| ASÍNTOTAS
Análisis

1.3.- Asíntotas oblicuas
Hay ramas infinitas del tipo |  | que se ciñen a rectas de ecuación y=mx+n.
Cuando la función f(x) es el cociente de dos polinomios, y el grado del numerador supera en 1 al del denominador, entonces la curva y=f(x) tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y=mx+n, siendo mx+n el cociente entero de los dos polinomios

EJEMPLO
Vamos a estudiar la asíntota oblicua de las funciones del tipo: cuyo límite cuando x es , y que por tanto tiene una asíntota oblicua. En la escena siguiente tenemos:
* La gráfica de la función |
* La gráfica de la asíntota oblicua y=mx+n de dicha función
* La regla de Ruffini para hacer la división del polinomio numerador ax2+bx+c, entre el polinomio denominador x-d
* La gráfica de una recta y=2x+1, cuya ecuación se puede editar en la parte inferior de la escena, donde aparece su ecuación, o sea que puedes cambiarla y pulsar enter.
Objetivo: Averiguar la ecuación de la asíntota oblicua
En el inicio de la escena tenemos a=1, b=-5, c=11 y d=2, o sea la función: |
Al hacer la división por Ruffini, vemos en la escena que nos queda x-3 de cociente y 5 de resto.
Por tanto podemos escribir que: |
Evidentemente si x |
por lo que la función |
estará cada vez más próxima a la recta y=x-3.
Por tanto: La ecuación de la asíntota oblicua de la función es y=x-3. En la escena puedes ver, que a medida que x, o sea cuando nos desplazamos a la zona derecha del eje X, la asíntota se va acercando a la curva.
Si cambias en la escena la ecuación y=2x+1 por y=x-3 verás que la recta verde se superpone a la roja, o sea que ahora la recta verde y=x-3 es exactamente la asíntota oblicua. En la escena puedes hacer los siguientes cambios para estudiar otras funciones del mismo tipo: * Cambiar los valores de los parámetros a, b, c y d. * Una vez hayas averiguado la ecuación de la asíntota oblicua, introducirla en la ecuación de la recta verde, pulsar enter, y esta recta verde se superpondrá con la asíntota roja, lo que confirmará la bondad del resultado.

EJERCICIO 3
Averigua las ecuaciones de las asíntotas oblícuas de las siguientes funciones, ayudándote de la escena anterior.

EJERCICIO 4
Ahora vas a averiguar la ecuación de las asíntotas de una función gráficamente. En la escena siguiente puedes dibujar la función que quieras y dibujar su asíntota.
| Calcula las ecuaciones de las asíntotas, ya sean verticales, horizontales u oblícuas, de las siguientes funciones y comprueba tus resultados en la escena de la izquierda.
Nota: Al introducir las fórmulas de las funciones, tienes que tener en cuenta la sintaxis que hay que utilizar.
FUNCIONES | Sintaxis en la escena | FUNCIONES | Sintaxis en la escena
| y=(x^2-3*x+2)/(x^2+1) |  | y=(x^2-2*x+2)/(x-1)
| y=x^3/(x^2+1) |  | y=x^3/(x-1)^2
| y=(3*x-1)/(x+2) |  | y=x^2/(x^2-1)
| y=3*x^2/(25-x^2) |  | y=x^2/(x-2)

| Ángela Núñez Castaín
© Ministerio de Educación. Año 2001

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