"In computer graphics, a shading function is defined as a function which yields
the intensity value of each point on the body of the object from the characteristics of
the light source, the object, and the position of the observer."
- Bui Tuong Phong (1975).
La interacción entre la luz y una superficie es una proceso físico bastante complejo.
La luz está compuesta por fotones, los cuales
son un tipo de partícula elemental, que pueden ser pensados como
paquetes muy pequeños de energía que se mueven a una velocidad constante y no poseen masa.
En esta representación, la luz puede pensarse como un flujo de muchos paquetes de energía,
los cuales son propagados de un lugar a otro en forma de rayo.
Dichos rayos solo pueden ser redirigidos por su interacción con la materia, y cada vez que
éstos chocan contra una superficie un porcentaje de fotones puede ser absorbido, reflejado
o transmitido dependiendo de las propiedades reflectivas de la superficie y de la luz misma.
En la se pueden apreciar dichos
efectos.
De modo que este proceso continua repitiéndose, es decir, cierta cantidad de energía
sigue viajando en el entorno, hasta que toda la energía es transferida, ver
.
Interacciones básicas entre la luz y una superficie.
Reflexiones de luz sobre un conjunto de superficies.
En el mundo real, las superficies reciben luz de otras superficies incluso si éstas
no producen luz o no son iluminadas directamente. Por lo que podemos
clasificar a las fuentes de luz en dos tipos: como emisor de luz o fuente de luz primaria,
las cuales producen la luz que emiten, o bien, un reflector de luz o fuente secundaria, es decir,
aquellas que reflejan la luz que producen otras fuentes.
Por ejemplo, pensemos en la iluminación de un cuarto durante el día, donde la luz del sol
solo entra por una ventana.
Si bien, algunas partes del cuarto serán iluminadas directamente por la luz del sol, hay otras partes
como el techo, que no. Sin embargo, éstas partes se ven iluminadas gracias a las reflexiones de
luz generadas por aquellas que sí son iluminadas, como el piso y las paredes, y que eventualmente
alcanzan a estas partes no iluminadas.
Iluminación global. Cuarto con una ventana. Imagen generada con blender.
Esta dispersión de luz recursiva entre las superficies explica los efectos sutíles del
sombreado, tales como las sombras producidas entre objetos adyacentes,
la luz indirecta que es la cantidad de luz recibida a través de las reflexiones de luz de
objetos cercanos, o bien, el color bleeding que es un efecto particular de la luz
indirecta, el cual describe el modo en que el color de un objeto es influenciado por el color de
otros objetos que lo rodean. En la puedes observar estos efectos.
A este tipo de iluminación se le conoce como Iluminación global.
Efectos de iluminación global: color bleeding y sombreado. Imagen generada con blender.
Y ya que la luz viaja demasiado rápido (cerca de $3\times10^8$m/sec) no importa el tamaño
de la escena, la luz tardará un tiempo insignificante en propagarse por todo
el entorno.
Sin embargo, reproducir la iluminación global en una escena virtual resulta ser una tarea
bastante compleja y computacionalmente costosa, pues requiere demasiado tiempo de cómputo
para calcular todas las posibles interacciones de luz entre los objetos de una escena.
Por lo que para facilitar los cálculos nos enfocaremos en modelos de Iluminación local,
en donde evaluaremos únicamente las contribuciones de las fuentes de luz primarias sobre
un punto de la superficie, con las cuales determinaremos el color del punto, considerando
siempre que la fuente de luz y la superficie son visibles. Por lo que si una superficie
debería generar una sombra sobre otra, ésta no se vería, teniendo un resultado menos realista.
Por otro lado, el color que se le asignará al punto dependerá tanto de las propiedades de las fuentes
de luz que iluminen a la superficie, como de las pro-
piedades del material que compone la superficie misma, y de ser el caso de la posición
del observador.
Esto con el fin de entender los conceptos básicos de iluminación tales como modelos de iluminación
y tipos de fuentes de luz.
Nos referiremos a un punto en la superficie como una pequeña area en alguna cara que
componga al objeto que queremos colorear, siendo más específicos, a un fragmento.
Por lo que la técnica de sombreado que usaremos en la implementación de los interactivos
a lo largo del capítulo será la técnica de Phong shading, siendo una de las más
populares.
Ahora bien, como vimos anteriormente, en el Sistema de visión humano,
la luz también puede comportarse como una onda y solo podemos percibir aquella que esté dentro
del espectro visible. La luz visible puede estar compuesta por una única longitud de onda (monocromática)
o varias longitudes de onda (policromática).
De modo que cuando un objeto es iluminado por una fuente de luz, el color que percibimos que tiene
es el resultado de la luz que está reflejando o longitudes de onda que no absorbió.
Por ejemplo, si una luz blanca (la cual contiene todos los colores o longitudes de onda del espectro visible)
choca contra un objeto y éste se ve de un color azul turquesa, quiere decir que ha absorbido todos los colores,
menos los azules y verdes (en su mayoría), que son los que componen al color que refleja.
Reflexión y absorción de la luz en una superficie.
Entonces para crear una imagen realista de nuestra escena virtual en 3D necesitamos determinar las
longitudes de onda de luz que el objeto refleja.
