Frações

Juan Guillermo Rivera Berrío
Eduardo Barbero Corral
José Román Galo Sánchez

Fracciones
INTERACTIVO

Juan Guillermo Rivera Berrío
Red Educativa Digital Descartes, Colombia
Eduardo Barbero Corral
José Román Galo Sánchez
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021

Título de la obra
Fracciones
Juan Guillermo Rivera Berrío
Eduardo Barbero Corral
José Román Galo Sánchez

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Imagen de cubierta: Frame vector created by brgfx - www.freepik.com
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
ISBN: en trámite

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

## Tabla de contenido

Introducción5

Fracciones: primera parte8

Utilizamos fracciones10

Una fracción es una división13

Fracción es partes respecto del total14

La razón es una fracción15

Definición de fracción16

La fracción representada19

Lectura de una fracción20

El valor de una fracción24

Ordenando fracciones26

Fracciones y números decimales29

Fracciones equivalentes30

Productos cruzados32

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Halla el término que falta35

Simplificación de una fracción36

Fracciones: segunda parte39

Suma y resta de fracciones directamente40

Paso a un común denominador43

Suma numérica de fracciones48

Suma y resta de fracciones49

Fracción como operador50

Multiplicación gráfica52

Multiplicación numérica54

Fracción inversa56

División de fracciones57

Operaciones combinadas60

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# Introducción

Este libro interactivo está dirigido a alumnos en el entorno de sexto de primaria. En las actividades interactivas se generan números aleatorios, lo que permite utilizar una misma actividad indefinidamente hasta que el alumno la domine.

La mayoría de las páginas están centradas en torno a una escena interactiva, en la que el alumno interviene mediante el ratón o el teclado, al realizar la actividad va a saber si ha acertado o no.

Créditos imagen: una adaptación de la imagen de School vector creada por brgfx - www.freepik.com

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Una historia familiar

Juan está hablando con su amiga Lucía:
―Mis abuelos dicen que los años pasan volando y mis padres les dan la razón y confirman que, efectivamente, cada vez son más cortos.
―¡¿Cómo va a ser eso así?! ―exclamó Lucía.
―Pues eso es lo que yo digo, a mí el curso escolar se me hace eterno, nunca llega a su fin...
―¡Nada de nada!, un año es lo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol ―recitó convencida Lucía― y es lo mismo para todos.
―Lucía, comprendo lo que dices. Sin embargo, el tiempo es veloz cuando estoy entretenido y muy lentoooooooo cuando me aburro. ¿No te ocurre a ti?
―Sí, ―dijo Lucía, a la vez que oscilaba con energía su cabeza de arriba abajo―, mi tío me dijo que "El tiempo es subjetivo".
―Subje... ¿qué?
―Que depende de cada persona y de cada instante…
―¡No lo entiendo! ―dijo Juan tímidamente en voz baja.
Eso fue suficiente para que Lucía viera el camino abierto para expresar su gusto por las Matemáticas:
―Pues matemáticamente es posible comprender por qué un año es un año, para todos, y por qué es a la vez diferente para cada uno. Las Matemáticas sirven para explicar nuestro mundo.

Y ante la cara de asombro de Juan, sin dejarle respirar, Lucía preguntó:
―¿Cuántos años tiene tu abuelo?
―Ochenta.
―¿Y tu padre?
―¡Cuarenta!
―Tu edad no te la pregunto porque sé que tú tienes diez, como yo. Así que: para tu abuelo un año representa una parte de ochenta, para tu padre una parte de cuarenta y para ti es una de diez. Por tanto,…
―Para mi abuelo ―interrumpió Juan― es como el que tiene ochenta euros y pierde uno, es decir, que le duele, pero le supone poco. A mi padre le duele un poquito más ya que sólo tiene cuarenta y a mí me da un sofocón porque ¡perder un euro de diez en muchísimo!…
―¡Cierto! Todos pierden un euro, pero subjetivamente la pérdida es menor para unos que para otros… o volviendo al tiempo: a tu abuelo le parece poco tiempo un año, a tu padre le parece algo más y para nosotros es mucho.
―¿Y esto son Matemáticas? ―preguntó Juan.
―¡Sí! Esto son matemáticas y se puede expresar con fracciones. Se escribe así:

―¡Pues, tendré que aprender fracciones!
―Pues, ¡aprendamos juntos! con este libro interactivo.

Fracciones

Primera parte

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# Las fracciones en nuestra vida cotidiana

En nuestro lenguaje, utilizamos expresiones como éstas: "Me queda la mitad", "Falta un cuarto de hora", "Tengo un décimo de lotería", "Caben tres cuartos de litro", "Está al ochenta y cinco por ciento de su capacidad". En estas expresiones estamos utilizando fracciones. Por tanto el empleo de fracciones es tan antiguo como nuestro lenguaje.

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## Identifica fracciones

En la siguiente escena interactiva, llena los cuadros de texto con la información correspondiente:

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# Una fracción es una división

Coloca cada división de abajo y cada número frente a su fracción correspondiente. Cuando esté bien te lo indicará.

