# Geometria analítica
do plano

# INTERATIVO

GEOMETRIA ANALÍTICA DO PLANO
INTERATIVO

María José García Cebrian
Rede Educativa Digital Descartes, Espanha

Tradução para o portugues: Lindberg Barbosa Lira de Almeida
FAMASUL - Faculdade de Formação de Professores da Mata Sul -
Palmares/PE - Brasil.

Fundo Editorial

Córdoba (España)
2023

Título da obra
Geometria analítica do plano
Autor: María José García Cebrian
Traduçao: Lindberg Barbosa Lira de Almeida

Projeto do livro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Design de capa: Diana María Velásquez García
Livraria turn.js: Emmanuel García
Ferramenta de edição: DescartesJS
Fonte: Amaranth

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/

ISBN: 978-84-18834-65-3

Este trabalho tem Licença Creative Commons 4.0 Internacional: Atribuição-Não Comercial-Compartilha Igual.
Todos os objetos interativos e os conteúdos desta obra coletiva são protegidos pela Lei de Propriedade Intelectual.

## Tabela de conteúdo

Introdução v

PARTE I: Vetores 1

1. Vetores fixos e vetores livres3

2. Operações com vetores4

2.1. Soma e produto por um escalar4

2.2. Combinações lineares4

3. Bases e coordenadas5

3.1. Dependência e independência linear5

3.2. Base de vetores5

3.3. Base canônica6

3.4. Operações com vetores dados por suas coordenadas6

4. Produto escalar7

4.1. Módulo de um vetor7

4.2. Produto escalar de dois vetores7

4.3. Interpretação geométrica do produto escalar8

4.4. Ângulo de dois vetores8

Exercícios para praticar9

PARTE II: O plano afim 11

1. Sistema de referência e pontos no plano13

1.1. Pontos alinhados13

1.2. Ponto médio de um segmento14

2. Retas no plano15

2.1. Equação da reta16

2.2. Outras formas da equação da reta17

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2.3. Retas paralelas e retas perpendiculares18

2.4. Posições relativas de duas retas no plano20

2.5. Feixe de retas21

3. Exercícios resolvidos: Retas e pontos notáveis ​​do triângulo22

Exercícios para praticar23

PARTE III: O plano métrico 25

1. Ângulo de duas retas27

2. Distâncias entre pontos e retas28

2.1. Distância entre dois pontos28

2.2. Distância entre um ponto e uma reta28

2.3. Distância entre duas retas29

3. Lugares geométricos30

4. Exercícios resolvidos31

Exercícios para praticar32

Autoavaliação 33

Bibliografia 34

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# Introdução

A Geometria Analítica é o ramo da geometria que estuda certos objetos geométricos a partir de um sistema de coordenadas utilizando os métodos da álgebra e da análise matemática.

Sua invenção é atribuída a René Descartes (1596-1650), pois foi ele o primeiro a publicar o termo no apêndice da sua obra Discurso do Método, embora se saiba que Pierre de Fermat (1601-1665) conhecia e utilizava o método antes da sua publicação por Descartes.

No vídeo a seguir1 você pode ver um breve histórico da Geometria Analítica.

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Este livro trata do estudo da Geometria Analítica Plana de acordo com os conteúdos de Matemática I para o 1º ano do Bacharelado na Espanha. Foi dividido em três partes diferentes.
Na Parte I são abordados os vetores, a base do desenvolvimento subseqüente. A partir da relação de equipolência dos vetores fixos, definem-se os vetores livres e as operações entre eles que nos aproximam da estrutura do espaço vetorial. Aborda-se então o conceito de dependência e independência linear, o que nos leva ao estudo das bases e coordenadas. Para finalizar esta seção, usamos o produto escalar de vetores e suas aplicações na resolução de problemas métricos. |
Na Parte II: O plano afim, está dedicada as retas, suas equações e posições relativas. Depois de definir um sistema de referência, introduzimos as diferentes formas da equação da reta seja a partir de um ponto e um vetor ou a partir de dois pontos. Continuamos com o cálculo de retas paralelas e perpendiculares a uma outra reta dada. O estudo das posições relativas de duas linhas continua, determinando as condições de paralelismo entre elas. |

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| Na Parte III: O plano métrico, aborda-se a resolução de diferentes problemas métricos no plano. O produto escalar nos permitirá calcular ângulos e distâncias no plano. Em primeiro lugar, estuda-se a medição dos ângulos entre duas retas, seguindo-se o cálculo das distâncias entre os diferentes elementos do plano, de um ponto a outro ponto, de um ponto a uma reta e entre duas retas. Finalmente, alguns problemas típicos são resolvidos, como a determinação do ponto simétrico de outro em relação a uma reta ou o cálculo de alguns lugares geométricos, como mediatrizes ou bissetrizes.
No final de cada uma dessas seções sob o título "Praticar mais", há uma coleção de exercícios e problemas para consolidar os conceitos aprendidos. Por fim, é apresentado um questionário de autoavaliação que permite ao aluno avaliar os conhecimentos adquiridos.

