INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En esta miscelánea se analiza la partición o descomposición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera abordando una perspectiva global. OBJETIVOS Analizar cómo se puede descomponer un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera. Comprobar las diferentes situaciones que se dan al buscar que el numero de pirámides sea mínimo. Detectar cuando la partición consta de tres, cuatro, cinco o seis pirámides. Obtener los desarrollos planos de todas las pirámides de la partición. Aportar los desarrollo planos en un documento imprimible para poder reproducir la situación en un contexto manipulativo. Mostrar un modelo elaborado a partir del desarrollo anterior. INSTRUCCIONES La escena se inicia con una imagen que muestra el objetivo y aporta al usuario un menú con varias opciones en el que se invita e indica "Selecciona opción...": Define el hexaedro. Un hexaedro convexo de caras cuadriláteras queda determinado, por ejemplo, conociendo dos vértices no coplanarios y estableciendo desde cada uno de ellos tres vectores que establezcan el sentido en el que se ubican las aristas. Consecuentemente, en la escena se le oferta al usuario la posibilidad de introducir las coordenadas de los dos vértices (etiquetados como A y G) y las componentes de los vectores u1, u2 y u3 que marcan el sentido de las aristas desde A, y los vectores u4, u5 y u6 que marcan el sentido de las aristas desde G. De acuerdo a los datos introducidos: Se normalizan los vectores ui en los vi=ui/|ui|, y se dibujan en el espacio de fondo azulado los mismos. Se dibuja, con las caras de color amarillo, el hexaedro convexo obtenido a partir de los datos introducidos por el usario o bien se indica si con esos datos no es posible obtener ningún hexaedro convexo de bases cuadriláteras. Cuando esto último acontece entonces se muestran advertencias de qué es lo que ocurre (vértices coincidentes, cuadriláteros no convexos o que el sentido de las aristas no determina ningún hexaedro) y la opciones del menú quedan restringidas hasta que el usuario defina un hexaedro. Se indican los casos particulares en los que el hexaedro obtenido sea un paralelepípedo y en particular si es un cubo, un ortoedro, un romboedro o un romboiedro. Como funcionalidad básica de Descartes siempre se puede: Girar las figuras tridimensionales pulsando el botón izquierdo del ratón y desplazando éste, o usando los dedos en dispositivos táctiles. O en caso de objetos bidimensionales desplazarlos de igual forma salvo que el programador lo haya limitado. Ampliar, hacer zum, pulsando el botón derecho del ratón y desplazándolo hacia arriba o hacia abajo. En este objeto se incluye también un pulsador que permite cambiar la escala. Partición o descomposición del hexaedro . Se muestra inicialmente el paralelepípedo considerado de color amarillo y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar: Tres controles tipo pulsador etiquetados con Mx, My, Mz que representan las coordenadas de un punto M que podremos posicionar en el interior y en la frontera del cubo. Se controla automáticamente que el punto M(Mx, My, Mz) cumpla esa condición, impidiendo la introducción de valores correspondientes a puntos situados en el exterior a dicho poliedro. Un pulsador etiquetado "escala" que permite cambiar la escala de representación. Seis controles, dos en el lateral izquierdo, dos abajo y dos en el lateral derecho, representados por sendos círculos verdes y rojos. Desplazándolos puede separar las pirámides que componen dicho cubo en las tres direcciones espaciales. Cuatro botones y una barra de "scroll": "Desmontar hexaedro"/"Montar hexaedro" que permite activar una animación en la que se muestra la descomposición del hexaedro, o viceversa. Al pulsarlos se desactiva la barra de "scroll" manual hasta que finaliza la animación. La barra de "scroll" permite realizar manualmente el desmontaje o montaje del hexaedro. Al usarla se desactivan los botones de montaje automático y se vuelven a activar una vez que el poliedro haya sido montado o desmontado completamente con la barra, es decir, cuando esté en una de las posiciones extremas. "Ver vértices"/"Ocultar vértices" con el que se etiquetan los vértices del hexaedro y los de las pirámides que lo componen. "Ver longitudes"/"Ocultar longitudes" con el que se etiquetan las aristas del hexaedro y de las pirámides indicando la medida de cada una, permitiendo comparar unas pirámides con otras para detectar posibles regularidades o congruencias entre las mismas. "Ver detalle de corte"/"Ocultar detalle corte" que muestra las caras que comparten las pirámides en la partición. Desarrollos de las pirámides de la partición; animación y desarrollo plano. En esta opción la escena se presenta dividida en tres zonas: Zona superior con un menú en el que seleccionar cada una de las pirámides que conforman la partición. El número de opciones varía entre tres y seis, según sea el número de pirámides obtenidas. Zona inferior izquierda con una vista global de la partición desarollada y en la que se han etiquetado las pirámides con los números romanos I, II, III, IV, V, VI; pero no siempre será ese el número de pirámides. El usuario puede identificar la pirámide que ha seleccionado y ubicarla en el desarrollo global del cubo. Zona inferior derecha con un vista del desarrollo plano de la pirámide seleccionada. Cada una de las tres zonas están interconectadas y el movimiento que se haga en una se reflejará en las otras dos. Se cuenta con sendos pulsadores que permiten cambiar la escala para ajustar la representación gráfica al espacio disponible. Al elegir una opción de menú aparece la pirámide correspondiente y dos botones: "Desarrollar"/"Plegar" que activa la animación. "Ver pirámide"/"Ocultar pirámide" que aparece cuando está visible el desarrollo y permite visualizarlo junto a la pirámide. En la zona del desarollo plano se dispone de un botón "imprimir" que da acceso a una pantalla en la que se puede seleccionar la escala deseada para el desarrollo y proceder a imprimirlo pulsando el icono de la impresora. En la pantalla que se abre el icono del aspa permite cerrarla y regresar a la situación anterior, pudiendo elegir otra pirámide, y también hay un botón que permite activar dos barras de desplazamiento de la figura, cuando ésta pueda quedar cortada. Desarrollos planos de las pirámides de la partición. Se cuenta con un menú que permite seleccionar la pirámide de la partición que se desee en cada momento. Al seleccionar una se muestra el desarrollo correspondiente y permite modificar la escala. El icono de la impresora permite proceder a su impresión. Esta opción es análoga a la imprimir antes indicada, pero en este caso, sin necesidad de pasar por el desarrollo tridimensional, se puede imprimir el desarrollo de todas las pirámides. El usuario así puede montar el paralelepípedo a partir de dicha partición de una manera tangible. Ejemplo y fotografías de la reproducción en papel. Con las flechas inferiores se puede navegar por varias fotos que muestran la reproducción en papel de un ejemplo en el que se muestran las coordenadas de los vértices considerados y el punto M usado para definir la partición, el cual, en este caso es un punto de una de las aristas. Puede imprimirse este ejemplo pulsando el botón "Imprimir el ejemplo" y observar algunas fotografías de la reproducción realizada en papel navegando con las flechas ubicadas en la parte inferior. CONCLUSIONES Se concluye que cuando el punto M seleccionado es un vértice del hexaedro la descomposición es en tres pirámides, cuando ese punto se ubica en una arista la partición está formada por cuatro pirámides, si se sitúa en una cara del cubo son cinco y si está en el interior son seis. Este recurso es una generalización de la partición de un paralelepípedo en pirámides de base cuadrilátera. Un recurso específico para esta situacion es accesible desde esta dirección.