| FUNCIONES RACIONALES
Análisis: Procedimiento para analizar una función

1. FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible. Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables: El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador. Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x). Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥ Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x). Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0. Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.
En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=x3/(x2-1) que es analizada en el ejemplo 1. Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos necesarios para poder dibujar la gráfica: Paso 1: Dominio Paso 2: Simetría Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados Paso 4: Regiones Paso 5: Asíntotas Paso 6: Puntos singulares y de inflexión. Paso 7: Trazado de la curva
Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada, ya que al disponer de las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente:
x | (-¥,-Ö3) | (-Ö3,Ö3) | (Ö3,+¥)
f(x) | CRECE | DECRECE | CRECE
Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.
x | (-¥,-1) | (-1,0) | (0,1) | (1,¥)
f(x) | CÓNCAVA | CONVEXA | CÓNCAVA | CONVEXA
Obsérvese cómo la curvatura cóncava o convexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.
| Ejemplo analizado 1: Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1) a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1} b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0) c) Cortes con los ejes: Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0 Eje OY: f(0)=0 -> y=0 d) Regiones:
x | (-¥,-1) | (-1,0) | (0,1) | (1,+¥)
x3 | - | - | + | +
x+1 | - | + | + | +
x-1 | - | - | - | +
f(x) | - | + | - | +
e) Asíntotas: Verticales: x=-1, x=1 Oblicuas: =1; =0 «y=x f) Puntos singulares: f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2 f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö 3; x=-Ö 3 f(0)=0; f(-Ö3)=-3 Ö 3/2; f(Ö 3)=3 Ö 3/2 f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3 f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión g) Puntos de Inflexión f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3 f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0: En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño. La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.
| Ejercicios Analizar las siguientes funciones racionales y representar su gráfica.
El programa al margen permite comprobar los resultados del análisis. Reemplazar las entradas editables f(x), a1(x), a2(x), a3(x) y a4(x) por las expresiones correspondientes a la función y hasta cuatro asíntotas posibles.
| f(x) | Solución
1 | (x+1)/(2x2-x-1) |
2 | (x3+x2)/(2x2+x) |
3 | (x2-2x+2)/(x-1) |
4 | x/(x-2)2 |
5 | |x|/(x+1) |
6 | (1-|x|)/(1+|x|) |

| Ángel Cabezudo Bueno
© Ministerio de Educación. Año 2001

Soluciones: 1:f(x)=(x+1)/(2x2-x-1) Dominio: No está definida en x=-1/2 yen x=1 Cortes: (0,-1), (-1,0) Regiones: f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,1) f(x)>0: (-1,-1/2)U(1,+¥) Asíntotas: Horizontal: y=0 Verticales: x=-1/2, x=1 Puntos singulares: Máximo: (0,-1) Mínimo: (-2,-1/9) 2: f(x)=(x3+x2)/(2x2+x) Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0 Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x2+x)/(2x+1) Cortes con los ejes: (-1,0). Regiones: f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,0) f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥) Asíntotas: Vertical: x=-1/2 Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x ® +¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥ Puntos singulares: No tiene. Puntos de inflexión: No tiene f''(x)=-2/(2x+1)3. Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2 3: f(x)=(x2-2x+2)/(x-1) Dominio: No está definida en x=1 Cortes con los ejes coordenados: (0,-2) Regiones: f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥) Asíntotas: Vertical: x=1 Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥. Puntos singulares: Mínimo (2,2) Máximo (0,-2) Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥) 4: f(x)= x/(x-2)2 Dominio: No está definida en x=2 Cortes con los ejes coordenados:(0,0) Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥) Asíntotas: -Horizontal: y=0. La curva no la corta. -Vertical: x=2 Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8) Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x: Convexa 5: f(x)=|x|/(x+1) Se descompone en dos trozos: f(x)=x/(x+1), para x ³ 0 f(x)=-x/(x+1), para x<0 El análisis se hace separadamente, en cada trozo. Dominio: No está definida en x=-1 Cortes con los ejes coordenados: (0,0) Regiones: f(x)<0: (-¥,-1); f(x)>0: (-1,+¥) Asíntotas: -Horizontales: y=1 por la derecha sin cortarla. y=-1 por la izquierda sin cortarla. - Vertical: x=-1 Información de la derivada primera: f'(x)=-1/(x+1)2, si x<0; f'(x)=1/(x+1)2, si x>0. No existe en x=0 porque f'-(0)¹ f'+(0): existe un punto anguloso y es mínimo local. f(x) es decreciente para x<0 y creciente para x>0: No hay singularidades. Información de la derivada segunda: f''(x)=2/(x+1)3, si x<0; f''(x)=-2/(x+1)3, si x>0. Cóncava: (-¥,-1)U(0,+¥). Convexa: (-1,0) No está definida f''(0), pues f''-(0) ¹ f''+(0) pero x=0 es punto de inflexión al cambiar la curvatura de convexa a cóncava. 6: f(x)=(1-|x|)/(1+|x|) Se descompone en dos trozos: f(x)=(1-x)/(1+x), para x ³ 0 f(x)=(1+x)/(1-x), para x<0 El análisis se hace separadamente, en cada trozo. Dominio: Está definida para todo x en R Cortes con los ejes coordenados: (0,1), (1,0), (-1,0) Regiones: f(x)>0: (-1,1); f(x)<0: (-¥,-1)U(1,+¥) Asíntotas: - Horizontales: y=-1 por la derecha y por la izquierda, sin cortarla y con aproximación por arriba. - Verticales: No hay - Oblicuas: No hay Información de la derivada primera: f'(x)=-2/(1+x)2, si x>0; f'(x)=2/(1-x)2, si x<0. No existe en x=0 porque f'-(0)¹ f'+(0): existe un punto anguloso y es máximo local. No hay puntos singulares. Información de la derivada segunda:f''(x)=4(1+x)3, si x>0; f''(x)=4(1-x)3, si x<0. Por tanto f''(x)>0 en su dominio y f(x) es convexa en su dominio. No existen puntos de inflexión.

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