Afortunadamente, con el modelo RGB
podemos aproximarnos a cada color del espectro visible por medio de una combinación lineal
de tres colores primarios $(R,G,B)$. Los modelos de iluminación que presentaremos utilizarán
este modelo de color, evaluando cada componente en un rango de $0$ a $1$, con los cuales
representaremos la composición espectral de la luz, es decir, el color que percibimos,
así como su intensidad. Esto definiendo la intensidad o cantidad de luz que reflejan de cada canal
$R$, $G$ y $B$.
Entonces, podemos modelar esta interacción de la siguiente manera.
Consideremos que tenemos una fuente de luz blanca que ilumina a un objeto,
y de acuerdo a sus propiedades éste refleja un color verde bosque, entonces el color que veríamos estaría
dado por
$$ {\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(1.0, 1.0, 1.0)}_{\color{black} \text{luz blanca}}}
{\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(0.121, 0.498, 0.121)}_{\color{black} \text{color del objeto}}}
= {\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(0.121, 0.498, 0.121)}_{\color{black} \text{color reflejado}}}$$
definiendo así al color reflejado como la cantidad o intensidad de luz que cada componente refleja
de la luz que recibe.
Por otro lado, si utilizáramos luz monocromática de color rojo entonces solo el componente rojo de la luz
sería reflejado, por lo que percibiríamos a nuestro objeto de
un color casi negro, es decir, sin color, a excepción de un ligero tono rojo
$$ {\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(1.0, 0.0, 0.0)}_{\color{black} \text{luz roja}}}
{\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(0.121, 0.498, 0.121)}_{\color{black} \text{color del objeto}}}
= {\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}(0.121, 0.0, 0.0)}_{\color{black} \text{color reflejado}}}$$
Sin embargo, si repetimos este mismo cálculo para todos los puntos del objeto tendremos como resultado
un objeto con un color uniforme y plano, como se puede apreciar en la ,
por lo que necesitarémos determinar el color que deberá tener el objeto en cada uno de sus puntos.
Durante este capítulo se describirán los cálculos usados para iluminar y sombrear
una superficie utilizando iluminación local, obteniendo así una aproximación
aceptable de cómo debería lucir un objeto en el mundo real.
Se invita al lector a modificar el color de la fuente de luz y el color que refleja el objeto.
Reflexión ambiental
La reflexión o luz ambiental de una escena es la luz de baja intensidad que surge de los numerosos
reflejos de luz de todas las superficies cercanas en el entorno, también conocida como
luz indirecta.
La reflexión ambiental nos proporciona una aproximación de la luminosidad de la escena en general,
reemplazando la compleja tarea de calcular la cantidad de luz que recibe una superficie dadas
las reflexiones de otros objetos dentro de ésta,
ya que a pesar de tener una escena muy poco iluminada, los objetos casi nunca son
completamente negros.
Y dependiendo del material del objeto éste podrá absorber y reflejar mayor o menor cantidad
de luz ambiental.
Para cada punto $P$ en la superficie,
la intensidad de luz ambiental reflejada puede ser modelada de la
siguiente forma.
Sea $\mathbf{L}_A$ la cantidad de luz producida por la luz incidente,
y $k_A$ el coeficiente de reflexión ambiental característico
del material, con $ 0 \leq k_A \leq 1$, entonces
$$ \begin{aligned}
\mathbf{I}_P =& \kern{.4em} k_A \mathbf{L}_A
\\=& \kern{.4em} k_A (L_{A,R}, L_{A,G}, L_{A,B})
\end{aligned}$$
Agregando una cierta cantidad de luz que parece provenir de todas las direcciones
con la misma intensidad, iluminando cada parte de un objeto de manera uniforme.
Sin embargo, aunque puede ser un efecto valioso debe usarse cuidadosamente, ya que
al aumentar la luminosidad de todo lo que hay en la escena, puede llegar a desvanecer
algunos detalles como las sombras.
Reflexión ambiental. Se invita a modificar el valor de $k_A$ y el color de $L_A$. Puedes
cambiar el modelo y mover la cámara con el ratón o dedo.
Reflexión difusa (superficies de Lambert)
Las superficies puramente difusas son aquellas que reflejan la luz uniformemente en todas las
direcciones, por lo que tendrá la misma apariencia sin importar la posición del observador.
La reflexión difusa es característica de superficies de materiales rugosos, mates y sin brillo.
Por ejemplo, si miras fijamente a un punto determinado de una hoja de papel y te mueves, éste
seguirá viéndose del mismo color. Pues si ampliáramos una sección de una superficie difusa veríamos algo
aparecido a la , donde los rayos de la luz incidente
son dispersados por igual en direcciones aleatorias.
Superficie difusa (a nivel microscópico). Reflexión de la luz en
direcciones aleatorias.
Este tipo de materiales suelen ser modelados usando la Ley del Coseno de Lambert, por esta
razón es que también son llamadas como superficies de Lambert.
La ley del coseno nos dice que la cantidad de luz reflejada en una pequeña área o punto de
una superficie depende del ángulo formado entre el vector normal $\mathbf{N}$ en el punto y
la dirección de la luz incidente $\mathbf{L}$, es decir, el vector que va del punto a la fuente de luz.
