INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En esta miscelánea se analiza la partición o descomposición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes. OBJETIVOS Analizar cómo se puede descomponer un cubo en pirámides triangulares mediante la descomposición previa en dos prismas triangulares (partición prismática). Comprobar las diferentes situaciones que se puede dar al buscar que el número de pirámides de la partición sea mínimo, lo cual acontece con seis pirámides. Detectar los diferentes tipos de pirámides que se pueden obtener. Comprobar las relaciones de congruencia o de semejanza entre las pirámides que componen la partición. Obtener los desarrollos planos de todas las pirámides de la partición. Aportar los desarrollos planos en un documento imprimible para poder reproducir la situación en un contexto manipulativo. Comparar las diferentes particiones obtenidas. Verificar que, salvo isometrías, hay ocho posibilidades al realizar la partición prismática del cubo. En dos de ellas las pirámides además de equivalentes son congruentes entre sí. Mostrar un modelo elaborado en papel que muestra algunos casos de lo analizado y concluído. INSTRUCCIONES La escena se inicia con una imagen mostrando el objetivo y aporta al usuario un menú con varias opciones en el que se invita e indica "Selecciona opción...": Partición del cubo en dos prismas. Se muestra inicialmente un cubo y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar: Dos controles en la parte inferior. Desplazándolos puede descomponerse el cubo en dos prismas rectos de bases dos triángulos rectángulos isósceles. Como funcionalidad básica de Descartes siempre se puede: Girar las figuras tridimensionales pulsando el botón izquierdo del ratón y desplazando éste, o usando los dedos en dispositivos táctiles. O en caso de objetos bidimensionales desplazarlos de igual forma salvo que el programador lo haya limitado. Ampliar, hacer zum, pulsando el botón derecho del ratón y desplazándolo hacia arriba o hacia abajo. Partición del prisma en pirámides triangulares equivalentes. Esta partición puede consultarse de manera detallada en un objeto interactivo específico. Se muestra un prisma triangular de bases dos triángulos rectángulos isósceles y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar: Dos controles en el lateral izquierdo. Desplazándolos puede separar las pirámides que componen dicho prisma. Un pulsador con el que se pueden observar las seis formas posibles de partir el prisma (etiquetadas con números romanos: I, II, III, IV, V y VI). Para cada una de ellas se muestran con colores los cuatro tipos de pirámides triangulares que las componen. Éstas se etiquetan como X1 (en azul), X2 (verde), Y (rojo)y Z (blanco). Todas son pirámides equivalentes (igual volumen) y las dos primeras son congruentes (coincidentes mediante isometrías). -----Desarrollos planos de las pirámides de la partición. Se refleja una imagen con los cuatro tipos de pirámides posibles y se oferta un submenú en el que se invita a seleccionar uno de los tipos: "Pirámide triangular tipo X1", "Pirámide triangular tipo X2", "Pirámide triangular tipo Y" y "Pirámide triangular tipo Z". Al elegir una de las opciones o pulsando sobre la imagen de cada desarrollo se muestra éste y se permite modificar la escala y elegir entre el color distintivo del tipo de pirámide o bien el blanco. El botón "Ver pestañas/Ocultar pestañas" muestra u oculta las mismas, y el icono de la impresora permite proceder a su impresión. El usuario así puede montar el prisma y el cubo, de una manera tangible, según el esquema de la partición que se analiza en las siguientes opciones. Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes. Se muestran las diferentes particiones que pueden obtenerse. Se referencian en base a las variaciones con repetición que se pueden obtener a partir de las seis particiones obtenidas en la descomposición del prisma, sin eliminar inicialmente las congruencias que surgen y que veremos posteriormente. Se cuenta con dos pulsadores para cambiar la partición y seis controles en los laterales y en la parte inferior para separar las pirámides. Además se tienen tres botones: "Ver vértices"/"Ocultar vértices" con el que se etiquetan los vértices del cubo y los de las pirámides que lo componen. "Ver longitudes"/"Ocultar longitudes" con el que se etiquetan las aristas del cubo y de las pirámides indicando la medida de cada una, permitiendo comparar y determinar que todas las pirámides son iguales. "Ver detalle de corte"/"Ocultar detalle corte" que muestra las caras que comparten las pirámides en la partición. -----Particiones prismáticas con pirámides equivalentes. Se muestran las treinta y seis particiones posibles referenciándolas a partir de la numeración utilizada en los prismas que la componen. Cada cubo puede girarse para visualizar las piramides que lo componen. En la esquina inferior de cada partición se tiene un botón que al pulsarlo genera un giro de 180º alrededor del eje Oz y se indica la partición en la que se transforma por este movimiento. En la parte superior se dispone de un botón que, al pulsarlo, difumina las particiones que son congruentes mediante ese giro de 180º alrededor del eje Oz. Este giro convierte la partición P1-P2 en P2-P1, por ejemplo la II-I en I-II. Así pues, mediante esta congruencia las treinta y seis particiones iniciales quedan reducidas a veintiuna. Particiones prismáticas con pirámides congruentes. De las particiones anteriores se muestran aquellas en las que todas las pirámides que las componen son congruentes entre sí. Hay cuatro particiones que cumplen esta condición, pero de partida la partición IV-I es congruente con la I-IV mediante un giro de 180º alrededor del eje Oz. Fotografías de la reproducción en papel. Con las flechas inferiores se puede navegar por tres fotos en las que se muestran algunas particiones del cubo reproducidas en papel. Reducción por congruencia de las particiones. En esta escena se oferta al usuario la posibilidad de buscar congruencias entre las treinta y seis particiones prismáticas del cubo y determinar, entre ellas, el número mínimo de particiones diferentes salvo isometrías. Cada partición cuenta con tres botones que permiten: aplicar un giro de 90º alrededor del eje OZ, otro de 180º alrededor del eje Oy y una simetría respecto al plano que une los dos prismas. Adicionalmente, en la parte superior, se cuenta con nueve botones que ayudan a determinar las particiones que son congruentes entre sí. Se usa un código de colores, de manera que al pulsar un botón se muestran recuadradas con el color del botón las particiones congruentes y el resto quedan difuminadas. El botón noveno, etiquetado con "todas"/"ninguna", muestra u oculta, en ese código de colores, todos los subgrupos congruentes obtenidos. Se invita al usuario a realizar las adecuadas transformaciones para modificar todas las particiones, de manera que queden sólo las ocho particiones diferentes que existen, salvo isometrías. Conclusiones. Se muestran las ocho particiones diferentes obtenidas. Seis con pirámides equivalentes y dos más, adicionalmente, congruentes. CONCLUSIÓN FINAL Todo cubo puede descomponerse prismáticamente en seis pirámides triangulares equivalentes de ocho formas posibles, salvo isometrías. Entre ellas hay dos casos en los que además las seis pirámides son congruentes entre sí.