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# Fracción es partes respecto del total

Cuenta las bolas de cada color y las del total y escribe los términos de estas fracciones. En cada fracción pon arriba el número de bolas de ese color y abajo el número total de bolas. Pulsa intro, si está bien aparecerá en negrita.

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# La razón es una fracción

La siguiente escena interactiva nos sirve para comparar los tamaños de dos figuras. Mide con la regla, la puedes mover desde sus extremos. Tras escribir los números pulsa intro. Cuando esté bien te lo indicará.

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# Definición de fracción

Así como los números naturales surgen para expresar cantidades que se refieren a objetos enteros, las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las que los objetos están partidos en partes iguales, tal como se observa en la siguiente imagen:

Créditos imagen: una adaptación de la imagen de Food vector creada por brgfx - www.freepik.com

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Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Los elementos que forman la fracción son:

- El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.
- El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.
- La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa.

En la siguiente escena cambia los valores de los controles y verás la representación gráfica de la fracción.

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En la siguiente escena se representa la fracción mediante rectángulos. Hay que tener en cuenta que el valor unidad es la superficie de un cuadrado. Las fracciones que sobrepasan un cuadrado valen más de 1, y las que no llegan a cubrirlo valen menos de 1.

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# La fracción representada

En la siguiente escena escribe el numerador y denominador de la fracción que representa los trozos que aparecen en la imagen. Prueba resolverlo varias veces.

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# Lectura de una fracción

Primero se lee el numerador como cualquier número. Después se lee el denominador de esta manera: Si es el 1 se lee enteros, Si es el 2 se lee medios, Si es el 3 se lee tercios, Si es el 4 se lee cuartos, Si es el 5 se lee quintos. Si es el 6 se lee sextos, Si es el 7 se lee séptimos, Si es el 8 se lee octavos, Si es el 9 se lee novenos, Si es el 10 se lee décimos, Si es más de 10 se lee el número terminado en avos, Si es una potencia de 10 se lee el número terminado en ésimos. Ejemplo centésimos, milésimos, diezmilésimos, ...

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Enteros, medios, tercios, cuartos.

Lleva a cada rectángulo las dos palabras de abajo que expresan lo representado en las imágenes.

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## Cómo leemos las fracciones

Cuenta las partes fijándote en las rayas. Puedes utilizar fracciones equivalentes.

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## Coloca cada fracción junto a su representación gráfica

En este caso no vale poner fracciones equivalentes.

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# El valor de una fracción

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador. Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1. Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.

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# El valor de las fracciones respecto de la unidad

Cuando tu respuesta sea correcta las verás representadas. Comprueba que valen menos, igual o más que la unidad.

Te recomendamos realizar el ejercicio en una ventana ampliada; para ello, haz clic en el botón "Ampliar".

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# Ordenando fracciones

En la siguiente escena interactiva, coloca estas fracciones ordenadas de menor a mayor. Cuando esté bien te lo indicará.

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## Ordena estas fracciones de menor a mayor

Te puede servir de ayuda que estas fracciones están representadas arriba, pero en distinto orden. Si hay dos fracciones del mismo valor, no importa su orden entre esas dos.

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## Ordena estas fracciones de mayor a menor

Estas fracciones son de valores menores o iguales a 1.

Coloca las fracciones sobre los círculos blancos.

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# Fracciones y números decimales

Para pasar una fracción a un número decimal se divide el numerador entre el denominador. Hay divisiones cuyo resultado es un número natural. Otras divisiones su resultado es un número decimal con algunas cifras decimales. En otras divisiones el resultado es un decimal periódico, que tiene un grupo de cifras decimales que se repiten y por muchas cifras decimales que saquemos no se llega a tener de resto 0. Para pasar un número decimal no periódico a una fracción se pone de numerador el número sin la coma y de denominador el 1 seguido de tantos 0 como cifras decimales tuviera el número decimal.

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# Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor. Sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado. Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas otras fracciones equivalentes a ella.

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## Ejercicio de fracciones equivalentes

En este escena interactiva cuando la resuelvas bien aparecerán otras jarras con el contenido que expresa su fracción. Observa si es equivalente.

Con este ejercicio vamos a comprobar que las fracciones equivalentes expresan el mismo valor.

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# Productos cruzados

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados. Multiplicamos sus términos en aspa o cruz de San Andrés. El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

En esta escena interactiva aparece aleatoriamente una fracción, pon tú otra y después comprueba paso a paso.

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## Coloca en el mismo rectángulo todas las fracciones equivalentes entre sí

En las fracciones equivalentes se cumple que al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo producto.

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## Junta las fracciones equivalentes

Cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba. Colócala junto a ella. Para ello puedes buscar la fracción irreducible de cada una, o comprobar los productos cruzados de ambas.

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# Halla el término que falta

En la siguiente escena interactiva, valiéndote de la propiedad de que sus productos cruzados son iguales, halla el término que falta en estas dos fracciones equivalentes

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# Simplificación de una fracción

Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo número racional. Para expresar un mismo valor nos interesa emplear la fracción más simple, que es la que tenga el numerador y denominador más pequeños, llamada fracción irreducible porque ya no se la puede simplificar más. Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente.

