El orden jónico es un estilo arquitectónico de la Grecia clásica, surgido hacia el siglo VI a. C., que se caracteriza por el uso de capiteles con volutas (espirales). El trazado de éstas ha sido y sigue siendo controvertido, lo cual se refleja no sólo al consultar diversas fuentes bibliográficas sino al observar edificios en los que se ha empleado este tipo de capitel a lo largo de más de veinticinco siglos.

En la miscelánea "Voluta en el capitel jónico según Vitruvio y Ortíz y Sanz" atendimos la directrices dadas por Vitrubio en "Los diez libros DE ARCHÎTECTURA", siguiendo la traducción comentada de Ortíz y Sanz en 1787.

En esta miscelánea seguiremos lo descrito por Albrecht Dürer (Alberto Durero) en su libro "De la medida" publicado en 1532. En concreto, aquí consideraremos la descripción realizada en la edición de Jeanne Peiffer en el año 2000, con traducción de Jesús Espino.

Adicionalmente, complementamos lo indicado por Durero y aportamos un posible procedimiento que nos permite pasar de la pseudoespiral que él construye (que es una unión de arcos de circunferencia disjuntos) a la espiral que insinúa quería obtener (él la traza a mano alzada sin describir cómo hacerlo). Con el procedimiento seguido se demuestra que la espiral descrita por Durero converge a una espiral arquimediana.

  OBJETIVOS

• Conocer las directrices dadas por Durero para el trazado de una voluta del orden jónico.
• Abordar, paso a paso, la representación gráfica de la voluta jónica que Durero representa en su libro "De la medida".



• Detectar que la costrucción de Durero queda incompleta al no describir cómo obtener el trazado final de la espiral.
• Aportar un posible procedimiento para lograr el trazado de la espiral buscada.
• Demostrar que la voluta de Durero converge a una espiral arquimediana.

  INSTRUCCIONES

Inicialmente la escena es meramente descriptiva y, por ello, sólo cuenta con un control ubicado en la esquina inferior derecha que permite avanzar o retroceder en los 14 pasos secuenciales que contiene (númerados de 0 a 13). De ellos hasta el undécimo, nos limitamos a abordar el proceso que describe Durero.

En el paso duodécimo contamos con un control numérico $N$ que al cambiar su valor nos permite reproducir el procedimiento de Durero, pero considerando la partición de la circunferencia en $N$ sectores y trazando $3 N$ arcos de circunferencia. Al ir incrementando el valor de $N$ podemos observar cómo, aparéntemente, se obtiene una espiral continua que tiende a la trazada a mano alzada por Durero. Esa espiral realmente no es continua (no dejar de ser la unión de arcos de circunferencia disjuntos), pero visualmente, como consecuencia del caracter discreto que es toda representación gráfica en una pantalla (limitada por su resolución) se observa así:

En este paso, en la parte inferior, se cuenta con un botón que permite mostrar u ocultar la construcción de Durero de 36 arcos, compararla con la espiral continua obtenida al incrementar $N$ y comprobar cómo se asemeja a la dibujada a mano alzada por Durero.

En el último paso, el decimotercero, podemos usar el control numérico $N$ para hacer que teóricamente tienda a $\infty$ y ver la convergencia a la espiral arquimediana que podemos visualizar pulsando el botón ubicado en la parte inferior, etiquetado con "Mostrar/Ocultar la espiral arquimediana".

  DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA

Denotamos por $r$ el radio de la circunferencia considerada por Durero, $N$ el número de sectores circulares y $3 N$ el número de arcos de la construcción.

La pseudoespiral de Durero

En cordenadas polares $(\rho, \theta)$ la pseudoespiral de Durero viene dada por $$ \begin{cases} \rho_k = r - k \frac{r}{3N} \\ \\ \frac{\pi}{2} + 6 \pi - k \frac{2 \pi}{N} \le \theta_k \le \frac{\pi}{2} + 6 \pi - (k-1) \frac{2 \pi}{N} \end{cases} \qquad 1 \le k \le 3N \tag{1} $$ Así pues, $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} + 6 \pi$ y según la notación empleada el arco más externo se corresponde con el valor $k=1$ y $\theta=\frac{\pi}{2} + 6 \pi$ y el más interno para $k = 3N$ y $\theta=\frac{\pi}{2}$ que es el orden que sigue Durero en su construcción, la cual se corresponde con $N=12$. En nuestra construcción $N$ puede tomar cualquier valor y, en particular, nos interesa cuando $N \rightarrow \infty$.

La espiral arquimediana

Si consideramos una espiral arquimediana $\rho = a + b \, \theta$ expresada en coordenadas polares $(\rho, \theta)$, con $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} + 6 \pi$, e imponemos que pase por los puntos $(\frac{\pi}{2}, 0)$ y $(\frac{\pi}{2} + 6 \pi, r)$ obtenemos que esta espiral viene determinada por la ecuación: $$ \begin{cases} \rho = \frac{r/3}{2 \pi} (\theta- \frac{\pi}{2}) \\ \\ \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} + 6 \pi \end{cases} \tag{2} $$

Convergencia de la pseudoespiral de Durero a la espiral arquimediana

La pseudoespiral de Durero (1), para cualquier $N$, y la espiral arquimediana (2) se intersecan en $3N$ puntos que se corresponden con los ángulos $\theta_k = \frac{\pi}{2} + 6 \pi - k \frac{2 \pi}{N}$ con $1 \le k \le 3N$.

La distancia entre dos puntos de contacto consecutivos $(\rho_{k-l}, \theta_{k-l})$ y $(\rho_k, \theta_k)$ viene dada por: $$ d((\rho_{k-l}, \theta_{k-l}),(\rho_k, \theta_k))= \rho_{k-l}^2 + \rho_k^2 - 2 \, \rho_{k-l} \, \rho_k \, cos(\theta_{k-l} - \theta_k) \tag{3} $$ Dado que $\theta_{k-l} - \theta_k \, = \, \frac{2 \pi}{N}$, entonces $$\lim_{N \to \infty} (\theta_{k-l} - \theta_k)=0 \tag{4}$$ y por la continuidad de la distancia: $$ \begin{aligned} \lim_{N \to \infty} d((\rho_{k-l}, \theta_{k-l}),(\rho_k, \theta_k)) &= \lim_{N \to \infty} \rho_{k-l}^2 + \rho_k^2 - 2 \, \rho_{k-l} \, \rho_k \\ &= \lim_{N \to \infty} (\rho_{k-l} \, - \, \rho_k)^2 \\ &= \lim_{N \to \infty} (\frac{r}{3N})^2 \\ &= 0 \end{aligned} \tag{5} $$ Consecuentemente la pseudoespiral de Durero (1) converge a la espiral arquimediana (2) cuando $N \rightarrow \infty$.