INDICACIONES
> INTRODUCCIÓN ¿La Naturaleza es matemática o matematizamos la Naturaleza? Independientemente de cuál fuera la alternativa cierta --si alguna lo es, o si no lo fuera ninguna de ellas o si lo son ambas-- lo que sí parece obvio es que basta observar nuestro entorno para reconocer atractivas formas naturales y asimilarlas a modelos matemáticos que se mimetizan con ellas, estableciendo un hipertunel entre la concreción y la abstracción, entre el mundo real y el virtual, que permite observar lo que en otras ocasiones hemos nombrado como "Las Matemáticas en la belleza y la belleza de las Matemáticas". El Nautilus pompilius (cefalópodo del género Nautilus) es un ejemplo de esa belleza matemática-natural.
> Nautilus pompilius (fuente wikipedia) | Sección de la concha del Nautilus pompilius (fuente imagexia)
Un cefalópodo del orden de los nautílidos (Nautilia) que lleva haciendo matemáticas desde el periodo Devónico (hace más de 400 millones de años) hasta nuestra actualidad, y que nos invita a matematizar. Hecho que es el objeto de esta miscelánea con Descartes: ¿Qué forma tiene la sección de la concha? ¿Por qué adopta esa forma y cómo se genera ésta? Abordemos un breve, pero explicativo, recorrido. OBJETIVOS Poner en evidencia que la Naturaleza es matemática o bien nosotros la matematizamos. Ver cómo la sección de la concha del Nautilus pompilius se ajusta a una espiral logarítmica cordobesa. Aproximar el crecimiento de la concha del Nautilus mediante un crecimiento gnomónico discreto de paso 2pi/16. verificar que el sifúnculo también se ajusta a una espiral logarítmica cordobesa. Mejorar la aproximación al crecimiento gnomónico del Nautilus considerando las dos zonas en las que el sifúnculo divide el interior de la sección plana considerada. Incrementar la aproximación considerando una familia de siete espirales cordobesas y aplicar el crecimiento gnomónico discreto en la región comprendida entre cada pareja de espirales consecutivas. Mejorar el modelo anterior permitiendo seleccionar el número de miembros que componen la familia de espirales anterior, así como introducir divisiones en la aproximación de las cavidades comprendidas entre cada par de septos consecutivos. Analizar cómo los septos son arcos de una espiral logarítmica cordobesa que se traslada y cómo el polo de la misma está siempre incluido en otra espiral logarítmica cordobesa. Mostrar el modelo matemático final del Nautilus pompilius. Analizar matemáticamente el modelo propuesto y las propiedades que de él se infieren. INSTRUCCIONES El objeto se desglosa en varias fases que se corresponden con diferentes escenas que pueden recorrerse con los botones de desplazamiento ubicados en la esquina superior derecha: Fase 0. Se muestra una imagen de la concha del Nautilus pompilius y del cefalópodo que la habita. Al pulsar sobre esta última imagen se accede a una página descriptiva del género de los Nautilus y al pulsar sobre el boton de información (icono azulado con la letra i) se accede a otra que describe, en concreto, a la especie Nautilus pompilius, objeto de este estudio particular. Fase 1. Sobre la sección de la concha del Nautilus se puede ajustar una espiral logarítimica. Pulsando sobre la imagen de la espiral de color rojo se activa y desactiva el ajuste. Al activarlo se puede variar el control numérico etiquetado como b y comparar la espiral con la concha, buscando la mejor coincidencia. Al pulsar sobre la imagen de la espiral azul se muestra el ajuste a la espiral logarítmica cordobesa (b aproximadamente igual a 1,186). Cuando b=1,186 o bien cuando se ha pulsado la imagen azul se muestra: Un control tipo pulsador, ubicado encima de la imagen de la concha, que al incrementarlo con el pulsador permite observar el crecimiento gnomonico discreto de paso 2pi/16 --dieciséis son las cámaras de flotación en cada una de las vueltas o verticilos--. Un botón con dos imagenes que permutan y que permite mostrar el crecimiento gnomónico superponiendo los gnómones bien con transparecia o bien con opacidad. El botón de información da acceso a una explicación de por qué la espiral que mejor se ajusta recibe el nombre de espiral logarítmica cordobesa y también cómo se genera el gnomon utilizado en el crecimiento gnomónico discreto. Para visualizar la explicación se puede usar la barra de scroll vertical, las teclas de desplazamiento o en dispositivos táctiles desplazar con el dedo. Un botón con la imagen de la concha permite mostrar u ocultar la misma. Fase 2. Sobre los restos del sifúnculo se puede ajustar también una espiral logarítmica. En la imagen ubicada en la parte superior izquierda (tomada de wikipedia) puede observarse qué es el sifúnculo y pulsando sobre ella se accede a una página donde se detalla qué es, cuál es su funcionalidad y la explicación de cómo funciona. En la fase anterior puede verificarse que no hay ninguna espiral de la forma b^tetha que se ajuste bien al sifúnculo, pero aquí podemos comprobar que si escalamos la espiral logarítmica cordobesa con un factor 0,7 ésta sí se ajusta adecuadamente. Intuitivamente parece lógico que acontezca esto, ya que todas las zonas de la sección de la concha del Nautilus deben seguir un mismo tipo o patrón de crecimiento, si bien a diferente escala, y así es como acontece. Se dispone de un control numérico etiquetado como a para lograr este ajuste. Puede comprobarse que la zona interior que ocupan las cavidades se corresponde con espirales en las que los valores de a están en el intervalo 0.34<a<1. Se dispone de tres botones con la imagen de la espiral en rojo, en azul claro y en azul oscuro. Al pulsarlo