Física - Volumen I
Parte 2

INTERACTIVO

Juan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo

Red Educativa Digital Descartes


Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

Título de la obra:
Física - Volumen I
Parte 2
Interactivo

Autor:
Juan Guillermo Rivera Berrío

Obra derivada del libro University Physics - Volume I
Samuel J. Ling (Truman State University)
Jeff Sanny (Loyola Marymount University)
Bill Moebs

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Amaranth y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN Obra completa: 978-84-18834-39-4
ISBN Volumen I: 978-84-18834-40-0

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

La primera y segunda ley de Newton, en latín, en la edición original de su obra Principia Mathematica (https://es.wikipedia.org/)

Introducción

Las carreras de autos han crecido en popularidad en los últimos años. A medida que cada auto se mueve en una trayectoria curva alrededor del viraje, sus ruedas también giran rápidamente. Las ruedas completan muchas revoluciones, mientras que el automóvil forma solo una parte (un arco circular). ¿Cómo podemos describir las velocidades, aceleraciones y fuerzas involucradas? ¿Qué fuerza impide que un auto de carreras gire, golpeando la pared que bordea la pista? ¿Qué proporciona esta fuerza? ¿Por qué está la pista ladeada? Respondemos todas estas preguntas en este capítulo a medida que ampliamos nuestra consideración de las leyes de movimiento de Newton.

Solución de problemas con las leyes
de Newton

El éxito en la resolución de problemas es necesario para comprender y aplicar los principios físicos. Desarrollamos un patrón de análisis y

configuración de soluciones a problemas que involucran las Leyes del movimiento de Newton; en este capítulo, continuamos discutiendo estas estrategias y aplicando un proceso paso a paso.

Estrategias para resolver problemas

Seguimos aquí los conceptos básicos de resolución de problemas presentados anteriormente en este texto, pero enfatizamos estrategias específicas que son útiles para aplicar las leyes de movimiento de Newton. Una vez que identifiques los principios físicos involucrados en el problema y determines que incluyen las leyes de movimiento de Newton, puedes aplicar estos pasos para encontrar una solución. Estas técnicas también refuerzan conceptos que son útiles en muchas otras áreas de la física. Muchas estrategias de resolución de problemas se expresan directamente en los ejemplos trabajados, por lo que las siguientes técnicas deben reforzar las habilidades que ya has comenzado a desarrollar.

Apliquemos esta estrategia de resolución de problemas al desafío de levantar un piano de cola en un apartamento de un segundo piso. Una vez que hemos determinado que las leyes del movimiento de Newton están involucradas (si el problema involucra fuerzas), es particularmente importante hacer un esquema cuidadoso de la situación. Tal esquema se muestra en la figura 6.2 (a).

Luego, como en la figura 6.2 (b), podemos representar todas las fuerzas con flechas. Siempre que haya suficiente información, es mejor etiquetar estas flechas con cuidado y hacer que la longitud y dirección de cada una correspondan a la fuerza representada.

Al igual que en la mayoría de los problemas, debemos identificar lo que se debe determinar y lo que se sabe o se puede inferir del problema, es decir, hacer una lista de conocimientos e incógnitas. Es particularmente crucial identificar el sistema de interés, ya que la segunda ley de Newton implica solo fuerzas externas. Entonces podemos determinar qué fuerzas son externas y cuáles internas, un paso necesario para emplear la segunda ley de Newton. (Véase la figura 6.2 (c)). La tercera ley de Newton se puede usar para identificar si se ejercen fuerzas entre los componentes de un sistema (interno) o entre el sistema y algo externo (externo). Como se ilustra en Las leyes del movimiento de Newton, el sistema de interés depende de la pregunta que necesitamos responder. Solo las fuerzas se muestran en diagramas de cuerpo libre, no la aceleración o la velocidad. Hemos dibujado varios diagramas de cuerpo libre en ejemplos trabajados previos. La figura 6.2 (c) muestra un diagrama de cuerpo libre para el sistema de interés. Ten en cuenta que no se muestran fuerzas internas en un diagrama de cuerpo libre.

Una vez que se dibuja un diagrama de cuerpo libre, aplicamos la segunda ley de Newton. Esto se hace en la figura 6.2 (d) para una situación particular. En general, una vez que las fuerzas externas se identifican claramente en los diagramas de cuerpo libre, debe ser una tarea sencilla ponerlos en forma de ecuación y hallar los datos desconocidos, como se hizo en todos los ejemplos anteriores. Si el problema es unidimensional, es decir, si todas las fuerzas son paralelas, entonces las fuerzas se pueden manejar algebraicamente. Si el problema es bidimensional, debe dividirse en un par de problemas unidimensionales.

Hacemos esto proyectando los vectores de fuerza en un conjunto de ejes elegidos por conveniencia. Como se vio en ejemplos anteriores, la elección de los ejes puede simplificar el problema. Por ejemplo, cuando se trata de una inclinación, es más conveniente un conjunto de ejes con un eje paralelo a la inclinación y uno perpendicular a él. Casi siempre es conveniente hacer un eje paralelo a la dirección del movimiento, si este se conoce.

En general, simplemente escribe la segunda ley de Newton en componentes a lo largo de las diferentes direcciones. Entonces, tienes las siguientes ecuaciones:

(Si, por ejemplo, el sistema está acelerando horizontalmente, entonces puedes establecer $a_y = 0$). Necesitamos esta información para determinar las fuerzas desconocidas que actúan en un sistema.

Como siempre, debemos verificar la solución. En algunos casos, es fácil determinar si la solución es razonable. Por ejemplo, es razonable encontrar que la fricción hace que un objeto se deslice por una pendiente más lentamente que cuando no existe fricción. En la práctica, la intuición se desarrolla gradualmente a través de la resolución de problemas; con la experiencia, cada vez es más fácil juzgar si una respuesta es razonable. Otra forma de verificar una solución es verificar las unidades. Si resolvemos la fuerza y ​​terminamos con unidades de milímetros por segundo, cometemos un error.

Hay muchas aplicaciones interesantes de las leyes del movimiento de Newton, algunas más de las cuales se presentan en esta sección. Estos sirven también para ilustrar algunas sutilezas adicionales de la física y para ayudar a desarrollar habilidades para resolver problemas.

Vemos primero los problemas que involucran el equilibrio de partículas, que hacen uso de la primera ley de Newton, y luego consideramos la aceleración de partículas, que implica la segunda ley de Newton.

Equilibrio de partículas

Recuerda que una partícula en equilibrio es aquella para la cual las fuerzas externas están equilibradas.

El equilibrio estático involucra objetos en reposo, y el equilibrio dinámico involucra objetos en movimiento sin aceleración, pero es importante recordar que estas condiciones son relativas. Por ejemplo, un objeto puede estar en reposo cuando se ve desde nuestro marco de referencia, pero el mismo objeto parece estar en movimiento cuando lo ve alguien que se mueve a una velocidad constante. Ahora hacemos uso del conocimiento obtenido en las Leyes del movimiento de Newton, con respecto a los diferentes tipos de fuerzas y el uso de diagramas de cuerpo libre, para resolver problemas adicionales en el equilibrio de partículas.

Ejemplo 6.1

Diferentes tensiones en diferentes ángulos

Considera el semáforo (masa de $15,0 kg$) suspendido de dos cables como se muestra en la figura 6.3. Encuentra la tensión en cada cable, despreciando las masas de los cables.

Estrategia

El sistema de interés es el semáforo, y su diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 6.3 (c).

Las tres fuerzas involucradas no son paralelas, por lo que deben proyectarse en un sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas más conveniente tiene un eje vertical y uno horizontal, y las proyecciones vectoriales se muestran en la figura 6.3 (d). Hay dos incógnitas en este problema ($T_1$ y $T_2$), por lo que se necesitan dos ecuaciones para encontrarlas.

Estas dos ecuaciones provienen de la aplicación de la segunda ley de Newton a lo largo de los ejes vertical y horizontal, señalando que la fuerza externa neta es cero a lo largo de cada eje porque la aceleración es cero.

Solución

Primero considere el eje horizontal o $x$:

Por lo tanto, como era de esperar,

Esto nos da la siguiente relación:

Así,

Ten en cuenta que $T_1$ y $T_2$ no son iguales en este caso porque los ángulos de cada lado no son iguales. Es razonable que $T_2$ termine siendo mayor que $T_1$ porque su aplicación es más vertical que $T_1$.

Ahora considera los componentes de fuerza a lo largo del eje vertical o $y$:

Esto implica que $T_{1y} + T_{2y} = w$.

Al sustituir estas expresiones por los componentes verticales obtenemos

Hay dos incógnitas en esta ecuación, pero al sustituir la expresión por $T_2$ en términos de $T_1$ se reduce a una ecuación con una incognita:

simplificando:

La resolución de esta última ecuación da la magnitud de $T_1$

Finalmente, encontramos la magnitud de $T_2$ usando la relación entre ellos, $T_2 = 1.225T_1$, así obtenemos

$$T_2 = 132 N$$

Explicación

Ambas tensiones serían más grandes si ambos cables fueran más horizontales, y serán iguales si y solo si los ángulos de cada lado son los mismos (como lo fueron en el ejemplo anterior del equilibrista).

Aceleración de partículas

Hemos dado una variedad de ejemplos de partículas en equilibrio. Ahora volvemos nuestra atención a los problemas de aceleración de partículas, que son el resultado de una fuerza neta no nula.

Consulta nuevamente los pasos dados al principio de esta sección y observa cómo se aplican a los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6.2

Fuerza de arrastre en una barcaza

Dos remolcadores empujan una barcaza en diferentes ángulos (Figura 6.4). El primer remolcador ejerce una fuerza de $2.7 \times 10^5 N$ en la dirección $x$, y el segundo remolcador ejerce una fuerza de $3.6 \times 10^5 N$ en la dirección $y$. La masa de la barcaza es de $5.0 \times 10^6 kg$ y su aceleración es de $7.5 \times 10^{-2} m/s^2$ en la dirección que se muestra. ¿Cuál es la fuerza de arrastre del agua en la barcaza que resiste el movimiento? (Nota: La fuerza de arrastre es una fuerza de fricción ejercida por fluidos, como el aire o el agua. La fuerza de arrastre se opone al movimiento del objeto. Como la barcaza tiene fondo plano, podemos suponer que la fuerza de arrastre es opuesta al movimiento de la barcaza.)

Estrategia

Las direcciones y las magnitudes de aceleración y las fuerzas aplicadas se dan en la figura 6.4 (a). Definimos la fuerza total de los remolcadores en la barcaza como $\bold{\vec{F}}_{app}$, tal que

El arrastre del agua $\bold{\vec{F}}_D$ está en la dirección opuesta a la dirección del movimiento del barco; esta fuerza trabaja así contra $\bold{\vec{F}}_{app}$, como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 6.4 (b). El sistema de interés aquí es la barcaza, ya que las fuerzas sobre ella se dan, así como su aceleración.

Debido a que las fuerzas aplicadas son perpendiculares, los ejes $x$ e $y$ están en la misma dirección que $\bold{\vec{F}}_1$ y $\bold{\vec{F}}_2$. El problema se convierte rápidamente en un problema unidimensional en la dirección de $\bold{\vec{F}}_{app}$, ya que la fricción es en la dirección opuesta a $\bold{\vec{F}}_{app}$. Nuestra estrategia es encontrar la magnitud y la dirección de la fuerza aplicada neta $\bold{\vec{F}}_{app}$ y luego aplicar la segunda ley de Newton para hallar la fuerza de arrastre $\bold{\vec{F}}_D$.

Solución

Como $F_x$ y $F_y$ son perpendiculares, podemos encontrar la magnitud y dirección de $\bold{\vec{F}}_{app}$ directamente. Primero, la magnitud de la resultante viene dada por el teorema de Pitágoras:

El ángulo está dado por

Según la primera ley de Newton, sabemos que esta es la misma dirección que la aceleración. También sabemos que $\bold{\vec{F}}_D$ está en la dirección opuesta a $\bold{\vec{F}}{_app}$, ya que actúa para ralentizar la aceleración. Por lo tanto, la fuerza externa neta está en la misma dirección que $\bold{\vec{F}}_{app}$, pero su magnitud es ligeramente menor. El problema ahora es unidimensional. Del diagrama de cuerpo libre, podemos ver que

Sin embargo, la segunda ley de Newton establece que

Entonces, $F_{app} - F_D = ma$

Esto se puede resolver con la magnitud de la fuerza de arrastre del agua $F_D$ en términos de las cantidades conocidas:

Al sustituir los valores conocidos, obtenemos

La dirección de $\bold{\vec{F}}_D$ ya se ha determinado que está en la dirección opuesta a $\bold{\vec{F}}_{app}$, o en un ángulo de $53\degree$ al suroeste.

Explicación

Los números utilizados en este ejemplo son razonables para una barcaza moderadamente grande. Es ciertamente difícil obtener aceleraciones más grandes con remolcadores, y se desean velocidades pequeñas para evitar que la barcaza entre en los muelles. El arrastre es relativamente pequeño para un casco bien diseñado a baja velocidad, consistente con la respuesta a este ejemplo, donde $F_D$ es menor a $1/600$ del peso del barco.

En las Leyes del movimiento de Newton, hablamos de la fuerza normal, que es una fuerza de contacto que actúa de manera normal a la superficie de modo que un objeto no tiene una aceleración perpendicular a la superficie. La báscula de baño es un excelente ejemplo de una fuerza normal que actúa sobre un cuerpo. Proporciona una lectura cuantitativa de cuánto debe empujar hacia arriba para soportar el peso de un objeto. ¿Pero puedes predecir lo que verías en la esfera de una báscula de baño si te subes a ella durante un viaje en ascensor?.

¿Verás un valor mayor que tu peso cuando el ascensor arranque? ¿Qué pasa cuando el elevador se mueve hacia arriba a una velocidad constante? Adivina antes de leer el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.3

¿Qué lee la báscula de baño en un ascensor?

La figura 6.5 muestra un hombre de $75.0 kg$ (peso de alrededor de $165 lb$) parado en una báscula de baño en un elevador. Calcula la lectura de la báscula: (a) si el elevador acelera hacia arriba a una velocidad de $1.20 m/s^2$, y (b) si el elevador se mueve hacia arriba a una velocidad constante de $1 m/s$.

Estrategia

Si la báscula en reposo es precisa, su lectura es igual a $\bold{\vec{F}}_p$, que es la magnitud de la fuerza que la persona ejerce hacia abajo sobre ella. La figura 6.5 (a) muestra las numerosas fuerzas que actúan sobre el elevador, la báscula y la persona. Hace que este problema unidimensional parezca mucho más formidable que si se elige a la persona como el sistema de interés y se dibuja un diagrama de cuerpo libre, como en la figura 6.5 (b). El análisis del diagrama de cuerpo libre usando las leyes de Newton puede producir respuestas tanto a la figura 6.5 (a) como a la (b) de este ejemplo, así como a algunas otras preguntas que puedan surgir. Las únicas fuerzas que actúan sobre la persona son su peso $\bold{\vec{w}}$ y la fuerza hacia arriba de la báscula $\bold{\vec{F}}_S$. De acuerdo con la tercera ley de Newton, $\bold{\vec{F}}_p$ y $\bold{\vec{F}}_S$ son iguales en magnitud y opuestos en dirección, por lo que necesitamos encontrar $F_S$ para encontrar lo que lee la báscula. Podemos hacer esto, como siempre, aplicando la segunda ley de Newton, $\bold{\vec{F}}_{neta} = m\bold{\vec{a}}$.

Del diagrama de cuerpo libre, vemos que $\bold{\vec{F}}_{neta} = \bold{\vec{F}}_{S} - \bold{\vec{w}}$, entonces tenemos

La solución para $F_S$ nos da una ecuación con solo una incognita:

o, porque $w = mg$, simplemente

No se hicieron suposiciones sobre la aceleración, por lo que esta solución debería ser válida para una variedad de aceleraciones además

de las de esta situación. (Nota: estamos considerando el caso cuando el elevador está acelerando hacia arriba. Si el elevador está acelerando hacia abajo, la segunda ley de Newton se convierte en $F_S - w = -ma$).

Solución

a. Tenemos $a = 1.20 m/s^2$, por lo que

Obtenemos,

b. Ahora, ¿qué sucede cuando el elevador alcanza una velocidad constante hacia arriba? ¿La balanza aún leerá más que su peso? Para cualquier velocidad constante, la aceleración ascendente, descendente o estática es cero porque $a = \frac{\Delta v}{\Delta 1}$ y $\Delta v = 0$. Así,

o

Explicación

La lectura de la báscula en la figura 6.5 (a) es de aproximadamente $185 lb$. ¿Qué leyó la báscula si estuviera parado? Como su aceleración sería cero, la fuerza de la escala sería igual a su peso:

Por lo tanto, la lectura de la báscula en el elevador es mayor que su peso de $735 N (165 lb)$. Esto significa que la balanza está empujando hacia arriba a la persona con una fuerza mayor que su peso, como debe hacerlo para acelerarlo hacia arriba. Claramente, cuanto mayor sea la aceleración del elevador, mayor será la lectura de la báscula, de acuerdo con lo que usted siente en ascensores de aceleración rápida frente a aceleración lenta. En la figura 6.5 (b), la lectura de la escala es $735 N$, que es igual al peso de la persona. Este es el caso siempre que el elevador tenga una velocidad constante, moviéndose hacia arriba, hacia abajo o estático.

Comprueba tu aprendizaje 6.1

La solución del ejemplo anterior también se aplica a un ascensor que se acelera hacia abajo. Cuando un elevador acelera hacia abajo, $a$ es negativo, y la lectura de la escala es menor que el peso de la persona. Si se alcanza una velocidad descendente constante, la lectura de la escala vuelve a ser igual al peso de la persona. Si el elevador está en caída libre y acelera hacia abajo en $g$, entonces la lectura de la escala es cero y la persona parece no tener peso.

Ejemplo 6.4

Dos bloques unidos

La figura 6.6 muestra un bloque de masa $m_1$ en una superficie horizontal sin fricción. Se tira de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin masa y sin fricción.

El otro extremo de la cuerda está conectado a un bloque de masa $m_2$. Encuentra la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda en términos de $m_1, m_2$, y $g$.

Estrategia

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cada masa por separado, como se muestra en la figura 6.6.

Luego analizamos cada uno para encontrar las incógnitas requeridas. Las fuerzas en el bloque 1 son la fuerza gravitacional, la fuerza de contacto de la superficie y la tensión en la cuerda. El bloque 2 está sujeto a la fuerza gravitacional y a la tensión de la cuerda. La segunda ley de Newton se aplica a cada uno, entonces escribimos dos ecuaciones de vectores:

Para el bloque $1$: $\bold{\vec{T}} + \bold{\vec{w}}_1 + \bold{\vec{N}} = m_1\bold{\vec{a}}_1$

Para el bloque $2$: $\bold{\vec{T}} + \bold{\vec{w}}_2 = m_2\bold{\vec{a}}_2$

Observa que $\bold{\vec{T}}$ es el mismo para ambos bloques. Como la cuerda y la polea tienen una masa insignificante, y como no hay fricción en la polea, la tensión es la misma en toda la cuerda. Ahora podemos escribir ecuaciones en componentes para cada bloque. Todas las fuerzas son horizontales o verticales, por lo que podemos usar el mismo sistema de coordenadas horizontales / verticales para ambos objetos

Solución

Las ecuaciones componentes se derivan de las ecuaciones de vectores anteriores. Vemos que el bloque 1 tiene las fuerzas verticales equilibradas, por lo que las ignoramos y escribimos una ecuación que relaciona los componentes $x$. No hay fuerzas horizontales en el bloque $2$, por lo que solo se escribe la ecuación $y$. Obtenemos estos resultados:

Cuando el bloque $1$ se mueve hacia la derecha, el bloque $2$ recorre una distancia igual hacia abajo; por lo tanto, $a_{1x} = -a_{2y}$.

Escribiendo la aceleración común de los bloques como
$a = a_{1x} = -a_{2y}$, ahora tenemos

A partir de estas dos ecuaciones, podemos expresar $a$ y $T$ en términos de las masas $m_1, m_2$, y $g$:

Explicación

Observa que la tensión en la cuerda es menor que el peso del bloque que cuelga del extremo. Un error común en problemas como este es establecer $T = m_2g$. Puedes ver en el diagrama de cuerpo libre del bloque $2$ que no puede ser correcto si el bloque se está acelerando.

Comprueba tu aprendizaje 6.2

Ejemplo 6.5

Máquina Atwood

Un problema clásico en física, similar al que acabamos de resolver, es el de la máquina Atwood, que consiste en una cuerda que pasa sobre una polea, con dos objetos de diferente masa unidos.

Es particularmente útil para comprender la conexión entre la fuerza y el movimiento. En la figura 6.7, $m_1 = 2.00 kg$ y $m_2 = 4.00 kg$. Considera que la polea no tiene fricción. (a) Si se libera $m_2$, ¿cuál será su aceleración? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

Estrategia

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cada masa por separado, como se muestra en la figura. Luego analizamos cada diagrama para encontrar las incógnitas requeridas. Esto puede implicar la solución de ecuaciones simultáneas. También es importante tener en cuenta la similitud con el ejemplo anterior. A medida que el bloque $2$ acelera con la aceleración $a_2$ en la dirección descendente, el bloque $1$ acelera hacia arriba con la aceleración $a_1$. Por lo tanto, $a = a_1 = -a_2$.

Solución

a. Tenemos.

(El signo negativo al frente de $m_2a$ indica que $m_2$ acelera hacia abajo; ambos bloques se aceleran a la misma velocidad, pero en direcciones opuestas).

Resuelve las dos ecuaciones simultáneamente (restarlas) y el resultado es

Resolviendo para $a$:

b. Al observar el primer bloque, vemos que

Explicación

El resultado de la aceleración dada en la solución se puede interpretar como la relación de la fuerza desequilibrada en el sistema, $(m_2 - m_1)g$, con respecto a la masa total del sistema, $m_1 + m_2$. También podemos usar la máquina Atwood para medir la fuerza del campo gravitacional local.

Comprueba tu aprendizaje 6.3

Antes de continuar con este apartado, te invitamos a que practiques con dos objetos interactivos relacionados con poleas.

En el segundo objeto interactivo, tomado del repositorio de Walter Fendt, puedes elevar o bajar una carga mediante el ratón. Manteniendo el botón del ratón presionado, aparece un dinamómetro indicando la tensión en la cuerda. Se puede cambiar el peso de la carga y de las poleas colgantes en las casillas de valores correspondientes. Los datos de entrada, si son demasiado altos, se ajustan automáticamente al límite de la escala del dinamómetro ($10 N$).

Las leyes del movimiento de Newton y la cinemática

La física es más interesante y más poderosa cuando se aplica a situaciones generales que involucran más que un conjunto limitado de principios físicos.

Las leyes del movimiento de Newton también se pueden integrar con otros conceptos que se han discutido previamente en este texto para resolver problemas de movimiento. Por ejemplo, las fuerzas producen aceleraciones, un tema de cinemática y, por lo tanto, se justifica, en parte, la relevancia de capítulos anteriores.

Al abordar problemas que involucran varios tipos de fuerzas, aceleración, velocidad y / o posición, enumerar los datos y las cantidades a calcular te permitirá identificar los principios involucrados. Luego, puedes consultar los capítulos que tratan un tema en particular y resolver el problema utilizando las estrategias delineadas en el texto. El siguiente ejemplo ilustra cómo la estrategia de resolución de problemas presentada anteriormente en este capítulo, así como las estrategias presentadas en otros capítulos, se aplica a un problema conceptual integrado.

Ejemplo 6.6

¿Qué fuerza debe ejercer un jugador de fútbol para alcanzar la velocidad máxima?

Un jugador de fútbol comienza en reposo y acelera hacia adelante, alcanzando una velocidad de $8.00 m/s$ en $2.50 s$. (a) ¿Cuál es su aceleración promedio? (b) ¿Qué fuerza promedio ejerce la tierra hacia adelante sobre el corredor para que logre esta aceleración? La masa del jugador es de $70.0 kg$, y la resistencia del aire es insignificante.

Estrategia

Para encontrar las respuestas a este problema, usamos la estrategia de resolución de problemas dada anteriormente en este capítulo. Las soluciones para cada parte del ejemplo ilustran cómo aplicar pasos específicos de resolución de problemas.

En este caso, no necesitamos usar todos los pasos. Simplemente identificamos los principios físicos, y por lo tanto los datos conocidos y las incógnitas; aplicar la segunda ley de Newton; y verificar si la respuesta es razonable.

Solución

a. Se nos dan las velocidades inicial y final (cero y $8.00 m/s$ hacia adelante); por lo tanto, el cambio en la velocidad es $\Delta v = 8.00 m/s$. Nos dan el tiempo transcurrido, entonces $\Delta t = 2.50 s$. La incognita es la aceleración, que se puede encontrar a partir de su definición:

Sustituyendo los valores conocidos

b. Aquí se nos pide que descubramos la fuerza promedio que ejerce el suelo sobre el corredor para producir esta aceleración (Recuerda que estamos tratando con la fuerza o fuerzas que actúan sobre el objeto de interés).

Esta es la fuerza de reacción a la ejercida por el jugador hacia atrás contra el suelo, por la tercera ley de Newton. Despreciando la resistencia del aire, esto sería igual en magnitud a la fuerza externa neta en el jugador, ya que esta fuerza causa su aceleración. Como ahora sabemos la aceleración del jugador y se nos da su masa, podemos usar la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza ejercida. Es decir,

Sustituyendo los valores conocidos de $m$ y $a$, obtenemos

Este es un resultado razonable: la aceleración es alcanzable para un atleta en buenas condiciones. La fuerza es de aproximadamente $50$ libras, una fuerza promedio razonable.

Explicación

Este ejemplo ilustra cómo aplicar estrategias de resolución de problemas a situaciones que incluyen temas de diferentes capítulos. El primer paso es identificar los principios físicos, los datos conocidos y las incógnitas involucradas en el problema. El segundo paso es hallar la o las incognitas, en este caso usando la segunda ley de Newton. Finalmente, verificamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea razonable. Estas técnicas para problemas conceptuales integrados serán útiles en aplicaciones de la física fuera de un curso de física, como en tu profesión, en otras disciplinas científicas y en la vida cotidiana.

Comprueba tu aprendizaje 6.4

Ejemplo 6.7

¿Qué fuerzas actúan en un helicóptero modelo?

Un helicóptero modelo de $1.50 kg$ tiene una velocidad de $5.0\^{\bold{j}} m/s$ en $t = 0$. Se acelera a una velocidad constante durante dos segundos ($2,00 s$) después de lo cual tiene una velocidad de $(6.00\^{\bold{i}} + 12.00\^{\bold{j}}) m/s$. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el helicóptero durante este intervalo de tiempo?

Estrategia

Podemos configurar fácilmente un sistema de coordenadas en el que el eje $x$ (dirección $\^{\bold{i}}$) es horizontal, $y$ el eje y (dirección $\^{\bold{j}}$) es vertical. Sabemos que $\Delta t = 2.00 s$ y $\Delta v = (6.00\^{\bold{i}} + 12.00\^{\bold{j}}) m/s - (5.00\^{\bold{j}} m/s)$. A partir de esta información, podemos calcular la aceleración según la definición ; entonces podemos aplicar la segunda ley de Newton.

