| RAMAS INFINITAS
Análisis

1. RAMAS INFINITAS CUANDO x® +¥ ó x® -¥
Cuando hacemos tender x a infinito (nos alejamos indefinidamente por el eje de abcisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica). En las figuras de la izquierda se muestran algunos casos. Vamos a estudiar estos comportamientos.
Asíntota horizontal | Asíntota oblicua
Ramas parabólicas | Ramas parabólicas
Observar con Descartes El siguiente programa permite comprobar las propiedades asintóticas que presentan las 2 funciones de los ejemplos anteriores y además permite editar una función f(x) cualquiera y hasta dos asíntotas posibles de la misma (si fuera el caso) y=a_1(x)=mx+n e y=a_2(x)=m'x+n'. Esta última posibilidad será útil para verificar los resultados de los ejercicios que se proponen y que el/la estudiante deberá resolver analíticamente. Las funciones ejemplo se activan poniendo la entrada función a 1 o 2. Para editar otras funciones poner función a 0 y sobrescribir las entradas f(x) y a_1(x) ó a_2(x) (no borrar y=) por las expresiones admitidas por Descartes correspondientes a la función del ejercicio y su(s) asíntotas. Para visualizar correctamente los ejemplos hacer: Caso función=1: Rama izquierda: Escala=32, Ox=160, Oy=128 Rama derecha: Escala=56, Ox=-288, Oy=192 Caso función=2: Rama izquierda Escala=24, Ox=128, Oy=-32 Rama derecha: Escala=24, Ox=-224, Oy=320. Para comprobar la tendencia de la función, aumentar o disminuir el valor de la variable x.
| a) Asíntota horizontal: Si ó entonces la curva f(x) se aproxima a la recta y=l. Esta recta se dice que es una asíntota horizontal. Para saber si la aproximación a la asíntota es por arriba o por debajo, se estudia el signo que tiene f(x)-l cuando x®+ ¥ ó x®- ¥ Ejemplo: La función f(x)=(3x2-5x+1)/(x2-x-2) tiene por límite en el infinito el valor 3; y=3 es una asíntota horizontal. Para ver por donde se aproxima calculamos f(x)-3=(-2x+7)/(x2-x-2) que es negativa si x®+ ¥ y positiva si x®- ¥ : se aproxima por debajo, (f(x)-3)<0, cuando x®+ ¥ y se aproxima por arriba, (f(x)-3)>0, cuando x®- ¥ . b) Asíntota oblicua Una función presenta una asíntota oblicua, y=mx+n, cuando x®+ ¥ si se dan las siguientes condiciones:
| la diferencia entre la ordenada de la curva f(x) y la ordenada de la asíntota mx+n, tiende a cero cuando x® ¥ por ello f(x)-mx tiende a n y f(x)/x tiende a m. ¡¡Hágase el cálculo!!
La posición de la curva respecto de la asíntota se obtiene calculando el signo de f(x)-(mx+n) cuando x® ¥ Todo lo dicho tiene la misma validez si x®- ¥ . Cuando la función es racional irreducible f(x)=P(x)/Q(x) y el grado del polinomio P(x) es una unidad mayor que el de Q(x), tenemos seguridad de que tiene una asíntota oblicua. La demostración es sencilla: P(x)/Q(x) tiene un cociente de primer grado (lineal), pongamos mx+n y un resto R(x) de grado menor que Q(x), por lo que P(x)/Q(x)=mx+n +R(x)/Q(x) al tender x a infinito, R(x)/Q(x) tiende a cero y por tanto P(x)/Q(x) se aproxima a mx+n; es decir y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x) tanto si x® ¥ como si x®- ¥ . Ejemplo: Calcular la asíntota oblicua de (x2+3x+1)/(x-1). haciendo la división se obtiene (x+4) + 5/(x+2); por tanto y=x+4 es la asíntota pedida. Comprobar las tres condiciones para tener asíntota oblicua cuando x® ± ¥ a) lim f(x)= lim (x2+3x+1)/(x-1) = ± ¥, b) lim f(x)/x = lim (x2+3x+1)/(x2-x)=1¹0; m=1 c) lim (f(x)-mx)=lim (x2+3x+1)/(x-1) - x = 4; n=4
| Función | Se edita para Descartes... | Solución
1 |  | (x^2-x-1)/(x^2+x+1) |
2 |  | sqrt(x^2+1)/x |
3 |  | x^3/(1+x)^2 |
4 |  | sqrt(x^2+2*x) |
5 |  | x-sqrt(x^2-1) |
c) Ramas parabólicas Si y , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente: Ejemplos: f(x)=x2, f(x)=ex, f(x)=ex/x3 | Si y , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente: Ejemplos: f(x)=Ö x, f(x)=ln(x)

