INTRODUCCIÓN

Si a los coeficientes binomiales del triángulo de Pascal se le aplican congruencias numéricas, por ejemplo todos los números congruentes con 0 módulo 3, y se le asigna un color a todos lo que cumplen esa condición, entonces acontecen curiosas regularidades que reflejan atractivas formas geométricas de tipo fractal:

La representación del triángulo de Pascal considerada anteriormente es la original usada por dicho científico en su libro "Traité du triangle arithmétique" (1665), y la que, desde el punto de vista de este estudio, opinamos se ajusta mejor a la compresión de los patrones que ahí se ven involucrados.

En esta miscelánea se realiza un detallado análisis de las congruencias aportando resultados originales respecto al comportamiento periódico de la distribución que acontece y también la determinación de la congruencia o no de un número combinatorio sin más que realizar la descomposición p-ádica del número de la fila y el de la columna que ocupa en el triángulo de Pascal.

OBJETIVOS

• Conocer las regularidades geométricas que acontecen en el triángulo de Pascal al considerar congruencias numéricas con 0 módulo un número primo p, destacando que éstas se distribuyen en triángulos rectángulos con aspecto fractal y también periódico.
• Visualizar entre todos los números combinatorios de igual índice superior cuáles son congruentes con 0 módulo un número primo.
• Verificar que para que ninguno de los números combinatorios de igual índice superior sean congruentes con 0 módulo p, el índice superior ha de ser una potencia de p menos 1.
• Comprobar que para que todos los números combinatorios de igual índice superior sean congruentes con 0 módulo p, salvo el primero y el último, el índice superior ha de ser una potencia de p.
• Poner de manifiesto que las hipotenusas de los triángulos rectángulos de números congruentes se repiten de manera periódica.
• Mostrar que los números congruentes se integran en triángulos rectángulos que se distribuyen de manera periódica.
• Determinar si un número combinatorio es congruente con 0 modulo p sin más que considerar la fila y la columna que ocupa en el triángulo de Pascal.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte central se muestra una imagen con los números combinatorios congruentes con 0 módulo 3. Poniendo de manifiesto la periodicidad de las mismas como ejemplo de parte del análisis que se puede ver en esta miscelánea.

En la parte superior derecha se tiene un menú con diferentes opciones:

1. Portada: que da acceso a ver la imagen de muestra inicial.


2. Uno a uno: donde al variar el índice superior de los números combinatorios se muestra cuáles de ellos son congruentes con 0 módulo el primo p seleccionado.
   Se cuenta con los siguientes controles adicionales que son comunes al resto de opciones del menú inicial:
   
   • botón con un asterísco (*) como etiqueta: sirve como selector que muestra u oculta todos los números combinatorios no congruentes con 0 módulo p.
   • botón con un aspa (x) como etiqueta: sirve como selector que muestra u oculta todos los números combinatorios que son congruentes con 0 módulo p.
   • botón con la etiqueta "color": sirve como selector que colorea o no, con color naranja, todos los números combinatorios que son congruentes con 0 módulo p.
   • Escala: Permite modificar la escala a la que se representa el triángulo de Pascal.
   • Selección triángulo o rectángulo: mediante este menú puede seleccionarse la representación del triángulo de Pascal como tal o ampliada su visión como un rectángulo (realmente un cuadrado porque siempre se considera igual número de filas y columnas).
   • columnas: Número de filas y columnas a representar del triángulo de Pascal. En la escena el valor máximo se ha retringido a 150 (se puede modificar editando la escena).
   • Divisor: valor del número primo respecto al que se realiza la congruencia módulo 0. Se ofertan todos los primos hasta 31, para otros valores habría que editar la escena. En estas instrucciones nombramos a este divisor como p.
   Y con un control específico en el lateral izquierdo:
   • n: índice superior de los números combinatorios que se quieren destacar. Al cambiar el valor se destacan en un círculo color magenta los números combinatorios de índice superior n que son congruentes con 0 módulo p.


3. Ninguno divisible: muestra con asteriscos (*) las familias de números combinatorios de igual índice superior en los que todos ellos no son congruentes con 0 módulo p.
   En el lateral izquierdo hay un control específico:
   • b: exponente de p^b-1, valor que se corresponde con el índice superior de los números combinatorios que se quieren destacar. Al cambiar el valor se señalan en un círculo color gris los números combinatorios de índice superior p^b-1 que no son congruentes con 0 módulo p.


4. Potencia del divisor: muestra en color magenta claro los números combinatorios cuyo índice superior es una potencia del divisor y permite ver que todos ellos (salvo el primero y el último) son congruentes con 0 módulo p, y que se corresponden con las hipotenusas de triángulos característicos, que en otra opción veremos se repiten periódicamente. En la imagen siguiente se reflejan esos triángulos característicos o básicos en el caso p = 3.

   

   En el lateral izquierdo hay un control específico:
   • a: exponente de p^a, valor que se corresponde con el índice superior de los números combinatorios que se quieren destacar. Al cambiar el valor se señalan en un círculo color magenta los números combinatorios de índice superior p^a que son congruentes con 0 módulo p.
5. Hipotenusa periódica: Se muestra en color magenta todos los números combinatorios , con m natural y k no divible por p^a, pudiéndose observar que son congruentes con 0 módulo p, que se repiten de manera periódica con periodo p^a y que son las hipotenusas de triángulos de números congruentes que también se repiten de manera periódica (lo veremos en la siguiente opción).
   En el lateral izquierdo hay dos controles específicos:
   • a: exponente de p^a en los números anteriores. Al cambiar el valor se señalan en un círculo color magenta los números combinatorios indicados y se muestra la longitud de las hipotenusas obtenidas (p^a-1).
   • ¿todas las hipotenusas?: selector que permite dibujar en verde todos los números combinatorios indicados y en magenta oscuro los correspondientes al valor de a indicado.


6. Triángulo periódico: Se muestra en color magenta oscuro las hipotenusas del apartado anterior y los triángulos rectángulos de números congruentes que se obtienen a partir de esas hipotenusas. En el lateral izquierdo se tienen los mismos controles que en el apartado anterior. En la siguiente imagen observamos esa periodicidad para el caso p=3:

   



7. Detecta congruencia: En esta opción se muestra cómo sin más que seleccionar un número combinatorio se puede saber si es congruente o no con 0 módulo p mirando la descomposición p-ádica de la correspondiente fila y columna que ocupa ese número en el triángulo de Pascal, según el siguiente Teorema:

   

   En el lateral izquierdo hay dos controles específicos que permiten seleccionar el número combinatorio deseado. Indicado éste se refleja la fila y columna que ocupa y la descomposición p-ádica de estos dos números. Aplicando el teorema anterior se muestra si es o no congruente con 0 módulo p y se visualiza en el gráfico de congruencias del triángulo de Pascal.