Solución

Tenemos

La magnitud de la fuerza se calcula fácilmente:

Explicación

El problema original se estableció en términos de los componentes rectangulares $\^{\bold{i}}$ y $\^{\bold{j}}$, por lo que utilizamos métodos vectoriales. Compara este ejemplo con el ejemplo anterior.

Comprueba tu aprendizaje 6.5

Ejemplo 6.8

Tractor de equipaje

La figura 6.8 (a) muestra un tractor de equipaje que saca los carros de equipaje de un avión. El tractor tiene una masa de $650.0 kg$, mientras que el carro $A$ tiene una masa de $250.0 kg$ y el carro $B$ tiene una masa de $150.0 kg$. La fuerza impulsora que actúa durante un breve período de tiempo acelera el sistema desde el reposo y actúa durante $3.00 s$. (a) Si esta fuerza motriz está dada por $F = (820.0t) N$, encuentra la velocidad después de $3.00$ segundos. (b) ¿Cuál es la fuerza horizontal que actúa sobre el cable de conexión entre el tractor y el carro A en este momento?

Estrategia

Un diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza motriz del tractor, que le da al sistema su aceleración. Solo tenemos que considerar el movimiento en la dirección horizontal.

Las fuerzas verticales se equilibran entre sí y no es necesario considerarlas. Para la parte b, hacemos uso de un diagrama de cuerpo libre del tractor solo para determinar la fuerza entre él y el carrito $A$. Esto expone la fuerza de enganche $\bold{\vec{T}}$, que es nuestro objetivo.

Solución

Como la aceleración es una función del tiempo, podemos determinar la velocidad del tractor usando $a = \frac{dv}{dt}$ con la condición inicial que $v_0 = 0$ en $t = 0$. Integramos desde $t = 0$ hasta $t = 3$:

b. Consulta el diagrama de cuerpo libre en la figura 6.8(b).

Explicación

Dado que la fuerza varía con el tiempo, debemos usar el cálculo para resolver este problema. Observa cómo la masa total del sistema fue importante para resolver la figura 6.8 (a), mientras que solo la masa del camión (dado que suministró la fuerza) era útil en la figura 6.8 (b).

Recuerda que $v = \frac{ds}{dt}$ y $a = \frac{dv}{dt}$. Si la aceleración es una función del tiempo, podemos usar las fórmulas de cálculo desarrolladas en el capítulo de cinemática, como se muestra en este ejemplo. Sin embargo, a veces la aceleración es una función del desplazamiento. En este caso, podemos derivar un resultado importante de estas relaciones de cálculo. Resolviendo para dt en cada uno, tenemos $dt = \frac{ds}{v}$ y $dt = \frac{dv}{a}$. Ahora, equiparando estas expresiones, tenemos $\frac{ds}{v} = \frac{dv}{a}$. Podemos reorganizar esto para obtener $ads = vdv$.

Ejemplo 6.9

Movimiento de un proyectil disparado verticalmente

Una granada de mortero de $10.0 kg$ se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de $50.0 m/s$ (ver la figura 6.9).

Determina la altura máxima que recorrerá si la resistencia atmosférica se mide como $F_D = (0.0100v^2) N$, donde $v$ es la velocidad en cualquier instante.

Estrategia

La fuerza conocida en el caparazón del mortero puede estar relacionada con su aceleración, usando las ecuaciones de movimiento. La cinemática se puede usar para relacionar la aceleración de la caparazón de mortero con su posición.

Solución

Inicialmente, $y_0 = 0$ y $v_0 = 50.0 m/s$. En la altura máxima $y = h, v = 0$. El diagrama de cuerpo libre muestra que $F_D actúa hacia abajo, porque ralentiza el movimiento ascendente del caparazón de mortero. Por lo tanto, podemos escribir

La aceleración depende de $v$ y, por lo tanto, es variable. Como $a = f(v)$, podemos relacionar $a$ y $v$ usando la reordenación descrita anteriormente,

Reemplazamos $ds$ por $dy$ porque estamos tratando con la dirección vertical,

Ahora separamos las variables ($v's$ y $dv's$ en un lado; $dy$ en el otro):

Luego, $h = 114m$.

Explicación

Observa la necesidad de aplicar el cálculo ya que la fuerza no es constante, lo que también significa que la aceleración no es constante. Para empeorar las cosas, la fuerza depende de $v$ (no $t$), por lo que debemos usar el truco explicado antes del ejemplo. La respuesta para la altura indica una elevación más baja si hubo resistencia al aire. Trataremos los efectos de la resistencia del aire y otras fuerzas de arrastre con mayor detalle en el apartado de Fuerza de arrastre y Velocidad terminal.

Comprueba tu aprendizaje 6.6

Fricción

Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene resistencia porque el cuerpo interactúa con su entorno. Esta resistencia es una fuerza de fricción. La fricción se opone al movimiento relativo entre los sistemas en contacto, pero también nos permite movernos, un concepto que se vuelve obvio si tratas de caminar sobre el hielo. La fricción es una fuerza común pero compleja, y su comportamiento todavía no se comprende por completo. Aún así, es posible entender las circunstancias en las que se comporta.

Fricción estática y cinética

La definición básica de fricción es relativamente simple de declarar.

Hay varias formas de fricción. Una de las características más simples de la fricción deslizante es que es paralela a las superficies de contacto entre los sistemas y siempre está en una dirección que se opone al movimiento o al intento de movimiento de los sistemas entre sí. Si dos sistemas están en contacto y se mueven entre sí, entonces la fricción entre ellos se denomina fricción cinética. Por ejemplo, la fricción ralentiza un disco de hockey deslizándose sobre hielo. Cuando los objetos están estáticos, la fricción estática puede actuar entre ellos; la fricción estática suele ser mayor que la fricción cinética entre dos objetos.

Imagina, por ejemplo, tratar de deslizar una caja pesada sobre un piso de concreto; puedes empujar con fuerza sobre la caja y no moverla en absoluto. Esto significa que la fricción estática responde a lo que haces: aumenta para ser igual y en la dirección opuesta a la de tu empuje. Si finalmente empujas con fuerza, la caja parece resbalar de repente y comienza a moverse.

Ahora la fricción estática da paso a la fricción cinética. Una vez en movimiento, es más fácil mantenerlo, lo que indica que la fuerza de fricción cinética es menor que la fuerza de fricción estática. Si agregas masa a la caja, por ejemplo colocando una caja encima, debes empujar aún más para que comience y mantenerla en movimiento. Además, si aceitas el concreto, te resultaría más fácil empujar la caja (como era de esperar).

La figura 6.10 es una representación gráfica de cómo se produce la fricción en la interfaz entre dos objetos. La inspección de cerca de estas superficies muestra que son ásperas. Por lo tanto, cuando empujas para que un objeto se mueva (en este caso, una caja), debes levantar el objeto hasta que pueda saltar junto con las aristas de la superficie que golpean, rompiéndolas.

Una fuerza considerable puede ser resistida por la fricción sin movimiento aparente. Cuanto más se junten las superficies (por ejemplo, si se coloca otra caja encima), más fuerza se necesita para moverlas.

Parte de la fricción se debe a las fuerzas adhesivas entre las moléculas de superficie de los dos objetos, lo que explica la dependencia de la fricción de la naturaleza de las sustancias. Por ejemplo, los zapatos con suela de goma se deslizan menos que los que tienen suela de cuero. La adherencia varía con las sustancias en contacto y es un aspecto complicado de la física de la superficie. Una vez que un objeto se está moviendo, hay menos puntos de contacto (menos moléculas se adhieren), por lo que se requiere menos fuerza para mantener el objeto en movimiento. A velocidades pequeñas pero distintas de cero, la fricción es casi independiente de la velocidad.

La magnitud de la fuerza de fricción tiene dos formas: una para situaciones estáticas (fricción estática) y la otra para situaciones que implican movimiento (fricción cinética). Lo que sigue es un modelo empírico aproximado (determinado experimentalmente). Estas ecuaciones para la fricción estática y cinética no son ecuaciones vectoriales.

El símbolo $\le$ significa menor o igual a, lo que implica que la fricción estática puede tener un valor máximo de $\mu_sN$. La fricción estática es una fuerza sensible que aumenta para ser igual y opuesta a cualquier fuerza que se ejerza, hasta su límite máximo. Una vez que la fuerza aplicada excede $f_s(max)$, el objeto se mueve. Así,

Un sistema en el que $f_k = \mu_kN$ se describe como un sistema en el cual la fricción se comporta de manera simple. La transición de la fricción estática a la fricción cinética se ilustra en la figura 6.11.

Las ecuaciones 6.1 y 6.2 incluyen la dependencia de la fricción de los materiales y de la fuerza normal. La dirección de la fricción es siempre opuesta a la del movimiento, paralela a la superficie entre los objetos y perpendicular a la fuerza normal. Por ejemplo, si la caja que intentas empujar (con una fuerza paralela al piso) tiene una masa de $100 kg$, entonces la fuerza normal es igual a su peso,

perpendicular al piso. Si el coeficiente de fricción estática es $0.45$, deberías ejercer una fuerza paralela al piso mayor que

para mover la caja. Una vez que hay movimiento, la fricción es menor y el coeficiente de fricción cinética puede ser $0.30$, por lo que una fuerza de solo

lo mantiene en movimiento a una velocidad constante. Si el suelo está lubricado, ambos coeficientes son considerablemente menores de lo que serían sin lubricación. El coeficiente de fricción es una cantidad sin unidades con una magnitud generalmente entre $0$ y $1.0$. El valor real depende de las dos superficies que están en contacto.

Como puedes ver en la Tabla 6.1, los coeficientes de fricción cinética son menores que sus contrapartes estáticas. Los valores aproximados de μ se indican con solo uno o dos dígitos para indicar la descripción aproximada de la fricción dada por las dos ecuaciones anteriores.

Muchas personas han experimentado el deslizamiento al caminar sobre hielo. Sin embargo, muchas partes del cuerpo, especialmente las articulaciones, tienen coeficientes de fricción mucho más pequeños, a menudo tres o cuatro veces menos que el hielo.

Una articulación está formada por los extremos de dos huesos, que están conectados por tejidos gruesos. La articulación de la rodilla está formada por el hueso de la parte inferior de la pierna (la tibia) y el fémur.

La cadera es una articulación esférica (al final del fémur) y un alvéolo (parte de la pelvis). Los extremos de los huesos de la articulación están cubiertos por cartílago, que proporciona una superficie lisa y casi vidriosa. Las articulaciones también producen un fluido (líquido sinovial) que reduce la fricción y el desgaste. Una articulación dañada o artrítica puede reemplazarse por una articulación artificial (Figura 6.12). Estos reemplazos pueden estar hechos de metales (acero inoxidable o titanio) o plástico (polietileno), también con coeficientes de fricción muy pequeños.

Los lubricantes naturales incluyen la saliva producida en la boca para ayudar en el proceso de deglución, y la mucosidad resbaladiza que se encuentra entre los órganos del cuerpo, lo que les permite moverse libremente unos a otros durante los latidos del corazón, durante la respiración y cuando una persona se mueve.

Los hospitales y clínicas generalmente usan lubricantes artificiales, como geles, para reducir la fricción.

Las ecuaciones dadas para la fricción estática y cinética son leyes empíricas que describen el comportamiento de las fuerzas de fricción. Si bien estas fórmulas son muy útiles para fines prácticos, no tienen el estado de enunciados matemáticos que representan principios generales (por ejemplo, la segunda ley de Newton). De hecho, hay casos para los que estas ecuaciones ni siquiera son buenas aproximaciones. Por ejemplo, ninguna de las fórmulas es precisa para superficies lubricadas o para dos superficies que se colocan una sobre otra a altas velocidades. A menos que se especifique, no nos preocuparemos por estas excepciones.

Ejemplo 6.10

Fricción estática y cinética

Una caja de $20.0 kg$ está en reposo en un piso como se muestra en la Figura 6.13. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el piso es 0.700 y el coeficiente de fricción cinética es 0.600. Una fuerza horizontal $\bold{\vec{P}}$ se aplica a la caja. Encuentra la fuerza de fricción si (a) $P = 20.0 N$, (b) $P = 30.0 N$, (c) $P = 120.0 N$, y (d) $P = 180.0 N$.

Estrategia

El diagrama de cuerpo libre de la caja se muestra en la figura 6.13 (b). Aplicamos la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical, incluida la fuerza de fricción en oposición a la dirección del movimiento de la caja.

Solución

Usando la segunda ley de Newton, obtenemos:

Aquí estamos usando el símbolo f para representar la fuerza de fricción ya que aún no hemos determinado si la caja está sujeta a la fricción estática o la fricción cinética. Hacemos esto cuando no estamos seguros de qué tipo de fricción está actuando. Ahora el peso de la caja es

que también es igual a $N$. La fuerza máxima de fricción estática es por lo tanto $(0.700)(196 N) = 137 N$. Siempre que $P$ sea menor que $137 N$, la fuerza de fricción estática mantiene la caja estacionaria y $f_s = P$. Por lo tanto, (a) $f_s = 20.0 N$, (b) $f_s = 30.0 N$, y (c) $f_s = 120.0 N$.

(d) Si $P = 180.0 N$, la fuerza aplicada es mayor que la fuerza máxima de fricción estática $(137 N)$, por lo que la caja ya no puede

permanecer en reposo. Una vez que la caja está en movimiento, actúa la fricción cinética. Entonces

y la aceleración es

Explicación

Este ejemplo ilustra cómo consideramos la fricción en un problema de dinámica. Observa que la fricción estática tiene un valor que coincide con la fuerza aplicada, hasta que alcanzamos el valor máximo de fricción estática. Además, no puede ocurrir movimiento hasta que la fuerza aplicada sea igual a la fuerza de fricción estática, pero la fuerza de la fricción cinética se volverá más pequeña.

Comprueba tu aprendizaje 6.7

Fricción y el plano inclinado

Una situación donde la fricción juega un papel obvio es la de un objeto en una pendiente. Puede ser una caja que se empuja por una rampa hasta un muelle de carga o un skater que desciende por una montaña, pero la física básica es la misma.

Usualmente generalizamos la superficie inclinada y la llamamos un plano inclinado. Veamos un ejemplo de análisis de movimiento en un plano inclinado con fricción.

Ejemplo 6.11

Esquiador cuesta abajo

Un esquiador con una masa de 62 kg se desliza por una pendiente nevada a una velocidad constante. Encuentra el coeficiente de fricción cinética para el esquiador si se sabe que la fricción es $45.0 N$.

Estrategia

La magnitud de la fricción cinética se da como $45.0 N$. La fricción cinética está relacionada con la fuerza normal $N$ por $f_k = \mu_kN$; por lo tanto, podemos encontrar el coeficiente de fricción cinética si podemos encontrar la fuerza normal en el esquiador.

La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie, y como no hay movimiento perpendicular a la superficie, la fuerza normal debe ser igual al componente del peso del esquiador perpendicular a la pendiente. (Véase la figura 6.14, que repite una figura del capítulo sobre las leyes del movimiento de Newton).

Tenemos

Sustituyendo en la expresión de fricción cinética, obtenemos

que ahora puede ser resuelto por el coeficiente de fricción cinética $\mu_k$.

Solución

La solución para $\mu_k$ da

Sustituyendo los valores conocidos en el lado derecho de la ecuación,

Explicación

Este resultado es un poco más pequeño que el coeficiente enumerado en la Tabla 6.1 para madera encerada en nieve, pero aún es razonable ya que los valores de los coeficientes de fricción pueden variar mucho. En situaciones como esta, donde un objeto de masa $m$ se desliza por una pendiente que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, la fricción viene dada por $f_k = \mu_kmgcos\theta$. Todos los objetos se deslizan por una pendiente con aceleración constante bajo estas circunstancias.

Hemos discutido que cuando un objeto descansa sobre una superficie horizontal, la fuerza normal que lo soporta es igual en magnitud a su peso. Además, la fricción simple siempre es proporcional a la fuerza normal. Cuando un objeto no está sobre una superficie horizontal, como ocurre con el plano inclinado, debemos encontrar la fuerza que actúa sobre el objeto que se dirige perpendicularmente a la superficie; que es un componente del peso.

Ahora derivamos una relación útil para calcular el coeficiente de fricción en un plano inclinado. Ten en cuenta que el resultado se aplica solo a situaciones en las que el objeto se desliza a velocidad constante por la rampa.

Un objeto se desliza por un plano inclinado a una velocidad constante si la fuerza neta en el objeto es cero. Podemos usar este hecho para medir el coeficiente de fricción cinética entre dos objetos. Como se muestra en el ejemplo 6.10, la fricción cinética en una pendiente es $f_k = \mu_kmgcos\theta$. La componente del peso en la pendiente es igual a $mgsen\theta$ (ver el diagrama de cuerpo libre en la figura 6.14). Estas fuerzas actúan en direcciones opuestas, por lo que cuando tienen la misma magnitud, la aceleración es cero. Escribiendo esto,

Resolviendo para $\mu_k$, encontramos que

Pon una moneda en un libro e inclínalo hasta que la moneda se deslice a una velocidad constante por el libro.

Es posible que deba tocar ligeramente el libro para que la moneda se mueva. Mide el ángulo de inclinación relativo a la horizontal y encuentre $\mu_k$. Ten en cuenta que la moneda no comienza a deslizarse en absoluto hasta que se alcanza un ángulo mayor que θ, ya que el coeficiente de fricción estática es mayor que el coeficiente de fricción cinética. Piensa en cómo esto puede afectar el valor de $\mu_k$.

Explicaciones de fricción a escala atómica

Los aspectos más simples de la fricción tratados hasta ahora son sus características macroscópicas (a gran escala). Se han dado grandes pasos en la explicación de la fricción a escala atómica durante las últimas décadas. Los investigadores están descubriendo que la naturaleza atómica de la fricción parece tener varias características fundamentales. Estas características no solo explican algunos de los aspectos más simples de la fricción, también tienen el potencial para el desarrollo de entornos libres de fricción que podrían ahorrar cientos de miles de millones de dólares en energía que actualmente se está convirtiendo (innecesariamente) en calor.

La figura 6.15 ilustra una característica macroscópica de la fricción que se explica por la investigación microscópica (a pequeña escala). Hemos notado que la fricción es proporcional a la fuerza normal, pero no a la cantidad de área en contacto, una noción algo contra intuitiva.

Cuando dos superficies ásperas están en contacto, el área de contacto real es una pequeña fracción del área total porque solo tocan los puntos altos de sus aristas o rugosidades. Cuando se ejerce una fuerza normal mayor, el área de contacto real aumenta, y encontramos que la fricción es proporcional a esta área.

Sin embargo, la vista a escala atómica promete explicar mucho más que las características más simples de la fricción. El mecanismo de cómo se genera el calor ahora se está determinando. En otras palabras, ¿por qué las superficies se calientan más cuando se frotan?

Esencialmente, los átomos están vinculados entre sí para formar redes.

Cuando las superficies se frotan, los átomos de la superficie se adhieren y hacen que las redes atómicas vibren, creando esencialmente ondas de sonido que penetran en el material. Las ondas de sonido disminuyen con la distancia, y su energía se convierte en calor. Las reacciones químicas que están relacionadas con el desgaste por fricción también pueden ocurrir entre átomos y moléculas en las superficies.

En el siguiente objeto interactivo, observa cómo la fricción causa que un material se caliente y se funda ¿Qué pasa a nivel atómico cuando se frotan dos objetos entre sí? Describe un modelo de fricción a nivel molecular, la materia en términos de movimiento molecular. La descripción debe incluir: esquemas de apoyo a la descripción, cómo la temperatura afecta la imagen, cuáles son las diferencias y similitudes entre el movimiento de partículas de los sólidos, líquidos y gases; cómo el tamaño y la velocidad de las moléculas de gas se relacionan con los objetos cotidianos.

Ejemplo 6.12

Bloques deslizantes

Los dos bloques de la figura 6.17 están unidos entre sí por una cuerda sin masa que está envuelta alrededor de una polea sin fricción. Cuando el bloque inferior de $4.00 kg$ es empujado hacia la izquierda por la fuerza constante $\bold{\vec{P}}$, el bloque superior de $2.00 kg$ se desliza hacia la derecha. Encuentra la magnitud de la fuerza necesaria para mover los bloques a velocidad constante. Supó que el coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es $0.400$.

Estrategia

Analizamos los movimientos de los dos bloques por separado. El bloque superior está sujeto a una fuerza de contacto ejercida por el bloque inferior. Los componentes de esta fuerza son la fuerza normal $N_1$ . Otras fuerzas en el bloque superior son la tensión $T_i$ en la cuerda y el peso del propio bloque superior, $19.6 N$. El bloque inferior está sometido a fuerzas de contacto debido al bloque superior y al piso. La primera fuerza de contacto tiene componentes $-N_1$ y $0.400N_1$ , que son simplemente fuerzas de reacción a las fuerzas de contacto que ejerce el bloque inferior en el bloque superior. Las componentes de la fuerza de contacto del piso son $N_2$ y $0.400N_2$. Otras fuerzas en este bloque son $-P$, la tensión $T_i$ y el peso $-39.2 N$.

Solución

Como el bloque superior se mueve horizontalmente hacia la derecha a velocidad constante, su aceleración es cero tanto en la dirección horizontal como en la vertical. De la segunda ley de Newton,

Resolviendo para las dos incógnitas, obtenemos $N_1 = 19.6N$ y $T = 0.40N_1 = 7.84 N$. El bloque inferior tampoco se está acelerando, por lo que la aplicación de la segunda ley de Newton a este bloque da

Los valores de $N_1$ y $T$ se encontraron con el primer conjunto de ecuaciones. Sustituyendo en el segundo conjunto de ecuaciones, podemos determinar $N_2$ y $P$, así:

Explicación

Comprender en qué dirección dibujar la fuerza de fricción suele ser problemático. Observa que cada fuerza de fricción etiquetada en la figura 6.17 actúa en la dirección opuesta al movimiento de su bloque correspondiente.

Ejemplo 6.13

Una caja en un camión acelerado

Una caja de $50.0 kg$ descansa sobre la plataforma de un camión como se muestra en la figura 6.18. Los coeficientes de fricción entre las superficies son $\mu_k = 0.30$ y $\mu_s = 0.400$. Encuentra la fuerza de fricción en la caja cuando la carretilla está acelerando hacia adelante en relación con el suelo a (a) $2.00 m/s^2$, y (b) a $5.00 m/s^2$.

Estrategia

Las fuerzas en la caja son su peso y las fuerzas normales y de fricción debidas al contacto con la plataforma del camión. Comenzamos por asumir que la caja no se está deslizando. En este caso, la fuerza de fricción estática $f_2$ actúa sobre la caja. Además, las aceleraciones de la caja y el camión son iguales.

Solución

De la aplicación de la segunda ley de Newton a la caja, usando el marco de referencia unido al suelo, resulta

Ahora podemos verificar la validez de nuestra suposición de no deslizamiento. El valor máximo de la fuerza de fricción estática es

Como esto excede el máximo de $196 N$, la caja debe deslizarse. La fuerza de fricción es por lo tanto cinética y es

La aceleración horizontal de la caja en relación con el suelo ahora se encuentra a partir de

Explicación

En relación con el suelo, el camión está acelerando hacia adelante a $5,0 m/s^2$ y la caja está acelerando hacia adelante a $2.94 m/s^2$. Por lo tanto, la caja se desliza hacia atrás en relación con la plataforma del camión con una aceleración de $2.94 m/s^2 - 5.00 m/s^2 = -2.06 m/s^2$.

Ejemplo 6.14

Esquiando

Anteriormente, analizamos la situación de un esquiador cuesta abajo moviéndose a velocidad constante para determinar el coeficiente de fricción cinética.

Ahora hagamos un análisis similar para determinar la aceleración. El esquiador de la figura 6.19 se desliza por una pendiente inclinada a $\theta = 13\degree$ con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el tablero y la nieve es$\mu_k = 0.20$. ¿Cuál es la aceleración del esquiador?

Estrategia

Las fuerzas que actúan sobre el esquiador son su peso y la fuerza de contacto de la pendiente, que tiene una componente normal a la inclinación y una componente a lo largo de la inclinación (fuerza de fricción cinética). Debido a que se mueve a lo largo de la pendiente, el marco de referencia más conveniente para analizar su movimiento es uno con el eje $x$ a lo largo del plano inclinado y el eje $y$ perpendicular a la inclinación.

En este marco, tanto las fuerzas normales como las de fricción se encuentran a lo largo de ejes coordenados, las componentes del peso son $mgsen\theta$ a lo largo de la pendiente y $mgcos\theta$ en ángulo recto con la pendiente, y la única aceleración es a lo largo del eje $x$ $(a_y = 0)$.

Solución

Ahora podemos aplicar la segunda ley de Newton al esquiador:

A partir de la segunda ecuación, $N = mgcos\theta$. Al sustituir esto en la primera ecuación, encontramos

Explicación

Fíjate en esta ecuación que si $\theta$ es lo suficientemente pequeño o $\mu_k$ es lo suficientemente grande, $a_x$ es negativo, es decir, el esquiador se ralentiza.

Comprueba tu aprendizaje 6.8

Fuerza centrípeta

En el capítulo de movimiento en dos y tres dimensiones, vimos los conceptos básicos del movimiento circular. Un objeto que se mueve circularmente, como uno de los autos de carreras que se muestran al inicio de este capítulo, debe estar acelerando porque está cambiando la dirección de su velocidad. Probamos que esta aceleración dirigida centralmente, llamada aceleración centrípeta, está dada por la fórmula

donde $v$ es la velocidad del objeto, dirigida a lo largo de una línea tangente a la curva en cualquier instante. Si conocemos la velocidad angular $\omega$, entonces podemos usar

La velocidad angular da la velocidad a la que el objeto está girando a través de la curva, en unidades de $rad/s$. Esta aceleración actúa a lo largo del radio de la trayectoria curva y, por lo tanto, también se denomina aceleración radial. Una aceleración debe ser producida por una fuerza. Cualquier fuerza o combinación de fuerzas puede causar una aceleración centrípeta o radial. Algunos ejemplos son la tensión en la cuerda que sujeta una bola, la fuerza de la gravedad terrestre en la Luna, la fricción entre patines y el suelo de la pista, la fuerza de un camino inclinado sobre un automóvil y fuerzas en el tubo de una centrífuga giratoria . Cualquier fuerza neta que causa un movimiento circular uniforme se llama fuerza centrípeta.

La dirección de una fuerza centrípeta es hacia el centro de curvatura, lo mismo que la dirección de la aceleración centrípeta. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza neta es la aceleración de la masa por tiempo: $F_{neta} = ma$. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración es la aceleración centrípeta: $a = a_c$. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza centrípeta $F_c es

Sustituyendo las expresiones de aceleración centrípeta
$\Big(a_c = \frac{v^2}{r}; \;\;a_c = r\omega^2\Big)$, obtenemos dos expresiones para la fuerza centrípeta $F_c$ en términos de masa, velocidad, velocidad angular y radio de curvatura:

Puedes usar cualquier expresión de fuerza centrípeta que sea más conveniente. La fuerza centrípeta $\bold{\vec{F}}_c$ es siempre perpendicular a la trayectoria y apunta al centro de curvatura, porque $\bold{\vec{a}}_c$ es perpendicular a la velocidad y apunta al centro de curvatura. Ten en cuenta que si resuelve la primera expresión para $r$, obtenemos

Esto implica que para una masa y velocidad dada, una gran fuerza centrípeta causa un pequeño radio de curvatura, es decir, una curva cerrada, como en la figura 6.20.

