INTRODUCCIÓN

En las congruencias de los números combinatorios, con cero módulo un número primo p, se observan llamativas regularidades que son objeto de análisis para desentrañar las pautas que siguen las mismas.

En esta miscelánea se ponen de manifiesto dos propiedades esenciales en la compresión de la distribución de estas congruencias. Se distinguen dos familias de números combinatorios: aquellas en las que todos los números con igual índice superior no son congruentes con cero módulo p, que actúan como separadores, y aquellos en los que todos salvo el primer y el último (que sus valores son uno) son congruentes y se conforman como hipotenusas de triángulos rectángulos de números congruentes.

La representación del triángulo de Pascal que se utiliza es la que originalmente uso este científico en su libro "Traité du triangle arithmétique" (1665).

OBJETIVOS

• Observar las regularidades geométricas que acontecen en el triángulo de Pascal al considerar congruencias numéricas con números primos.
• Ver cuáles son los números combinatorios con igual índice superior en los que ningúno de ellos es congruente con 0 módulo p.
• Determinar cuáles son los números combinatorios con igual índice superior en los que todos ellos, salvo el primero y el último que valen uno, son congruentes con 0 módulo p.
• Invitar a abordar la formalización analítica de las regularidades que acontecen.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte central, se muestra una imagen con las familias de números combinatorios con igual índice superior en los que ninguno de ellos es congruente con 0 módulo 2, coloreando estos con color gris oscuro. En color magenta todas las familias en las que todos los números que son congruentes con 0 módulo 2, salvo el primero y el último. En naranja todos los que son congruentes independientemente del índice superior. Cada pixel se corresponde con un coeficiente binomial.

En la parte superior de la escena pueden observarse tres controles cuya funcionalidad es la siguiente:

• Escala: Permite modificar la escala a la que se representa la imagen del triángulo de Pascal.
• Selector del módulo de la congruencia. Al seleccionar unos de los números primos ofertados se muestra la imagen correspondiente a la congruencia con ese módulo.
• Selector del separadores/hipotenusas en la congruencia. En el primer caso se representan en gris las familias de números combinatorios con igual índice superior en los que ninguno de ellos es congruente con 0 módulo 2. En el segundo caso, en color magenta, todas las familias en las que todos los números que son congruentes con 0 módulo 2, salvo el primero y el último.

En esta miscelánea no se efectúa el cálculo de estas congruencias sino que solo se presenta un muestrario de imágenes que han sido elaboradas previamente con la miscelánea "Congruencias en el triángulo de Pascal".

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Lo descrito anteriormente son dos resultados que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales  con 0 < k < n, sea divible por un primo p es que n sea una potencia de p.
2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n₀ + n₁ p + n₂ p²+ ⋅ + n_m p^m, siendo 0 ≤ n_r < p y n_r > 0,  sea divisible por p es que n_r = p - 1 para r < m. 

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

• En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se correponden con   con 0 < k < n y  n = 3⁰, 3¹, 3², 3³,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
• En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que níngún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esa filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 3⁰) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 3⁰ +  2 3¹ + 2 3² + 1 3³ y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 3⁰, dos de 3¹, dos de 3² y uno de 3³). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 

Números combinatorios divisibles por 3 para todo k, 0 < k < n  Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos	Números combinatorios no divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k ≤ n Líneas con ningún número divisible por 3