Consideremos una pequeña área $A$ de un superficie plana, la cual es iluminada por un haz de luz,
véase la . De modo que cuando el haz de luz es perpendicular
a $A$ todos los fotones contenidos en el haz chocan con $A$, permitiendo reflejar la mayor
cantidad de fotones. Y como podemos notar en el interactivo, al incrementar el ángulo de inclinación
$\theta$ formado entre el haz de luz y la normal de $A$ la cantidad de fotones que cae en $A$ se
reduce, pues la sección transversal que el haz de luz cubre se vuelve más grande, por lo que la luz
es esparcida y una menor cantidad de fonotes o energía ilumina a $A$.
Por otro lado, si el haz de luz es paralelo a la superficie, $A$ no es iluminada,
pues no recibe nada de energía.
La figura de la izquierda muestra el área $A$ de la superficie que impacta el haz de luz, la figura
del centro se observa como el haz impacta la superficie con cierto ángulo y la de la derecha muestra el
cálculo de dicho ángulo.
De estas observaciones podemos concluir que $A$ recibe la mayor cantidad de energía cuando el
haz de luz es perpendicular a la superficie, en otras palabras, cuando $\mathbf{L}$ es paralelo a $\mathbf{N}$, y
esta cantidad va disminuyendo conforme el ángulo $\theta$ incrementa, volviéndose
más oscura cada vez. Finalmente cuando $\mathbf{L}$ es perpendicular a $\mathbf{N}$ el área $A$ no es iluminada, por lo que
no refleja energía. Entonces podemos decir que la cantidad de luz que se refleja por el área es inversamente
proporcional a el coseno de $\theta$, esto es $A/\cos\theta$.
Iluminación de un área de una superficie por un haz de luz.
Se invita al lector a rotar el haz de luz representado por el cilindro amarillo
y observar el área de la superficie que llega a impactar. Cuando el haz de luz es
perpendicular a la superficie, una área más pequeña recibe todos los fotones del haz de luz.
Conforme rotamos el haz notamos que el área que cubre es mayor, distribuyendo la cantidad de
fotones por la superficie, hasta ser paralelo y no transmitir energía.
El valor $\cos\theta$ puede obtenerse con el producto punto de los vectores normalizados $\mathbf{N}$ y $\mathbf{L}$.
Y como el producto punto puede ser negativo cuando la superficie apunta en dirección
contraria a la luz, es decir, la fuente de luz se encuentra atrás de la cara frontal de la superficie,
como se muestra en la , el valor
del producto punto se suele limitar a $[0,1]$, ya que de otro modo tendríamos "luz negativa".
Superficie apuntando en dirección contraria a la fuente luz.
Este modelo es conocido como el Modelo de Lambert debido a su dependencia a la ley de Lambert,
el cual se define a continuación.
Para cada punto $P$ en la superficie, podemos calcular
la intensidad de luz difusa reflejada en $P$ como
$$ \begin{aligned}
\mathbf{I}_P =& \kern{.4em} k_D \mathbf{L}_D \text{max}(\cos\theta,0) \\
=& \kern{.4em} k_D \mathbf{L}_D \text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}),0)
\end{aligned}$$
con $\mathbf{N}$ y $\mathbf{L}$ normalizados.
Donde $\mathbf{L}_D$ es la cantidad de luz producida por la luz incidente, y $k_D$ el coeficiente de reflexión difusa de la
superficie que nos indica qué tan difusa es, siendo $0 \leq k_D \leq 1$.
Reflexión difusa. Se invita a
modificar el valor de $k_d$ y el color de $L_S$, así como los
valores de la posición de la fuente de luz. Puedes cambiar el modelo y
mover la cámara con el ratón o dedo.
Reflexión especular
La reflexión especular produce reflejos brillantes, se presenta en superficies brillantes,
pulidas o satinadas, como metales y vidrios. La reflexión especular a diferencia de la reflexión
difusa y ambiental depende tanto de la dirección de la luz incidente como de la posición del
observador.
A nivel microscópico una superficie especular es muy lisa, por ello los rayos de luz rebotan
como un espejo ideal, como se aprecia en la . Y mientras más
lisa o menos irregularidades tenga la superficie, más se asemeja a un espejo y se le conoce como superficie especular
perfecta.
Superficie especular (a nivel microscópico).
La muestra una reflexión especular perfecta
(izquierda), en este caso un material puramente especular refleja toda la luz incidente con
exactamente el mismo ángulo de incidencia, a este vector espejo se le conoce también como
vector de reflexión perfecta.
Por otro lado, cuando se tiene una superficie especular no ideal (derecha),
una parte de la energía recibida se refleja a lo largo del vector de reflexión, y
otra cantidad se refleja de manera difusa al rededor del vector espejo, el cual tiene
como efecto el difuminar la luz reflejada sobre la superficie, actuando como
un espejo roto.
Reflexión especular ideal o perfecta (izquierda). Reflexión
especular no ideal o espejo rugoso (derecha).
Sea $\mathbf{N}$ el vector normal y $\mathbf{L}$ la dirección de la luz incidente,
y ambos normalizados. Podemos calcular el vector de reflexión $\mathbf{R}$ como se muestra
en la
Cálculo del vector espejo.