Ejemplo 6.15

¿Qué coeficiente de fricción necesitan los automóviles en una curva plana?

(a) Calcula la fuerza centrípeta ejercida sobre un automóvil de $900.0 kg$ que rueda sobre una curva de radio de $500.0 m$ a $25.00 m/s$. (b) Suponiendo una curva no peraltada, encuentra el coeficiente de fricción estático mínimo entre los neumáticos y la carretera, siendo la fricción estática la razón que impide que el automóvil se deslice (Figura 6.21).

Estrategia

Sabemos que $F_c = m\frac{v^2}{r}$. Así,

La Figura 6.21 muestra las fuerzas que actúan sobre el automóvil en una curva no bancarizada (nivel plano). La fricción está a la izquierda, lo que impide que el automóvil se deslice, y debido a que es la única fuerza horizontal que actúa sobre el automóvil, la fricción es la fuerza centrípeta en este caso. Sabemos que la fricción estática máxima (a la cual los neumáticos ruedan, pero no resbalan) es $\mu_sN$, donde $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estático y $N$ es la fuerza normal. La fuerza normal es igual al peso del auto en terreno llano, entonces $N = mg$. Por lo tanto, la fuerza centrípeta en esta situación es

Ahora tenemos una relación entre la fuerza centrípeta y el coeficiente de fricción. Usando la ecuación

Resolvemos esto para $\mu_s$, observando que la masa se cancela, y obtenemos

Sustituyendo:

(Debido a que los coeficientes de fricción son aproximados, la respuesta se da a solo dos dígitos).

Explicación

El coeficiente de fricción que se encuentra en la Figura 6.21 (b) es mucho más pequeño que el que se encuentra típicamente entre los neumáticos y las carreteras. El automóvil todavía rueda en la curva si el coeficiente es mayor que $0.13$, porque la fricción estática es una fuerza sensible, capaz de asumir un valor menor que, pero no más que $\mu_sN$. Un coeficiente más alto también permitiría que el automóvil ruede sobre la curva a una velocidad más alta, pero si el coeficiente de fricción es menor, la velocidad de seguridad sería inferior a $25 m/s$. Ten en cuenta que la masa se cancela, lo que implica que, en este ejemplo, no importa qué tan cargado esté el automóvil para realizar el giro. La masa se cancela porque la fricción se supone proporcional a la fuerza normal, que a su vez es proporcional a la masa. Si la superficie de la carretera se acumulara, la fuerza normal sería menor, como veremos a continuación.

Comprueba tu aprendizaje 6.9

Curvas con peraltes

Consideremos ahora las curvas peraltadas, donde la pendiente del camino ayuda a rodar la curva (Figura 6.22). Cuanto mayor es el ángulo $\theta$, más rápido puedes tomar la curva. Las pistas de carreras para bicicletas y automóviles, por ejemplo, a menudo tienen curvas muy inclinadas. En una "curva peraltada idealmente", el ángulo $\theta$ es tal que puedes rodar por la curva a una cierta velocidad sin la ayuda de la fricción entre los neumáticos y la carretera. Obtendremos una expresión para $\theta$ en una curva idealmente peraltada y consideraremos un ejemplo relacionado con ella.

Para una banca ideal, la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción. Los componentes de la fuerza normal N en las direcciones horizontal y vertical deben ser iguales a la fuerza centrípeta y al peso del automóvil, respectivamente. En los casos en que las fuerzas no son paralelas, es más conveniente considerar componentes a lo largo de ejes perpendiculares, en este caso, las direcciones vertical y horizontal.

La Figura 6.22 muestra un diagrama de cuerpo libre para un automóvil en una curva con banca sin fricción. Si el ángulo $\theta$ es ideal para la velocidad y el radio, entonces la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta necesaria. Las únicas dos fuerzas externas que actúan sobre el automóvil son su peso $\bold{\vec{w}}$ y la fuerza normal de la carretera $\bold{\vec{N}}$ (una superficie sin fricción solo puede ejercer una fuerza perpendicular a la superficie, es decir, una fuerza normal). Estas dos fuerzas deben sumarse para dar una fuerza externa neta que es horizontal hacia el centro de curvatura y tiene una magnitud $mv^2/r$. Debido a que esta es la fuerza crítica y es horizontal, utilizamos un sistema de coordenadas con ejes verticales y horizontales. Solo la fuerza normal tiene un componente horizontal, por lo que debe ser igual a la fuerza centrípeta, es decir,

Debido a que el automóvil no abandona la superficie de la carretera, la fuerza vertical neta debe ser cero, lo que significa que las componentes verticales de las dos fuerzas externas deben ser iguales en magnitud y opuestas en la dirección. En la Figura 6.22, vemos que la componente vertical de la fuerza normal es $Ncos\theta$, y la única otra fuerza vertical es el peso del automóvil. Estos deben ser iguales en magnitud; así,

Ahora podemos combinar estas dos ecuaciones para eliminar $N$ y obtener una expresión para $\theta$, como se deseaba. Resolviendo la segunda ecuación para $N = mg/(cos\theta)$ y sustituyéndola en la ecuación anterior:

Calulando la inversa de la tangente, obtenemos

Esta expresión puede entenderse considerando cómo $\theta$ depende de $v$ y $r$. Se obtiene un ángulo $\theta$ grande para una $v$ grande y una $r$ pequeña. Es decir, las carreteras deben tener una inclinación abrupta para altas velocidades y curvas pronunciadas. La fricción ayuda, porque le permite tomar la curva a mayor o menor velocidad que si la curva no tuviera fricción. Ten en cuenta que $\theta$ no depende de la masa del vehículo.

Ejemplo 6.16

¿Cuál es la velocidad ideal para tomar una curva cerrada firmemente inclinada?

Las curvas en algunas pistas de prueba y carreras, como el Daytona International Speedway en Florida, están muy peraltadas. Esta banca, con la ayuda de la fricción de los neumáticos y las configuraciones de automóviles muy estables, permite que las curvas se tomen a una velocidad muy alta.

Para ilustrar, calcula la velocidad a la que una curva de $100.0 m$ de radio peraltada a $31.0\degree$ debe conducirse si la carretera no tiene fricción.

Estrategia

Primero notamos que todos los términos en la expresión para el ángulo ideal de una curva peraltada a excepción de la velocidad son conocidos; por lo tanto, solo tenemos que reorganizarlo para que la velocidad aparezca en el lado izquierdo y luego sustituir cantidades conocidas.

Solución

Empezando con

Obtenemos

Teniendo en cuenta que $tan 31.0\degree = 0.609$, obtenemos

Explicación

Esto es solo alrededor de $165 km/h$, consistente con una curva muy inclinada y bastante pronunciada.

La fricción de los neumáticos permite que un vehículo tome la curva a velocidades significativamente más altas.

Los aviones también se turnan con los peraltes. La fuerza de elevación, debido a la fuerza del aire en el ala, actúa en ángulo recto con el ala. Cuando el avión se peraltea, el piloto está obteniendo una sustentación mayor de la necesaria para un vuelo nivelado. El componente vertical del ascenso equilibra el peso del avión y la componente horizontal acelera el avión. El ángulo del peralte que se muestra en la Figura 6.23 viene dado por $\theta$. Analizamos las fuerzas de la misma manera en que tratamos el caso del automóvil que rodea una curva apilada.

Modelo de Tiovivo (Fuerza Centrípeta)

La velocidad de un cuerpo, en módulo, dirección y sentido, permanece constante de acuerdo con la primera ley de Newton (ley de la inercia) si no actúa ninguna fuerza sobre el o la resultante de todas las fuerzas que actúan es cero. Las circunstancias de un movimiento circular son diferentes: En este caso debe haber una fuerza, llamada fuerza centrípeta, dirigida hacia el eje de rotación. Este modelo sencillo de un tiovivo muestra esta fuerza.

Si selecciona la segunda de las cuatro opciones que se encuentran en la parte superior derecha del modelo interactivo, se dibujarán los vectores de las fuerzas que se ejercen sobre cada una de las ocho masas de los péndulos: la fuerza del peso se dibuja en negro, la fuerza ejercida por la cuerda de azul. La suma de estos vectores nos da la fuerza resultante (roja) que es la fuerza centrípeta que apunta hacia adentro y que se mencionó antes.

Además de la simulación del tiovivo (con las flechas que representan las fuerzas o sin ellas) el programa ofrece un boceto bidimensional de los vectores fuerzas y valores importantes del movimiento circular.

Si deseas observar con detenimiento las flechas de las fuerzas, puedes detener el giro utilizando el botón "Pausa / Reanudar" o hacerlo diez veces más lento con la opción "Movimiento lento". Los campos de texto permiten variar los parámetros entre ciertos límites (¡no olvides presionar la tecla "Intro"!).

Nota: La simulación supone un movimiento circular con velocidad angular constante; los procesos mientras las masas se aceleran o enlentecen no se tienen en cuenta. También se desprecian los efectos de la resistencia del aire.

El modelo interactivo fue tomado del repositorio de Walter Fendt

Fuerzas inerciales y marcos no originales (acelerados): la fuerza de Coriolis

¿Qué tienen en común el despegue en un avión a reacción, doblar una esquina en un automóvil, montar en un carrusel y el movimiento circular de un ciclón tropical? Cada uno exhibe fuerzas inerciales, fuerzas que simplemente parecen surgir del movimiento, porque el marco de referencia del observador se está acelerando o rotando. Al despegar en un avión, la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que se siente como si lo estuvieran empujando hacia atrás en el asiento mientras el avión acelera en la pista. Sin embargo, un físico diría que tiendes a permanecer inmóvil mientras el asiento te empuja. Una experiencia aún más común ocurre cuando haces una curva cerrada en tu automóvil, por ejemplo, hacia la derecha (Figura 6.24).

Te sientes como si hubieras sido arrojado (es decir, forzado) hacia la izquierda en relación con el automóvil. Una vez más, un físico diría que vas en línea recta (recuerda la primera ley de Newton) pero el automóvil se mueve hacia la derecha, no es que estés experimentando una fuerza desde la izquierda.

Podemos reconciliar estos puntos de vista examinando los marcos de referencia utilizados. Concentrémonos en las personas en un automóvil. Los pasajeros usan instintivamente el automóvil como marco de referencia, mientras que un físico puede usar la Tierra.

El físico podría hacer esta elección porque la Tierra es casi un marco de referencia inercial, en el que todas las fuerzas tienen un origen físico identificable. En tal marco de referencia, las leyes del movimiento de Newton toman la forma dada. El automóvil es un marco de referencia no original porque se acelera hacia un lado. La fuerza hacia la izquierda detectada por los pasajeros del automóvil es una fuerza inercial que no tiene un origen físico (se debe puramente a la inercia del pasajero, no a una causa física como la tensión, la fricción o la gravitación). El auto, al igual que el conductor, en realidad está acelerando hacia la derecha. Se dice que esta es una fuerza inercial porque no tiene un origen físico, como la gravedad.

Un físico elegirá el marco de referencia más conveniente para la situación que se analiza. No hay problema para un físico en incluir fuerzas de inercia y la segunda ley de Newton, como de costumbre, si es más conveniente, por ejemplo, en un tiovivo o en un planeta en rotación. Se utilizan marcos de referencia no originales (acelerados) cuando es útil hacerlo. Se deben considerar diferentes marcos de referencia al analizar el movimiento de un astronauta en una nave espacial que viaja a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, como apreciaráS en el estudio de la teoría especial de la relatividad.

Démonos un paseo mental en un tiovivo, específicamente, un carrusel de patio de recreo que gira rápidamente (Figura 6.25). Tomas el tiovivo como tu marco de referencia porque rotan juntos. Al girar en ese marco de referencia no original, sientes una fuerza inercial que tiende a tirarte; esto a menudo se conoce como una fuerza centrífuga (que no debe confundirse con la fuerza centrípeta). La fuerza centrífuga es un término comúnmente usado, pero en realidad no existe. Debes aguantar bien para contrarrestar tu inercia (a la que las personas suelen llamar fuerza centrífuga). En el marco de referencia de la Tierra, no hay fuerza que intente desanimarte; enfatizamos que la fuerza centrífuga es una ficción.

Debes esperar para darte vuelta en círculo porque, de lo contrario, irías en línea recta, justo fuera del carrusel, de acuerdo con la primera ley de Newton. Pero la fuerza que ejerces actúa hacia el centro del círculo.

Este efecto de inercia, que te aleja del centro de rotación, si no hay fuerza centrípeta para causar un movimiento circular, se aprovecha en centrifugadoras (Figura 6.26). Una centrífuga hace girar una muestra muy rápidamente. Visto desde el marco de referencia giratorio, la fuerza inercial arroja las partículas hacia afuera, acelerando su sedimentación. Cuanto mayor es la velocidad angular, mayor es la fuerza centrífuga. Pero lo que realmente sucede es que la inercia de las partículas las lleva a lo largo de una línea tangente al círculo, mientras que el tubo de ensayo se ve forzado en una trayectoria circular por una fuerza centrípeta.

Consideremos ahora qué pasa si algo se mueve en un marco de referencia rotativo. Por ejemplo, ¿qué pasa si deslizas una pelota directamente lejos del centro del tiovivo, como se muestra en la Figura 6.27? La bola sigue un camino recto con respecto a la Tierra (asumiendo una fricción insignificante) y un camino curvado hacia la derecha en la superficie del carrusel. Una persona de pie junto al tiovivo ve la pelota moviéndose en línea recta y el tiovivo girando debajo de ella. En el marco de referencia del tiovivo, explicamos la curva aparente hacia la derecha utilizando una fuerza inercial, llamada fuerza de Coriolis, que hace que la bola se curve hacia la derecha.

La fuerza de Coriolis puede ser utilizada por cualquiera en ese marco de referencia para explicar por qué los objetos siguen trayectorias curvas y nos permite aplicar las leyes de Newton en marcos de referencia no originales.

Hasta ahora, hemos considerado que la Tierra es un marco de referencia inercial con poca o ninguna preocupación acerca de los efectos debido a su rotación. Sin embargo, tales efectos existen, por ejemplo, en la rotación de los sistemas climáticos. La mayoría de las consecuencias de la rotación de la Tierra pueden ser entendidas cualitativamente por analogía con el tiovivo. Vista desde arriba del Polo Norte, la Tierra gira en sentido antihorario, como lo hace el tiovivo en la Figura 6.27. Como en el tiovivo, cualquier movimiento en el hemisferio norte de la Tierra experimenta una fuerza de Coriolis a la derecha. Todo lo contrario ocurre en el Hemisferio Sur; allí, la fuerza está a la izquierda.

Debido a que la velocidad angular de la Tierra es pequeña, la fuerza de Coriolis suele ser insignificante, pero para los movimientos a gran escala, como los patrones del viento, tiene efectos sustanciales.

La fuerza de Coriolis causa que los huracanes en el hemisferio norte giren en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que los ciclones tropicales en el hemisferio sur rotan en el sentido de las agujas del reloj. (Los términos huracán, tifón y tormenta tropical son nombres regionales específicos para ciclones, que son sistemas de tormentas caracterizados por centros de baja presión, fuertes vientos y fuertes lluvias). La Figura 6.28 ayuda a mostrar cómo se producen estas rotaciones. El aire fluye hacia cualquier región de baja presión, y los ciclones tropicales contienen presiones particularmente bajas. Por lo tanto, los vientos fluyen hacia el centro de un ciclón tropical o un sistema meteorológico de baja presión en la superficie. En el hemisferio norte, estos vientos hacia adentro se desvían hacia la derecha, como se muestra en la figura, produciendo una circulación en sentido antihorario en la superficie para zonas de baja presión de cualquier tipo. La baja presión en la superficie se asocia con el aumento de aire, que también produce enfriamiento y formación de nubes, haciendo que los patrones de baja presión sean bastante visibles desde el espacio. Por el contrario, la circulación del viento alrededor de las zonas de alta presión es en el sentido de las agujas del reloj en el Hemisferio Sur, pero es menos visible porque la alta presión está asociada con el aire que se hunde, produciendo cielos despejados.

La rotación de los ciclones tropicales y la trayectoria de una pelota en un carrusel también pueden explicarse por la inercia y la rotación del sistema que se encuentra debajo. Cuando se utilizan marcos no originales, se deben inventar fuerzas de inercia, como la fuerza de Coriolis, para explicar la trayectoria curva. No hay una fuente física identificable para estas fuerzas de inercia.

En un marco inercial, la inercia explica el camino, y no se encuentra ninguna fuerza sin una fuente identificable. Cualquier punto de vista nos permite describir la naturaleza, pero uno de ellos es un marco inercial, pues todas las fuerzas tienen orígenes y explicaciones.

Fuerza de arrastre y velocidad terminal

Otra fuerza interesante en la vida cotidiana es la fuerza de arrastre sobre un objeto cuando se mueve en un fluido (ya sea un gas o un líquido). Sientes la fuerza de arrastre cuando mueves tu mano a través del agua. También puedes sentirla si mueves tu mano durante un viento fuerte. Cuanto más rápido muevas tu mano, más difícil será moverla. Siente una fuerza de arrastre menor cuando inclinas la mano para que solo el lado pase por el aire; ha disminuido el área de la mano que mira en la dirección del movimiento.

Fuerzas de arrastre

Al igual que la fricción, la fuerza de arrastre siempre se opone al movimiento de un objeto. A diferencia de la fricción simple, la fuerza de arrastre es proporcional a alguna función de la velocidad del objeto en ese fluido. Esta funcionalidad es complicada y depende de la forma del objeto, su tamaño, su velocidad y el fluido en el que se encuentra. Para la mayoría de objetos grandes como ciclistas, autos y pelotas de béisbol que no se mueven demasiado despacio, la magnitud de la fuerza de arrastre $F_D$ es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto. Podemos escribir esta relación matemáticamente como $F_D\prop v^2$. Al tomar en cuenta otros factores, esta relación se vuelve

donde $C$ es el coeficiente de arrastre, $A$ es el área del objeto que está frente al fluido, y $\rho$ es la densidad del fluido (Recuerda que la densidad es masa por unidad de volumen).

Esta ecuación también se puede escribir de forma más general como $F_D = bv^2$, donde $b$ es una constante equivalente a $0.5C_{\rho}A$. Hemos establecido el exponente $n$ para estas ecuaciones como $2$ porque cuando un objeto se mueve a alta velocidad a través del aire, la magnitud de la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. Como veremos en Mecánica de Fluidos, para partículas pequeñas que se mueven a bajas velocidades en un fluido, el exponente $n$ es igual a $1$.

Tanto los atletas como los diseñadores de automóviles buscan reducir la fuerza de arrastre para disminuir sus tiempos de carrera (Figura 6.29). La forma aerodinámica de un automóvil puede reducir la fuerza de arrastre y así aumentar el consumo de combustible de un automóvil.

El valor del coeficiente de arrastre $C$ se determina empíricamente, generalmente con el uso de un túnel de viento (Figura 6.30).

El coeficiente de arrastre puede depender de la velocidad, pero suponemos que es una constante aquí. La Tabla 6.2 enumera algunos coeficientes de arrastre típicos para una variedad de objetos. Ten en cuenta que el coeficiente de arrastre es una cantidad adimensional. A velocidades de autopista, más del $50%$ de la potencia de un automóvil se usa para superar la resistencia al aire. La velocidad de crucero más eficiente en consumo de combustible es de aproximadamente $70-80 km/h$ (alrededor de $45-50 mi/h$). Por esta razón, durante la crisis del petróleo de los años setenta en los Estados Unidos, las velocidades máximas en las carreteras se establecieron a aproximadamente $90 km/h$ ($55 mi/h$).

Se están llevando a cabo importantes investigaciones en el mundo deportivo para minimizar el arrastre. Los hoyuelos en las pelotas de golf están siendo rediseñados, al igual que la ropa que usan los atletas.

Los corredores de bicicletas y algunos nadadores y corredores usan monos llenos. La australiana Cathy Freeman vistió un traje de cuerpo completo en los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 y ganó una medalla de oro en la carrera de $400 m$. Muchos nadadores en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008 llevaban trajes de cuerpo (Speedo); podría haber hecho una diferencia al romper muchos récords mundiales (Figura 6.31). La mayoría de los nadadores de élite (y ciclistas) se afeitan el pelo. Tales innovaciones pueden tener el efecto de cortar milisegundos en una carrera, a veces haciendo la diferencia entre una medalla de oro y una de plata. Una consecuencia es que las pautas cuidadosas y precisas se deben desarrollar continuamente para mantener la integridad del deporte.

Velocidad terminal

Algunas situaciones interesantes relacionadas con la segunda ley de Newton ocurren cuando se consideran los efectos de las fuerzas de arrastre sobre un objeto en movimiento. Por ejemplo, considera un paracaidista que cae al aire bajo la influencia de la gravedad. Las dos fuerzas que actúan sobre él son la fuerza de la gravedad y la fuerza de arrastre (ignorando la pequeña fuerza de flotación). La fuerza hacia abajo de la gravedad permanece constante independientemente de la velocidad a la que la persona se está moviendo. Sin embargo, a medida que la velocidad de la persona aumenta, la magnitud de la fuerza de arrastre aumenta hasta que la magnitud de la fuerza de arrastre sea igual a la fuerza de la gravedad, produciendo así una fuerza neta de cero. Una fuerza neta cero significa que no hay aceleración, como lo muestra la segunda ley de Newton. En este punto, la velocidad de la persona permanece constante y decimos que la persona ha alcanzado su velocidad terminal ($v_T$). Como $F_D$ es proporcional a la velocidad al cuadrado, un paracaidista más pesado debe ir más rápido para que $F_D$ iguale su peso. Veamos cómo funciona esto de manera más cuantitativa.

En la velocidad terminal,

Despejando,

Usando la ecuación para la fuerza de arrastre, tenemos

Despejando la velocidad, obtenemos

Supón que la densidad del aire es $\rho = 1.21 kg/m^3$. El paracaidista de $75$ kg que desciende primero tiene un área de sección transversal de aproximadamente $A = 0.18m^2$ y un coeficiente de arrastre de aproximadamente $C = 0.70$. Encontramos que,

Esto significa que un paracaidista con una masa de $75 kg$ logra una velocidad máxima de aproximadamente $350 km/h$ mientras viaja en una posición de picada (cabeza primero), minimizando el área y su resistencia. En una posición de águila extendida, esa velocidad terminal puede disminuir a aproximadamente a $200 km/h$ a medida que aumenta el área. Esta velocidad terminal se vuelve mucho más pequeña después de que se abre el paracaídas.

Ejemplo 6.17

Velocidad terminal de un paracaidista

Encuentra la velocidad terminal de un paracaidista de $85 kg$ que cae en posición de águila extendida.

Estrategia

En velocidad terminal, $F_{neta} = 0$.

Por lo tanto, la fuerza de arrastre en el paracaidista debe ser igual a la fuerza de la gravedad (el peso de la persona).

Usando la ecuación de fuerza de arrastre, encontramos $mg = \frac12C_{\rho}Av^2$

Solución

La velocidad terminal $v_T$ se puede escribir como

Explicación

Este resultado es consistente con el valor de $v_T$ mencionado anteriormente. El paracaidista de $75 kg$ que iba primero en picada tenía una velocidad terminal de $v_T = 98 m/s$. Pesaba menos, pero tenía un área frontal más pequeña y, por lo tanto, una menor resistencia al aire.

Comprueba tu aprendizaje 6.10

El tamaño del objeto que cae por el aire presenta otra aplicación interesante de resistencia aerodinámica. Si se cae de una rama de un árbol de $5 m$ de altura, es probable que se lastime, posiblemente fracturando un hueso.

Sin embargo, una pequeña ardilla hace esto todo el tiempo, sin lastimarse. No alcanzas una velocidad terminal en una distancia tan corta, pero la ardilla sí.

La siguiente cita interesante sobre el tamaño de los animales y la velocidad terminal proviene de un ensayo de 1928 realizado por un biólogo británico, J. B. S. Haldane, titulado "Sobre el tamaño correcto".

Para el ratón y cualquier animal más pequeño, ésta [la gravedad] prácticamente no representa ningún peligro. Podemos arrojar a un ratón a un pozo de mil metros y al llegar al fondo, sufre una pequeña conmoción pero se aleja caminando. Una rata probablemente se mataría, aunque puede caer sin peligro desde un undécimo piso; un hombre se mataría, un caballo salpicaría. Y esto es porque la resistencia al movimiento que presenta el aire es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Dividamos entre diez el largo, ancho y alto de un animal; su peso se reduce a un milésimo, pero su superficie a un centésimo. Por lo tanto, la resistencia a caer en el caso del pequeño animal es relativamente diez veces mayor".

La dependencia cuadrática anterior de la resistencia aerodinámica a la velocidad no se cumple si el objeto es muy pequeño, va muy lento o está en un medio más denso que el aire. Luego, encontramos que la fuerza de arrastre es proporcional solo a la velocidad. Esta relación está dada por la ley de Stokes.

Buenos ejemplos de la ley de Stokes son proporcionados por microorganismos, polen y partículas de polvo. Debido a que cada uno de estos objetos son tan pequeños, encontramos que muchos viajan sin ayuda solo a una velocidad constante (terminal). Las velocidades terminales para bacterias (tamaño alrededor de $1\mu m$) pueden ser de aproximadamente $2 \mu m/s$. Para moverse a mayor velocidad, muchas bacterias nadan usando flagelos (organelos con forma de pequeñas colas) que funcionan como pequeños motores incrustados en la célula.

Los sedimentos en un lago pueden moverse a una mayor velocidad terminal (alrededor de $5 \mu m/s$), por lo que pueden pasar varios días hasta que lleguen al fondo del lago después de haber sido depositados en la superficie.

Si comparamos los animales que viven en la tierra con los que están en el agua, puedes ver cómo la resistencia ha influido en la evolución. Los peces, los delfines y hasta las ballenas tienen una forma aerodinámica para reducir las fuerzas de arrastre. Las aves se racionalizan y las especies migratorias que vuelan grandes distancias a menudo tienen características particulares, como cuellos largos. Las bandadas de pájaros vuelan en forma de punta de lanza a medida que la bandada forma un patrón aerodinámico (Figura 6.32).

En los seres humanos, un ejemplo importante de racionalización es la forma de los espermatozoides, que deben ser eficientes en el uso de la energía.

El cálculo de las fuerzas friccionales dependientes de la velocidad

Cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie, la fuerza de fricción es aproximadamente constante y está dada por $\mu_kN$. Desafortunadamente, la fuerza de fricción en un cuerpo que se mueve a través de un líquido o un gas no se comporta de manera tan simple.

Esta fuerza de arrastre generalmente es una función complicada de la velocidad del cuerpo. Sin embargo, para un cuerpo que se mueve en línea recta a velocidades moderadas a través de un líquido como el agua, la fuerza de fricción a menudo se puede aproximar mediante

donde $b$ es una constante cuyo valor depende de las dimensiones y la forma del cuerpo y las propiedades del líquido, y $v$ es la velocidad del cuerpo. Dos situaciones para las cuales la fuerza de fricción se puede representar con esta ecuación son una lancha a motor que se mueve a través del agua y un pequeño objeto que cae lentamente a través de un líquido.

