| Estudio del crecimiento de una función: Definiciones (2).
Análisis.

Extremos absolutos y relativos.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
La siguiente cuestión que se planteaba era averiguar en qué año fue mayor la población y en qué año fue menor. Evidentemente lo único que hay que hacer para averigurarlo es situar el punto indicador en el lugar en el que la gráfica toma el valor más alto y el más bajo respectivamente. En el caso de Salamanca, el valor mayor se alcanzó en 1950 y el menor en 1900. Diremos que en 1950 la función población de Salamanca alcanzó un máximo absoluto y en 1900 alcanzó un mínimo absoluto. Para decirlo con más precisión:
Se dice que una función y=f(x) alcanza un máximo absoluto en un punto a de su dominio si f(a)³ f(x) para cualquier punto x del mismo. Se dice que una función y=f(x) alcanza un mínimo absoluto en un punto a de su dominio si f(a)£ f(x) para cualquier punto x del mismo. Los máximos y mínimos absolutos de una función reciben el nombre genérico de extremos absolutos de dicha función.
Después se nos hacen las mismas preguntas para los intervalos 1900-1920 y 1940-1991. Como te habrá sido fácil de comprobar, habrás averiguado que la mayor población en el primer intervalo se alcanzó el año 1910, y la menor población del segundo intervalo se alcanzó en 1986. Como puedes ver, ninguno de estos valores coincide con los anteriores. Estos valores se denominan máximos y mínimos locales o relativos, pues representan puntos en los que la función alcanza un valor mayor (o menor, respectivamente) que en todos los puntos de los alrededores. Con más precisión:
Se dice que una función y=f(x) tiene un máximo local o relativo en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d) tal que si x está en ese entorno entonces f(x)£f(a) tanto si x está a la izquierda como a la derecha de a. Se dice que una función y=f(x) tiene un mínimo local o relativo en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d) tal que si x está en ese entorno entonces f(x)³f(a) tanto si x está a la izquierda como a la derecha de a. Los máximos y mínimos relativos de una función reciben el nombre genérico de extremos locales o relativos de dicha función.
En la gráfica anterior la función tiene un máximo relativo en 1910 y otro en 1950. Recuerda que 1950 era además un máximo absoluto. La función tiene un mínimo relativo en 1986, sin embargo, no puede afirmarse que también tenga un mínimo relativo en 1900 porque no sábemos lo que sucedió antes de esa fecha.
Así pues, un extremo relativo puede ser absoluto y puede no serlo. Del mismo modo, un extremo absoluto puede ser relativo y puede no serlo. Sin embargo, si un extremo absoluto está en el interior del dominio de la función entonces es seguro que también es un extremo relativo.

El siguiente ejercicio te ayudará a entender mejor estas definiciones: Ejercicio.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. | 1.- Asigna a los paramétros a y d los siguientes valores a=4.8 y d=0.20. ¿Qué sucede con los valores de f(x) con respecto a f(a) dentro del intervalo rojo? De acuerdo con las definiciones anteriores, ¿qué puede afirmarse de la función f en el punto a?
2.- Repite las cuestiones con a= -0.9 y d=0.2.
3.- ¿Tiene extremos absolutos esta función?

| José Luis Alonso Borrego
© Ministerio de Educación. Año 2001

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