LEMA
ENUNCIADO Lema. Dada una poligonal abierta $ \{ P_k \}_{{-}\infty}^{{+}\infty}$ en la que $\dfrac{|\overrightarrow{P_k P_{k+1}}|}{|\overrightarrow{P_{k-1} P_k }|} = m$ y $\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}} = \pi - \alpha$, entonces los puntos $P_k$ son puntos de la espiral logarítmica $\large \rho= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\theta$. DEMOSTRACIÓN Si consideramos el plano complejo, relacionemos el vector $\overrightarrow{O P_k }$ con el afijo del número complejo $z_k$, y sea $w_k=z_{k+1}-z_k$, entonces según las hipótesis del lema se verifica que $$\frac{|w_k|}{|w_{k-1}|} = m \tag{1}$$ y $$arg(\frac{w_k}{w_{k-1}})=\alpha, \tag{2}$$ por tanto, $$\forall{k}, w_k=e^{i \alpha} w_{k-1}, \tag{3}$$ denotando $q=e^{i \alpha}$, por recurrencia tenemos que $$w_k=q^k \, w_0. \tag{4}$$ Desglosando (4) para $0 \le k \le n$ obtenemos la suma de una progresión geométrica y hallando su suma llegamos a que $$ \begin{aligned} z_n &=z_0+w_0 \sum_{j=0}^{n-1} q^j \\ &= z_0+w_0 \frac{q^n-1}{q-1} \\ &= z_0-\frac{w_0}{q-1}+\frac{w_0}{q-1} q^n. \\ &= p+f \, q^n, \\ \end{aligned} \tag{5} $$ donde $p=z_0-\dfrac{w_0}{q-1}$ y $f=\dfrac{w_0}{q-1} $. El afijo del número complejo $p$ se corresponde con un punto que denominaremos P (que es el polo de la espiral buscada) y considerando coordenadas polares respecto ese punto P, tendríamos que el punto $P_n$ asociado al número $z_n$ tiene de módulo $$\rho_n=|z_n-p|= |f| \, q^n = |f| m^n \tag{6}$$ y de argumento $$\theta_n=arg(z_n-p)=arg(f)+arg(q^n)=arg(f)+n \, arg(q)=arg(f)+n \, \alpha, \tag{7}$$ luego de (5) y (6) los puntos $P_n$ en coordenadas polares respecto a $P$ verifican $$\begin{aligned} \rho_n &=|f| m^{\frac{\theta_n-arg(f)}{\alpha}} \\ &= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{\theta_n} \\ \end{aligned} \tag{8} $$ con $$d=|f| m^{\frac{-arg(f)}{\alpha}} \tag{9}$$ Por tanto, los punto $P_n$ son puntos de la espiral logarítmica $$\rho= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{\theta}. \tag{10}$$ Q.E.D. Nota bene: Este resultado puede considerarse el recíproco de la construcción de las espirales logarítmicas discretas con las que trabajamos en el libro "¡No!, ¡no soy áureo! ¡Soy cordobés! Firmado: Nautilus" (Galo, 2024, pp. 153-160)