Consideremos un objeto caer a través de un líquido. El diagrama de cuerpo libre de este objeto con la dirección positiva hacia abajo se muestra en la Figura 6.33. La segunda ley de Newton en la dirección vertical da la ecuación diferencial

donde hemos escrito la aceleración como $dv/dt$. A medida que $v$ aumenta, la fuerza de fricción $-bv$ aumenta hasta que coincide con $mg$. En este punto, no hay aceleración y la velocidad permanece constante a la velocidad terminal $v_T$. De la ecuación anterior,

Podemos encontrar la velocidad del objeto integrando la ecuación diferencial para $v.$ Primero, reorganizamos los términos en esta ecuación para obtener

Suponiendo que $v = 0$ en $t = 0$, la integración de esta ecuación sería:

Resolviendo la integral

donde $v'$ y $t'$ son variables ficticias de integración. Con los límites dados, encontramos

Como $lnA - lnB = ln(A/B$), y $ln(A/B) = x $implica que $e^x = A/B$, entonces:

Luego,

Observa que como $t \to \infin, v \to mg/b = v_T$, que es la velocidad terminal.

La posición en cualquier momento se puede encontrar integrando la ecuación para $v$. Con $v = dy/dt$,

Suponiendo que $y = 0$ cuando $t = 0$,

Al integrar, obtenemos:

Ejemplo 6.18

Efecto de la fuerza resistiva en una lancha

Una lancha a motor se mueve a través de un lago a una velocidad $v_0$ cuando su motor se congela repentinamente y se detiene. El barco entonces disminuye la velocidad bajo la fuerza de fricción $f_R = -bv$. (a) ¿Cuál es la velocidad y la posición del barco como funciones del tiempo? (b) Si el barco disminuye la velocidad de $4.0$ a $1.0 m/s$ en $10 s$, ¿qué distancia recorre antes de detenerse?

Solución

a. Con el motor parado, la única fuerza horizontal en el bote es $f_R = -bv$, por lo que según la segunda ley de Newton,

la expresión anterior la podemos escribir como:

integrando esta ecuación entre el tiempo cero cuando la velocidad es $v_0$ y el tiempo $t$ cuando la velocidad es $v$, tenemos

Al resolver las integrales, obtenemos:

Como $lnA = x$, entonces $e^x = A$. Podemos escribir esto como

Ahora, desde la definición de velocidad

entonces tenemos

Con la posición inicial cero, tenemos

y

A medida que aumenta el tiempo, $e^{-bt/m} \to 0$, y la posición de la lancha se aproxima a un valor límite

Aunque esto nos dice que el barco tarda una cantidad de tiempo infinita para alcanzar $x_{max}$, la lancha se detiene efectivamente después de un tiempo razonable. Por ejemplo, en $t = 10 m/b$, tenemos

considerando que también tenemos

Por lo tanto, la velocidad y posición del bote han alcanzado esencialmente sus valores finales.

b. Con $v_0 = 4.0 m/s$ y $v = 1.0 m/s$, tenemos $1.0m / s = (4.0 m/s) e^{-(b/m)(10s)}$, entonces

y

Ahora, la posición límite de la lancha es

Explicación

En los dos ejemplos anteriores, encontramos valores "limitantes". La velocidad terminal es la misma que la velocidad límite, que es la velocidad del objeto que cae después de que ha transcurrido un tiempo (relativamente) largo.

De manera similar, la distancia límite del barco es la distancia que recorrerá el barco después de que haya transcurrido un largo período de tiempo. Debido a las propiedades de decaimiento exponencial, el tiempo requerido para alcanzar cualquiera de estos valores no es demasiado largo (¡ciertamente no es una cantidad infinita de tiempo!) Pero se encuentran rápidamente llevando el límite al infinito.

Comprueba tu aprendizaje 6.11

Video

Observa el siguiente vídeo

Para terminar este apartado, te invitamos a que observes el siguiente objeto interactivo, diseñado por Juan Guillermo Rivera Berrío, publicado en su libro Métodos Numéricos. Se trata del problema clásico del descenso de un paracaidista y el cálculo de la velocidad límite o terminal.

Preguntas y respuestas - Capítulo VI

Respuestas

En 1702, viviendo en Londres y sirviendo como Maestro de la Casa de la Moneda, Newton posó para Godfrey Kneller, el retratista más famoso y probablemente el más caro de Londres. Para este retrato usó un banyan rojo y una peluca suelta (Smithsonian Record ID: edanmdm:nmah_1452104).

Introducción

En este capítulo, discutimos algunos conceptos físicos básicos involucrados en cada movimiento físico en el universo, iremos más allá de los conceptos de fuerza y ​​cambio en movimiento, que discutimos en cinemática y dinámica. Estos conceptos son trabajo, energía cinética y potencia. Explicamos cómo estas cantidades se relacionan entre sí, lo que nos llevará a una relación fundamental llamada el teorema del trabajo y energía.

En el próximo capítulo, generalizamos esta idea al principio más amplio de la conservación de la energía.

La aplicación de las leyes de Newton generalmente requiere resolver ecuaciones diferenciales que relacionan las fuerzas que actúan sobre un objeto con las aceleraciones que producen.

A menudo, una solución analítica es intratable o imposible, y requiere soluciones numéricas largas o simulaciones para obtener resultados aproximados.

En tales situaciones, las relaciones más generales, como el teorema del trabajo y energía (o la conservación de la energía), aún pueden proporcionar respuestas útiles a muchas preguntas y requieren una cantidad más modesta de cálculo matemático. En particular, verás cómo el teorema energía-trabajo es útil para relacionar las velocidades de una partícula, en diferentes puntos a lo largo de su trayectoria, con las fuerzas que actúan sobre ella, incluso cuando la trayectoria es demasiado complicada de manejar. Por lo tanto, algunos aspectos del movimiento se pueden abordar con menos ecuaciones y sin descomposiciones de vectores.

Trabajo

En física, se trabaja en un objeto cuando la energía se transfiere al objeto. En otras palabras, el trabajo se realiza cuando una fuerza actúa sobre algo que sufre un desplazamiento de una posición a otra. Las fuerzas pueden variar en función de la posición, y los desplazamientos pueden ser a lo largo de varios caminos entre dos puntos. Primero definimos el incremento del trabajo $dW$ hecho por una fuerza $\bold{\vec{F}}$ que actúa a través de un desplazamiento infinitesimal $d\bold{\vec{r}}$ como el producto escalar de estos dos vectores:

Luego, podemos sumar las contribuciones para desplazamientos infinitesimales, a lo largo de una ruta entre dos posiciones, para obtener el trabajo total.

Los vectores implicados en la definición del trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre una partícula se ilustran en la Figura 7.2.

Elegimos expresar el producto punto en términos de la magnitud de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos, porque el significado del producto escalar para el trabajo se puede expresar en palabras más directamente en términos de magnitudes y ángulos.

Igualmente podríamos haber expresado el producto punto en términos de los diversos componentes introducidos en los Vectores. En dos dimensiones, estos fueron los componentes $x$ e $y$ en coordenadas cartesianas, o los componentes $r$ y $\phi$ en coordenadas polares; en tres dimensiones, solo eran los componentes $x-, y-$ y $z-$. Cuál opción es más conveniente depende de la situación. En palabras, puedes expresar la ecuación 7.1 para el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un desplazamiento como producto de un componente que actúa en paralelo al otro componente. A partir de las propiedades de los vectores, no importa si se toma el componente de la fuerza paralelo al desplazamiento o el componente del desplazamiento paralelo a la fuerza; se obtiene el mismo resultado de cualquier manera.

Recuerda que la magnitud de una fuerza por el coseno del ángulo que hace la fuerza con una dirección dada es la componente de la fuerza en la dirección dada. Los componentes de un vector pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de si el ángulo entre el vector y la dirección del componente está entre $0\degree$ y $90\degree$ o $90\degree$ y $180\degree$, o es igual a $90\degree$. Como resultado, el trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de si la fuerza está en la dirección del desplazamiento, opuesta al desplazamiento, o perpendicular al desplazamiento. El trabajo máximo se realiza con una fuerza dada cuando está en la dirección del desplazamiento $(cos\theta = \pm 1)$, y el trabajo cero se realiza cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento $(cos\theta = 0)$.

Las unidades de trabajo son unidades de fuerza multiplicadas por unidades de longitud, que en el sistema SI son newtons multiplicados por metros, $N\cdot m$. Esta combinación se llama joule, por razones históricas que mencionaremos más adelante, y se abrevia como $J$.

En el sistema inglés, aún utilizado en los Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra ($lb$) y la unidad de distancia es el pie ($ft$), por lo que la unidad de trabajo es el pie-libra ($ft\cdot lb$).

Trabajo realizado por fuerzas constantes y fuerzas de contacto

El trabajo más simple de evaluar es el realizado por una fuerza que es constante en magnitud y dirección. En este caso, podemos restar importancia a la fuerza; la integral resultante es solo el desplazamiento total, que solo depende de los puntos finales $A$ y $B$, pero no de la ruta entre ellos:

También podemos ver esto escribiendo la Ecuación 7.2 en coordenadas cartesianas y usando el hecho de que las componentes de la fuerza son constantes:

La Figura 7.3 (a) muestra a una persona ejerciendo una fuerza constante $\bold{\vec{F}}$ a lo largo del mango de una cortadora de césped, que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. El desplazamiento horizontal del cortacésped, sobre el que actúa la fuerza, es $\bold{\vec{d}}$.

El trabajo realizado en la cortadora de césped es $W = \bold{\vec{F}}\cdot \bold{\vec{d}} = Fdcos\theta$, que la figura también ilustra como la componente horizontal de la fuerza multiplicada por la magnitud del desplazamiento.

La Figura 7.3 (b) muestra a una persona sosteniendo un maletín. La persona debe ejercer una fuerza ascendente, igual en magnitud al peso del maletín, pero esta fuerza no funciona, porque el desplazamiento sobre el que actúa es cero. Entonces, ¿por qué finalmente te sientes cansado solo con sostener el maletín, si no estás trabajando en eso? La respuesta es que las fibras musculares de tu brazo se contraen y trabajan dentro de tu brazo, a pesar de que la fuerza que tus músculos ejercen externamente en el maletín no funciona (Parte de la fuerza que ejerces también puede ser tensión en los huesos y ligamentos de tu brazo, pero otros músculos en tu cuerpo estarían trabajando para mantener la posición de tu brazo).

En la Figura 7.3 (c), donde la persona en (b) camina horizontalmente con velocidad constante, el trabajo realizado por la persona en el maletín sigue siendo cero, pero ahora porque el ángulo entre la fuerza ejercida y el desplazamiento es $90\degree$ ($\bold{\vec{F}}$ es perpendicular a $\bold{\vec{d}}$) y $cos90\degree = 0$.

Ejemplo 7.1

Calculando el trabajo para empujar una cortadora de césped

¿Cuánto trabajo realiza la persona en la podadora de césped en la figura Figura 7.3 (a) si ejerce una fuerza constante de $75.0 N$ en un ángulo de $35\degree$ por debajo de la horizontal y empuja la podadora a $25.0 m$ sobre una superficie nivelada?

Estrategia

Podemos resolver este problema sustituyendo los valores dados en la definición de trabajo realizado en un objeto por una fuerza constante, expresada en la ecuación $W = Fdcos\theta$. La fuerza, el ángulo y el desplazamiento se dan, por lo que solo el trabajo $W$ es desconocido.

Solución

La ecuación para el trabajo es

Sustituyendo:

Explicación

Pese a que uno y medio de kilojulio puede parecer mucho trabajo, veremos en Energía potencial y Conservación de energía que solo se trata de trabajar tanto como se puede quemar un sexto de un gramo de grasa.

Cuando cortas el pasto, otras fuerzas actúan sobre el cortacésped además de la fuerza que ejerces, es decir, la fuerza de contacto del suelo y la fuerza gravitatoria de la Tierra. Consideremos el trabajo realizado por estas fuerzas en general. Para un objeto que se mueve sobre una superficie, el desplazamiento $d\bold{\vec{r}}$ es tangente a la superficie. La parte de la fuerza de contacto en el objeto que es perpendicular a la superficie es la fuerza normal $\bold{\vec{N}}$. Como el coseno del ángulo entre la normal y la tangente a una superficie es cero, tenemos

La fuerza normal nunca funciona en estas circunstancias (Ten en cuenta que si el desplazamiento $\bold{\vec{r}}$ tuviera una componente relativa perpendicular a la superficie, el objeto abandonaría la superficie o la rompería, y ya no existiría ninguna fuerza de contacto normal.

Sin embargo, si el objeto es más que una partícula, y tiene una estructura interna, la fuerza de contacto normal puede trabajar en ella, por ejemplo, al desplazarla o deformarla (esto se mencionará en el próximo capítulo).

La parte de la fuerza de contacto en el objeto que es paralela a la superficie es la fricción, $\bold{\vec{f}}$. Para que este objeto se deslice por la superficie, la fricción cinética $\bold{\vec{f}}_k$ es opuesta a $d\bold{\vec{r}}$, con respecto a la superficie, por lo que el trabajo realizado por la fricción cinética es negativo. Si la magnitud de $\bold{\vec{f}}_k$ es constante (como lo sería si todas las otras fuerzas en el objeto fueran constantes), entonces el trabajo hecho por fricción es

donde $|lAB|$ es la longitud del camino en la superficie (ten en cuenta que, especialmente si el trabajo realizado por una fuerza es negativo, las personas pueden referirse al trabajo realizado contra esta fuerza, donde $dW_{\text{en contra}} = -dW_{\text{a favor}}$. El trabajo realizado contra una fuerza también puede verse como el trabajo requerido para superar esta fuerza, como en "¿Cuánto trabajo se requiere para superar ...?"). La fuerza de fricción estática, sin embargo, puede hacer un trabajo positivo o negativo. Cuando caminas, la fuerza de fricción estática ejercida por el suelo sobre tu pie trasero te acelera por una parte de cada paso. Si estás disminuyendo la velocidad, la fuerza del suelo sobre tu pie delantero te desacelera. Si conduces tu automóvil al límite de velocidad en un tramo recto y nivelado de la carretera, el trabajo negativo realizado por la fricción cinética de la resistencia del aire se equilibra con el trabajo positivo realizado por la fricción estática de la carretera en las ruedas.

Puedes sacar la alfombra de debajo de un objeto de tal forma que se deslice hacia atrás con respecto a la alfombra, pero hacia adelante con respecto al piso.

En este caso, la fricción cinética ejercida por la alfombra sobre el objeto podría estar en la misma dirección que el desplazamiento del objeto, en relación con el piso, y hacer un trabajo positivo. La conclusión es que debes analizar cada caso particular para determinar el trabajo realizado por las fuerzas, ya sea positivo, negativo o cero.

Ejemplo 7.2

Moviendo un sofá

Decides mover tu sofá a una nueva posición en el piso de tu sala de estar. La fuerza normal en el sofá es $1 kN$ y el coeficiente de fricción es $0.6$. (a) Primero empuja el sofá 3 m paralelos a una pared y luego $1 m $perpendicular a la pared ($A$ a $B$ en la Figura 7.4). ¿Cuánto trabajo se realiza por la fuerza de fricción? (b) No te gusta la nueva posición, por lo que mueves el sofá directamente a su posición original ($B$ a $A$ en la Figura 7.4). ¿Cuál fue el trabajo total realizado contra la fricción al mover el sofá de su posición original y viceversa?

Estrategia

La magnitud de la fuerza de fricción cinética en el sofá es constante, igual al coeficiente de fricción multiplicado por la fuerza normal, $f_k = \mu_kN$.

Por lo tanto, el trabajo que hace es $W_{fr} = -f_k d$, donde $d$ es la longitud de la ruta atravesada. Los segmentos de las rutas son los lados de un triángulo rectángulo, por lo que las longitudes de ruta se calculan fácilmente. En la parte (b), puedes usar el hecho de que el trabajo realizado contra una fuerza es el resultado negativo del trabajo realizado por la fuerza.

Solución

a. El trabajo hecho por fricción es

b. La longitud del camino a lo largo de la hipotenusa es de $\sqrt{10} m$, por lo que el trabajo total realizado contra la fricción es

Explicación

El camino total sobre el cual se evaluó el trabajo de fricción comenzó y terminó en el mismo punto (era un camino cerrado), de modo que el desplazamiento total del sillón era cero. Sin embargo, el trabajo total no fue cero. La razón es que fuerzas como la fricción se clasifican como fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas, como veremos en el próximo capítulo.

Comprueba tu aprendizaje 7.1

La otra fuerza en el cortacésped mencionada anteriormente era la fuerza gravitacional de la Tierra o el peso de la podadora. Cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa m tiene una magnitud constante, mg, y dirección constante, verticalmente hacia abajo. Por lo tanto, el trabajo hecho por la gravedad sobre un objeto es el producto punto de su peso y su desplazamiento. En muchos casos, es conveniente expresar el producto escalar para el trabajo gravitatorio en términos de los componentes $x, y$ y $z$. Un sistema de coordenadas típico tiene el eje $x$ horizontal y el eje y vertical. Entonces la fuerza gravitatoria es $-mg\^{\bold{j}}$, por lo que el trabajo hecho por la gravedad, en cualquier camino de $A$ a $B$, es

El trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante sobre un objeto depende únicamente del peso del objeto y la diferencia de altura a través de la cual se desplaza el objeto. La gravedad funciona negativamente en un objeto que se mueve hacia arriba $(y_B \gt y_A)$, o, en otras palabras, debes hacer un trabajo positivo contra la gravedad para levantar un objeto hacia arriba. Alternativamente, la gravedad hace un trabajo positivo en un objeto que se mueve hacia abajo $(y_B \gt y_A)$, o haces un trabajo negativo contra la gravedad para "levantar" un objeto hacia abajo, controlando su descenso para que no caiga al suelo. ("Levante" se usa en lugar de "soltar").

Ejemplo 7.3

Estanterías de un libro

Levanta un libro de la biblioteca sobredimensionado, que pesa $20 N$, $1 m$ verticalmente desde un estante, y lo llevas $3 m$ horizontalmente a una mesa (Figura 7.5). ¿Cuánto trabajo hace la gravedad en el libro? (b) Cuando hayas terminado, mueve el libro en línea recta a su lugar original en el estante. ¿Cuál fue el trabajo total realizado contra la gravedad, alejando el libro de su posición original en el estante y viceversa?

Estrategia

Acabamos de ver que el trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante depende únicamente del peso del objeto movido y la diferencia de altura para el camino tomado, $W_{AB} = -mg (y_B - y_A)$. Podemos evaluar la diferencia de altura para responder (a) y (b).

Solución

a. Como el libro comienza en el estante y se baja $y_B - y_A = -1 m$, tenemos

b. Hay una diferencia de altura cero para cualquier ruta que comience y termine en el mismo lugar en el estante, entonces $W = 0$.

Explicación

La gravedad hace un trabajo positivo ($20 J$) cuando el libro baja del estante. La fuerza gravitacional entre dos objetos es una fuerza atractiva, que hace un trabajo positivo cuando los objetos se acercan. La gravedad no funciona ($0 J$) cuando el libro se mueve horizontalmente del estante a la mesa y el trabajo negativo ($-20 J$) cuando el libro se mueve de la mesa al estante. El trabajo total realizado por gravedad es cero $[20J + 0J + (- 20J) = 0]$. A diferencia de la fricción u otras fuerzas de disipación, descritas en el ejemplo 7.2, el trabajo total realizado contra la gravedad, sobre cualquier trayectoria cerrada, es cero. El trabajo positivo se realiza contra la gravedad en las partes ascendentes de un camino cerrado, pero se realiza una cantidad igual de trabajo negativo contra la gravedad en las partes descendentes. En otras palabras, el trabajo realizado contra la gravedad, levantar un objeto hacia arriba, se "devuelve" cuando el objeto vuelve a bajar. Fuerzas como la gravedad (aquellas que hacen cero el trabajo sobre cualquier camino cerrado) se clasifican como fuerzas conservadoras y juegan un papel importante en la física.

Comprueba tu aprendizaje 7.2

El trabajo realizado por las fuerzas que varían

En general, las fuerzas pueden variar en magnitud y dirección en puntos en el espacio, y las trayectorias entre dos puntos pueden ser curvas. El trabajo infinitesimal realizado por una fuerza variable se puede expresar en términos de los componentes de la fuerza y el desplazamiento a lo largo de la trayectoria,

Aquí, los componentes de la fuerza son funciones de posición a lo largo de la trayectoria, y los desplazamientos dependen de las ecuaciones de la trayectoria (aunque elegimos ilustrar dW en coordenadas cartesianas, otras coordenadas se adaptan mejor a algunas situaciones). La ecuación 7.2 define el trabajo total como una integral de línea, o el límite de una suma de cantidades infinitesimales de trabajo. El concepto físico de trabajo es sencillo: calcula el trabajo para desplazamientos pequeños y los suma. Algunas veces las matemáticas pueden parecer complicadas, pero el siguiente ejemplo demuestra cuán limpiamente pueden operar.

Ejemplo 7.4

Trabajo realizado por una fuerza variable sobre un camino curvo

Un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica $y = (0.5 m^{-1}x^2$ desde el origen $A = (0,0)$ hasta el punto $B = (2 m, 2 m )$ bajo la acción de una fuerza $\bold{\vec{F}} = (5 N/m)y\^{\bold{i}} + (10 N/m)x\^{\bold{j}}$ (Figura 7.6) . Calcula el trabajo realizado.

Estrategia

Los componentes de la fuerza tienen funciones de $x$ e $y$. Podemos usar la ecuación de la trayectoria para expresar $y$ y $dy$ en términos de $x$ y $dx$; a saber,

Entonces, la integral para el trabajo es solo una integral definida de una función de $x$.

Solución

El elemento de trabajo infinitesimal es

La integral de $x^2$ es $x^3/3$, entonces:

Explicación

Esta integral no fue difícil de calcular. Puedes seguir los mismos pasos, como en este ejemplo, para calcular integrales de línea que representan el trabajo para fuerzas y trayectorias más complicadas. En este ejemplo, todo fue dado en términos de componentes $x$ e $y$, que son los más fáciles de usar al evaluar el trabajo en este caso. En otras situaciones, las magnitudes y los ángulos pueden ser más fáciles.

Comprueba tu aprendizaje 7.3

Una fuerza variable muy importante y ampliamente aplicable es la fuerza ejercida por un resorte perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke $\bold{\vec{F}} = -k\Delta \bold{\vec{x}}$, donde $k$ es la constante de resorte, y $\Delta\bold{\vec{x}} = \bold{\vec{x}} - \bold{\vec{x}}_{eq}$ es el desplazamiento desde la posición no estirada (equilibrio) del resorte (Leyes de movimiento de Newton).

Ten en cuenta que la posición no estirada es solo la misma que la posición de equilibrio si no están actuando otras fuerzas (o, si lo están, se cancelan entre sí). Las fuerzas entre las moléculas, o en cualquier sistema que experimenta pequeños desplazamientos desde un equilibrio estable, se comportan aproximadamente como una fuerza de resorte.

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza de resorte, podemos elegir el eje $x$ a lo largo del resorte, en la dirección de aumento de longitud, como en la Figura 7.7, con el origen en la posición de equilibrio $x_{eq} = 0$ (entonces $x$ positivo corresponde a un estiramiento y $x$ negativo a compresión). Con esta elección de coordenadas, la fuerza del resorte tiene solo un componente $x, F_x = -kx$, y el trabajo realizado cuando x cambia de $x_A$ a $x_B$ es

Observa que $W_{AB}$ depende solo de los puntos inicial y final, $A$ y $B$, y es independiente de la ruta real entre ellos, siempre que comience en $A$ y termine en $B$. Es decir, la ruta real podría implicar ir y venir antes de terminar.

Otra cosa interesante de notar sobre la Ecuación 7.5 es que, para este caso unidimensional, puedes ver fácilmente la correspondencia entre el trabajo realizado por una fuerza y ​​el área bajo la curva de la fuerza versus su desplazamiento. Recuerda que, en general, una integral unidimensional es el límite de la suma de infinitesimales, $f(x)dx$, que representa el área de franjas, como se muestra en la Figura 7.8.

En la ecuación 7.5, como $F = -kx$ es una línea recta con pendiente $-k$, cuando se representa con respecto a $x$, el "área" debajo de la línea es solo una combinación algebraica de "áreas" triangulares, donde "áreas" encima del eje $x$ son positivos y los de abajo son negativos, como se muestra en la Figura 7.9. La magnitud de una de estas "áreas" es solo la mitad de la base del triángulo, a lo largo del eje x, multiplicado por la altura del triángulo, a lo largo del eje de la fuerza. (Hay comillas alrededor de "área" porque este producto de altura base tiene las unidades de trabajo, en lugar de metros cuadrados).

Ejemplo 7.5

Trabajo realizado por la fuerza del resorte

Un resorte perfectamente elástico requiere 0.54 J de trabajo para estirar 6 cm desde su posición de equilibrio, como en la Figura 7.7 (b). (a) ¿Cuál es su constante de resorte $k$? (b) ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo $6 cm$ adicionales?

Estrategia

Trabajo "requerido" significa trabajo realizado contra la fuerza del resorte, que es el resultado negativo del trabajo en la Ecuación 7.5, que es

Para la parte (a), $x_A = 0$ y $x_B = 6cm$; para la parte (b), $x_A = 6 cm$ y $x_B = 12 cm$. En la parte (a), se da el trabajo y se puede resolver por la constante del resorte; en la parte (b), puedes usar el valor de $k$, de la parte (a), para calcular el trabajo.

Solución

a. $W = 0.54 J = \frac12 k[(6 cm)^2 - 0]$, luego $k = 3 N/cm$.

b. $W = \frac12 (3 N/cm)[(12 cm)^2 - (6 cm)^2] = 1,62 J$

Explicación

Como el trabajo realizado por una fuerza de resorte es independiente de la ruta, solo se necesita calcular la diferencia en la cantidad $\frac12 kx^2$ en los puntos finales.

Ten en cuenta que el trabajo requerido para estirar el resorte de $0$ a $12 cm$ es cuatro veces el requerido para estirarlo de $0$ a $6 cm$, porque ese trabajo depende del cuadrado de la cantidad de estiramiento desde el equilibrio, $\frac12 kx^2$. En esta circunstancia, el trabajo para estirar el resorte de $0$ a $12 cm$ también es igual al trabajo para un camino compuesto de $0$ a $6 cm$ seguido de un tramo adicional de $6 cm\;\;a \;\;12 cm$. Por lo tanto, $4W(0 cm\;\; a \;\;6 cm) = W(0 cm \;\;a \;\;6 cm) + W (6 cm \;\;a \;\;12 cm)$, o $W(6 cm \;\;a \;\;12 cm) = 3W(0 cm \;\;a\;\; 6cm)$ como lo encontramos antes.

Comprueba tu aprendizaje 7.4

Para terminar este apartado, practica con el objeto interactivo de la página siguiente, diseñado por Oscar Escamilla González. El interactivo permite que el alumno compare diferentes modelos e identifique sus características.

