Derivadas de una función

1. Recta tangente. Hallar la pendiente $m$ de la recta tangente a la curva $y = x^2 + 1$ en el punto $P(3,10)$ utilizando la definición de la derivada (ver pág 196).
   
   
2. Recta tangente. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada $y =$ 4$x^2 +$2 cuando $x= -$3 utilizando la definición de la derivada (ver pág 196).
   
   
3. Aplicación física. Se deja caer un objeto libremente desde una altura de 84 metros, su altura en el instante t viene dada por la siguiente función de posición: $S = –$14$t^2 +$84, con $S$ medida en metros ($m$) y $t$ en segundos ($s$). Hallar:
   1. La velocidad instantánea para $t = 1\ s$.
   2. La velocidad instantánea para $t = 2\ s$.
   
   
4. Hallar las derivadas de cada una de las siguientes funciones: (aplicando la definición)
   
   
   1. $f(x) = x^2 –$ 4$x$
   2. $f(x) = 1 –$ 4$x +$ 3$x^2$
   3. $f(x) = \dfrac{2}{x}$
   4. $f(x) = x^{-2}$
   5. $f(x) = \dfrac{1}{x – 1}$
   6. $f(x) = \sqrt{4-x^2}$

   Nota: comprueba los resultados hallando la derivada utilizando las propiedades básicas.
   
   Descargar, Propiedades de la Derivada.

   
   
   
5. Recta tangente. Hallar una ecuación de la recta tangente a la curva $y = 2x^2 + 3$ que es paralela a la recta $8x – y + 3 = 0$
   
   
6. Hallar las derivadas de cada una de las siguientes funciones:
   
   
   1. $y = (x^2 –$ 9$x$)($x^3 -$ 8)
   2. $y = (1 –$ 5$x +$ 10$x^2$)(7$- 2x$)
   3. $y = \dfrac{2-x^2}{x^3+2}$
   4. $y = 3x^{-2}$
   5. $y = (\sqrt{4-x^2})^3$
   6. $y = (x-2)\dfrac{1}{x – 1}$
   
   
7. Hallar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:
   
   
   1. $f(x) = x^3 –$ 3$x$
   2. $y = (1 –$ 7$x +$ 10$x^2$)(x-1)
   3. $f(x) = \dfrac{-5}{x}$
   
   
8. Recta tangente. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva $4x^2 + y^2 = 20$ en el punto $P(2, – 2)$
   
   
9. Aplicación física. Supongamos que la ecuación $S = f (t) = – 5t^2 + 20 t + 60$ representa la posición (en metros) sobre el suelo de una piedra que se lanza al aire desde la azotea de un edificio.
   
   
   1. ¿Cuál es la altura inicial desde la que se lanza la piedra?; es decir, ¿cuál es la altura de la azotea?
   2. ¿Con que velocidad inicial se lanzó la piedra?
   3. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?
   4. ¿Cuándo y con qué velocidad choca la piedra en el suelo?
   5. Si definimos la aceleración de un objeto que se mueve en línea recta como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo (o la segunda derivada del espacio con respecto al tiempo). ¿Cuál es la aceleración $a$ de la piedra?
   
   
10. Hallar las derivadas de cada una de las siguientes funciones:
    
    
    1. $f(x) =$ 5$Sen(x)$
    2. $f(x) = x^{2}Sen(x)$
    3. $f(x) = x Cos(x) +$4$Sen(x)$
    4. $f(x) = \sqrt{Cos(x^2)}$
    5. $f(x) =$ 10 $\dfrac{Sen(x)}{x}$