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## Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible

En la siguiente escena interactiva, las seis fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba, colócalas juntas.

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Fracciones

Segunda parte

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## Suma y resta de fracciones directamente

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador se pueden sumar y restar directamente. El numerador es la suma o resta de los numeradores. El denominador es el mismo que el de las fracciones a sumar.

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En las siguientes escenas interactivas practica la suma y resta.

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En la siguiente escena interactiva practica la suma de fracciones.

## Paso de fracciones a un común denominador

Observamos el nombre de las partes de una fracción:
Numerador significa que numera, es decir, nos indica el número de cosas que tenemos.
Denominador significa que denomina, es decir, nos indica qué cosas son las que tenemos. No es lo mismo tener mitades que tener tercios.

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Cuando sumamos lo hacemos de elementos homogéneos, tienen que ser cantidades de la misma cosa. Por tanto, para sumar fracciones es necesario que sean del mismo denominador.

Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas.

En la escena interactiva de la página siguiente, observa gráficamente el sentido que tiene pasar fracciones a común denominador. La primera fracción está representada arriba, la segunda está abajo.

Pulsando sobre la punta de flecha, las fracciones y sus representaciones gráficas se transforman en otras equivalentes a ellas, pero con igual denominador las dos.

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Antes de ver el procedimiento que nos permita pasar a un común denominador fracciones heterogéneas (de diferente denominador), intenta realizar dos actividades del proyecto Proyecto Canals, diseñadas por Diego Luis Feria Gómez.

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Observa que con la ayuda gráfica, puedes determinar el común denominador sin necesidad de recurrir a algún cálculo aritmético, con el tiempo y después de sumar o restar muchas fracciones, podrás identificar el común denominador mentalmente.

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En esta otra escena interactiva, se presentan dos actividades para determinar el común denominador como acciones previas a la suma y resta de fracciones con un procedimiento aritmético.

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# Suma numérica de fracciones

Para sumar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienes distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos:

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# Sumas y restas de fracciones

Cuando hay sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas. En la siguiente escena interactiva, si las fracciones son heterogéneas, sigue el mismo proceso de la escena anterior, iniciando con el cálculo del mínimo común múltiplo de los denominadores.

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# Fracción como operador

Una de las aplicaciones que hacemos de las fracciones es cuando las utilizamos como operador. Eso es cuando aplicamos la fracción a otro número o cantidad. En estos casos, la fracción está realizando la operación de multiplicar.

Para multiplicar un número por una fracción, lo multiplicamos por el numerador y lo dividimos por el denominador. Puede ser que al dividirlo por el denominador no dé exacto, entonces podemos dejarlo en forma de fracción.

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En la siguiente escena interactiva, realiza las operaciones y pon el resultado arrastrándolo de la fila de abajo.

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# Gráfica de la multiplicación de fracciones

Cuando una fracción hace de operador de otra fracción, eso es un producto de fracciones.

En la siguiente escena interactiva, representamos sobre el eje horizontal una fracción y sobre el eje vertical la otra fracción, la superficie del rectángulo resultante nos indicará el valor del producto de esas fracciones.

- Cuenta los trozos resultantes, eso será el numerador del producto.
- Cuenta los trozos que forman un cuadrado unidad, eso será el denominador del producto.
- ¿Qué relación tiene el numerador del producto y los numeradores de las fracciones factores?
- ¿Qué relación tiene el denominador del producto y los denominadores de las fracciones factores?

De esta manera se puede deducir el método que hemos de seguir para obtener numéricamente el producto de dos fracciones.

Para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador del producto. Multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador del producto.

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Puedes poner otros valores en las fracciones de arriba y ver su producto resultante.

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# Multiplicación numérica de fracciones

Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente.

Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador.

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## Ejercicios de multiplicación de fracciones

En la siguiente escena interactiva, realiza varias multiplicaciones de fracciones.

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# Fracción inversa de una fracción

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad. La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa.

La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.

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## División de fracciones

Tanto la multiplicación como la división de fracciones son más fáciles de calcular que la suma y resta.
Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.
Una fracción se puede dividir por cualquier otra, excepto por la fracción de valor 0.

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# División de fracciones

Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

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## Ejercicios de división de fracciones

En la siguiente escena interactiva, realiza varias divisiones de fracciones. Ten en cuenta el procedimiento anterior.

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## Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son expresiones formadas por divesos números agrupados mediante operaciones diversas, con paréntesis, corchetes y llaves.

Para resolver operaciones combinadas debemos tener en cuenta estas indicaciones:

- La misión de los paréntesis es la de unir o "empaquetar" aquello a lo que afectan.
- Los signos de multiplicar unen más que los de sumar y restar, es decir, cuando dos números están unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable.
- Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar.
- Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición.
- Como norma general es aconsejable comenzar resolviendo lo del interior de paréntesis, seguir luego con las multiplicaciones y terminar realizando las sumas y restas que queden.
- Antes de comenzar debemos observar y decidir el proceso a seguir, lo que vamos a hacer antes y después.

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## Ejercicios de operaciones combinadas

En la siguiente escena interactiva se presentan ejercicios que tienen operaciones combinadas diferentes.

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