Energía cinética

Es plausible suponer que cuanto mayor sea la velocidad de un cuerpo, mayor será el efecto que podría tener en otros cuerpos. Esto no depende de la dirección de la velocidad, solo de su magnitud. A finales del siglo XVII, se introdujo una cantidad en la mecánica para explicar las colisiones entre dos cuerpos perfectamente elásticos, en los que un cuerpo choca de frente con un cuerpo idéntico en reposo.

El primer cuerpo se detiene y el segundo cuerpo se mueve con la velocidad inicial del primer cuerpo. (Si alguna vez jugaste al billar o al croquet, o si has visto un modelo de Newton's Cradle, has observado este tipo de colisión). La idea detrás de esta cantidad estaba relacionada con las fuerzas que actuaban sobre un cuerpo y se refería a "la energía de movimiento". Más tarde, durante el siglo dieciocho, el nombre de energía cinética se le dio a la energía del movimiento.

Con esta historia en mente, ahora podemos establecer la definición clásica de energía cinética. Ten en cuenta que cuando decimos "clásico", nos referimos a no-relativista, es decir, a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz. A velocidades comparables a la velocidad de la luz, la teoría especial de la relatividad requiere una

expresión diferente para la energía cinética de una partícula, como se analiza en Relatividad.

Dado que los objetos (o sistemas) de interés varían en complejidad, primero definimos la energía cinética de una partícula con masa $m$.

Luego, ampliamos esta definición a cualquier sistema de partículas sumando las energías cinéticas de todas las partículas constituyentes:

Observa que así como podemos expresar la segunda ley de Newton en términos de la tasa de cambio de momento o masa multiplicada por el cambio de velocidad, entonces la energía cinética de una partícula se puede expresar en términos de su masa y momento ($\bold{\vec{p}} = m\bold{\vec{v}}$), en lugar de su masa y velocidad. Luego, $v = p/m$, vemos que

también expresa la energía cinética de una sola partícula. A veces, esta expresión es más conveniente de usar que la ecuación 7.6.

Las unidades de energía cinética son masa multiplicada por el cuadrado de velocidad, o $kg\cdot m^2/s^2$. Pero las unidades de fuerza son tiempos de aceleración masivos, $kg\cdot m/s^2$, entonces las unidades de energía cinética son también las unidades de fuerza por distancia, que son las unidades de trabajo, o joules. Verás en la siguiente sección que el trabajo y la energía cinética tienen las mismas unidades, porque son formas diferentes de la misma propiedad física más general.

Ejemplo 7.6

Energía Cinética de un Objeto

(a) ¿Cuál es la energía cinética de un atleta de 80 kg, que corre a $10 m/s$?

(b) Se cree que el cráter Chicxulub en Yucatán, uno de los mayores cráteres de impacto existentes en la Tierra, fue creado por un asteroide que viajaba a $22 km/s$ y liberando $4.2 \times 10^{23} J$ de energía cinética en el momento del impacto. ¿Cuál era su masa? (c) En los reactores nucleares, los neutrones térmicos, que viajan a aproximadamente $2.2 km/s$, juegan un papel importante. ¿Cuál es la energía cinética de tal partícula?

Estrategia

Para responder estas preguntas, puedes usar la definición de energía cinética en la Ecuación 7.6. También debes buscar la masa de un neutrón.

Solución

No olvides convertir $km$ en $m$ para hacer estos cálculos, aunque, para ahorrar espacio, omitimos mostrar estas conversiones.

Explicación

En este ejemplo, utilizamos la forma en que la masa y la velocidad están relacionadas con la energía cinética, y encontramos una gama muy amplia de valores para las energías cinéticas. Diferentes unidades se usan comúnmente para valores muy grandes y muy pequeños.

La energía del impacto del asteroide en la parte (b) se puede comparar con el del explosivo de TNT y las explosiones nucleares, $1 megaton = 4,18 \times 10^{15} J$. La energía cinética del asteroide Chicxulub era de unos cien millones de megatones. En el otro extremo, la energía de la partícula subatómica se expresa en electrón-voltios, $1eV = 1.6 \times 10^{-19} J$. El neutrón térmico en la parte (c) tiene una energía cinética de aproximadamente una cuadragésima parte de un electrón-voltio.

Como la velocidad es una cantidad relativa, puedes ver que el valor de la energía cinética debe depender de su marco de referencia. En general, puedes elegir un marco de referencia que sea adecuado para el propósito de su análisis y que simplifique sus cálculos. Uno de esos marcos de referencia es aquel en el que se realizan las observaciones del sistema (probablemente un marco externo).

Otra opción es un marco que se adjunta o se mueve con el sistema (probablemente un marco interno). Las ecuaciones para movimiento relativo, discutidas anteriormente, proporcionan un enlace para calcular la energía cinética de un objeto con respecto a diferentes marcos de referencia.

Ejemplo 7.7

Energía cinética relativa a diferentes marcos de referencia

Una persona de $75.0 kg$ camina por el pasillo central de un vagón de metro a una velocidad de $1.50 m/s$ con respecto al vagón, mientras que el tren se mueve a $15.0 m/s$ con respecto a las vías. (a) ¿Cuál es la energía cinética de la persona en relación con el vagón? (b) ¿Cuál es la energía cinética de la persona en relación con las pistas? (c) ¿Cuál es la energía cinética de la persona en relación con un marco que se mueve con la persona?

Estrategia

Como se dan velocidades, podemos usar $\frac12 mv^2$ para calcular la energía cinética de la persona. Sin embargo, en la parte (a), la velocidad de la persona es relativa al vagón del metro (tal como se da); en la parte (b), es relativo a las vías; y en la parte (c), es cero. Si denotamos el marco del vagón por $C$, el marco de las pistas por $T$, y la persona por $P$, las velocidades relativas en la parte (b) están relacionadas por $\bold{\vec{v}}_{PT}= \bold{\vec{v}}_{PC} + \bold{\vec{v}}_{CT}$. Podemos suponer que el pasillo central y las vías se encuentran en la misma línea, pero no se especifica la dirección en la que la persona camina en relación con el vagón, por lo que daremos una respuesta para cada posibilidad, $v_{PT} = v_{CT} \pm v_{PC}$, como se muestra en la Figura 7.10.

Solución

a. $K = \frac12 (75.0 kg)(1.50 m/s)^2 = 84.4 J$.

b. $v_{PT} = (15.0 \pm 1.50)m/s$. Por lo tanto, los dos valores posibles para la energía cinética en relación con el vagón son:

y

c. En un marco donde $v_P = 0$, también $K = 0$.

Explicación

Puedes ver que la energía cinética de un objeto puede tener valores muy diferentes, según el marco de referencia. Sin embargo, la energía cinética de un objeto nunca puede ser negativa, ya que es el producto de la masa y el cuadrado de la velocidad, que son siempre positivos o cero.

Comprueba tu aprendizaje 7.6

La energía cinética de una partícula es una cantidad única, pero la energía cinética de un sistema de partículas a veces se puede dividir en varios tipos, dependiendo del sistema y su movimiento.

Por ejemplo, si todas las partículas en un sistema tienen la misma velocidad, el sistema está experimentando movimiento de traslación y tiene energía cinética de traslación. Si un objeto está girando, podría tener energía cinética de rotación, o si está vibrando, podría tener energía cinética de vibración. La energía cinética de un sistema, en relación con un marco de referencia interno, puede llamarse energía cinética interna. La energía cinética asociada con el movimiento molecular aleatorio se puede llamar energía térmica. Independientemente del nombre, cada tipo de energía cinética es la misma cantidad física, que representa la energía asociada con el movimiento.

Ejemplo 7.8

Nombres especiales para la energía cinética

(a) Un jugador lanza un pase en mitad de la cancha con una pelota de básquetbol de $624 g$, que cubre $15 m$ en $2 s$. ¿Cuál es la energía cinética de traslación horizontal del balón durante el vuelo? (b) Una molécula de aire, dentro del balón en la parte (a), tiene una masa de $29 u$, y una velocidad promedio de $500 m/s$, en relación con el balón.

Hay alrededor de $3 \times 10^{23}$ moléculas dentro de él, moviéndose en direcciones aleatorias, cuando la pelota está correctamente inflada. ¿Cuál es la energía cinética de traslación promedio del movimiento aleatorio de todas las moléculas en el interior, en relación con el balón? (c) ¿Qué tan rápido tendría que viajar la pelota de baloncesto en relación con la cancha, como en la parte (a), para tener una energía cinética igual a la cantidad en la parte (b)?

Estrategia

En la parte (a), primero encuentra la velocidad horizontal del balón y luego usa la definición de energía cinética en términos de masa y velocidad, $K = \frac12 mv^2$.

Luego, en la parte (b), convierte las unidades unificadas en kilogramos y luego usa $K = \frac12 mv^2$ para obtener la energía cinética de traslación promedio de una molécula, en relación con el balón. Luego, multiplica por el número de moléculas para obtener el resultado total. Finalmente, en la parte (c), podemos sustituir la cantidad de energía cinética en la parte (b), y la masa del balón en la parte (a), en la definición $K = \frac12 mv^2$, y hallar $v$.

Solución

a. La velocidad horizontal es $(15 m)/(2 s)$, por lo que la energía cinética horizontal del baloncesto es

b. La energía cinética de traslación promedio de una molécula es

y la energía cinética total de todas las moléculas es

c. $v = \sqrt{2(1.8 kJ)/(0.624 kg)} = 76.0 m/s$

Explicación

En la parte (a), este tipo de energía cinética se puede llamar la energía cinética horizontal de un objeto (la pelota de baloncesto), en relación con su entorno (la cancha). Si la pelota de baloncesto estuviera girando, todas las partes de ella no solo tendrían la velocidad promedio, sino que también tendría energía cinética de rotación. La parte (b) nos recuerda que este tipo de energía cinética se puede llamar energía cinética interna o térmica. Ten en cuenta que esta energía es aproximadamente cien veces la energía de la parte (a). Cómo hacer uso de la energía térmica será el tema de la termodinámica. En la parte (c), dado que la energía en la parte (b) es aproximadamente $100$ veces mayor que en la parte (a), la velocidad debe ser aproximadamente $10$ veces mayor, lo que es ($76$ comparado con $7.5 m/s$).

Teorema del trabajo-energía

Hemos discutido cómo encontrar el trabajo realizado en una partícula por las fuerzas que actúan sobre ella, pero ¿cómo se manifiesta ese trabajo en el movimiento de la partícula? De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o la fuerza neta, determina la tasa de cambio en el momento de la partícula, o su movimiento. Por lo tanto, debemos considerar el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o la red de trabajo, para ver qué efecto tiene sobre el movimiento de la partícula.

Comencemos mirando el trabajo neto realizado en una partícula mientras se mueve sobre un desplazamiento infinitesimal, que es el producto punto de la fuerza neta y el desplazamiento: $dW_{neto} = \bold{\vec{F}}_{neta}\cdot d\bold{\vec{r}}$. La segunda ley de Newton nos dice que $\bold{\vec{F}}_{neta} = m(d\bold{\vec{v}}/dt)$, entonces $dW_{neta} = m(d\bold{\vec{v}}/dt)\cdot d\bold{\vec{r}}$. Para las funciones matemáticas que describen el movimiento de una partícula física, podemos reordenar los diferenciales dt, etc., como cantidades algebraicas en esta expresión, es decir,

donde sustituimos la velocidad por la derivada con respecto al tiempo del desplazamiento y usamos la propiedad conmutativa del producto punto [Ecuación 2.30]. Dado que las derivadas e integrales de los escalares probablemente te resulten más familiares en este punto, expresamos el producto punto en términos de coordenadas cartesianas antes de integrar entre dos puntos A y B en la trayectoria de la partícula. Esto nos da el trabajo neto hecho en la partícula:

En el paso intermedio, usamos el hecho de que el cuadrado de la velocidad es la suma de los cuadrados de sus componentes cartesianos, y en el último paso usamos la definición de la energía cinética de la partícula. Este importante resultado se llama el teorema del trabajo-energía (Figura 7.11).

De acuerdo con este teorema, cuando un objeto se ralentiza, su energía cinética final es menor que su energía cinética inicial, el cambio en su energía cinética es negativo, y también lo es el trabajo neto realizado en él. Si un objeto se acelera, el trabajo neto realizado en él es positivo.

Al calcular el trabajo, debes incluir todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. Si omites las fuerzas que actúan sobre un objeto, o si incluyes cualquier fuerza que no actúe sobre él, obtendrás un resultado incorrecto.

La importancia del teorema del trabajo-energía, y las generalizaciones adicionales a las que conduce, es que hace que algunos tipos de cálculos sean mucho más simples de lo que lo serían al tratar de resolver la segunda ley de Newton.

Por ejemplo, en la Leyes del movimiento de Newton, encontramos la velocidad de un objeto que se desliza por un plano sin fricción al resolver la segunda ley de Newton para la aceleración y el uso de ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante, obteniendo

donde $s$ es el desplazamiento por el plano.

También podemos obtener este resultado del teorema del trabajo-energía. Dado que solo dos fuerzas están actuando sobre el objeto -la gravedad y la fuerza normal- y, la fuerza normal no hace ningún trabajo, el trabajo en red es solo el trabajo realizado por la gravedad. Esto solo depende del peso del objeto y la diferencia de altura, por lo que

donde $y$ es positivo hacia arriba. El teorema del trabajo-energía dice que esto equivale al cambio en la energía cinética:

Utilizando un triángulo rectángulo, podemos ver que $(y_f − y_i) = (s_f − s_i) sen\theta$, por lo que el resultado para la velocidad final es el mismo.

¿Qué se gana al usar el teorema del trabajo-energía? La respuesta es que para una superficie plana sin fricción, no mucho.

Sin embargo, la segunda ley de Newton es fácil de resolver solo para este caso particular, mientras que el teorema del trabajo-energía da la velocidad final para cualquier superficie sin fricción. Para una superficie curva arbitraria, la fuerza normal no es constante, y la segunda ley de Newton puede ser difícil o imposible de resolver analíticamente. Constante o no, para el movimiento a lo largo de una superficie, la fuerza normal nunca funciona, porque es perpendicular al desplazamiento. Un cálculo que usa el teorema trabajo-energía evita esta dificultad y se aplica a situaciones más generales.

Ejemplo 7.9

Rizar el rizo

La pista sin fricción para un coche de juguete incluye un loop-the-loop de radio $R$. ¿Qué altura, medida desde el fondo del circuito, debe colocarse el automóvil para comenzar desde el reposo en la sección de la vía y recorrer todo el rizo?

Estrategia

El diagrama de cuerpo libre en la posición final del objeto se dibuja en la Figura 7.12. El trabajo gravitatorio es el único trabajo realizado sobre el desplazamiento que no es cero. Como el peso apunta en la misma dirección que el desplazamiento vertical neto, el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional es positivo. Del teorema del trabajo-energía, la altura de inicio determina la velocidad del automóvil en la parte superior del circuito,

donde la notación se muestra en la figura adjunta. En la parte superior del ciclo, la fuerza y la gravedad normales están bajas y la aceleración es centrípeta, por lo que

La condición para mantener el contacto con la pista es que debe haber alguna fuerza normal, por leve que sea; es decir, $N \gt 0$. Sustituyendo $v_2^2$ y $N4, podemos encontrar la condición para $y_1$.

Solución

Implementa los pasos en la estrategia para llegar al resultado deseado:

Explicación

En la superficie del circuito, el componente normal de la gravedad y la fuerza de contacto normal deben proporcionar la aceleración centrípeta del automóvil que circula por el circuito. El componente tangencial de la gravedad ralentiza o acelera el automóvil. Un niño descubriría qué tan alto arrancar el automóvil por prueba y error, pero ahora que conoce el teorema del trabajo-energía, puede predecir la altura mínima (así como otros resultados más útiles) de los principios físicos. Al usar el teorema del trabajo-energía, no tuviste que resolver una ecuación diferencial para determinar la altura.

Comprueba tu aprendizaje 7.7

En situaciones donde se conoce el movimiento de un objeto, pero no se conocen los valores de una o más de las fuerzas que actúan sobre él, se puede usar el teorema de trabajo-energía para obtener información sobre las fuerzas. El trabajo depende de la fuerza y la distancia sobre la que actúa, por lo que la información se proporciona a través de su producto.

Ejemplo 7.10

Determinando una fuerza de parada

Una bala de un cartucho de calibre 0.22LR tiene una masa de $40$ granos ($2.60 g$) y una velocidad de salida de $1100 ft/s$ ($335 m/s$).

Puede penetrar ocho tableros de pino de 1 pulgada, cada uno con un espesor de $0,75$ pulgadas. ¿Cuál es la fuerza de frenado o de parada promedio ejercida por la madera, como se muestra en la Figura 7.13?

Estrategia

Podemos suponer que bajo las condiciones generales indicadas, la bala pierde toda su energía cinética penetrando las tablas, por lo que el teorema del trabajo-energía dice que su energía cinética inicial es igual a la fuerza de parada promedio por la distancia que penetró. El cambio en la energía cinética de la bala y el trabajo neto hecho deteniéndolo son ambos negativos, así que cuando escribes el teorema de trabajo-energía, con el trabajo neto igual a la fuerza promedio por la distancia de parada, eso es lo que obtienes. El espesor total de ocho tablas de pino de 1 pulgada que penetra la bala es de $8 \times \frac34$ pulgadas = $6$ pulgadas = $15,2 cm$.

Solución

Aplicando el teorema del trabajo-energía, obtenemos

así que

Explicación

Podríamos haber usado la segunda ley y la cinemática de Newton en este ejemplo, pero el teorema del trabajo-energía también proporciona una respuesta a situaciones menos simples. La penetración de una bala, disparada verticalmente hacia arriba en un bloque de madera, se analiza en una sección del artículo de Asif Shakur ["Bullet-Block Science Video Puzzle". The Physics Teacher (enero de 2015) 53 (1): 15-16 ]. Si la bala se dispara en el centro muerto en el bloque, pierde toda su energía cinética y penetra un poco más lejos que si se dispara fuera del centro. La razón es que si la bala impacta descentrada, tiene un poco de energía cinética después de que deja de penetrar, porque el bloque gira. El teorema del trabajo-energía implica que un cambio menor en la energía cinética da como resultado una penetración más pequeña. Comprenderás más de la física en este interesante artículo después de que termines de leer el apartado sobre Momentum Angular.

Potencia

El concepto de trabajo implica fuerza y desplazamiento; el teorema del trabajo-energía relaciona el trabajo neto hecho en un cuerpo con la diferencia en su energía cinética, calculada entre dos puntos en su trayectoria. Ninguna de estas cantidades o relaciones implica tiempo explícitamente, sin embargo, sabemos que el tiempo disponible para realizar una determinada cantidad de trabajo con frecuencia es tan importante para nosotros como la cantidad misma.

En la figura de apertura de este capítulo, varios velocistas pudieron haber alcanzado la misma velocidad en el final, y por lo tanto hicieron la misma cantidad de trabajo, pero el ganador de la carrera lo hizo en la menor cantidad de tiempo.

Expresamos la relación entre el trabajo realizado y el intervalo de tiempo involucrado en hacerlo, al introducir el concepto de potencia. Como el trabajo puede variar como una función del tiempo, primero definimos la potencia promedio como el trabajo realizado durante un intervalo de tiempo, dividido por el intervalo,

Entonces, podemos definir la potencia instantánea (a menudo denominada simplemente potencia).

Si la potencia es constante durante un intervalo de tiempo, la potencia promedio para ese intervalo es igual a la potencia instantánea, y el trabajo realizado por el agente que suministra la potencia es $W = P\Delta t$:

El teorema del trabajo-energía relaciona cómo el trabajo puede transformarse en energía cinética. Como también hay otras formas de energía, como veremos en el próximo capítulo, también podemos definir la potencia como la tasa de transferencia de energía. El trabajo y la energía se miden en unidades de julios, por lo que la potencia se mide en unidades de julios por segundo, a la que se le ha dado el nombre en el SI de watts, abreviado como $W$: $1 J/s = 1 W$. Otra unidad común para expresar la capacidad de potencia de los dispositivos cotidianos es la potencia: $1 hp$ (caballo de fuerza) = $746 W$.

Ejemplo 7.11

Potencia de levantamiento

Un aprendiz del ejército de $80 kg$ hace $10$ ejercicios de levantamiento en barra en $10 s$ (Figura 7.14). ¿Cuánta energía promedio suministran los músculos del aprendiz moviendo su cuerpo? (Sugerencia: haz estimaciones razonables para cualquier cantidad necesaria).

Estrategia

El trabajo realizado contra la gravedad, subir o bajar una distancia $\Delta_y$, es $mg\Delta_y$. (Si te levantas y bajas a velocidad constante, la fuerza que ejerces cancela la gravedad durante todo el ciclo de levantamiento). Por lo tanto, el trabajo realizado por los músculos del aprendiz (moviendo, pero no acelerando, su cuerpo) para una repetición completa (arriba y abajo) es $2mg\Delta_y$.

Supongamos que $\Delta_y = 2ft \approx 60cm$. Además, supón que los brazos comprenden el $10\%$ de la masa corporal y no están incluidos en la masa en movimiento. Con estas suposiciones, podemos calcular el trabajo realizado para $10$ levantamientos y dividir entre $10 s$ para obtener la potencia promedio.

Solución

Explicación

Esto es típico para el gasto de energía en ejercicios extenuantes; en unidades diarias es algo más que un caballo de fuerza ($1hp = 746W$).

Comprueba tu aprendizaje 7.8

La potencia involucrada en mover un cuerpo también se puede expresar en términos de las fuerzas que actúan sobre él. Si una fuerza $\bold{\vec{F}}$ actúa sobre un cuerpo desplazado $d\bold{\vec{r}}$ en un tiempo $dt$, la potencia gastada por la fuerza es

donde $\bold{\vec{v}}$ es la velocidad del cuerpo. El hecho de que los límites implicados por las derivadas existen, para el movimiento de un cuerpo real, justifica la reorganización de los infinitesimales.

Ejemplo 7.12

Potencia automotriz cuesta arriba

¿Cuánta potencia debe gastar un motor de automóvil para mover un auto de $1200 kg$ en una pendiente del $15\%$ a $90 km/h$ (Figura 7.15)? Supón que el 25% de esta potencia se disipa superando la resistencia del aire y la fricción.

Estrategia

A velocidad constante, no hay cambio en la energía cinética, por lo que el trabajo neto realizado para mover el automóvil es cero. Por lo tanto, la potencia suministrada por el motor para mover el automóvil es igual a la potencia gastada contra la gravedad y la resistencia del aire. Por supuesto, el $75\%$ de la potencia se suministra contra la gravedad, que es igual a $m\bold{\vec{g}}\cdot \bold{\vec{v}} = mgvsen\theta$, donde $\theta$ es el ángulo de la inclinación. Una pendiente del $15\%$ significa $tan\theta = 0.15$. Este razonamiento nos permite hallar la potencia requerida.

Solución

Llevando a cabo los pasos sugeridos, encontramos

alrededor de $78 hp$ (debes saber los pasos utilizados para convertir unidades).

Explicación

Esta es una cantidad razonable de energía para el motor de un automóvil pequeño o mediano ($1 hp = 0.746 kW$). Ten en cuenta que esta es solo la potencia gastada para mover el automóvil. Gran parte de la potencia del motor se destina a otro lado, por ejemplo, al calor residual. Es por eso que los autos necesitan radiadores. Cualquier potencia restante podría usarse para la aceleración o para operar los accesorios del automóvil.

Preguntas y respuestas - Capítulo VII

Respuestas

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Introducción

En la escultura de bolas de George Rhoads, el principio de la conservación de la energía rige los cambios en la energía cinética de la bola y los relaciona con los cambios y las transferencias de otros tipos de energía asociados con las interacciones de la bola. En este capítulo, presentamos el importante concepto de energía potencial. Esto nos permitirá formular la ley de conservación de energía mecánica y aplicarla a sistemas simples, facilitando la resolución de problemas.

En la sección final sobre fuentes de energía, consideraremos las transferencias de energía y la ley general de conservación de la energía. A lo largo de este libro, la ley de la conservación de la energía se aplicará cada vez con más detalle, a medida que te encuentres con sistemas más complejos y variados, y con otras formas de energía.

Hemos visto que el trabajo realizado sobre un objeto por la constante de la fuerza gravitacional, cerca de la superficie de la Tierra, sobre cualquier desplazamiento es una función relacionada con la diferencia de las posiciones de los puntos finales del desplazamiento. Esta propiedad nos permite definir un tipo diferente de energía para el sistema, que se llama energía potencial. Consideramos varias propiedades y tipos de energía potencial en las siguientes subsecciones.

Energía potencial de un sistema

En el capítulo anterior, vimos que el trabajo realizado sobre un objeto por la constante de la fuerza gravitacional, cerca de la superficie de la Tierra, sobre cualquier desplazamiento es una función solamente de la diferencia en las posiciones de los puntos finales del desplazamiento. Esta propiedad nos permite definir un tipo diferente de energía para el sistema, que se llama energía potencial. Consideramos varias propiedades y tipos de energía potencial en las siguientes subsecciones.

Conceptos básicos de energía potencial

En el capítulo sobre movimiento en dos y tres dimensiones, analizamos el movimiento de un proyectil, como patear un balón de fútbol en la Figura 8.2. Para este ejemplo, ignoremos la fricción y la resistencia del aire. A medida que la pelota se eleva, el trabajo realizado por la fuerza de gravedad en la pelota es negativo, porque el desplazamiento de la pelota es positivo verticalmente y la fuerza debida a la gravedad es negativa en sentido vertical.

También notamos que la pelota disminuyó su velocidad hasta que alcanzó su punto más alto en el movimiento, disminuyendo así la energía cinética.

Esta pérdida de energía cinética se traduce en una ganancia en energía potencial gravitacional del sistema pelota-Tierra.

A medida que la pelota cae hacia la Tierra, el trabajo realizado en la pelota ahora es positivo, porque tanto el desplazamiento como la fuerza gravitatoria apuntan verticalmente hacia abajo. La pelota también se acelera, lo que indica un aumento en la energía cinética. Por lo tanto, la energía se convierte de energía potencial gravitacional en energía cinética.

Con base en este escenario, podemos definir la diferencia de energía potencial del punto $A$ al punto $B$ como el resultado negativo del trabajo realizado:

Esta fórmula establece explícitamente una diferencia de energía potencial, no solo una energía potencial absoluta.

Por lo tanto, necesitamos definir la energía potencial en una posición dada de tal manera que establezca valores estándar de energía potencial por sí mismos, en lugar de diferencias de energía potenciales. Hacemos esto reescribiendo la función de energía potencial en términos de una constante arbitraria,

La elección de la energía potencial en una ubicación inicial de $\bold{\vec{r}}_0$ se realiza por conveniencia en el problema dado. Lo más importante, cualquiera que sea la elección que se haga, debe establecerse y mantenerse constante durante todo el problema. Hay algunas elecciones bien aceptadas de energía potencial inicial. Por ejemplo, la altura más baja en un problema generalmente se define como energía potencial cero, o si un objeto está en el espacio, el punto más alejado del sistema a menudo se define como energía potencial cero. Entonces, la energía potencial, con respecto a cero en $\bold{\vec{r}}_0$, es simplemente $U(\bold{\vec{r}})$.

