Paso 4. Demostración matemática.

> Como primer paso, supuesto que los puntos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral logarítmica, determinemos cuál tendría que ser el polo $\color{#1bb600} P$ de la citada espiral y este punto vendría dado por: $$ \lim_{k \to{-}\infty}{\color{#b63f00} { P}_{k}} = \color{#1bb600} P \tag{17}$$
> Su determinación es sencilla ya que al ser $m \gt 1$, entonces $ \lim_{k \to{-}\infty} {m^k}=0$ y, consecuentemente, por (12) se obtiene que las coordenadas de dicho polo $\color{#1bb600} P$ son las indicadas en (16).
> Adicionalmente, por (1), se verifica también que el polo es el límite de los centros de los arcos de circunferencia que intervienen en la construcción de Durero, es decir, $$ \lim_{k \to{-}\infty}{\color{#9b00b6}C_{k}} = \color{#1bb600} P \tag{18}$$ Lo anterior está representado gráficamente en la Fig. 4.1.

> Fig. 4.1. Convergencia de los extremos de los arcos y centros de los mismos al polo de la espiral.

> Para verificar que los $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral logarítmica basta aplicar el lema citado, el cual se cumple en nuestro caso ya que de (6),tenemos que $$ \begin{aligned} {\color{#b63f00} |\overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{k-1}}}| &= r \, m^k \, |\overrightarrow{u}_{k} - \overrightarrow{u}_{k-1}| \\ &= r \, m^k \, 2 |sen \frac{\alpha}{2}| , \\ \end{aligned} \tag{19} $$ es decir, se verifica la primera hipótesis del Lema: $\dfrac{|\color{#b63f00}{\overrightarrow{ P_k P_{k+1}}}|}{|{\color{#b63f00}\overrightarrow{ P_{k-1} P_k }}|} = m$ y según puede observarse y deducirse en la Fig. 4.2, se cumple la segunda hipótesis ${\color{#b63f00}\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}}} = \pi - \alpha$, pues el triángulo $\color{#b63f00} P_k P_{k+1} \color{#9b00b6} C_{k+1} $ es isósceles $\forall k$, con ángulo desigual $\alpha$, al ser $| {\color{#9b00b6} C_{k+1}} {\color{#b63f00} P_k}| $ y $| {\color{#9b00b6} C_{k+1}} {\color{#b63f00} P_{k+1}}| $ los radios del arco $\color{#b63f00} P_k P_{k+1}$.

> Fig. 4.2. Ángulos de los segmentos de la poligonal formada por los extremos de los arcos $P_k$ y los centros de los mismos $C_k$.

> Así pues, por el lema anterior los puntos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral $\large \rho= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\theta$ con polo el punto $\color{#1bb600} P$ expresado en (16) y para determinar el valor del coeficiente $d$ basta imponer que dicha espiral pase por el punto $ {\color{#b63f00} { P}_{0} (0,r)}$ y ello conlleva la necesidad de conocer las coordenadas polares de este punto, es decir, concretar el valor del radio polar $\rho_{\color{#b63f00} P_0} =\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#b63f00} P_0})$ y el argumento del mismo $\theta_{\color{#b63f00} P_0}$ denotado como $\gamma$ en la Fig.4.3.

> Fig. 4.3. Determinación del coeficiente $\color{#1bb600} a$ en la espiral logarítmica que contiene a los $P_k$.

> $\gamma$ es el ángulo que forma la dirección del eje polar $\theta =0$ con la semirrecta determinada por el polo ${\color{#1bb600}P}$ y ${\color{#b63f00}P_0(0,r)}$, es decir, $\gamma = \measuredangle(\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}, \overrightarrow{i})$ siendo $\overrightarrow{i}$ el vector director del eje de abscisas en sentido positivo del mismo. Para simplificar la escritura de estos cálculos consideremos las coordenadas del polo escritas como ${\color{#1bb600}P(r\, A, r \, B)}$ (ver (16)) y entonces: $$ \begin{aligned} \gamma &= arccos (\frac{\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}·\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}| \, |\overrightarrow{i}|})\\ &= arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+(1-B)^2}})\\ \tag{20} \end{aligned} $$ y $$\begin{aligned} \rho_{\color{#b63f00} P_0} &=\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#b63f00} P_0})\\ &=r \sqrt{A^2+(1-B)^2}. \\ \tag{21} \end{aligned} $$ Por tanto, se ha de cumplir que $$ r \sqrt{A^2+(1-B)^2} = d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\gamma \tag{22} $$ de donde obtenemos que $$ d = r \sqrt{A^2+(1-B)^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma} \tag{23} $$ y, consecuentemente la espiral logarítmica sigue la expresión (15) antes indicada con $$ {\color{#1bb600} a_p} = \sqrt{A^2+(1-B)^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma}. \tag{24} $$
> Finalmente, veamos que el ángulo que forman los radios vectores de los puntos ${\color{#b63f00}P_k}$ en la espiral logarítmica, es decir respecto al polo ${\color{#1bb600}P}$ son múltiplos de $\alpha$, es decir, ${\color{#b63f00}k} \, \alpha$. En la figura 10 podemos observar que dado que se cumple la proporcionalidad entre los segmentos $\color{#b63f00} \overline{P_kP_{k+1}}$ $ \forall{k}$, según hemos visto antes, y que estos son puntos de una espiral logarítmica, entonces los radios vectores $\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_k}}$ son también proporcionales y por ende los triángulos ${\color{#b63f00}P_k}{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_{k+1}}$ son semejantes, consecuentemente los ángulos homólogos son iguales. En la Fig. 4.4 observamos que el ángulo $${\color{#b63f00}\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}}} = \pi - \alpha = \delta + \epsilon \tag{25}$$ y en el triángulo ${\color{#b63f00}{P_{k-1}} {\color{#1bb600}P} {\color{#b63f00}P_{k+1}}}$ tenemos que $$\beta+\delta+\epsilon=\pi \tag{26}$$ obteniendo que $\beta = \alpha$.
> Por tanto los ángulos que determinan a dichos puntos ${\color{#b63f00}P_k}$ en la espiral logarítmica (15) son $\theta=\gamma+ {\color{#b63f00} k} \, \alpha$, con $\gamma$ dado por (20).

> Fig. 4.4. Determinación del angulo $\beta$ en la pseudoespiral de Durero respecto al polo $\color{#1bb600} P$ de la espiral logarítmica. Se concluye que $\beta$ es igual a $\alpha$ que es lo afirmado anteriormente.