El vector $\mathbf{L}$ puede ser modificado arrastrando la punta de
la flecha en el primer paso.
Da clic en el botón Sig o Prev para ver el paso siguiente o previo.
Entonces podemos expresar al vector $\mathbf{R}$ como
$$ \mathbf{R} = 2 \mathbf{N} (\mathbf{N} \cdot \mathbf{L})-\mathbf{L}$$
Y si asumimos que el observador está viendo hacia la superficie en la misma
dirección que el vector espejo $\mathbf{R}$, ésta podrá reflejar un brillo más tenue o más
fuerte dependiendo del material de la superficie. Si tenemos una superficie no ideal
entonces es claro que se reflejá un brillo más tenue ya que algunos de los rayos serán
dispersados en direcciones aleatorias, mientras que en una superficie perfecta,
todos los rayos serán reflejados hacia el ojo u observador.
Ahora bien, si el observador estuviera posicionado diferente, es decir,
el vector de vista o view direction $\mathbf{V}$ que va del punto en la superficie a la cámara
es distinto al vector $\mathbf{R}$, ver .
La cantidad de energía que se refleja, o mejor dicho, que nuestro
observador ve en un punto, decrementa a medida que el ángulo $\phi$ formado entre $\mathbf{R}$ y $\mathbf{V}$
se incrementa. Esto es, ya que a medida en que $\phi$ se incrementa, el número de rayos que son reflejados
en la misma dirección de $\mathbf{V}$ disminuye.
Para calcular el vector $\mathbf{V}$ que va de la posición del fragmento a la cámara basta restar la
posición de la cámara con la posición del fragmento. Y si realizamos los cálculos desde el espacio
de la cámara, como discutimos previamente en el Capítulo 5,
ésta se encontraría posicionada en el origen. Por lo que considerando a $P$ como el punto en la superficie,
tendríamos que $\mathbf{V} = -P.$
Reflexión especular del Modelo de Phong.
La intensidad de la reflexión especular está dada
en función del ángulo formado entre el vector $\mathbf{V}$ y $\mathbf{R}$.
Phong observó que este brillo podía ser simulado de la siguiente forma.
Tomando en consideración que los vectores $\mathbf{V}$ y $\mathbf{R}$ son vectores unitarios, así como las
características de las propiedades de la superficie y de la luz.
Para cada punto $P$ en el objeto podemos calcular la intensidad de la luz especular recibida por el ojo como
$$ \begin{aligned}
\mathbf{I}_P =& \kern{.4em} k_S \mathbf{L}_S \text{max}(\cos(\phi),0)^\alpha
\\=& \kern{.4em} k_S \mathbf{L}_S \text{max}((\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}),0)^\alpha
\end{aligned}$$
siendo $\mathbf{L}_S$ la cantidad de luz producida por la luz incidente, $k_S$ la fracción de la luz especular
reflejada del material, con $0 \leq k_S \leq 1,$ con $\mathbf{R}$ y $\mathbf{V}$ normalizados.
El valor del producto punto es utilizado para simular la reflexión especular y
el exponente especular $\alpha$ es un número positivo que controla el tamaño y definición del brillo,
el cual es ajustado empíricamente de acuerdo a las propiedades reflexivas del material del objeto.
A este modelo se le conoce como Modelo especular de Phong, ya que fue el que desarrolló para
su modelo de iluminación, del cual hablaremos un poco más adelante.
Como se puede observar en la , a medida que el componente especular se va
haciendo más grande la curva se va estrechando al rededor del eje $y$.
De modo que un valor
pequeño para $\alpha$ produce un brillo mate que se desvanece a una distancia relativamente larga, mientras que
un valor grande genera un brillo más definido y pequeño que se desvanece tan rápido como los vectores
$\mathbf{R}$ y $\mathbf{V}$ divergen.
Gráfica de la función $\cos\phi^\alpha$ del brillo especular de Phong.
Aunado a ello, vale la pena verificar sí $( (\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}) > 0)$ antes de calcular la reflexión especular,
ya que de manera similar a la reflexión difusa, la fuente de luz estaría detrás de la superficie y
no debería presentar un brillo especular.
Reflexión especular. Se invita al lector a modificar el valor del exponente especular $\alpha$,
con lo cual podemos simular varias cantidades de luz dispersada al rededor del vector de vista.
Así como también observar la dependencia de la posición del observador moviendo la posición de la
cámara con el ratón o dedo.
Modelo de iluminación de Phong
El Modelo de iluminación de Phong es uno de los modelos de iluminación local más utilizados
el cual fue desarrollado de forma empírica por Bui Tuong Phong en 1975.
En el mundo real la mayoría de las superficies no suelen ser puramente difusas o especulares,
más bien, suelen estar compuestas por ambas propiedades. Por lo que,
la luz recibida por el observador es producida una parte por la reflexión difusa y otra parte
por la reflexión especular de la luz incidente.