Mientras no haya fricción o resistencia del aire, el cambio en la energía cinética de la pelota equivale al cambio en la energía potencial gravitatoria de la pelota. Esto se puede generalizar a cualquier energía potencial:

Veamos un objeto interactivo, diseñado por José Luis Abreu León y Carlos Alberto Jaimes Vergara.

En este interactivo puedes observar las relaciones de la energía cinética con la velocidad y la energía potencial con la altura y, además, desarrollar una idea intuitiva sobre los conceptos de energía cinética y energía potencial y su conservación a través de la simulación de las transformaciones de energía en una montaña rusa.

Veamos, ahora, un ejemplo específico, eligiendo cero para energía potencial gravitacional en puntos convenientes.

Ejemplo 8.1

Propiedades Básicas de la Energía Potencial

Una partícula se mueve a lo largo del eje $x$ bajo la acción de una fuerza dada por $F = -ax^2$, donde $a = 3 N/m^2$.

(a) ¿Cuál es la diferencia en su energía potencial cuando se mueve de $x_A = 1 m$ a $x_B = 2 m$? (b) ¿Cuál es la energía potencial de la partícula en $x = 1 m$ con respecto a una dada de $0.5 J$ de energía potencial en $x = 0$?

Estrategia

(a) La diferencia en la energía potencial es el negativo del trabajo realizado, como se define en la ecuación 8.1. El trabajo se define en el capítulo anterior como el producto punto de la fuerza por la distancia. Dado que la partícula se mueve hacia adelante en la dirección x, el producto escalar se simplifica a una multiplicación ($\^{\bold{i}}\cdot \^{\bold{i}} = 1$). Para encontrar el trabajo total realizado, necesitamos integrar la función entre los límites dados. Después de la integración, podemos establecer el trabajo o la energía potencial. (b) La función de energía potencial, con respecto a cero en $x = 0$, es la integral indefinida encontrada en la parte (a), con la constante de integración determinada a partir de la ecuación 8.3. Luego, sustituimos el valor $x$ en la función de energía potencial para calcular la energía potencial en $x = 1m$.

Solución

a. El trabajo realizado por la fuerza dada a medida que la partícula se mueve desde la coordenada $x$ a $x + dx$ en una dimensión es

Sustituyendo la expresión anterior en la Ecuación 8.1, obtenemos

b. La integral indefinida para la función de energía potencial en la parte (a) es

y queremos que la constante sea determinada por

Por lo tanto, la energía potencial con respecto a cero en $x = 0$ es solo

Por lo tanto, la energía potencial en $x = 1 m$ es

Explicación

En este ejemplo unidimensional, cualquier función que podamos integrar, independientemente de la ruta, es conservadora. Observa cómo aplicamos la definición de diferencia de energía potencial para determinar la función de energía potencial con respecto a cero en un punto elegido.

También nota que la energía potencial, como se determina en la parte (b), en $x = 1m$ es $U(1m) = 1 J$ y en $x = 2m$ es $U(2m) = 8J$; su diferencia es el resultado en la parte (a).

Comprueba tu aprendizaje 8.1

Sistemas de varias partículas

En general, un sistema de interés podría consistir en varias partículas. La diferencia en la energía potencial del sistema es el resultado negativo del trabajo realizado por las fuerzas gravitatorias o elásticas, que, como veremos en la siguiente sección, son fuerzas conservadoras. La diferencia de energía potencial depende solo de las posiciones inicial y final de las partículas, y de algunos parámetros que caracterizan la interacción (como la masa para la gravedad o la constante del resorte para la fuerza según la ley de Hooke).

Es importante recordar que la energía potencial es una propiedad de las interacciones entre objetos en un sistema elegido, y no solo una propiedad de cada objeto.

Esto es especialmente cierto para las fuerzas eléctricas, aunque en los ejemplos de energía potencial que consideramos a continuación, las partes del sistema son tan grandes (como la Tierra, en comparación con un objeto en su superficie) o tan pequeñas (como un manantial sin masa), los cambios que sufren esas partes son insignificantes si se incluyen en el sistema.

Tipos de energía potencial

Para cada tipo de interacción presente en un sistema, puedes etiquetar un tipo correspondiente de energía potencial.

La energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales de todos los tipos (esto se desprende de la propiedad aditiva del producto punto en la expresión del trabajo realizado). Veamos algunos ejemplos específicos de tipos de energía potencial. Primero, consideramos cada una de estas fuerzas cuando actúan por separado, y luego cuando ambas actúan juntas.

Energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra

El sistema de interés consiste en nuestro planeta, la Tierra y una o más partículas cerca de su superficie (o cuerpos lo suficientemente pequeños para ser considerados como partículas, en comparación con la Tierra). La fuerza gravitacional en cada partícula (o cuerpo) es solo su peso mg cerca de la superficie de la Tierra, actuando verticalmente hacia abajo. De acuerdo con la tercera ley de Newton, cada partícula ejerce una fuerza en la Tierra de igual magnitud pero en la dirección opuesta. La segunda ley de Newton nos dice que la magnitud de la aceleración producida por cada una de estas fuerzas en la Tierra es mg dividida por la masa de la Tierra.

Como la relación de la masa de cualquier objeto ordinario con la masa de la Tierra es extremadamente pequeña, el movimiento de la Tierra puede ser completamente despreciado. Por lo tanto, consideramos que este sistema es un grupo de sistemas de partículas individuales, sujetos a la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra.

El trabajo realizado en un cuerpo por la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra, cerca de su superficie, depende de la masa del cuerpo, la aceleración debida a la gravedad y la diferencia de altura recorrida por el cuerpo, como lo indica la Ecuación 7.4. Por definición, este trabajo es el negativo de la diferencia en la energía potencial gravitacional, por lo que la diferencia es

De esto se puede ver que la función de la energía potencial gravitacional, cerca de la superficie de la Tierra, es

Puedes elegir el valor de la constante, como se describe en la discusión de la Ecuación 8.2; sin embargo, para resolver la mayoría de los problemas, la constante más conveniente para elegir es cero para cuando $y = 0$, que es la posición vertical más baja en el problema.

Ejemplo 8.2

Energía potencial gravitacional de un excursionista

La cima del Great Blue Hill en Milton, MA, está $147 m$ por encima de su base y tiene una elevación sobre el nivel del mar de $195 m$ (Figura 8.3) (Su nombre nativo americano, Massachusett, fue adoptado por los colonos por nombrar la colonia de la bahía y el estado cerca de su ubicación). Un excursionista de $75 kg$ asciende desde la base hasta la cumbre.

¿Cuál es la energía potencial gravitacional del sistema excursionista-Tierra con respecto a la energía potencial gravitatoria cero en la altura de la base, cuando el excursionista está (a) en la base de la colina, (b) en la cumbre y (c) en el nivel del mar?

Estrategia

Primero, necesitamos elegir un origen para el eje $y$ y luego determinar el valor de la constante que hace que la energía potencial sea cero a la altura de la base. Entonces, podemos determinar las energías potenciales a partir de la ecuación 8.5, en función de la relación entre la altura de energía potencial cero y la altura a la que se encuentra el caminante.

Solución

Vamos a elegir el origen para el eje y en la altura de la base, donde también queremos que el cero de energía potencial esté. Esta elección hace que la constante sea igual a cero y

En la cima $y = 147m$, entonces

A nivel del mar, $y = (147-195) m = -48m$, entonces

Explicación

Además de ilustrar el uso de la Ecuación 8.4 y la Ecuación 8.5, los valores de energía potencial gravitacional que encontramos son razonables. La energía potencial gravitacional es más alta en la cima que en la base, y más baja en el nivel del mar que en la base. La gravedad también te funciona en tu camino hacia arriba. Haz un trabajo negativo y no tanto (en magnitud), como lo hacen tus músculos. Pero ciertamente funciona. Del mismo modo, tus músculos trabajan en tu camino hacia abajo, como trabajo negativo. Los valores numéricos de las energías potenciales dependen de la elección del cero de la energía potencial, pero las diferencias físicamente significativas de la energía potencial no lo hacen (Ten en cuenta que dado que la Ecuación 8.2 es una diferencia, los valores numéricos no dependen del origen de las coordenadas).

Comprueba tu aprendizaje 8.2

Energía potencial elástica

En el capítulo anterior, vimos que el trabajo realizado por un resorte perfectamente elástico, en una dimensión, depende solo de la constante de resorte y de los cuadrados de los desplazamientos desde la posición no estirada, como se muestra en la Ecuación 7.5. Este trabajo involucra solo las propiedades de la interacción de la ley de Hooke y no las propiedades de resortes reales y cualquier objeto que se les atribuya.

Por lo tanto, podemos definir la diferencia de energía potencial elástica para una fuerza de resorte como el negativo del trabajo realizado por la fuerza de resorte en esta ecuación, antes de considerar los sistemas que incorporan este tipo de fuerza. Así,

donde el objeto viaja del punto $A$ al punto $B$. La función de energía potencial correspondiente a esta diferencia es

Si la fuerza del resorte es la única fuerza que actúa, es más simple tomar el cero de la energía potencial en $x = 0$, cuando el resorte está en su longitud no estirada. Entonces, la constante es la ecuación 8.7 es cero (otras opciones pueden ser más convenientes si otras fuerzas están actuando).

Ejemplo 8.3

Energía potencial de un resorte

Un sistema contiene un resorte perfectamente elástico, con una longitud no estirada de $20 cm$ y una constante de resorte de $4 N/cm$. (a) ¿Cuánta energía potencial elástica aporta el resorte cuando su longitud es de $23 cm$? (b) ¿Cuánta energía potencial adicional contribuye si su longitud aumenta a $26 cm$?

Estrategia

Cuando el resorte está en su longitud no estirada, no contribuye en nada a la energía potencial del sistema, por lo que podemos usar la Ecuación 8.7 con la constante igual a cero. El valor de $x$ es la longitud menos la longitud no estirada. Cuando se expande el resorte, el desplazamiento del resorte o la diferencia entre su longitud relajada y su longitud estirada deben usarse para el valor de $x$ al calcular la energía potencial del resorte.

Solución

a. El desplazamiento del resorte es $x = 23cm - 20cm = 3cm$, por lo que la energía potencial aportada es $U = \frac12 kx^2 = \frac12 (4 N/cm)(3cm)^2 = 0.18J$.

b. Cuando el desplazamiento del resorte es $x = 26cm - 20cm = 6cm$, la energía potencial es $U = \frac12 kx^2 = \frac12 (4 N/cm)(6cm)^2 = 0.72 J$, que es un aumento de $0.54 J$ sobre la cantidad en la parte (a).

Explicación

El cálculo de la energía potencial elástica y las diferencias de energía potencial de la ecuación 8.7 implica la solución de las energías potenciales en función de las longitudes dadas del resorte.

Como $U$ depende de $x^2$, la energía potencial para una compresión ($x$ negativo) es la misma que para una extensión de igual magnitud.

Comprueba tu aprendizaje 8.3

Energía potencial gravitacional y elástica

Un sistema simple que incorpora ambos tipos de energía potencial gravitacional y elástica es un sistema vertical de masa unidimensional. Consiste en una partícula (o bloque) masiva, colgada de un extremo de un resorte sin masa perfectamente elástico, el otro extremo del cual está fijo, como se ilustra en la figura 8.4.

Primero, consideremos la energía potencial del sistema. Suponiendo que el resorte no tenga masa, el sistema del bloque-Tierra gana y pierde energía potencial. Necesitamos definir la constante en la función de energía potencial de la Ecuación 8.5. A menudo, el suelo es una elección adecuada para cuando la energía potencial gravitacional es cero; sin embargo, en este caso, el punto más bajo o cuando $h = 0$ es una ubicación conveniente para la energía potencial gravitacional cero.

Ten en cuenta que esta elección es arbitraria, y el problema se puede resolver correctamente incluso si se elige otra opción. También debemos definir la energía potencial elástica del sistema y la constante correspondiente, como se detalla en la ecuación 8.7. La ubicación de equilibrio es la más adecuada matemáticamente para elegir donde la energía potencial del resorte es cero.

Por lo tanto, de acuerdo con esta convención, cada energía potencial y energía cinética se puede escribir para tres puntos críticos del sistema: (1) el punto más bajo, (2) la posición de equilibrio del resorte, y (3) el punto más alto logrado. Observamos que la energía total del sistema se conserva, por lo que cualquier energía total en este gráfico podría combinarse para resolver una cantidad desconocida. Los resultados se muestran en la Tabla 8.1.

En la siguiente simulación , diseñada por Michael Gallis y modificada por Anne J Cox (Modelo de energía bungee), se muestra una prueba de salto bungee ficticio desde una torre.

En la simulación se muestra un maniquí de prueba saltando desde una torre, se registra la energía cinética, la energía potencial gravitacional y la energía potencial elástica del bungee.

¡Haz clic en el botón de la esquina superior derecha, para ampliar la escena!

Ejemplo 8.4

Energía potencial de un sistema vertical de masa-resorte

Un bloque que pesa $12 N$ se cuelga de un resorte con una constante de resorte de $6.0 N/m$, como se muestra en la Figura 8.4. El bloque se baja unos $5,0 cm$ adicionales de su posición de equilibrio y se libera. (a) ¿Cuál es la diferencia solo en la energía potencial del resorte, desde una posición de equilibrio inicial a su posición estirada? (b) ¿Cuál es la diferencia solo en la energía potencial gravitacional desde su posición de equilibrio inicial hasta su posición estirada? (c) ¿Cuál es la energía cinética del bloque a medida que pasa a través de la posición de equilibrio desde su posición estirada?

Estrategia

En las partes (a) y (b), queremos encontrar una diferencia en la energía potencial, por lo que podemos usar la Ecuación 8.6 y la Ecuación 8.4, respectivamente. Cada una de estas expresiones toma en consideración el cambio en la energía en relación con otra posición, enfatizando aún más que la energía potencial se calcula con una referencia o un segundo punto. Al elegir las convenciones del punto más bajo en el diagrama donde la energía potencial gravitacional es cero y la posición de equilibrio del resorte donde la energía potencial elástica es cero, estas diferencias en las energías ahora se pueden calcular. En la parte (c), echamos un vistazo a las diferencias entre las dos energías potenciales. La diferencia entre los dos resultados en energía cinética, ya que no hay fricción o arrastre en este sistema que puede tomar energía del sistema.

Solución

Dado que la energía potencial gravitacional es cero en el punto más bajo, el cambio en la energía potencial gravitacional es

La posición de equilibrio del resorte se define como energía potencial cero. Por lo tanto, el cambio en la energía potencial elástica es

El bloque comenzó a tirar hacia abajo con una energía potencial relativa de $0.75J$. La energía potencial gravitatoria requerida para elevarse a $5.0cm$ es $0.60J$. La energía que permanece en esta posición de equilibrio debe ser energía cinética. Podemos resolver esta ganancia en energía cinética de la Ecuación 8.2,

Explicación

Aunque las energías potenciales son relativas a una ubicación cero elegida, las soluciones a este problema serían las mismas si los puntos de energía cero se eligieran en diferentes ubicaciones.

Comprueba tu aprendizaje 8.4

¡Observa esta simulación para que aprendas sobre la conservación de la energía con un patinador! Construye pistas, rampas y saltos para el patinador y observa la energía cinética, la energía potencial y la fricción mientras se mueve. ¡También puedes llevar al patinador a diferentes planetas o incluso al espacio!

En la Tabla 8.2 se muestra una una variedad de energías para darte una idea sobre los valores de energía típicos asociados con ciertos eventos. Algunos de éstos se calculan usando energía cinética, mientras que otros se calculan usando cantidades encontradas en una forma de energía potencial que puede no haber sido discutida hasta este punto.

Fuerzas conservadoras y no conservadoras

En lo que hemos visto, cualquier transición entre energía cinética y potencial conserva la energía total del sistema. Esto era independiente de la ruta o trayectoria, lo que significa que podemos comenzar y detenernos en cualquier punto del problema, y ​​la energía total del sistema -potencial, cinética, etc.- en estos puntos es igual el uno al otro. Esto es característico de una fuerza conservadora. Tratamos con las fuerzas conservadoras en la sección anterior, como la fuerza de la gravedad y la fuerza de un resorte. Al comparar el movimiento del balón de fútbol en la Figura 8.2, la energía total del sistema nunca cambia, a pesar de que la energía potencial gravitacional del fútbol aumenta, a medida que la pelota sube respecto al suelo y vuelve a la energía potencial gravitacional inicial cuando el receptor atrapa la pelota.

Las fuerzas no conservativas son fuerzas disipativas como la fricción o la resistencia del aire. Estas fuerzas alejan la energía del sistema a medida que avanza el sistema, energía que no puede recuperar. Estas fuerzas dependen de la trayectoria; por lo tanto, importa dónde comienza y dónde se detiene el objeto.

En la ecuación 8.9, utilizamos la notación de un círculo en el medio del signo integral para una integral de línea sobre un camino cerrado, una notación encontrada en la mayoría de los textos de física e ingeniería.

La ecuación 8.8 y la ecuación 8.9 son equivalentes porque cualquier camino cerrado es la suma de dos caminos: el primero va de $A$ a $B$, y el segundo va de $B$ a $A$. El trabajo hecho por un camino de $B$ a $A$ es el negativo del trabajo hecho por el mismo camino de $A$ a $B$, donde $A$ y $B$ son dos puntos en el camino cerrado:

Puedes preguntar cómo hacemos para probar si una fuerza es conservadora o no, ya que las definiciones implican todas y cada una de las rutas desde $A$ hasta $B$, o cualquier ruta cerrada, pero para hacer la integral para el trabajo, debes elegir una camino particular. Una respuesta es que el trabajo realizado es independiente del camino si el trabajo infinitesimal $\bold{\vec{F}}\cdot ;d\bold{\vec{r}}$ es un diferencial exacto, la forma en que el trabajo neto infinitesimal era igual al diferencial exacto de la energía cinética, $dW_{neta} = m\bold{\vec{v}}\cdot d\bold{\vec{v}} = d\frac12 mv^2$, cuando derivamos el teorema de trabajo-energía. Hay condiciones matemáticas que puedes usar para probar si el trabajo infinitesimal realizado por una fuerza es un diferencial exacto, y la fuerza es conservadora. Estas condiciones solo implican diferenciación y, por lo tanto, son relativamente fáciles de aplicar. En dos dimensiones, la condición para que $\bold{\vec{F}}\cdot d\bold{\vec{r}} = F_xdx + F_ydy$ sea una diferencia exacta es

Puedes recordar que el trabajo realizado por la fuerza en el ejemplo 7.4 depende de la ruta. Para esa fuerza, $$F_x = (5 N/m)y\;\;\text{y } F_y = (10 N/m)x$$

Por lo tanto,

lo que indica que es una fuerza no conservadora. ¿Puedes ver lo que podrías cambiar para convertirla en una fuerza conservadora?

Ejemplo 8.5

Conservadora o no?

¿Cuál de las siguientes fuerzas bidimensionales son conservadoras y cuáles no? Supongamos que $a$ y $b$ son constantes con unidades apropiadas:

(a) $axy^3\^{\bold{i}} + ayx^3\^{\bold{j}}$,

(b) $a[(y^2/x)\^{\bold{i}} + 2yln(x/b)\^{\bold{j}}$,

(c) $\frac{ax\^{\bold{i}} + ay\^{\bold{j}}}{x^2 + y^2}$

Estrategia

Aplica la condición indicada en la Ecuación 8.10, es decir, usando las derivadas de los componentes de cada fuerza indicada.

Si la derivada de la componente y de la fuerza con respecto a $x$ es igual a la derivada de la componente x de la fuerza con respecto a $y$, la fuerza es una fuerza conservadora, lo que significa la ruta tomada para la energía potencial o el trabajo los cálculos siempre arrojan los mismos resultados.

Solución

a. $\frac{dF_x}{dy} = \frac{d(axy^3)}{dy} = 3axy^2$ y $\frac{dF_y}{dx} = \frac{d(ayx^3}{dx} = 3ayx^2$, entonces esta fuerza no es conservadora.

b. $\frac{dF_x}{dy} = \frac{2ay}{dy} = \frac{dF_x}{x}$ y $\frac{dF_y}{dx} = \frac{d(2ayln(x/b))}{dx} = \frac{2ay}{x}$, es una fuerza conservativa.

c. $\frac{dF_x}{dy} = \frac{d(ax/(x^2 + y^2)}{dy} = -\frac{ax(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{dF_y}{dx}$, también conservativa.

Explicación

Las condiciones en la Ecuación 8.10 son derivadas de funciones de una sola variable; en tres dimensiones, existen condiciones similares que implican más derivadas.

Comprueba tu aprendizaje 8.5

Antes de abandonar esta sección, observamos que las fuerzas no conservativas no tienen energía potencial asociada a ellas porque la energía se pierde en el sistema y no pueden convertirse en trabajo útil más adelante. Entonces siempre hay una fuerza conservadora asociada con cada energía potencial. Hemos visto que la energía potencial se define en relación con el trabajo realizado por las fuerzas conservadoras. Esa relación, Ecuación 8.1, involucraba una integral para el trabajo; comenzando con la fuerza y el desplazamiento, se integró para obtener el trabajo y el cambio en la energía potencial. Sin embargo, la integración es la operación inversa de la diferenciación; igualmente podría haber comenzado con la energía potencial y tomar su derivada, con respecto al desplazamiento, para obtener la fuerza. El incremento infinitesimal de energía potencial es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento infinitesimal,

Aquí, elegimos representar el desplazamiento en una dirección arbitraria por $d\bold{\vec{l}}$, para no restringirnos a ninguna dirección de coordenadas particular. También expresamos el producto punto en términos de la magnitud del desplazamiento infinitesimal y el componente de la fuerza en su dirección. Ambas cantidades son escalares, por lo que puede dividir por dl para obtener

Esta ecuación proporciona la relación entre la fuerza y la energía potencial asociada con ella. En otras palabras, el componente de una fuerza conservadora, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial correspondiente, con respecto a un desplazamiento en esa dirección.

Para un movimiento unidimensional, digamos a lo largo del eje $x$, la ecuación 8.11 da la fuerza vectorial completa, $\displaystyle\bold{\vec{F}} = F_x\^{\bold{i}} = -\frac{\partial U}{\partial x\^{\bold{i}}}$.

En dos dimensiones,

A partir de esta ecuación, puedes ver por qué la Ecuación 8.11 es la condición para que el trabajo sea un diferencial exacto, en términos de las derivadas de los componentes de la fuerza. En general, se usa una notación de derivada parcial. Si una función tiene muchas variables, la derivada se toma solo de la variable que especifica la derivada parcial.

Las otras variables se mantienen constantes. En tres dimensiones, agregas otro término para el componente $z$, y el resultado es que la fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial. Sin embargo, no vamos a ver ejemplos tridimensionales por el momento.

Ejemplo 8.6

Fuerza debido a una energía potencial bicuadrática

La energía potencial para una partícula sometida a movimiento unidimensional a lo largo del eje $x$ es

donde $c = 8 N/m^3$. Su energía total en $x = 0$ es $2 J$, y no está sujeta a ninguna fuerza no conservativa. Encuentra (a) las posiciones donde su energía cinética es cero y (b) las fuerzas en esas posiciones.

Estrategia

(a) Podemos encontrar las posiciones donde $K = 0$, por lo que la energía potencial es igual a la energía total del sistema dado. (b) Usando la Ecuación 8.11, podemos encontrar la fuerza evaluada en las posiciones encontradas desde la parte anterior, ya que la energía mecánica se conserva.

Solución

La energía total del sistema de $2 J$ es igual a la energía elástica bicuadrática que se da en el problema,

La solución para $x_f$ da como resultado $x_f = \pm 1m$.

(b) De la ecuación 8.11,

Por lo tanto, al evaluar la fuerza a $\pm 1 m$, obtenemos

En ambas posiciones, la magnitud de las fuerzas es $8 N$ y las direcciones son hacia el origen, ya que esta es la energía potencial para una fuerza de restauración.

Explicación

Encontrar la fuerza de la energía potencial es matemáticamente más fácil que encontrar la energía potencial de la fuerza, porque diferenciar una función es generalmente más fácil que integrarla.

Comprueba tu aprendizaje 8.6

Conservacion de la energia

En esta sección, elaboramos y ampliamos el resultado que derivamos en Energía potencial de un sistema, donde re-escribimos el teorema de trabajo-energía en términos del cambio en las energías cinéticas y potenciales de una partícula. Esto nos llevará a una discusión sobre el importante principio de la conservación de la energía mecánica.

A medida que continúes examinando otros temas en física, en capítulos posteriores de este libro, verás cómo esta ley de conservación se generaliza para abarcar otros tipos de energía y transferencias de energía. La última sección de este capítulo proporciona una vista previa.

Los términos 'cantidad conservada' y 'ley de conservación' tienen significados científicos específicos en física, que son diferentes de los significados cotidianos asociados con el uso de estas palabras (el mismo comentario también es cierto sobre los usos científicos y cotidianos de la palabra "trabajo"). En el uso diario, puedes conservar agua al no usarla, o al usar menos, o al volver a usarla. El agua está compuesta de moléculas formadas por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Junta estos átomos para formar una molécula y creas agua; disocia los átomos en tal molécula y destruyes el agua. Sin embargo, en el uso científico, una cantidad conservada para un sistema permanece constante, cambia en una cantidad definida que se transfiere a otros sistemas y/o se convierte en otras formas de esa cantidad. Una cantidad conservada, en el sentido científico, puede transformarse, pero no crearse o destruirse estrictamente. Por lo tanto, no existe una ley física de conservación del agua.

Sistemas con una sola partícula u objeto

Primero consideramos un sistema con una sola partícula u objeto. Volviendo a nuestro desarrollo de la Ecuación 8.2, recordemos que primero separamos todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en tipos conservadores y no conservadores, y escribimos el trabajo hecho por cada tipo de fuerza como un término separado en el teorema del trabajo-energía. Luego reemplazamos el trabajo realizado por las fuerzas conservadoras por el cambio en la energía potencial de la partícula, combinándola con el cambio en la energía cinética de la partícula para obtener la Ecuación 8.2.

Ahora, escribimos esta ecuación sin el paso intermedio y definimos la suma de las energías cinéticas y potenciales, $K + U = E$ como la energía mecánica de la partícula.

Esta declaración expresa el concepto de conservación de energía para una partícula clásica siempre que no haya un trabajo no conservador. Recuerde que una partícula clásica es solo una masa puntual, no relativista y obedece a las leyes del movimiento de Newton. En la Relatividad, veremos que la conservación de la energía todavía se aplica a una partícula no clásica, pero para que eso suceda, debemos hacer un ligero ajuste a la definición de energía.

A veces es conveniente separar el caso donde el trabajo realizado por fuerzas no conservativas es cero, ya sea porque no se asume que tales fuerzas estén presentes o, como la fuerza normal, no funcionan cuando el movimiento es paralelo a la superficie. Entonces

En este caso, la conservación de la energía mecánica se puede expresar de la siguiente manera: la energía mecánica de una partícula no cambia si no funcionan las fuerzas no conservativas que pueden actuar sobre ella.

Comprender el concepto de conservación de la energía es lo importante, no la ecuación particular que utilizas para expresarlo.

