| INFORMACIÓN APORTADA POR LAS DERIVADAS
Análisis: Procedimiento para analizar una función

1. INTRODUCCIÓN
En las páginas anteriores de la Unidad Didáctica hemos analizado de una función f(x) aspectos para los cuales no es necesario utilizar el cálculo de las derivadas como herramienta: Dominio, simetrías, cortes con los ejes, regiones y ramas infinitas. El lector/a ya se habrá dado cuenta de la cantidad de información que hemos obtenido y de que manera esta información ha sido suficiente para tener una idea bastante clara de la forma de la muchas funciones. En otros muchos casos estaremos interesados en localizar las los puntos donde la derivada se anula, singularidades , así como los puntos donde cambia la curvatura de la función o donde la función no es derivable (punto crítico) y cambia la monotonía. Extremos relativos (máximos ó mínimos) e inflexiones son puntos característicos que habrá que localizar ya que representan los cambios de la monotonía y de la curvatura respectivamente. Para su determinación acudimos a las funciones derivadas. | Por haber sido tratados estos elementos en otras Unidades, no vamos a explicarlos en detalle, ni siquiera se proponen ejercicios, simplemente haremos un resumen de conceptos y los procedimientos prácticos para su determinación. En otros muchos casos estaremos interesados en localizar las los puntos donde la derivada se anula, singularidades , así como los puntos donde cambia la curvatura de la función o donde la función no es derivable (punto crítico) y cambia la monotonía. Extremos relativos (máximos ó mínimos) e inflexiones son puntos característicos que habrá que localizar ya que representan los cambios de la monotonía y de la curvatura respectivamente. Para su determinación acudimos a las funciones derivadas. Por haber sido tratados estos elementos en otras Unidades, no vamos a explicarlos en detalle, ni siquiera se proponen ejercicios, simplemente haremos un resumen de conceptos y los procedimientos prácticos para su determinación.

2. Punto de tangente horizontal
Satisfacen la condición de que f' (x)=0 Podemos encontrarnos con las siguientes situaciones
Máximo local | Mínimo local
Punto de inflexión | Punto de inflexión
En un extremo local, cambia la monotonía y si es derivable se debe cumplir:
f(x) | Decrece \ | Mínimo | Crece /
f'(x) | - | 0 | +
f''(x) | + | + | +
f(x) | Crece / | Máximo | Decrece \
f'(x) | + | 0 | -
f''(x) | - | - | -
| Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: Si f''(x) > 0 es un mínimo. Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.

3. CURVATURA Y PUNTO DE INFLEXIÓN
Aunque hemos visto antes que un punto singular puede ser un punto de inflexión, esta situación no es necesaria. Lo que caracteriza a un punto de inflexión es que en él cambia la curvatura de la función, pasando de convexa È a cóncava Ç, o al revés.
Inflexión: Convexa -> Cóncava
Inflexión: Cóncava -> Convexa
Recordemos que en el punto de inflexión se anula la derivada segunda: f''(x)=0
En la región cóncava de f(x), la derivada f'(x) es decreciente . En la región convexa f'(x) es creciente. | En la región cóncava de f(x) la derivada segunda es negativa, f''(x)<0. En la región convexa f''(x)>0
En el ejemplo anterior vemos que la derivada segunda crece al pasar de cóncava a convexa por ello su derivada f'''(x)>0. El caso contrario sería pasar de región convexa a cóncava; entonces la derivada segunda decrece y su derivada f'''(x)<0. | Procedimiento para hallar los puntos de inflexión. a) Calculamos la segunda derivada: f''(x) b) Resolvemos la ecuación f''(x)=0 c) Sustituimos en f(x) los valores obtenidos anteriormente y obtenemos los posibles puntos puntos de inflexión. d) Hallamos la derivada tercera: f'''(x) e) Sustituimos valores de x de los posibles puntos de inflexión en f'''(x): Aquellos donde f'''(x) ¹ 0, son puntos de inflexión. Alternativamente: Hay funciones para las que resulta más cómodo, en vez de calcular la derivada tercera, comprobar si, f''(a)=0 y signo de f''(a+h) ¹ signo de f''(a-h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.

4. Método general para hallar y clasificar los puntos singulares, f'(a)=0.
Es el caso en que las derivadas sucesivas hasta un cierto orden se anulan en un punto: | Procedimiento Calculamos la derivada primera f'(x) Resolvemos la ecuación f'(x)=0 Sustituimos en f(x) los valores obtenidos anteriormente para determinar los puntos singulares. Para cada punto singular x=a, hallamos las derivadas sucesivas, f'(a), f''(a), f'''(a),...,fn)(a) hasta encontrar el orden n tal que fn)(a) ¹ 0 Si n es impa r, se trata de un punto de inflexión. Si n es par tendremos: Mínimo si f n)(a)>0 Máximo si f n)(a)<0

5. Máximos y mínimos en puntos no derivables
Funciones de valor absoluto Cuando representamos funciones de valor absoluto ½ f(x)½, nos encontramos con que en los puntos donde f(a)=0, la función ½ f(a)½ no es derivable y presenta un punto anguloso en x=a. La derivadas laterales en a no son iguales, f'-(a) ¹ f'+(a). En este caso en x=a tenemos un mínimo local. | El ejemplo siguiente representa la función y=½ x2-x-2 ½ tiene dos mínimos relativos, en x=-1 y x=2, precisamente donde f(x)=x2-x-2=0
Funciones definidas a trozos En funciones definidas a trozos podemos encontrarnos que en los extremos de los trozos la función es continua y no es derivable o simplemente no es continua. Es posible que en estos puntos encontremos máximos o mínimos locales. En B la función es discontinua pero hay un máximo. En E es continua pero no derivable y presenta un mínimo | Si en un punto donde la función no es derivable, existe extremo local bastará verificar lo siguiente: Si f(a) < f(x) para todo x perteneciente al entorno de a, entonces x=a es un punto mínimo relativo, la función es decreciente a la izquierda de a y creciente a la derecha. Si f(a) > f(x) para todo x perteneciente al entorno de a, entonces x=a es un punto máximo relativo, la función es decreciente a la izquierda de a y decreciente a la derecha. Otros casos que pueden presentarse no se tratan en este nivel de estudios.

| Ángel Cabezudo Bueno
© Ministerio de Educación. Año 2001

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