Tomando en consideración esto, Phong describió a la luz reflejada por un
punto $P$ en la superficie de un objeto como
$$
\mathbf{I}_P =
{\color{#008b8b}\underbrace{\color{black}k_A \mathbf{L}_{\text{A}}}_{\color{black} \text{Reflexión ambiental}}}
+
{\color{#008b8b}\underbrace{\color{black} k_D \mathbf{L}_D \text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}),0)}_{\color{black} \text{Reflexión difusa}}}
+
{\color{#008b8b}\underbrace{\color{black} k_S \mathbf{L}_S \text{max}((\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}),0)^\alpha}_{\color{black} \text{Reflexión especular}}}
$$
donde se incorpora cada uno de los modelos de reflexión que hemos visto,
permitiendo modelar cada una de las propiedades reflexivas del material.
Y en el caso de tener múltiples fuentes de luz, la reflexión de cada una de estas luces
en $P$ es acumulada para así obtener la cantidad total de luz reflejada. Esto es
$$ \mathbf{I}_P = \kern{.4em} k_A L_A + \sum_{i = 0}^n (k_D\text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}_{D_i}),0)) + k_S\text{max}((\mathbf{R}_i \cdot \mathbf{V}),0)^\alpha $$
siendo $n$ el número de luces.
Modelo de iluminación de Phong. Se invita a modificar
cada uno de los componentes del modelo, así como cambiar la posición de la luz y el modelo
a utilizar. Puedes mover la posición de la cámara con el ratón o dedo.
Modelo de iluminación Blinn-Phong
El Modelo de iluminación de Blinn-Phong es una variación del modelo de Phong propuesta por
James Blinn. En esta adaptación se buscó simplificar el cálculo de la reflexión especular,
ya que necesitaba calcular el vector de reflexión $\mathbf{R}$ para cada punto de la superficie.
En su lugar, se propone calcular el vector intermedio o half vector $\mathbf{H}$ para
determinar la intensidad del brillo especular, el cual es el vector que se encuentra entre el
vector de vista $\mathbf{V}$ y el de la luz incidente $\mathbf{L}$, como se muestra en
la .
Modelo de ilumación de Blinn-Phong..
Entonces en el modelo de Phong la reflexión especular ahora se calcularía en función del ángulo
formado entre el vector intermedio y la normal del punto como
$$ \begin{aligned}
\mathbf{I}_P =& \kern{.4em} k_S \mathbf{L}_S \text{max}(\cos\phi), 0)^\alpha\\
=& \kern{.4em} k_S \mathbf{L}_S \text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{H}),0)^\alpha
\\\\
\text{donde } \mathbf{H} =& \kern{.4em} \frac{\mathbf{L} + \mathbf{V}}{2}
\end{aligned}
$$
Nótese que todos los vectores mencionados están normalizados.
De manera similar, el ángulo $\phi$ nos da una aproximación de qué tan cerca se encuentra el
vector de vista del vector de reflexión o espejo.
De modo que el brillo especular es más intenso a media que $\mathbf{H}$ se acerca al
vector normal $\mathbf{N}$.
Sin embargo, como se puede observar en la ,
el ángulo $\phi$ suele ser más pequeño que el ángulo formado entre $\mathbf{R}$ y
$\mathbf{V}$ del modelo original,
produciendo diferentes resultado para $\alpha$.
Esta diferencia la podemos observar en la .
Este modelo nos permite optimizar los cálculos, y es por ello que se
ha vuelto el modelo más utilizado en gráficos 3D de tiempo real.
Comparación entre el Modelo de iluminación de Phong y Blinn-Phong. Se invita al lector
a modificar el valor del exponente especular y observar la diferencia a pesar de que
todas las características del objeto y la luz son las mismas.
Materiales
Como ya hemos mencionado la intensidad de la luz reflejada por una superficie depende tanto de las
propiedades de la luz incidente como de las propiedades reflexivas del objeto.
Veamos algunos ejemplos. En el mundo real,
si un material es dieléctrico, es decir, no es conductor eléctrico, y presenta un brillo
especular como la madera pulida, la porcelana, el plástico, etc, además de reflejar el
color que percibimos del objeto, se refleja un brillo especular del mismo color que
emite la luz incidente.
Por otro lado, si se trata de un material metálico, el brillo especular
reflejado será del
color del metal mismo, por ejemplo el oro refleja un brillo especular de color amarillo.
Utilizando el modelo de iluminación de Phong podemos modelar estas propiedades.
Podemos especificar las propiedades reflexivas del material con
los coeficientes de reflexión $k_A, k_D$ y $k_S$, los cuales representaremos
como tripletas $(R,G,B)$ para definir así las intensidades de cada uno de los canales
de color que refleja cada componente,
y del mismo modo para las propiedades de la luz incidente con $L_A, L,D$ y $L_S$.
Entonces el resultado del color reflejado en el punto sería representando como
$$
\begin{aligned}
\mathbf{I}_P = \begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix} =&
\begin{bmatrix} k_{A_R} L_{A_R} \\ k_{A_G} L_{A_G} \\ k_{A_B} L_{A_B} \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} k_{D_R} L_{D_R} \\ k_{D_G} L_{D_G} \\ k_{D_B} L_{D_B} \end{bmatrix} \text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}),0) + \\ \\ &
\begin{bmatrix} k_{S_R} L_{S_R} \\ k_{S_G} L_{S_G} \\ k_{S_B} L_{S_B} \end{bmatrix} \text{max}((\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}),0)^\alpha
\end{aligned}
$$
Podemos definir entonces las características del material de una superficie como sigue
obteniendo así la dirección de la luz incidente $\mathbf{L}$ como el vector que va de la
posición de la fuente de luz a un punto de la superficie. En el siguiente subtema veremos
otras formas de modelar a una fuente de luz.