Ejemplo 8.7

Péndulo simple

Una partícula de masa $m$ se cuelga del techo mediante una cuerda sin masa de $1,0 m $de longitud, como se muestra en la Figura 8.7. La partícula se libera del reposo, cuando el ángulo entre la cuerda y la dirección vertical hacia abajo es de $30\degree$. ¿Cuál es su velocidad cuando alcanza el punto más bajo de su arco?

Estrategia

Usando nuestra estrategia de resolución de problemas, el primer paso es definir que estamos interesados ​​en el sistema de partículas de la Tierra. En segundo lugar, solo la fuerza gravitacional está actuando sobre la partícula, que es conservadora (paso 3).

Despreciamos la resistencia del aire en el problema y no se realiza ningún trabajo mediante la tensión de la cuerda, que es perpendicular al arco del movimiento. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema se conserva, como se representa mediante la ecuación 8.13, $0 = \Delta(K + U)$. Debido a que la partícula comienza desde el reposo, el aumento en la energía cinética es justo la energía cinética en el punto más bajo. Este aumento en la energía cinética es igual a la disminución en la energía potencial gravitacional, que podemos calcular a partir de la geometría. En el paso 4, elegimos un punto de referencia para que la energía potencial gravitacional cero esté en el punto vertical más bajo que alcanza la partícula, que es la oscilación media. Por último, en el paso 5, establecemos la suma de las energías en el punto más alto (inicial) del balanceo hasta el punto más bajo (final) del balanceo para finalmente hallar la velocidad final.

Solución

Estamos despreciando las fuerzas no conservativas, por lo que escribimos la fórmula de conservación de energía relacionando la partícula en el punto más alto (inicial) y el punto más bajo en el columpio (final) como

Como la partícula se libera del reposo, la energía cinética inicial es cero. En el punto más bajo, definimos que la energía potencial gravitacional es cero. Por lo tanto, nuestra fórmula de conservación de la energía se reduce a

La altura vertical de la partícula no se da directamente en el problema. Esto se puede resolver usando la trigonometría y dos datos: la longitud del péndulo y el ángulo a través del cual la partícula se levanta verticalmente. Mirando el diagrama, la línea punteada vertical es la longitud de la cuerda del péndulo. La altura vertical está etiquetada como h. La otra longitud parcial de la cuerda vertical se puede calcular con trigonometría. Esa pieza se resuelve por

Por lo tanto, mirando las dos partes de la cuerda, podemos hallar la altura $h$,

Sustituimos esta altura en la expresión anterior, permitiendo calcular la velocidad.

Explicación

Encontramos la velocidad directamente desde la conservación de energía mecánica, sin tener que resolver la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo. Podemos abordar este problema en términos de gráficos de barras de la energía total. Inicialmente, la partícula tiene toda la energía potencial, estando en el punto más alto y sin energía cinética.

Cuando la partícula cruza el punto más bajo en la parte inferior del columpio, la energía se mueve desde la columna de energía potencial a la columna de energía cinética.

Por lo tanto, podemos imaginar una progresión de esta transferencia a medida que la partícula se mueve entre su punto más alto, al punto más bajo del columpio y de regreso al punto más alto (Figura 8.8). A medida que la partícula se desplaza desde el punto más bajo en el columpio hasta el punto más alto en el extremo derecho del diagrama, las barras de energía van en el orden inverso de (c) a (b) a (a).

En el siguiente objeto interactivo, diseñado por Anne J Cox (Modelo de energía del péndulo), puedes observar los gráficos de barras que muestran la energía cinética ($EC$) de la marioneta, la energía potencial ($EP$) y la energía mecánica total ($E$). Puedes cambiar la posición inicial de la marioneta (dentro de lo razonable).

Pausa la simulación. Registra la altura, la velocidad y las energías cinética y potencial y encuentra la masa de la marioneta.

Comprueba tu aprendizaje 8.7

Ejemplo 8.8

Resistencia al aire en un objeto que cae

Un helicóptero flota a una altitud de $1 km$ cuando un panel de su parte inferior se desprende y cae al suelo (Figura 8.9).

La masa del panel es de $15 kg$ y toca el suelo con una velocidad de $45 m/s$. ¿Cuánta energía mecánica se disipó por la resistencia del aire durante el descenso del panel?

Estrategia

Paso 1: Aquí solo se está investigando un cuerpo.

Paso 2: la fuerza gravitatoria está actuando en el panel, así como la resistencia del aire, que se establece en el problema.

Paso 3: la fuerza gravitatoria es conservadora; sin embargo, la fuerza no conservativa de la resistencia del aire hace un trabajo negativo en el panel descendente, por lo que podemos usar la conservación de energía mecánica, en la forma expresada por la Ecuación 8.12, para encontrar la energía disipada. Esta energía es la magnitud del trabajo:

Paso 4: la energía cinética inicial, en $y_i = 1 km$, es cero. Establecemos la energía potencial gravitacional en cero a nivel del suelo por conveniencia.

Paso 5: El trabajo no conservador se establece igual a las energías para resolver el trabajo disipado por la resistencia del aire.

Solución

La energía mecánica disipada por la resistencia del aire es la suma algebraica de la ganancia en la energía cinética y la pérdida de energía potencial. Por lo tanto, el cálculo de esta energía es

Explicación

La mayor parte de la energía mecánica inicial del panel ($U_i$), $147 kJ$, se perdió por la resistencia del aire. Ten en cuenta que pudimos calcular la energía disipada sin saber cuál era la fuerza de la resistencia del aire, solo que era disipativa.

Comprueba tu aprendizaje 8.8

En estos ejemplos, pudimos usar la conservación de la energía para calcular la velocidad de una partícula solo en puntos particulares de su movimiento. Pero el método de analizar el movimiento de partículas, comenzando desde la conservación de energía, es más poderoso que eso. Los tratamientos más avanzados de la teoría de la mecánica te permiten calcular la dependencia del tiempo en el movimiento de una partícula, para una energía potencial dada.

De hecho, a menudo ocurre que la forma de sus energías cinética y potencial proporciona un modelo mejor para el movimiento de partículas, en lugar de una ecuación para la fuerza que actúa sobre él (esto es especialmente cierto para la descripción mecánica cuántica de partículas como electrones o átomos).

Podemos ilustrar algunas de las características más simples de este enfoque basado en la energía considerando una partícula en movimiento unidimensional, con energía potencial $U(x)$ y ninguna interacción no conservativa presente. La ecuación 8.12 y la definición de velocidad requieren

Separa las variables $x$ y $t$ e integra, desde un tiempo inicial $t = 0$ a un tiempo arbitrario, para obtener

puedes desarrollar la integral en la Ecuación 8.14, luego resuelves para $x$ como una función de $t$.

Ejemplo 8.9

Aceleración constante

Usa la energía potencial $U(x) = - E(x/x_0)$, para $E \gt 0$, en la Ecuación 8.14 para encontrar la posición $x$ de una partícula en función del tiempo $t$.

Estrategia

Como sabemos cómo cambia la energía potencial en función de $x$, podemos sustituir a $U(x)$ en la ecuación 8.14, integrar y luego resolver para $x$. Esto da como resultado una expresión de $x$ como una función del tiempo con constantes de energía $E$, masa $m$ y la posición inicial $x_0$.

Solución

Siguiendo los primeros dos pasos sugeridos en la estrategia anterior,

Resolviendo para la posición, obtenemos $x(t) = x_0 - \frac12 (E/mx_0)t^2$.

Explicación

La posición en función del tiempo, para este potencial, representa un movimiento unidimensional con aceleración constante, $a = (E/mx_0)$, comenzando en reposo desde la posición $x_0$. Esto no es tan sorprendente, ya que esta es una energía potencial para una fuerza constante, $F = -dU/dx = E/x_0$, y $a = F \;m$.

Comprueba tu aprendizaje 8.9

Veremos otro ejemplo más apropiado físicamente del uso de la ecuación 8.13 después de haber explorado algunas implicaciones adicionales que pueden extraerse de la forma funcional de la energía potencial de una partícula.

Sistemas con varias partículas u objetos

Los sistemas generalmente consisten en más de una partícula u objetos. Sin embargo, la conservación de la energía mecánica, en una de las formas de la Ecuación 8.12 o la Ecuación 8.13, es una ley fundamental de la física y se aplica a cualquier sistema. Solo debes incluir las energías cinéticas y potenciales de todas las partículas y el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservadoras que actúan sobre ellas.

Hasta que aprendas más acerca de la dinámica de los sistemas compuestos de muchas partículas, en momento lineal y colisiones, rotación de eje fijo y momento angular, es mejor posponer la discusión sobre la aplicación de la conservación de energía hasta ese momento.

Diagramas de energía potencial y estabilidad

A menudo, puedes obtener una gran cantidad de información útil sobre el comportamiento dinámico de un sistema mecánico, simplemente interpretando un gráfico de su energía potencial en función de la posición, llamado diagrama de energía potencial. Esto se logra más fácilmente para un sistema unidimensional, cuya energía potencial se puede trazar en un gráfico de dos dimensiones, por ejemplo, $U(x)$ versus $x$, en una hoja de papel o un programa de computadora. Para sistemas cuyo movimiento está en más de una dimensión, el movimiento debe estudiarse en un espacio tridimensional. Simplificaremos nuestro procedimiento solo para movimiento unidimensional.

Primero, veamos un objeto, que cae verticalmente, cerca de la superficie de la Tierra, en ausencia de resistencia al aire.

La energía mecánica del objeto se conserva, $E = K + U$, y la energía potencial, con respecto a cero en el nivel del suelo, es $U(y) = mgy$, que es una línea recta a través del origen con pendiente mg. En el gráfico que se muestra en la Figura 8.10, el eje $x$ es la altura sobre el suelo y el eje $y$ es la energía del objeto.

La línea en la energía $E$ representa la energía mecánica constante del objeto, mientras que las energías cinéticas y potenciales, $K_A$ y $U_A$, se indican a una altura particular $y_A$. Puedes ver cómo la energía total se divide entre la energía cinética y potencial a medida que cambia la altura del objeto.

Como la energía cinética nunca puede ser negativa, existe una energía potencial máxima y una altura máxima, que un objeto con la energía total dada no puede exceder:

Si usamos el punto de referencia de energía potencial gravitacional de cero en $y_0$, podemos reescribir la energía potencial gravitacional $U$ como $mgy$. Resolviendo para y obtenemos

Notamos en esta expresión que la cantidad de energía total dividida por el peso ($mg$) se encuentra a la altura máxima de la partícula, o $y_{max}$. A la altura máxima, la energía cinética y la velocidad son cero, por lo que si el objeto estuviera inicialmente viajando hacia arriba, su velocidad pasaría a cero allí, y $y_{max}$ sería un punto de inflexión en el movimiento. A nivel del suelo, $y_0 = 0$, la energía potencial es cero, y la energía cinética y la velocidad son máximas:

La velocidad máxima $\pm v_0$ da la velocidad inicial necesaria para alcanzar $y_{max}$, la altura máxima, y $-v_0$ representan la velocidad final, después de caer desde $y_{max}$. Puedes leer toda esta información, y más, del diagrama de energía potencial que hemos mostrado.

Considera un sistema resorte-masa en una superficie horizontal, en reposo y sin fricción, de modo que la gravedad y la fuerza de contacto normal no funcionen y puedan ignorarse (Figura 8.11).

Esto es como un sistema unidimensional, cuya energía mecánica E es una constante y cuya energía potencial, con respecto a la energía cero, en el desplazamiento cero, desde la longitud no estirada del resorte $x = 0$, es $$U(x) = \frac12 kx^2$$

Puedes leer el mismo tipo de información del diagrama de energía potencial en este caso, como en el caso del cuerpo en caída libre vertical,

pero dado que la energía potencial del resorte describe una fuerza variable, puedes aprender más de este gráfico. En cuanto al objeto en caída libre vertical, puedes deducir el rango de movimiento permitido físicamente y los valores máximos de distancia y velocidad, desde los límites de la energía cinética, $0 \le K \le E$.

Por lo tanto, $K = 0$ y $U = E$ en un punto de inflexión, de los cuales hay dos para la energía potencial del resorte elástico,

El movimiento del parapente se limita a la región entre los puntos de inflexión, $-x_{max} \le x \le x_{max}$. Esto es cierto para cualquier valor (positivo) de $E$ porque la energía potencial no tiene límites con respecto a $x$.

Por esta razón, además de la forma de la curva de energía potencial, $U(x)$ recibe el nombre de fuente potencial infinita. En la parte inferior de la fuente potencial, $x = 0, U = 0$ y la energía cinética es un máximo, $K = E$, entonce $v_{max} = \pm \sqrt{2E/m}$.

Sin embargo, desde la pendiente de esta curva de energía potencial, también puedes deducir información sobre la fuerza sobre el parapente y su aceleración. Vimos anteriormente que el negativo de la pendiente de la energía potencial es la fuerza del resorte, que en este caso también es la fuerza neta, y por lo tanto es proporcional a la aceleración. Cuando $x = 0$, la pendiente, la fuerza y ​​la aceleración son todas cero, por lo que este es un punto de equilibrio. El negativo de la pendiente, en cualquier lado del punto de equilibrio, da una fuerza que apunta hacia atrás al punto de equilibrio, $F = \pm kx$, por lo que el equilibrio se denomina estable y la fuerza se llama fuerza de restauración. Esto implica que $U(x)$ tiene un mínimo relativo allí. Si la fuerza en cualquier lado de un punto de equilibrio tiene una dirección opuesta a esa dirección de cambio de posición, el equilibrio se denomina inestable, y esto implica que $U(x)$ tiene un máximo relativo allí.

Ejemplo 8.10

Diagrama de energía potencial cuártica y cuadrática

La energía potencial para una partícula sometida a movimiento unidimensional a lo largo del eje $x$ es $U(x) = 2(x^4 - x^2)$, donde $U$ está en joules y $x$ está en metros. La partícula no está sujeta a ninguna fuerza no conservativa y su energía mecánica es constante en $E = -0.25J$. (a) ¿El movimiento de la partícula está limitado a cualquier región en el eje x, y si es así, cuáles son? (b) ¿Hay algún punto de equilibrio? De ser así, ¿dónde están y son estables o inestables?

Estrategia

Primero, necesitamos graficar la energía potencial como una función de $x$. La función es cero en el origen, se vuelve negativa a medida que x aumenta en las direcciones positiva o negativa ($x^2$ es mayor que $x^4$ para $x \lt 1$), y luego se vuelve positiva en $|x|$ suficientemente grande. La gráfica debe verse como un doble pozo potencial, con los ceros determinados al resolver la ecuación $U(x) = 0$, y los extremos determinados examinando la primera y segunda derivadas de $U(x)$, como se muestra en la Figura 8.12

Puedes encontrar los valores de (a) las regiones permitidas a lo largo del eje $x$, para el valor dado de la energía mecánica, a partir de la condición de que la energía cinética no puede ser negativa, y (b) los puntos de equilibrio y su estabilidad de las propiedades de la fuerza (estable para un mínimo relativo e inestable para un máximo relativo de energía potencial).

Puedes simplemente observar el gráfico para obtener respuestas cualitativas a las preguntas de este ejemplo. Eso, después de todo, es el valor de los diagramas de energía potenciales. Puedes ver que hay dos regiones permitidas para el movimiento ($E \gt U$) y tres puntos de equilibrio (pendiente $dU/dx = 0$), de los cuales el central es inestable ($d^2U/dx^2 \lt 0$), y los otros dos son estable ($d^2U/dx^2 \gt 0$).

Solución

a. Para encontrar las regiones permitidas para $x$, usamos la condición

Si completamos el cuadrado en $x^2$, esta condición se simplifica a $2\Big(x^2 -\frac12\Big)^2\le \frac14$, que podemos resolver para obtener

Esto representa dos regiones permitidas, $x_p \le x \le x_R$ y $-x_R \le x \le -x_p$, donde $x_p = 0.38$ y $x_R = 0.92$ (en metros).

b. Para encontrar los puntos de equilibrio, resolvemos la ecuación

y encontramos $x = 0$ y $x = \pm x_Q$, donde $x_Q = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.707$ (metros). La segunda derivada

es negativa en $x = 0$, por lo que esa posición es un máximo relativo y el equilibrio allí es inestable. La segunda derivada es positiva en $x = \pm x_Q$, por lo que estas posiciones son mínimas relativas y representan equilibrios estables.

Explicación

La partícula en este ejemplo puede oscilar en la región permitida sobre cualquiera de los dos puntos de equilibrio estables que encontramos, pero no tiene suficiente energía para escapar de cualquier potencial en el que se encuentre inicialmente.

La conservación de la energía mecánica y las relaciones entre la energía cinética y la velocidad, y la energía y fuerza potenciales, te permiten deducir mucha información sobre el comportamiento cualitativo del movimiento de una partícula, así como también cierta información cuantitativa, a partir de un gráfico de su energía potencial.

Comprueba tu aprendizaje 8.10

Ejemplo 8.11

Oscilaciones sinusoidales

Encuentra $x(t)$ para una partícula que se mueve con una energía mecánica constante $E \gt 0$ y una energía potencial $U(x) = \frac12 kx^2$, cuando la partícula comienza desde el reposo en el tiempo $t = 0$.

Estrategia

Seguimos los mismos pasos que en el ejemplo 8.9. Sustituye la energía potencial U por la ecuación 8.14 y resta las constantes, como $m$ o $k$. Integra la función y resuelve la expresión resultante para la posición, que ahora es una función del tiempo.

A partir de las condiciones iniciales en $t = 0$, la energía cinética inicial es cero y la energía potencial inicial es $\frac12 kx_0^2 = E$, desde donde se puede ver que $x_0/\sqrt{(2E / k)} = \pm 1$ y $sen^{-1}(\pm 1) = \pm 90\degree$. Ahora puedes resolver x:

Explicación

Unos pocos párrafos antes, nos referimos a este sistema de masa-resorte como un ejemplo de un oscilador armónico. Aquí, anticipamos que un oscilador armónico ejecuta oscilaciones sinusoidales con un desplazamiento máximo de $\sqrt{(2E/k)}$ (llamado amplitud) y una tasa de oscilación de $(1/2\pi)\sqrt{k/m}$ (llamada la frecuencia).

Comprueba tu aprendizaje 8.11

Fuentes de energía

En este capítulo, hemos estudiado la energía. Aprendimos que la energía puede tomar diferentes formas y puede transferirse de una forma a otra. Encontrarás que la energía se discute en muchos contextos cotidianos, así como científicos, porque está involucrada en todos los procesos físicos.

También será evidente que muchas situaciones se entienden mejor, o se conceptualizan más fácilmente, al considerar la energía. Hasta el momento, ningún resultado experimental ha contradicho la conservación de la energía. De hecho, cada vez que las medidas parecen estar en conflicto con la conservación de energía, se han descubierto o reconocido nuevas formas de energía de acuerdo con este principio.

¿Cuáles son algunas otras formas de energía? Muchas de éstas serán cubiertas en capítulos posteriores (también observa la Figura 8.13), pero detallemos algunas aquí:

• Los átomos y moléculas dentro de todos los objetos están en movimiento aleatorio. La energía cinética interna de estos movimientos aleatorios se llama energía térmica, porque está relacionada con la temperatura del objeto. Ten en cuenta que la energía térmica también puede ser transferida de un lugar a otro, no transformada o convertida, por los procesos familiares de conducción, convección y radiación. En este caso, la energía se conoce como energía térmica.
• La energía eléctrica es una forma común que se convierte en muchas otras formas y funciona en una amplia gama de situaciones prácticas.
• Los combustibles, como la gasolina y los alimentos, tienen energía química, que es energía potencial que surge de su estructura molecular. La energía química se puede convertir en energía térmica por reacciones como la oxidación. Las reacciones químicas también pueden producir energía eléctrica, como en las baterías. La energía eléctrica puede, a su vez, producir energía térmica y luz, como en un calentador eléctrico o una bombilla de luz.
• La luz es solo un tipo de radiación electromagnética o energía radiante, que también incluye radio, infrarrojo, ultravioleta, rayos X y rayos gamma. Todos los cuerpos con energía térmica pueden irradiar energía en ondas electromagnéticas.
• La energía nuclear proviene de reacciones y procesos que convierten cantidades medibles de masa en energía. La energía nuclear se transforma en energía radiante en el Sol, en energía térmica en las calderas de las centrales nucleares y luego en energía eléctrica en los generadores de las centrales eléctricas. Estas y todas las otras formas de energía pueden transformarse entre sí y, hasta cierto punto, pueden convertirse en trabajo mecánico.

La transformación de la energía de una forma a otra ocurre todo el tiempo. La energía química en los alimentos se convierte en energía térmica a través del metabolismo; la energía de la luz se convierte en energía química a través de la fotosíntesis. Otro ejemplo de conversión de energía ocurre en una célula solar.

La luz solar que incide en una célula solar produce electricidad, que puede usarse para hacer funcionar motores eléctricos o calentar agua. En un ejemplo que abarca muchos pasos, la energía química contenida en el carbón se convierte en energía térmica, ya que se quema en un horno, para transformar el agua en vapor, en una caldera.

Parte de la energía térmica del vapor se convierte luego en energía mecánica a medida que se expande y hace girar una turbina, que está conectada a un generador para producir energía eléctrica. En estos ejemplos, no toda la energía inicial se convierte en las formas mencionadas, porque parte de la energía siempre se transfiere al entorno.

La energía es un elemento importante en todos los niveles de la sociedad. Vivimos en un mundo muy interdependiente, y el acceso a recursos energéticos adecuados y confiables es crucial para el crecimiento económico y para mantener la calidad de nuestras vidas. Los principales recursos energéticos utilizados en el mundo se muestran en la Figura 8.14.

La figura distingue entre dos tipos principales de fuentes de energía: renovables y no renovables, y además divide cada tipo en unos pocos tipos más específicos. Las fuentes renovables son fuentes de energía que se reponen a través de procesos continuos que se producen de manera natural, en una escala de tiempo que es mucho más corta que la vida anticipada de la civilización que usa la fuente. Las fuentes no renovables se agotan una vez que parte de la energía que contienen se extrae y se convierte en otros tipos de energía.

Los procesos naturales mediante los cuales se forman las fuentes no renovables generalmente se llevan a cabo a lo largo de escalas de tiempo geológicas.

Nuestras fuentes de energía no renovables más importantes son los combustibles fósiles, como el carbón, el petróleo y el gas natural. Estos representan alrededor del 81% del consumo de energía del mundo, como se muestra en la figura. La quema de combustibles fósiles crea reacciones químicas que transforman la energía potencial, en las estructuras moleculares de los reactivos, en energía térmica y productos. Esta energía térmica puede usarse para calentar edificios o para operar maquinaria impulsada por vapor. La combustión interna y los motores a reacción convierten parte de la energía de los gases en rápida expansión, liberados de la gasolina en llamas, en trabajo mecánico.

La generación de energía eléctrica se deriva principalmente de la transferencia de energía en la expansión de vapor, a través de turbinas, al trabajo mecánico, que rota las bobinas de alambre en los campos magnéticos para generar electricidad. La energía nuclear es la otra fuente no renovable que se muestra en la Figura 8.14 y suministra aproximadamente el $3\%$ del consumo mundial. Las reacciones nucleares liberan energía al transformar la energía potencial, en la estructura de los núcleos, en energía térmica, análoga a la liberación de energía en las reacciones químicas. La energía térmica obtenida a partir de las reacciones nucleares puede transferirse y convertirse en otras formas de la misma manera que se utiliza la energía de los combustibles fósiles.

Cuatro de las fuentes de energía renovables enumeradas en la Figura 8.14: las que utilizan material de las plantas como combustible (calor de biomasa, etanol, biodiesel y electricidad de biomasa) implican los mismos tipos de transformaciones y conversiones de energía que se han discutido para los combustibles fósiles y nucleares. Los otros tipos principales de fuentes de energía renovables son la energía hidráulica, eólica, geotérmica y solar.

Un desafortunado subproducto de depender de la energía producida por la combustión de combustibles fósiles es la liberación de dióxido de carbono en la atmósfera y su contribución al calentamiento global. La energía nuclear también plantea problemas medioambientales, incluida la seguridad y la eliminación de los residuos nucleares. Además de estas importantes consecuencias, las reservas de fuentes de energía no renovables son limitadas y, dado el rápido crecimiento de la tasa de consumo mundial de energía, pueden no durar más de unos cientos de años. Se está realizando un esfuerzo considerable para desarrollar y expandir el uso de fuentes de energía renovables, involucrando a un porcentaje significativo de los físicos e ingenieros del mundo.

La energía hidroeléctrica se produce al convertir la energía potencial gravitacional del agua que cae o fluye en energía cinética y luego en el trabajo para hacer funcionar generadores eléctricos o maquinaria. La conversión de la energía mecánica en las olas y mareas de la superficie del océano está en desarrollo. La energía eólica también convierte la energía cinética en trabajo, que puede usarse directamente para generar electricidad, operar molinos y propulsar veleros.

El interior de la Tierra tiene una gran cantidad de energía térmica, parte de la cual queda de su formación original (energía potencial gravitatoria convertida en energía térmica) y parte de la cual se libera de minerales radioactivos (una forma de energía nuclear natural).

Tomará mucho tiempo para que esta energía geotérmica escape al espacio, por lo que la gente generalmente la considera como una fuente renovable, cuando en realidad es inagotable en escalas de tiempo humanas.

La fuente de energía solar es la energía transportada por las ondas electromagnéticas radiadas por el Sol. La mayor parte de esta energía es transportada por la luz visible y la radiación infrarroja (calor). Cuando los materiales adecuados absorben las ondas electromagnéticas, la energía radiante se convierte en energía térmica, que puede usarse para calentar agua o, cuando se concentra, para producir vapor y generar electricidad (Figura 8.15). Sin embargo, en otro proceso físico importante, conocido como efecto fotoeléctrico, la radiación energética que incide sobre ciertos materiales se convierte directamente en electricidad. Los materiales que hacen esto se llaman fotovoltaicos. Algunos sistemas de energía solar usan lentes o espejos para concentrar los rayos del sol, antes de convertir su energía mediante energía fotovoltaica.

A medida que terminamos este capítulo sobre la energía y el trabajo, es relevante hacer algunas distinciones entre dos términos a veces mal entendidos en el área del uso de la energía. Como mencionamos anteriormente, la "ley de la conservación de la energía" es un principio muy útil para analizar los procesos físicos. No se puede probar a partir de principios básicos, pero es un muy buen dispositivo de contabilidad, y nunca se han encontrado excepciones. Establece que la cantidad total de energía en un sistema aislado siempre permanece constante. Relacionado con este principio, pero notablemente diferente de él, está la filosofía importante de la conservación de la energía. Este concepto tiene que ver con buscar disminuir la cantidad de energía utilizada por un individuo o grupo mediante la reducción de actividades (por ejemplo, bajar termostatos, conducir menos kilómetros) y/o aumentar las eficiencias de conversión en el

desempeño de una tarea particular, como el desarrollo y el uso de calentadores de ambiente más eficientes, automóviles con mayor calificación de millas por galón, luces fluorescentes compactas de bajo consumo, etc.

Dado que la energía en un sistema aislado no se destruye, crea ni genera, puedes preguntarte por qué debemos preocuparnos por nuestros recursos energéticos, ya que la energía es una cantidad conservada. El problema es que el resultado final de la mayoría de las transformaciones de energía es el calor residual, es decir, el trabajo que se ha "degradado" en la transformación de energía.