2. RAMAS INFINITAS CUANDO x ® a
Asíntotas verticales. Si entonces x=a es una asíntota vertical. Si admitimos que está definida a ambos lados de la asíntota, pudiera ocurrir alguno de los cuatro casos siguientes:
| Para saber a que caso corresponde tenemos que calcular los límites por la derecha y por la izquierda de a. Criterio práctico: Si tenemos una función racional, de la forma f(x)= P(x)/Q(x), las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x tales que Q(x)=0 y P(x)¹0. Si x=a es una raíz simple de Q(x), las ramas laterales se aproximan a la asíntota en sentidos opuestos (casos 2 y 3): un límite lateral es +¥ y el otro -¥ Si x=a es una raíz doble de Q(x), ambas ramas laterales se aproximan a la asíntota en el mismo sentido (casos 1 y 4): ambos límites son o bien +¥ o bien -¥.
Para pensar: Aplicar los conocimientos adquiridos en esta página para identificar cada función con las mostradas en las siguientes escenas: |
1: f(x)=0,2x3-x2 | 2: f(x)=(x2-5)/x
3: f(x)=x3/(2x-4)2 | 4: f(x)=(2x2-1)/x2
5: f(x)=ln(x2+1) | 6: f(x)=?
Si el número de función seleccionado es la solución, el fondo circular de la letra correspondiente a la escena cambia al color amarillo.
Ejercicio 6: Una vez descubierta la función 6, describe todas las características que presenta, de las comentadas hasta este momento en la presente unidad didáctica, utilizando el vocabulario correcto y haz una propuesta razonable de la expresión que debe tener la función.

| Ángel Cabezudo Bueno
© Ministerio de Educación. Año 2001

Soluciones: 1: Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1, por tanto y=1 es una A.H. Veamos la posición de la curva respecto de la asíntota, valorando el signo de f(x)-1=-2(x+1)/(x2+x+1)
| límite | signo | posición
| x® +¥ | - | por debajo
f(x)-1 |  |  |
| x® -¥ | + | por arriba
es negativo para x® +¥ y es positivo para x® -¥ por tanto f(x) tiende a 1 por encima para x® -¥ y tiende a 1 por debajo para x® +¥ Asíntota oblicua: no tiene 2: Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1. Por tanto y= 1 es una A.H. Para ver la posición de f(x) respecto de la asíntota calculamos
| limite | signo | posición
| x® +¥ | + | por arriba
f(x)-1 |  |  |
| x® -¥ | - | por abajo
Asíntota vertical: no tiene 3: Asíntota oblicua: por ser el grado del numerador una unidad superior al del denominador tendrá asíntota oblicua y=mx+n La pendiente m de la asíntota es el límite para x ® ¥ de f(x)/x = x2/(1+x2). Como el límite es 1, la pendiente es m=1. El parámetro n es el límite para x ® ¥ de f(x) - mx=x3/(1+x2)-x=-x/(1+x2). Por tanto n=0. La asíntota es y=x 4: Asíntota oblicua: el límite para x®+ ¥ ó x®- ¥ de f(x) +¥ . Por la derecha: f(x) tiene una asíntota por la derecha y=x+1 Por la izquierda: f(x) tiene una asíntota por la izquierda y=-x-1 Ahora veamos la posición de f(x) respecto de la asíntota Por la derecha: y para x arbitrariamente grande y positivo, la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo Por la izquierda: como tratamos de evaluar para x arbitrariamente grande y negativo, equivale a evaluar cambiando x por -x para x arbitrariamente y positivo la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo 5: Por la derecha: el límite de f(x) cuando x® +¥ es 0. Para comprobarlo, multiplicar y dividir por la expresión conjugada, como hemos hecho en los ejercicios anteriores para calcular límites con radicales que presentan una indeterminación inicial del tipo ( ¥-¥) La función f(x) tiene una asíntota horizontal y=0 Por la izquierda: el límite de f(x) para x® -¥ equivale al límite de f(-x) para x® +¥. Este límite es -¥ por lo que es posible que encontremos asíntota oblicua por la izquierda: La función f(x) tiene una asíntota oblicua y=2x 6: f(x)=x/(x2-4)

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