Por otro lado,
la intensidad del componente ambiental de la luz $L_A$ suele ser un color bajo o tenue
ya que no queremos que sea el que predomine en el objeto, ni perder detalles.
La intensidad difusa $L_A$ suele ser exactamente el color de la luz o un color brillante
como el blanco para reflejar así el color base que percibimos del objeto. Por último el color
especular $L_S$ suele ser el blanco en el caso de materiales no metálicos como mencionamos al
principio o del color del metal.
Puedes cambiar los modelos y materiales a aplicar, así
como mover la posición de la cámara con el ratón o dedo.
Da clic en "personalizar" para modificar los valores de reflexión del material.
En esta lista encontrarás
la descripción de distintos materiales reales para poder simularlos.
Fuentes de luz
Recordemos que por fuente de luz nos referimos a un punto en el espacio 3D que produce o emite
energía.
Hasta ahora hemos modelado a las fuentes de luz únicamente por su posición, a partir
de la cual se emiten rayos de luz en todas las direcciones con una misma intensidad,
lo cual no es muy realista.
En el mundo real existe una variedad de fuentes de luz, con diferentes formas,
tamaños y colores. Por ejemplo una lámpara de la calle, una vela, el sol o luces de neón.
A continuación veremos cómo modelar algunas de las fuentes de luz más utilizadas.
Luz puntual
Una fuente de luz puntual es un punto en el espacio que emite energía en todas las
direcciones dentro de un campo esférico y su intensidad se debilita con la distancia.
Un ejemplo de este tipo de fuente de luz es un foco o una vela.
Luz puntual o de posición.
La intensidad de la luz recibida en un punto de una superficie disminuye de acuerdo
a la Ley del cuadrado inverso, esto es, su intensidad
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$ que hay entre la
posición de la luz y el punto.
Aunque esto es matemáticamente correcto en el mundo real, los resultados no suelen ser muy naturales
ya que la intensidad se desvanece rápidamente a medida que la distancia se incrementa.
Por ello suele ser reemplazado por el siguiente factor
$$ \text{atenuación} = \frac{1}{ad^2 + bd + c} $$
donde los coeficientes $a$, $b$ y $c$ son constantes características de la fuente
de luz que nos permiten suavizar y controlar mejor la iluminación
como se puede observar en la .
La constante $c$ suele ser $1$ para mantener el denominador mayor a $1$.
Mientras que el coeficiente $b$ determina el comportamiento lineal de la curva de la atenuación,
y $a$ el comportamiento cuadrático.
Modifique los coeficientes de atenuación y observe cómo afecta la
curva.
Por lo tanto, agregando este factor de atenuación al modelo de Phong tenemos
$$
\mathbf{I}_P = k_A \mathbf{L}_{\text{A}} +
\frac{1}{ad^2 + bd + c}
(k_D \mathbf{L}_D \text{max}((\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}),0) +
k_S \mathbf{L}_S \text{max}((\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}),0)^\alpha)
$$
Entonces la luz puntual puede ser modelada como sigue
Modelos iluminados por una fuente de luz puntual. Modifica la posición de la fuente
de luz y los coeficientes del factor de atenuación y observa los resultados. Puedes mover
la cámara con el ratón o dedo, así como alejarte o acercarte con la rueda del ratón.
Luz direccional
Una fuente de luz direccional también llamada como fuente de luz infinita es
un caso especial de luz puntual. Este tipo de luz es utilizada para modelar fuentes
de luz que se encuentran a una distancia muy lejana como el sol. Como se muestra en la
, visto desde una posición cualquiera en la Tierra
los rayos emitidos por el sol son paralelos y su intensidad es prácticamente la misma,
es decir, no disminuye con la distancia como en la luz puntual.
El sol como fuente de luz direccional. El ángulo de diferencia entre
los polos de la Tierra es de 0.005 grados.
Luz direccional. Rayos de luz paralelos.
Como resultado los rayos de luz llegan en una misma dirección de manera uniforme, es
decir, que las superficies con la misma orientación reciben la misma cantidad de luz
independientemente de su posición. Por lo que la luz direccional puede ser modelada
únicamente por sus propiedades de reflexión y su vector de dirección unitario
Modelos iluminados por una fuente de luz direccional. Modifica la dirección de la luz.
Puedes mover la cámara con el ratón o dedo, así como alejarte o acercarte con la rueda del ratón.
Luz de reflector
Una fuente de luz de reflector o spotlight es similar a una fuente de luz puntual
solo que sus rayos apuntan hacia una dirección específica.
Un buen ejemplo de este tipo de fuente de luz son los reflectores de un teatro o un
foco envuelto por una lámpara.
Para definir un spotlight necesitamos especificar una posición $P$ en el espacio,
que será de donde emitirá energía;
una dirección $\mathbf{D}$, que será a la que apunte y a su vez el eje del cono, y
un ángulo de corte $\theta$, que es el ángulo formado entre el eje del cono y un rayo a lo
largo del borde del cono, veáse .
