de nuevo a la posición de la que partió y, al mismo tiempo que se hace girar la línea, se desplaza por la recta un punto a velocidad uniforme partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano". Consultad: Arquímedes (2009) p. 35 (Tratados II. Introducción, traducción y notas de Paloma Ortíz García. Madrid, Editorial Gredos).

En este objeto interactivo se busca mostrar la relación existente entre la espiral de $N$ centros, la involuta de un círculo y la espiral de Arquímedes

OBJETIVOS

• Construir la espiral de $N$ centros dibujando paso a paso cada arco.
• Representar la involuta de un círculo.
• Mostrar que la familia de espirales de $N$ centros, construidas sobre polígonos regulares inscritos en una misma circunferencia, converge a la involuta del círculo circusncrito cuando $N \rightarrow \infty$.
• Ver que los vectores tangentes a la involuta determinan o siguen el patrón de una espiral de Arquímedes, es decir, la curva derivada de la involuta de un círculo es una espiral de Arquímedes.

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA

1. La espiral de N centros.

   En esta escena todos los polígonos que definen a la espiral de $N$ centros se trazan de manera que tengan el mismo radio $R$ y un vértice en el punto de coordenadas $(R, 0)$. Así pues, el lado $l$ del polígono que define a dicha espiral viene dado por $l=2 \, R \, sen \frac{\pi}{N}$.

   En el caso de la espiral levógira

   
   Espiral de 6 centros levógira

   • Los vértices del polígono son $V_k ( R \, cos( k \frac{2 \pi}{N}), R \, sen( k \frac{2 \pi}{N}))$ con $1 \le k \le N$.
   • El arco $a_k$ de la espiral de $N$ centros es un arco de circunferencia de centro $V_k$ y radio de longitud $k$ veces la longitud $l$ del polígono, es decir, $k \, l= 2 \, R \, k \, sen \frac{\pi}{N}$. Así pues, la ecuación paramétrica de este arco $k$-ésimo viene dado por la expresión en coordenadas cartesianas: $$a_k \equiv \begin{cases} x=V_{k_x}+ k \, l \,cos \, t \\ y= V_{k_y}+ k \, l \,sen \, t \end{cases} \qquad t \in [\frac{2 \pi}{N} (k-2), \frac{2 \pi}{N} (k-1)]$$ Por tanto, la ecuación de esta espiral es: $$ \begin{cases} x= R \, cos( k \frac{2 \pi}{N})+ 2 \, R \, k \, sen \frac{\pi}{N} \,cos \, t \\ y= R \, sen( k \frac{2 \pi}{N})+ 2 \, R \, k \, sen \frac{\pi}{N} \,sen \, t \end{cases} \qquad t \in [\frac{2 \pi}{N} (k-2), \frac{2 \pi}{N} (k-1)] \qquad 1 \le k$$

   El caso de la espiral dextrógira puede plantearse como una simetría de la levógira y, por tanto, no es necesario reproducir la descripción anterior:

   
   Espiral de 6 centros dextrógira

2. Involuta del círculo

   La ecuación de la involuta del círculo de radio $R$, tomando como punto inicial $(R, 0)$ y en sentido levógiro es: $$ \begin{cases} x= R \, (\, cos \, u + u \, sen \, u) \\ y= R \, (\, sen \, u - u \, cos \, u) \end{cases} \qquad u \ge 0$$

3. Vector tangente a la Involuta del círculo

   El vector tangente a la involuta del círculo de radio $R$ en el punto $(x(u), y(u))$ viene dado por el vector derivada $(x'(u), y'(u))$, es decir: $$ \begin{cases} x' = R \, cos \, u \\ y' = R \, sen \, u \end{cases} \qquad u \ge 0$$ que resulta que es una espiral de Arquímedes.

INSTRUCCIONES

Por defecto la escena se inicia mostrando la espiral de 4 centros levógira representada en color naranja y trazados 10 arcos de la misma (controlado por el pulsador etiquetado como "paso"). Se muestran en color magenta las semirrectas que establecen el vértice y ángulo a cubrir por el correspondiente arco circular. En el centro y en color azul se representa el polígono base para la construcción de la espiral y el círculo circunscrito al mismo y generador de la involuta considerada.

En la parte superior se indica textualmente el número de centros de la espiral dibujada y si ésta es levógira o dextrógira. También se cuenta con dos botones:

• Posibilidad de mostrar u ocultar la involuta del círculo considerado.
• Elección entre mostrar u ocultar la curva descrita por la derivada de la involuta del círculo, la cual es una espiral de Arquímedes, junto al vector tangente respectivo en cada punto.

En la parte inferior se tienen otros controles modificadores de lo mostrado en el espacio central:

• Pulsador etiquetado "zum" que permite amplificar o reducir a voluntad del usuario el tamaño de gráfica.
• Campo de texto y pulsador que indica el "paso" de la construcción de la espiral de $N$ centros en el que se está, es decir, cuántos arcos de circunferencia se han representado.
• Botón "ocultar/ver semirrectas" que permite borrar o mostrar las semirrectas auxiliares que deteminan la amplitud de cada arco.
• "número de centros", pulsador y campo de texto donde se indica el número de centros a considerar en la representación de la espiral.
• Botón, con las imágenes ⭯ o ⭮, que al pulsarlo permite alternar entre la representación levógira y la dextrógira.
• "vector tangente" que permite, en combinación con el botón "derivada de la involuta" dibujar el vector tangente a esta curva en cada punto de la misma y la trayectoria que describen estos vectores al ubicarlos en el origen de coordenadas, la cual coincide con una espiral de Arquímedes o espiral aritmética.