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# parte i

# Vetores

## 1. Vetores fixos e vetores livres

O conjunto IR2 é formado por todos os pares ordenados de números reais (x, y). O primeiro elemento, x, é a primeira componente do par; o segundo, y, é a segunda componente.

Dois elementos de IR2 são iguais se suas respectivas componentes também forem. Entre os elementos de IR2 podemos definir as seguintes operações:

- Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
- Produto por um escalar: t·(x1, y1) = (t·x1, t·y1)

Um elemento de IR2 pode ser representado por um ponto de forma habitual utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, formado por dois eixos perpendiculares X, Y que se cortam no ponto O. As retas são os eixos coordenados e o ponto O é a origem das coordenadas. Dado um ponto P(x, y), a primeira coordenada é associada ao eixo X e a segunda ao eixo Y.

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## 2. Operações com vetores

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## 3. Bases e coordenadas

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## 4. Produto escalar

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Exercícios para praticar

Abaixo estão mais exercícios para praticar vetores. Você pode escolher no menu o tipo que prefere para começar. A solução é oferecida para todos eles.

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# parte ii

# O plano afim

## 1. Sistema de referência e pontos no plano.

#### 1.1. Pontos alinhados

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#### 1.2. Ponto médio de um segmento

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## 2. Retas no plano

Uma reta no plano é determinada por um ponto P e um vetor diferente de zero v, chamado de vetor direcional ou diretor da reta.
Os pontos X da reta que passam por P(x0, y0) e têm por vetor diretor v(vx, vy) cumprem a relação vetorial PX = t v com t∈IR, e como OX = OP + PX podemos escrever OX = OP + t v.

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#### 2.1. Equação da reta

Para encontrar a equação de uma reta, precisamos conhecer um ponto e um vetor direcional ou dois pontos sobre ela. Nesse caso, o vetor de direção é aquele que vai de um ponto ao outro.

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#### 2.2. Outras formas da equação da reta

A inclinação indica o aumento ou diminuição da declividade da reta. Se m>0, a reta é crescente, se m<0 a reta é decrescente e se m=0, a reta nem cresce nem decresce, é paralela ao eixo OX.

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#### 2.3. Retas paralelas e retas perpendiculares

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#### 2.4. Posições relativas de duas retas no plano

A posição relativa de duas retas no plano é determinada pelo número de pontos comuns a elas. Assim, podemos ter retas:

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#### 2.5. Feixe de retas

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## 3. Exercícios resolvidos: Retas e pontos notáveis do triângulo

As retas notáveis de um triângulo são as alturas, as medianas, as mediatrizes e as bissetrizes. Cada grupo de intersecções determina um ponto notável. Vejamos aqui os três primeiros.

- As alturas do triângulo são as perpendiculares a cada lado desde o vértice oposto. Interceptam-se em um ponto chamado ortocentro.
- As medianas do triângulo são as retas que unem cada vértice com o ponto médio do lado oposto. Interceptam-se em um ponto chamado baricentro.
- As mediatrizes do triângulo são as perpendiculares a cada lado por seu ponto médio. Interceptam-se em um ponto chamado circuncentro.

Você pode verificar se esses três pontos estão alinhados na chamada Se o triângulo é isósceles a reta de Euler coincide com o eixo de simetria, se é equilátero os três pontos coincidem. reta de Euler.

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Exercícios para praticar

Abaixo estão mais exercícios para praticar. Você pode escolher no menu o tipo que prefere para começar. A solução é oferecida para todos eles.

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# parte iii

# O plano métrico

## 1. Ângulo de duas retas

Duas retas secantes formam quatro ângulos iguais dois a dois, sendo os dois adjacentes suplementares. Consideraremos que o ângulo formado por duas retas é o menor deles que elas determinam e para calculá-lo, basta observar que coincide com o de seus vetores diretores.

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## 2. Distâncias entre pontos e retas

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#### 2.3. Distância entre duas retas

A distância entre duas retas é a menor distância que pode ser obtida de um ponto de uma a um ponto da outra. Se as retas são secantes ou coincidentes, a distância entre elas é 0.

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## 3. Lugares geométricos

Um lugar geométrico é um conjunto de pontos com uma propriedade comum. A equação de um lugar geométrico é uma relação entre as variáveis x e y, que se verifica apenas nos pontos do plano P(x,y) que pertencem ao lugar geométrico. Vejamos dois exemplos.

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## 4. Exercícios resolvidos

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Exercícios para praticar

A seguir temos mais exercícios para praticar. Podes escolher no menu o tipo que prefiras para começar. Todos têm a solução disponível.

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# Autoavaliação

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# Bibliografia

- Vectores en el plano de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica del plano (Proyecto ed@d) de María José García Cebrian para Red Descartes (España).
- Vectores en el plano (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría del plano. Vectores y rectas. de José Luis Lorente.
- Matemáticas I, Capítulo 5: Geometría (Apuntes Marea Verde) de Andrés García Mirantes.

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