El ángulo de corte define el área a iluminar, fuera de ésta la intensidad de luz es
igual a cero. De modo que aquellos puntos que no se encuentren dentro
del cono no serán iluminados, limitando así el rango de rayos emitidos por la fuente de luz.
Cono formado por una luz de reflector.
Considerando entonces al punto $Q$ sobre un objeto de la escena, podemos
verificar si éste debe ser iluminado o no por el reflector de la siguiente forma.
Sea $\gamma$ el ángulo formado entre la dirección de la luz $\mathbf{D}$ y el vector
$\mathbf{L}$, que en este caso para facilitar la visualización del cálculo será definido
como el vector que va de la fuente de luz a la superficie.
Entonces podemos determinar que $Q$ está dentro del cono si
$\gamma$ es menor a $\theta$, por lo que debe ser iluminado, en otro caso se encuentra
fuera del cono y no debe ser iluminado, como se muestra en la .
Otra característica importante de este tipo de luz es la atenuación.
La intensidad de la luz es atenuada con respecto a la distancia al igual que con
una fuente de luz puntual, pero también es atenuada por otro factor, conocido como
efecto spotlight.
Determinación de un punto $Q$ dentro de un reflector. Para iluminar a $Q$ el
ángulo de corte $\theta$ representado por el sector circular rojo
deberá ser mayor o igual, o bien, contener al ángulo $\gamma$ representado por el arco azul
formado entre el vector $\mathbf{L}$ que va de la posición de la fuente al fragmento y el de dirección o eje
del cono $\mathbf{D}$. Puedes rotar el cono y modificar el ángulo de corte del cono.
Este efecto consiste en que la intensidad de la luz del reflector
decae a medida que los rayos se alejan del eje del cono.
Y existen varias formas de modelar este comportamiento.
Tomando en cuenta que
$$ \cos\gamma = \mathbf{D}\cdot \mathbf{L} $$
Entonces podemos calcular la intensidad de luz recibida por un punto $Q$ como
$$
\text{atenuación} =
\begin{cases}
\dfrac{\text{max}((\mathbf{D}\cdot \mathbf{L}),0)^f}{ad^2 + bd + c} & \text{si } \gamma < \theta\\
0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
$$
donde los coeficientes $a$, $b$ y $c$ son constantes de atenuación características de
la fuente, $d$ la distancia que hay entre la posición de la luz y el punto $Q$,
y $\mathbf{L}$ el vector unitario que va de $P$ a $Q$.
El exponente $f$ determina el factor por el cual la intensidad es reducida para
rayos lejanos al eje del cono. De modo que un valor
grande de $f$ nos dará una concentración de luz mayor cerca del eje, mientras
que un valor pequeño nos da un haz de luz menos concentrado.
La luz es más intensa cuando $\mathbf{D} = \mathbf{L}$ y
va decayendo gradualmente a medida que el ángulo $\theta$ se incremente.
Entonces la luz de reflector puede ser modelada como sigue
Modelos iluminados por una fuente de luz de reflector. Modifica el
factor $f$ y el valor de $\theta$, y observa la diferentes concentraciones de luz.
Puedes mover la cámara con el ratón o dedo.
Otra manera de modelar el efecto spotlight es seccionando al cono en dos partes:
la umbra, que es el área del centro del cono, en la que todos los rayos de luz llegarían
y por lo tanto se iluminaría por igual, y la penumbra, que es el área alrededor,
en la cual llega una menor cantidad de rayos de luz por lo que se iluminaría menos,
ya que suelen ser bloqueados por la superficie que rodea al foco.
Considerando esto podemos definir entonces a la umbra como el área
definida por un ángulo $\rho$, con $\rho < \theta$, y a la penumbra como el área
definida entre $\rho$ y $\theta$. Entonces podemos definir la intensidad como
$$
I = \begin{cases}
1.0 &\text{si } \gamma < \rho \\
0.0 &\text{si } \gamma > \theta \\
\Bigl ( \dfrac{\cos\gamma - \cos\rho}{\cos\theta - \cos\rho} \Bigr )^f &\text{en otro caso }
\end{cases}
$$
Finalmente se multiplicaría la atenuación utilizada en la luz puntual por $I$.
Sin embargo, como podemos notar al calcular la intensidad para puntos que están dentro
de la penumbra resulta ser algo costosa, en su lugar puede ser reemplazada por otra función,
por ejemplo, una interpolación lineal.
Transparencia
La transparencia es otra característica que está presente en muchos objetos del mundo real.
Los materiales transparentes o translúcidos son aquellos que permiten pasar cierta cantidad de luz a través
de ellos y hay diferentes maneras en que esto ocurra. Algunos efectos que se pueden producir es que la luz
se atenue (transmisión) o se desvíe (refracción), provocando que otros objetos en la escena sean iluminados
de manera diferente.
Nosotros trataremos el caso más sencillo, en donde el objeto transparente solo atenúa los colores
de los objetos que se encuentran detrás de él, preocupándonos únicamente por renderizar al objeto mismo.
La solución más utilizada consiste en mezclar el color del objeto transparente con los colores de los
objetos que están atrás de él.
