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	<title>Demostración paso 5</title>
  

  
  
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				<b>Paso 5. Demostración matemática</b>.<br>
				<p style="text-align: justify;">
						
						<br>					
						Lo probado anteriormente en el <b>paso 4</b> podemos aplicarlo analogamente a los centros ${\color{#9b00b6}C_{k}}$, los cuales también son puntos de una espiral con igual polo ${\color{#1bb600}P}$, según hemos visto antes, de igual base $m^{\frac{1}{\alpha}}$, pero con diferente coeficiente (lo que equivale a un giro de la misma o bien se puede interpretar como un ángulo de retardo). 
						<br><br>
						 <p align="center">
								<img loading="lazy" src="../img/AnguloPk.jpg" width="327px;" title="Los P_k cumplen las hipótesis del lema" alt="Los P_k cumplen las hipótesis del lema">
						<br><br>
						<span style="font-size:10px;">Fig. 5.1. Ángulos de los segmentos de la poligonal formada por los <span style="color:#b63f00;">extremos de los arcos $P_k$</span> y los <span style="color:#9b00b6;">centros de los mismos $C_k$</span>

						</p>
						En la Fig. 5.1 se observa que $ {\color{#9b00b6}\widehat{C_{k-1} C_k C_{k+1}}} = \pi - \alpha $ y también se verifica que $\dfrac{|\color{#9b00b6}{\overrightarrow{ C_k C_{k+1}}}|}{|{\color{#9b00b6}\overrightarrow{ C_{k-1} C_k }}|} = m$, luego aplicando el Lema citado, los puntos ${\color{#9b00b6}C_{k}}$ están en una espiral del tipo (27) (el mismo tipo que (15)). Para hallar $c$ en esa expresión impongamos que ha de pasar por ${\color{#9b00b6}C_{0}(0,0)}$ y para ello hallemos el ángulo $\gamma_c$ que forma $\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}$ con el eje polar $\theta=0$   
												
						
						$$
						\begin{aligned}
						\gamma_{\color{#9b00b6}C_0} &= arccos (\frac{\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}·\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}| \, |\overrightarrow{i}|})\\
						&= arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})\\ \tag{29}
						\end{aligned}
						$$
						y
						$$\begin{aligned}
						\rho_{\color{#9b00b6}C_0}
						&=\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#9b00b6}C_0})\\
						&=r \sqrt{A^2+B^2}.
														\\ \tag{30}
						\end{aligned}
						$$
						
						Por tanto, se ha de cumplir que 
						$$
						 	r \sqrt{A^2+B^2} = d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}} \tag{31}
						$$
						de donde obtenemos que 
						
						$$
							d = r \sqrt{A^2+B^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}}  \tag{32}
						$$
						y, consecuentemente la espiral logarítmica sigue la expresión (15) antes indicada con 
						$$
							{\color{#9b00b6} a_c}  = \sqrt{A^2+B^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}}.  \tag{33}
						$$
						
						Y, análogamente a lo que acontece en <span style="color:#1bb600;"> en la espiral de los extremos de los arcos</span>, en esta <span style="color:#9b00b6;">espiral de centros</span> los ángulos que determinan a dichos puntos ${\color{#9b00b6}C_k}$ en <span style="color:#9b00b6;">la espiral logarítmica</span> (15) son $\theta=\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}+ {\color{#9b00b6} k} \, \alpha$, con $\gamma$ dado por (27).
							<br><br>
						Nota: En el cálculo de $\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}$, si el valor de la ordenada del polo es positiva, es decir $B \gt 0$ (el punto ${\color{#1bb600}P}$ tiene una ordenada mayor se ubica "por encima" del punto ${\color{#9b00b6}C_0 (0,0)}$) y consecuentemente el ángulo que forma es cóncavo, así pues hay que considerar el valor opuesto al aportado por (29) $- \,arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})$, o bien $2 \pi- arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})$.
							
						
				
		
		
        
	</p>
	
	
	
	
		
  </blockquote>
  
           
</body></html>
		  	 
        