| Estudio del crecimiento de una función: Definiciones.
Análisis.

Introducción.
Como has podido ver en la página anterior, el análisis del crecimiento y del decrecimiento de una función nos permite obtener informaciones muy valiosas que, entre otras cosas, nos llevan a preguntarnos por las causas del comportamiento de ciertas variables que representan situaciones reales. Podemos comparar situaciones y preguntarnos cuáles son las causas de que difieran o de que sean semejantes. Por ejemplo, a pesar de las diferencias de los tres ejemplos anteriores hemos encontrado algo en común. En las tres provincias se produjo un descenso en la población en la década 1910-1920. Esto daría motivo a un historiador para investigar qué sucedió en la región en esa década. Del mismo modo podría investigar por qué en Soria se ha producido un descenso brutal en la población al revés que en Valladolid. Y qué ha sucedido en Salamanca para que se frenara el fuerte descenso que se estaba produciendo. Todo esto nos indica que del estudio del crecimiento y decrecimiento de una función pueden obtenerse valiosas informaciones. En este apartado vamos a tratar de definir con precisión una serie de conceptos sobre los que se te han hecho preguntas en la página anterior.
Vamos a centrarnos de momento en la primera de las escenas y a analizar detenidamente cada una de las preguntas que se hacen en la misma.

Función creciente o decreciente en un punto.
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La primera cuestión que se planteaba era si en 1940 la población de Salamanca estaba creciendo y de ser así qué es lo que te lleva a hacer esa afirmación. La respuesta correcta es que efectivamente, la población estaba creciendo. El motivo es que en 1939 la población era menor que en 1940 y en 1941 la población era mayor que en 1940. Entonces, para determinar si una función es creciente en un punto cualquiera hay que comparar el valor que toma la función en dicho punto con los valores que toma en las cercanías, de manera que los valores que toma a su izquierda deben ser menores y los que toma a la derecha deben ser mayores. Dicho con más precisión:
Se dice que una función y=f(x) es creciente en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d) tal que si x está en ese entorno y x£ a, entonces f(x)£ f(a) y si x³ a, entonces f(x)³ f(a).
En el año 1965, en cambio, la población decrecía, porque en 1964 era mayor que en 1965 y en 1966 era menor que en 1965. Llegamos así a la siguiente definición:
Se dice que una función y=f(x) es decreciente en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d) tal que si x está en ese entorno y x£ a, entonces f(x)³ f(a) y si x³ a, entonces f(x)£ f(a).

El siguiente ejercicio te ayudará a entender mejor estas definiciones: Ejercicio.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. | 1.- Haz que a tome el valor 1 y d tome el valor 0.75. Como puedes observar, los puntos rojos del eje de abscisas delimitan un entorno del punto a de radio 0.75. Modifica ahora el valor de x para que quede dentro del intervalo delimitado por los puntos rojos. Haz variar la x dentro de ese intervalo y fíjate en los valores que toma f(x) comparados con f(a). ¿Qué puede decirse de f(x) con respecto a f(a) si x está dentro del intervalo rojo pero a la izquierda del punto a? La misma cuestión por la derecha. Según las definiciones anteriores ¿cómo es f en el punto a?
2.- Dale ahora al punto a el valor 4.5 y a d el valor 0.25. Vuelve a desplazar x al interior del intervalo rojo y responde a las mismas preguntas del apartado anterior.
3.- Repite las cuestiones con a=4.8 y d=0.20.
4.- Repite las cuestiones con a=6 y d=0.5.
5.- Repite las cuestiones con a=-0.9 y d=0.2.

| José Luis Alonso Borrego
© Ministerio de Educación. Año 2001

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