respectivamente se obtiene la espiral con la que se está ajustando el sifúnculo, la espiral que lo ajusta y la espiral que ajusta el borde de la concha. Cuando a=0,7 o bien cuando se ha pulsado la imagen azul claro se muestra: Un control tipo pulsador, ubicado encima de la imagen de la concha, que al incrementarlo con el pulsador permite observar el crecimiento gnomonico discreto de paso 2pi/16 de ambas espirales, y cómo este ajuste en más cercano al crecimiento de las cavidades. Un botón con dos imagenes que permutan y que permite mostrar ese crecimiento gnomónico superponiendo los gnómones bien con transparencia o bien con opacidad. El botón de información da acceso a la explicación matemática teórica de los valores de a antes citados. Fase 3. El ajuste del crecimiento gnomónico de las cámaras que se forman entre los septos se mejora si se considera una famila de espirales logarítmicas cordobesas. Se dispone de un botón, cuya imagen es una familia de espirales, que permite mostrar u ocultar siete espirales cordobesas correspondientes a los valores a=0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 1. Para distinguirlas se representan en una escala de azules de más claro a más oscuro. Con el pulsador ubicado encima de la imagen de la concha puede verse, con análoga funcionalidad a la indicada en la fase 1, el crecimiento gnomónico de paso 2pi/16 bien con transparencia o bien con opacidad de los gnómones. Puede observarse la mejora indicada respecto a las cámaras delimitadas por los septos, pero ese ajuste no llega a ser totalmente adecuado para la concha (es lógico que esto ocurra porque la concha no crece con el paso discreto de las cavidades, sino de una manera continua entre cavidad y cavidad). El botón de información da acceso a una síntesis gráfica de esta aproximación. Fase 4. En esta fase abordamos una simulación que nos acerque aún más a la realidad. En lo que respecta al interior se permite una mejor aproximación considerando familias de espirales cordobesas con más miembros. Con el control etiquetado "espirales" se puede elegir hasta un total de 65 de ellas. En lo relativo al espacio entre septos y la sección de la concha en sí, se puede considerar un paso cada vez menor, tendiendo a cero o crecimiento instantáneo. Para ello se cuenta con el control etiquetado "divisiones cavidad". Se pueden efectuar hasta 9 divisiones. Al cambiar el número de estas divisiones se puede observar cierto retardo entre la selección y su representación debido al cálculo computacional que es necesario realizar. Fase 5. ¿Cómo se produce el crecimiento de los septos? Dar respuesta a esa pregunta es el objetivo de esta fase. La escena inicialmente presenta la aproximación del septo trigésimo tercero mediante dos arcos uno rojo y otro verde que se intersecan en un punto turquesa el cual se corresponde con el punto de corte del septo con el sifúnculo. Y en la parte inferior se dispone de varios controles que nos permitirán visualizar y comprender el modelo matemático. Con el control etiquetado "septo" podemos observar la aproximación de cada uno de ellos. Puede observarse cierto desfase en el modelo matemático a partir del septo trigésimo octavo. En el botón de información (botón con la imagen de la letra i) puede consultarse el detalle y observaciones técnicas. Hay seis botones con la imagen de la espiral cordobesa en diferentes colores que permiten dibujar o borrar ciertas curvas: Espiral gris oscura. Al activar este botón se presenta adicionalmente un control etiquetado con la letra b y se dibuja una espiral logarítmica de base este valor. Esta espiral puede trasladarse y el objetivo es tratar de ver si con ella pueden ajustarse los arcos que forman los septos y qué valor de b es el que permite aproximarse mejor a ellos. Espiral gris claro: es una espiral cordobesa y trasladándola convenientemente podrá comprobarse que aproxima muy bien a los septos, a la vez de observar cómo hay que desplazar el polo de esta espiral para que se vaya produciendo esa adecuada aproximación. Espiral naranja: es una espiral cordobesa y es la que aproxima al arco de cada septo. Puede observarse cómo hay que desplazarla y dónde hay que ubicar el polo para lograr esa aproximación sin más que usar el control "septo" y cambiar su valor. Espiral magenta: muestra la espiral en la que se ubican los polos de las espirales que determinan los septos (espirales de color naranja anteriores). Espiral azul: se corresponde con la sección de la concha y se dibuja hasta el septo seleccionado en el control septo, junto a la cavidad habitacional del animal. Espiral turquesa: es el sifúnculo hasta el septo elegido. El botón cuya imagen son diversos arcos de los septos permite mostrar u ocultar todos los septos modelados hasta el actualmente seleccionado. El botón i da acceso a explicaciones más detalladas y técnicas y el botón con la imagen de Nautilus permite ocultar éste y mostrar sólo el modelo matemático contemplado. Fase 6. Finalmente estamos en condiciones de mostrar el modelo matemático completo relativo a la morfología y al crecimiento del Nautilus pompilius. Un modelo exclusivamente basado en la espiral logarítmica cordobesa y en definitiva en la que subyace la proporción cordobesa. Con los botones ubicados en la parte inferior puede controlarse una animación que recrea dicho crecimiento y el botón de información da acceso a detalles que fundamentan dicho modelo . DOCUMENTACIÓN MATEMÁTICA Desde este enlace puede accederse al artículo "Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus pompilius"en el que se detalla el análisis matemático realizado.