Paso 3. Demostración matemática.

> Considerando que el centro del arco de la circunferencia inicial es $\color{#9b00b6} C_0 (0, 0)$, es decir, el origen de coordenadas $\color{#9b00b6} O$, que el radio inicial es $r$ (sin ser restrictivos, podría considerarse $r=1$ ya que sólo supone un cambio de escala), que el punto inicial ${\color{#b63f00} P_0} \equiv {\color{black}a}$ tiene coordenadas $\color{#b63f00} (0,r)$, que la amplitud de los arcos a trazar es $\alpha \gt 0$, y que el factor de crecimiento es $m \gt 1$, entonces si denotamos a los puntos extremos de los arcos como $\color{#b63f00} P_k$ y a los puntos respectivos que son los centros de esos arcos por $\color{#9b00b6} C_k$ con $k \in \mathbb{Z}$ (enteros negativos para los arcos hacia dentro y positivos para los arcos hacia fuera). Siguiendo las instrucciones de la construcción, para $k \gt 0$ (análogo cuando con $k \lt 0$), tenemos que: $${\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_k}} = {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} + r \, m^k \, \overrightarrow{u}_k \tag{1}$$ con $$\overrightarrow{u_k} = (cos(\frac{\pi}{2}+ k \alpha), sen(\frac{\pi}{2}+ k \alpha)) \tag{2}$$ y $$\begin{aligned} {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} &= {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} + m \, ({\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} - {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}})\\ &= m \, {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} + (1-m) \, {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}}. \\ \end{aligned} \tag{3}$$ Para tratar de hallar una expresión genérica de las coordenadas de $\color{#b63f00} P_k$ y $\color{#9b00b6} C_k$, si particularizamos la expresión (1) en el valor $k-1$ tenemos $${\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} -{\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} = - r \, m^{k-1} \, \overrightarrow{u}_{k-1} \tag{4}$$ al sustituir en (3) se deduce que $$ {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} = {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} - r \, m^k \, \overrightarrow{u}_{k-1} \tag{5} $$ y sustituyendo ahora (5) en (1), se tiene la siguiente relación $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{k-1}}} = r \, m^k \, (\overrightarrow{u}_{k} - \overrightarrow{u}_{k-1}). \tag{6} $$ Escribiendo la expresión (6) para valores desde $1$ hasta $k-1$ y sumándolas se obtiene que $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{0}}} = r \sum_{j=0}^{k} {m^j (\overrightarrow{u}_{j} - \overrightarrow{u}_{j-1}) }, \tag{7} $$ es decir, $$\begin{aligned} {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P}_{k}} &= {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{0}}} + r \sum_{j=0}^k {m^j (\overrightarrow{u}_{j} - \overrightarrow{u}_{j-1}) }\\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j \overrightarrow{u}_{j}}+ r \, m^k u_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (cos(\frac{\pi}{2}+ j \alpha), sen(\frac{\pi}{2}+ j \alpha))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (-sen(j \alpha), cos(j \alpha))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (Re(i e^{i j \alpha}), Im(i e^{i j \alpha}))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \, i \sum_{j=0}^{k-1} { m^j \, e^{i j \alpha}}+ r \, m^k \overrightarrow{u}_k , \\ \end{aligned} \tag{8}$$ donde $i$ es la unidad imaginaria, Por tanto, basta abordar el cálculo de la suma de la progresión geométrica compleja $ m^j \, e^{i j \alpha}, 0 \le j \le k-1$ cuya razón es $q=m \, e^{i \alpha}$, de módulo $|m \, e^{i \alpha}|=m >1$. $$ i \, \sum_{j=0}^{k-1} m^j \, e^{i j \alpha} = i \, \sum_{j=0}^{k-1} r^j = i\frac{1-r^{k}}{1 - r} = i \, \frac{ 1- m^{k} e^{i (k) \alpha}}{1 - m \, e^{i \alpha}} \tag{9}$$ cuya parte real viene dada por: $$ R=\frac{-m \, \text{sen } \alpha + m^{k} \text{sen}(k \alpha) - m^{k+1} \text{sen}((k-1) \alpha)}{m^2 - 2 m \, \text{cos }\alpha +1} \tag{10} $$ y la imaginaria es: $$ I=\frac{1-m \, \text{cos } \alpha - m^{k} \text{cos}(k \alpha) + m^{k+1} \text{cos}((k-1) \alpha)}{m^2 - 2 m \, \text{cos }\alpha +1} \tag{11} $$
> Así pues de (8), (9), (10) y (11) obtenemos que: $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P}_{k}} = {\color{#b63f00} \left( r (1-m) R - r \, m^k \, sen(k \alpha) , r (1-m) I + r \, m^k \, cos(k \alpha)\right)} \tag{12}$$ y a partir de (1) y (12) podemos escribir las coordenadas de $\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}$ $$ {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C}_{k}} = {\color{#9b00b6} \left( r (1-m) R , r (1-m) I \right)} \tag{13}$$
> Consecuentemente, bajo los supuestos anteriores, la pseudoespiral de Durero en el paso $k$-ésimo, con $k \in \mathbb{Z}$, viene dada por: $$ \color{#b63f00} \begin{cases} x={\color{#9b00b6}C_{k_x}} + r \, m^k cos (\frac{\pi}{2} + \theta)\\ y={\color{#9b00b6}C_{k_y}} + r \, m^k sen (\frac{\pi}{2} +\theta) \end{cases} \tag{14} $$ donde $(k-1) \, \alpha \le \theta \le k \, \alpha$.
> Cuando $k \lt 0$ tenemos la espiral "hacia dentro" y cuando $k \gt 0$ la espiral "hacia fuera".