Para ello, se agrega una cuarta componente a las tripletas $RGB$ que
utilizamos para describir las propiedades reflexivas de nuestros materiales, esta componente es conocida
como componente alfa $(\alpha),$ y es con la cual describiremos el grado de transparencia en ese
punto del objeto. En donde si alfa es igual a $1$ quiere decir
que el objeto es opaco, y $0$ quiere decir
que es totalmente transparente.
De este modo, cada fragmento del objeto estará descrito por un color $RGBA$ o $RGB\alpha$.
Recordemos del Pipeline gráfico
que el búfer de color terminará almacenando el color final que tendrá
el pixel en la pantalla, por lo que el color final deberá ser la mezcla de colores que estamos buscando.
Para poder calcular esa mezcla correctamente necesitamos definir un orden de renderizado
específico entre los objetos, donde los objetos opacos sean renderizados primero y los transparentes
después. Esto es ya que iremos calculando el color final de la siguiente manera.
Para cada fragmento se consideran dos colores: el color del fondo y el color del objeto transparente,
en donde el color de fondo es el último color almacenado en el búfer de color. Entonces, el color
final $\mathbf{c}_f$ de superponer un objeto transparente en la escena es
$$ \mathbf{c}_f = \mathbf{c}_t\alpha_t + (1-\alpha_t)\mathbf{c}_b $$
en donde $\mathbf{c}_t$ es el color del objeto transparente, $\alpha_t$ el grado de transparencia
del objeto, y $\mathbf{c}_b$ el color de fondo actual del búfer.
Por lo que el color $\mathbf{c}_b$ es reemplazado por el $\mathbf{c}_f$ en el búfer de color.
De esta manera la componente $\alpha$ determinará qué tanto está siendo cubierto el pixel por el
material transparente.
Por otra parte, si solo se reciben colores $RBG\alpha$ con $\alpha$ igual a $1$ la ecuación se
simplifica a reemplazar completamente los colores en el búfer de acuerdo a su profundidad.
Este algoritmo nos proporciona una sensación de transparencia en el sentido de que podemos
percibir a través de un objeto aquellos objetos que se encuentran detrás de él, de manera similar
a como lo haría una tela de gasa. Sin embargo, se sigue sintiendo poco convincente para simular
algunos materiales como plástico o vidrio de color.
Supongamos que tenemos un filtro de plástico rojo que cubre a un objeto azul, entonces usando
la operación previa, tendríamos como resultado la porción del color rojo
y del color azul sumadas.
No obstante, como vimos al principio de este capítulo sería mejor multiplicar ambos colores,
añadiendo así la luz que refleja el objeto azul hacia el objeto transparente, esto es
$$ \mathbf{c}_f = \mathbf{c}_t\alpha_t + \mathbf{c}_b $$
con esta nueva operación (additive blending o mezcla aditiva), podemos obtener un mejor resultado
para efectos brillantes como chispas o luces, ya que en lugar de atenuar los pixeles, los hace más
brillantes. Pero, sigue sin funcionar adecuadamente ya que las superficies opacas no son filtradas,
además para superficies semitransparentes como el fuego o humo puede dar un efecto de saturación
sobre sus colores. Por estas razones es que la primera operación de mezcla es más utilizada. Puedes observar la
diferencia entre estos dos operadores en la .
Ejemplo de transparencia de dos planos. Se muestran dos planos transparentes.
El plano verde es renderizado antes que
el plano rojo, intenta encimar o poner el plano verde frente al rojo y observa lo que pasa.
Modifica los valores de transparencia $\alpha_R$ y $\alpha_G$ para hacer a los planos de un
material más o menos transparente.
Cambia el tipo de operador a utilizar y observe las diferencias.
Puedes mover la posición de la cámara con el ratón o dedo.
Al renderizar los objetos translúcidos el orden es importante, siendo más específicos necesitamos
renderizar las superficies transparentes en un orden de atrás hacia adelante. Una forma de hacer esto es
considerando las distancias del centro de los objetos en dirección a la cámara. No obstante
esta solución puede no ser trivial en ciertos casos, por ejemplo, cuando los objetos tienen la
misma profundidad. En este caso el operador de mezcla aditiva puede ser una mejor solución, puedes probar
esto en la figura anterior.
Otro ejemplo, sería cuando una escena es modificada más adelante, en donde el orden de los
objetos cambia, este caso también lo podemos ver en la
al mover al plano verde enfrente del rojo.
Esto se debe al test del búfer de profundidad, ya que al ser dibujado primero el plano verde
y estár más adelante que el rojo, el búfer de profundidad se actualiza y el fragmento del plano rojo
es descartado por no ser visible. Por esta razón es que es necesario apagar el test de profundidad
durante el renderizado de los objetos transparentes.
Del mismo modo, este problema ocurre si tuviésemos objetos transparentes con concavidades que se
sobreponen a sí mismos. Aquí deberíamos prestar especial atención al orden de sus caras.
Para mejorar la apariencia en este caso se suele utilizar
la orientación de sus caras,
y dependiendo de la posición del observador se dibujarían primero las caras
traseras del objeto y después las caras frontales, obsérvese la .
Ejemplo de objetos transparentes. Modifica el valor de transparencia de cada objeto y
cambia su posición. Puedes mover la posición de la cámara con el ratón o dedo.