Preguntas y respuestas - Capítulo VIII

Respuestas

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Introducción

Los conceptos de trabajo, energía y el teorema del trabajo-energía son valiosos por dos razones principales: Primero, son poderosas herramientas computacionales, lo que hace que sea mucho más fácil analizar sistemas físicos complejos de lo que es posible usando las leyes de Newton directamente (por ejemplo, sistemas con fuerzas no constantes); y segundo, la observación de que la energía total de un sistema cerrado se conserva significa que el sistema solo puede evolucionar de manera consistente con la conservación de energía.

En otras palabras, un sistema no puede evolucionar al azar; solo puede cambiar de manera que se conserve la energía.

En este capítulo, desarrollamos y definimos otra cantidad conservada, llamada momentum lineal, y otra relación (el teorema impulso-momento), que impondrá una restricción adicional sobre cómo evoluciona un sistema en el tiempo.

La conservación del impulso es útil para comprender las colisiones, como la que se muestra en la imagen de arriba. Es igual de poderoso, igual de importante y tan útil como la conservación de la energía y el teorema del trabajo-energía.

Momento lineal

Nuestro estudio de la energía cinética mostró que una comprensión completa del movimiento de un objeto debe incluir tanto su masa como su velocidad ($K = (1/2)mv^2$). Sin embargo, por poderoso que sea este concepto, no incluye información sobre la dirección del vector de velocidad del objeto en movimiento. Definiremos ahora una cantidad física que incluye dirección.

Al igual que la energía cinética, esta cantidad incluye tanto masa como velocidad; como la energía cinética, es una forma de caracterizar la "cantidad de movimiento" de un objeto. Se le da el nombre de momento lineal o momentum (de la palabra latina movimentum, que significa "movimiento"), y está representado por el símbolo p.

Como se muestra en la Figura 9.2, el momento lineal es una cantidad vectorial (ya que la velocidad lo es). Esta es una de las cosas que hace que el momentum sea útil y no una duplicación de energía cinética.

Tal vez sea más útil para determinar si el movimiento de un objeto es difícil de cambiar (Figura 9.3) o fácil de cambiar (Figura 9.4).

A diferencia de la energía cinética, el momentum depende igualmente de la masa y la velocidad de un objeto. Por ejemplo, como aprenderás cuando estudies termodinámica, la velocidad promedio de una molécula de aire a temperatura ambiente es de aproximadamente $500 m/s$, con una masa molecular promedio de $6 \times 10^{-25} kg$; su momentum es así

En comparación, un automóvil típico podría tener una velocidad de solo $15 m/s$, pero una masa de $1400 kg$, dándole un momentum deEn este capítulo usaremos como equivalentes, las expresiones momentum, momento lineal o simplemente la palabra momento.

¡Estos momentos son diferentes en $27$ órdenes de magnitud, o un factor de un billón de billones de billones!

Impulso y colisiones

Hemos definido el momento lineal como el producto de la masa y la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad de un objeto debe cambiar (debido a la aplicación de una fuerza sobre el objeto), entonces necesariamente, su moementum cambia también. Esto indica una conexión entre el momento y la fuerza. El propósito de esta sección es explorar y describir esa conexión.

Supongamos que aplicas una fuerza sobre un objeto libre durante cierto tiempo. Claramente, cuanto mayor sea la fuerza, mayor será el cambio de momentum del objeto.

Alternativamente, cuanto más tiempo pases gastando esta fuerza, nuevamente, mayor será el cambio de momento, como se muestra en la Figura 9.5. La cantidad por la cual cambia el movimiento del objeto es, por lo tanto, proporcional a la magnitud de la fuerza, y también al intervalo de tiempo sobre el que se aplica la fuerza.

Matemáticamente, si una cantidad es proporcional a dos (o más) cosas, entonces es proporcional al producto de esas cosas. El producto de una fuerza y un intervalo de tiempo (sobre el que actúa esa fuerza) se llama impulso, y se le da el símbolo $\bold{\vec{J}}$.

El impulso total en el intervalo $t_f - t_i$ es

Las ecuaciones 9.2 y 9.3 juntas dicen que cuando se aplica una fuerza para un intervalo de tiempo infinitesimal $dt$, causa un impulso infinitesimal $d\bold{\vec{J}}$, y el impulso total dado al objeto se define como la suma (integral) de todos estos impulsos infinitesimales.

Para calcular el impulso usando la Ecuación 9.3, necesitamos conocer la función de fuerza $F(t)$, que a menudo no lo hacemos. Sin embargo, un resultado del cálculo es útil aquí: recuerda que el valor promedio de una función en algún intervalo se calcula mediante

donde $\Delta x = x_f - x_i$.

Por lo tanto, de la Ecuación 9.3,

La idea aquí es que puedes calcular el impulso sobre el objeto incluso si no conoces los detalles de la fuerza en función del tiempo; solo necesitas la fuerza promedio. De hecho, sin embargo, el proceso generalmente se invierte: tu determinas el impulso (por medición o cálculo) y luego calculas la fuerza promedio que causó ese impulso.

Para calcular el impulso, se obtiene un resultado útil al escribir la fuerza en la ecuación 9.3 como $\bold{\vec{F}}(t) = m\bold{\vec{a}}(t)$:

Para una fuerza constante $\bold{\vec{F}}_{prom} = \bold{\vec{F}} = m\bold{\vec{a}}$, esto se simplifica a

Esto es

Ten en cuenta que la forma integral, Ecuación 9.3, también se aplica a las fuerzas constantes; en ese caso, dado que la fuerza es independiente del tiempo, sale de la integral, que luego puede evaluarse trivialmente.

Ejemplo 9.1

El cráter del Meteoro de Arizona

Aproximadamente hace $$50,000$ años, un meteorito de hierro y níquel grande (radio de $25 m$) colisionó con la Tierra a una velocidad estimada de $1,28 \times 10^4 m/s$ en lo que ahora es el desierto del norte de Arizona, en los Estados Unidos. El impacto produjo un cráter que aún es visible hoy en día (Figura 9.7); tiene aproximadamente $1200 m$ (tres cuartos de milla) de diámetro, $170 m$ de profundidad, y tiene un borde que se eleva $45 m$ por encima de la planicie desértica circundante. Los meteoritos de hierro y níquel suelen tener una densidad de $\rho = 7970 kg/m^3$.

Usa las consideraciones de impulso para estimar la fuerza promedio y la fuerza máxima que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto.

Estrategia

Es conceptualmente más fácil revertir la pregunta y calcular la fuerza que la Tierra aplicó al meteoro para detenerlo. Por lo tanto, calcularemos la fuerza sobre el meteoro y luego usaremos la tercera ley de Newton para argumentar que la fuerza del meteoro en la Tierra fue igual en magnitud y opuesta en la dirección.

Usando los datos dados sobre el meteoro, y haciendo conjeturas razonables sobre la forma del meteoro y el tiempo de impacto, primero calculamos el impulso usando la Ecuación 9.6. Luego usamos la relación entre fuerza e impulso (Ecuación 9.5) para estimar la fuerza promedio durante el impacto.

A continuación, seleccionamos una función de fuerza razonable para el evento de impacto, calculamos el valor promedio de esa función (Ecuación 9.4) y establecemos que la expresión resultante es igual a la fuerza promedio calculada. Esto nos permite hallar la fuerza máxima.

Solución

Define hacia arriba como la dirección y positiva. Para simplificar, supón que el meteoro viaja verticalmente hacia abajo antes del impacto. En ese caso, su velocidad inicial es $\bold{\vec{v}}_i = -v_i \^{\bold{j}}$, y la fuerza que ejerce la Tierra sobre los puntos del meteoro hacia arriba,
$\bold{\vec{F}}(t) = + F(t) \^{\bold{j}}$. La situación en t = 0 se representa a continuación.

De la ecuación 9.6, $\bold{\vec{F}} = m \Delta \bold{\vec{v}}$, entonces tenemos

La masa es igual al producto de la densidad del meteoro y su volumen:

Si asumimos que el meteorito era más o menos esférico, tenemos

Así obtenemos

El problema dice que la velocidad en el impacto fue $-1.28 \times 10^4 m/s\^{\bold{j}}$ (la velocidad final es cero); también, suponemos que el impacto primario duró aproximadamente $t_{max} = 2s$. Sustituyendo estos valores obtenemos:

Esta es la fuerza promedio aplicada durante la colisión.

Observa que este vector de fuerza apunta en la misma dirección que el cambio del vector de velocidad $\Delta \bold{\vec{v}}$.

A continuación, calculamos la fuerza máxima. El impulso está relacionado con la función de fuerza por

Necesitamos hacer una elección razonable para la fuerza en función del tiempo. Definimos $t = 0$ como el momento en que el meteorito toca el suelo por primera vez. Entonces suponemos que la fuerza es máxima en el impacto y rápidamente cae a cero. Una función que hace esto es

(El parámetro $\tau$ representa la rapidez con que la fuerza disminuye a cero). La fuerza promedio es

donde $\Delta t = t_{máx} - 0 s$. Como ya tenemos un valor numérico para $F_{prom}$, podemos usar el resultado de la integral para obtener $F_{máx}$.

Elegir $\tau = \frac{1}{e} t_{max}$ (esta es una opción común, como verás en los capítulos posteriores), y adivinar que $t_{max} = 2s$, esta integral se evalúa como

Por lo tanto, la fuerza máxima tiene una magnitud de

La función de fuerza completa, incluida la dirección, es

Esta es la fuerza que la Tierra aplicó al meteoro; según la tercera ley de Newton, la fuerza que el meteorito aplica a la Tierra es

Explicación

El gráfico de esta función contiene información importante. Vamos a graficar (la magnitud de) tanto esta función como la fuerza promedio juntas (Figura 9.8).

Observa que el área debajo de cada gráfico se ha rellenado. Para el gráfico de la fuerza (constante) $F_{prom}$, el área es un rectángulo, correspondiente a $F_{prom}\Delta t = J$. En cuanto a la representación de $F(t)$, recuerda del cálculo que el área bajo la representación de una función es numéricamente igual a la integral de esa función, durante el intervalo especificado; entonces aquí, eso es $\displaystyle\int_0^{t_{max}} F(t)dt = J$$

Por lo tanto, las áreas son iguales, y ambas representan el impulso que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto de dos segundos. La fuerza promedio en la Tierra suena como una gran fuerza, y lo es.

Sin embargo, la Tierra apenas lo notó. La aceleración que obtuvo la Tierra fue solo

que es completamente inconmensurable. Dicho esto, el impacto creó ondas sísmicas que hoy en día podrían ser detectadas por modernos equipos de monitoreo.

Las preocupaciones en torno a las colisiones con asteroides mantienen en alerta a científicos de todo el mundo.

La Universidad de Purdue ha diseñado un programa (Earth Impact Effects) para estimar las consecuencias ambientales de un cometa o impacto de un asteroide en la Tierra. El programa requiere seis entradas: diámetro del intruso galáctico, densidad, velocidad de impacto antes de la entrada atmosférica, ángulo de impacto, la distancia desde el impacto al que se deben calcular los efectos ambientales y el tipo de objetivo (roca sedimentaria, roca cristalina o una capa de agua sobre la roca). Se ilustra la utilidad del programa examinando las consecuencias ambientales previstas en los Estados Unidos de hipotéticos escenarios de impacto ocurriendo en Los Angeles. El efecto más devastador es la radiación térmica.

Hacemos un alto en nuestra ruta de aprendizaje, con un clon de un juego clásico de la empresa Atari, "Asteroids"Asteroids es un popular videojuego de arcade basado en vectores lanzado en 1979 por Atari. El objetivo del juego es disparar y destruir asteroides evitando chocar contra los fragmentos de estos. Fue uno de los juegos más populares de la Época Dorada de los videojuegos arcade. Asteroids fue inspirado por el juego Spacewar! (Wikipedia).. Haz clic sobre el juego y luego usa las teclas de dirección y la barra espaciadora. Esta emulación fue diseñada por Michael Waterworth.

Ejemplo 9.2

Los beneficios del impulso

Un automóvil que viaja a $27 m/s$ colisiona con un edificio. La colisión con el edificio hace que el automóvil se detenga en aproximadamente $1$ segundo. El conductor, que pesa $860 N$, está protegido por una combinación de cinturón de seguridad de tensión variable y una bolsa de aire (Figura 9.9). (En efecto, el conductor colisiona con el cinturón de seguridad y el airbag y no con el edificio.) El airbag y el cinturón de seguridad disminuyen su velocidad, de modo que se detiene en aproximadamente $2,5 s.$).

a. ¿Qué fuerza promedio experimenta el conductor durante la colisión?
b. Sin el cinturón de seguridad y el airbag, el tiempo de colisión (con el volante) habría sido de aproximadamente $0,20 s$. ¿Qué fuerza experimentaría en este caso?

Estrategia

a. Se nos da el peso del conductor, sus velocidades iniciales y finales, y el momento de la colisión; se nos pide que calculemos una fuerza. El impulso parece la forma correcta de abordar esto; podemos combinar la Ecuación 9.5 y la Ecuación 9.6.

Solución

a. Define la dirección $x+$ como la dirección en la que el automóvil se está moviendo inicialmente. Sabemos que

Igualando las dos expresiones anteriores, obtenemos:

Necesitamos convertir este peso a la masa equivalente, expresada en unidades del SI:

Recordando que $\Delta\bold{\vec{v}} = \bold{\vec{v}}_f - \bold{\vec{v}}_i$, y notando que la velocidad final es cero, hallamos la fuerza:

El signo negativo implica que la fuerza lo ralentiza. Para la perspectiva, esto es aproximadamente 1,1 veces su propio peso.

b. Es el mismo cálculo, solo el intervalo en tiempo diferente:

que es aproximadamente $14$ veces su propio peso. ¡Gran diferencia!

Explicación

Observa que el valor de un airbag es por la reducción de la fuerza en los ocupantes del vehículo. Por esta razón, se han requerido en todos los vehículos de pasajeros en los Estados Unidos desde 1991, y han sido un lugar común en toda Europa y Asia desde mediados de la década de 1990. El cambio de momento en un choque es el mismo, con o sin un airbag; la fuerza, sin embargo, es muy diferente.

Efecto del Impulso

Como un impulso es una fuerza que actúa durante cierto tiempo, hace que el movimiento de un objeto cambie. Retomando la ecuación 9.6:

Debido a que $m\bold{\vec{v}}$ es el impulso de un sistema, $m\Delta \bold{\vec{v}}$ es el cambio de momento $\Delta \bold{\vec{p}}$.

Esto nos da la siguiente relación, llamada el "teorema impulso-momento".

El teorema impulso-momento se representa gráficamente en la figura 9.10.

Hay dos conceptos cruciales en el teorema de impulso-momento:

1. El impulso es una cantidad vectorial; un impulso de, digamos, $- (10 N\cdot s)\^{\bold{i}}$ es muy diferente de un impulso de $+ (10 N\cdot s)\^{\bold{i}}$, pues causan cambios de impulso completamente opuestos.
2. Un impulso no causa momento, más bien, causa un cambio en el momento de un objeto. Por lo tanto, debes restar el momento final del momento inicial, y dado que el momento también es una cantidad vectorial, debes tener en cuenta cuidadosamente los signos de los vectores de momento.

Las preguntas más frecuentes formuladas en relación con el impulso son calcular la fuerza aplicada, o el cambio de velocidad que ocurre como resultado de la aplicación de un impulso.

El enfoque general es el mismo.

Ejemplo 9.3

Moviendo el Enterprise

"Señor Sulu, sáquenos, adelante un cuarto de impulso". Con este comando, el Capitán Kirk de la nave espacial Enterprise (Figura 9.11) hace que su nave comience desde el reposo hasta una velocidad final de $v_f = 1/4(3.0 \times 10^8 m/s)$. Suponiendo que esta maniobra se complete en $60 s$, ¿qué fuerza promedio aplicaron los motores de impulso a la nave?

Estrategia

Nos piden una fuerza, sabemos las velocidades inicial y final (y, por lo tanto, el cambio en la velocidad), y sabemos el intervalo de tiempo durante el cual sucedió todo esto.

En particular, sabemos la cantidad de tiempo que actuó la fuerza. Esto sugiere usar la relación o teorema impulso-momento. Para usarlo, sin embargo, necesitamos la masa de la Enterprise. Una búsqueda en Internet da una mejor estimación de la masa de la Enterprise (en la película de 2009) como $2 \times 10^9 kg$.

Solución

Debido a que este problema involucra solo una dirección (es decir, la dirección de la fuerza aplicada por los motores), solo necesitamos la forma escalar del teorema del impulso-momento Ecuación 9.7, que es

Igualando estas expresiones, obtenemos:

La resolución de la magnitud de la fuerza y la inserción de los valores dados conduce a

Explicación

Esta es una fuerza inmensamente inimaginable. Casi no hace falta decir que tal fuerza mataría a todos a bordo al instante, además de destruir todas las piezas del equipo. Afortunadamente, la empresa tiene "amortiguadores inerciales". Se deja como un ejercicio para que la imaginación del lector determine cómo funcionan.

Comprueba tu aprendizaje 9.1

Ejemplo 9.4

El iPhone cayendo

Apple lanzó su iPhone 6 Plus en noviembre de 2014. Según muchos informes, originalmente se suponía que tenía una pantalla hecha de zafiro, pero eso fue cambiado en el último minuto por una pantalla de vidrio endurecido. Según se informa, esto se debió a que la pantalla de zafiro se rompió cuando se cayó el teléfono. ¿Qué fuerza experimentó el iPhone 6 Plus como resultado de su lanzamiento?

Estrategia

La fuerza que experimenta el teléfono se debe al impulso que le aplica el piso cuando el teléfono colisiona con el piso. Nuestra estrategia entonces es usar la relación impulso-momento. Calculamos el impulso, estimamos el tiempo de impacto y lo usamos para calcular la fuerza.

Necesitamos hacer un par de estimaciones razonables, así como buscar datos técnicos del teléfono. Primero, supongamos que el teléfono se cae con más frecuencia desde la altura del pecho en una persona de estatura promedio.

En segundo lugar, supongamos que se abandona desde el reposo, es decir, con una velocidad vertical inicial de cero. Finalmente, suponemos que el teléfono rebota muy poco: se supone que la altura de su rebote es insignificante.

Solución

Define hacia arriba la dirección y positiva. Una altura típica es aproximadamente $h = 1.5 m$ y, como se dijo, $\bold{\vec{v}}_ = (0 m/s)\^{\bold{i}}$. La fuerza promedio en el teléfono está relacionada con el impulso que el piso aplica sobre él durante la colisión:

El impulso $\bold{\vec{J}}$ es igual al cambio en el momento,

Entonces:

El cambio de momento es

Necesitamos tener cuidado con las velocidades aquí, pues este es el cambio de velocidad debido a la colisión con el piso. Pero el teléfono también tiene una velocidad de caída inicial $\bold{\vec{v}}_i = (0 m/s)\^{\bold{j}}$, por lo que etiquetamos nuestras velocidades:

• $\bold{\vec{v}}_i$: la velocidad inicial con la que se cayó el teléfono (cero, en este ejemplo)
• $\bold{\vec{v}}_1$: la velocidad con la que el teléfono tuvo el instante justo antes de tocar el piso
• $\bold{\vec{v}}_2$: la velocidad final del teléfono como resultado de golpear el piso

La Figura 9.12 muestra las velocidades en cada uno de estos puntos en la trayectoria del teléfono.

Con estas definiciones, el cambio de momento del teléfono durante la colisión con el piso es

Como suponemos que el teléfono no rebota en absoluto cuando toca el suelo (o al menos, la altura de rebote es insignificante), entonces $\bold{\vec{v}}_2$ es cero, por lo que

Podemos obtener la velocidad del teléfono justo antes de que toque el piso usando la cinemática o la ley de la conservación de la energía. Utilizaremos la conservación de la energía aquí, deberías volver a hacer esta parte del problema usando la cinemática y demostrar que obtienes la misma respuesta.

Primero, define el cero de la energía potencial que se ubicará en el piso. La conservación de la energía nos da:

Definiendo $h_{piso} = 0$ y usando $\bold{\vec{v}}_i = (0 m/s)\^{\bold{j}}$ obtenemos:

Como $v_1$ es una magnitud vectorial, debe ser positiva. Por lo tanto, $m\Delta \bold{\vec{v}} = mv_1 = \sqrt{2gh_{caída}}$. Al insertar este resultado en la expresión de fuerza, obtenemos:

Finalmente, necesitamos estimar el tiempo de colisión. Una forma común de estimar el tiempo de colisión es calcular cuánto demoraría el objeto en recorrer su propia longitud. El teléfono se mueve a $5.4 m/s$ justo antes de tocar el piso, y tiene una longitud de $0.14 m$, dando un tiempo de colisión estimado de $0.026 s$. Al reemplazar los datos dados, obtenemos

Explicación

El iPhone pesa solo $(0.172 kg)(9.81 m/s^2) = 1.68N$, la fuerza que aplica el suelo es, por lo tanto, más de 20 veces su peso.

Comprueba tu aprendizaje 9.2

Momento y fuerza

En el ejemplo 9.3, obtuvimos una relación importante:

En otras palabras, la fuerza promedio aplicada a un objeto es igual al cambio del momento que causa la fuerza, dividido por el intervalo de tiempo durante el cual ocurre este cambio de momento. Esta relación es muy útil en situaciones donde el tiempo de colisión $\Delta t$ es pequeño, pero medible; los valores típicos serían $1/10$ de un segundo, o incluso una milésima de segundo. Los choques automovilísticos, el lanzamiento de una pelota de fútbol o las colisiones de partículas subatómicas cumplirían este criterio.

Para un momento continuamente cambiante, debido a una fuerza continuamente cambiante, esto se convierte en una poderosa herramienta conceptual. En el límite $\Delta t \to dt$, la ecuación 9.2 se convierte en:

Esto dice que la tasa de cambio del momento del sistema (lo que implica que el momento es una función del tiempo) es exactamente igual a la fuerza neta aplicada (también, en general, una función del tiempo). Esta es, de hecho, la segunda ley de Newton, escrita en términos de momento en lugar de aceleración.

Esta es la relación que el propio Newton presentó en su Principia Mathematica (aunque lo llamó "cantidad de movimiento" en lugar de "momento").

Si la masa del sistema permanece constante, la ecuación 9.3 se reduce a la forma más familiar de la segunda ley de Newton. Podemos ver esto sustituyendo la definición de momento:

La suposición de masa constante nos permitió sacar m de la derivada. Si la masa no es constante, no podemos usar esta forma de la segunda ley, sino que debemos comenzar desde la ecuación 9.3. Por lo tanto, una de las ventajas de expresar la fuerza en términos de cambio de momento es que permite cambiar la masa del sistema, así como la velocidad; este es un concepto que exploraremos cuando estudiemos el movimiento de los cohetes.

Aunque la ecuación 9.3 permite cambiar la masa, la relación entre momento y fuerza sigue siendo útil cuando la masa del sistema es constante, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9.5

Calculando una fuerza: Servicio de tenis de Venus Williams

Durante el Abierto de Francia de 2007, Venus Williams conectó el servicio más rápido registrado en un partido femenino de primer nivel, alcanzando una velocidad de $58 m/s$ ($209 km/h$). ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida sobre la pelota de tenis de $0,057 kg$ por la raqueta de Venus Williams? Supón que la velocidad de la bola justo después del impacto es de $58 m/s$, como se muestra en la figura 9.13, que la componente horizontal inicial de la velocidad antes del impacto es despreciable y que la bola permaneció en contacto con la raqueta durante 5.0 ms.

Estrategia

Este problema involucra solo una dimensión porque la pelota comienza sin tener un componente de velocidad horizontal antes del impacto. La segunda ley de Newton declarada en términos de momento se escribe como

Como se señaló anteriormente, cuando la masa es constante, el cambio en el momento está dado por

donde hemos usado escalares porque este problema involucra solo una dimensión. En este ejemplo, se dan la velocidad justo después del impacto y el intervalo de tiempo;

por lo tanto, una vez que $\Delta p$ se calcula, podemos usar $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ para encontrar la fuerza.

Solución

Para determinar el cambio en el momento, sustituye los valores para las velocidades inicial y final en la ecuación anterior:

Ahora la magnitud de la fuerza externa neta se puede determinar mediante el uso de

donde hemos retenido solo dos cifras significativas en el paso final.

Explicación

Esta cantidad fue la fuerza promedio ejercida por la raqueta de Venus Williams sobre la pelota de tenis durante su breve impacto (nótese que la bola también experimentó la fuerza de gravedad de $0,57 N$, pero esa fuerza no se debió a la raqueta). Este problema también podría resolverse encontrando primero la aceleración y luego usando F = ma, pero se requeriría un paso adicional en comparación con la estrategia utilizada en este ejemplo.

Conservación del momento lineal

Recuerda la tercera ley de Newton: cuando dos objetos de masas $m_1$ y $m_2$ interactúan (lo que significa que se aplican fuerzas entre sí), la fuerza que el objeto $2$ aplica al objeto $1$ es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza a la que aplica el objeto $1$ al objeto $2$:

• $\bold{\vec{F}}_{21}$: la fuerza en $m_1$ desde $m_2$
• $\bold{\vec{F}}_{12}$: la fuerza en $m_2$ desde $m_1$

Luego, en símbolos, la tercera ley de Newton dice

Recuerda que estas dos fuerzas no se cancelan porque se aplican a diferentes objetos. $F_{21}$ hace que $m_1$ se acelere, y $F_{12}$ hace que $m_2$ también se acelere).

Aunque las magnitudes de las fuerzas sobre los objetos son las mismas, las aceleraciones no lo son, simplemente porque las masas (en general) son diferentes. Por lo tanto, los cambios en la velocidad de cada objeto son diferentes:

Sin embargo, los productos de la masa y el cambio de velocidad son iguales (en magnitud):

Es una buena idea, en este punto, asegurarse de tener claro el significado físico de las derivadas en la Ecuación 9.3. Debido a la interacción, cada objeto termina obteniendo su velocidad cambiada, en una cantidad $dv$.

Además, la interacción se produce durante un intervalo de tiempo $dt$, lo que significa que el cambio de velocidades también se produce en dt. Este intervalo de tiempo es el mismo para cada objeto.

Supongamos, por el momento, que las masas de los objetos no cambian durante la interacción. En ese caso, podemos extraer las de las derivadas:

Por lo tanto,

Esto dice que la velocidad a la que cambia el momento es la misma para ambos objetos. Las masas son diferentes, y los cambios de velocidad son diferentes, pero la tasa de cambio del producto de $m$ y $\bold{\vec{v}}$ es la misma.

Físicamente, esto significa que durante la interacción de los dos objetos ($m_1$ y $m_2$), se cambia el momento de ambos objetos; pero esos cambios son idénticos en magnitud, aunque de signo opuesto.

Por ejemplo, el momento del objeto $1$ podría aumentar, lo que significa que el momento del objeto $2$ disminuye exactamente en la misma cantidad.

A la luz de esto, volvamos a escribir la Ecuación 9.12 en una forma más sugerente:

Esto dice que durante la interacción, aunque el momento del objeto $1$ cambia, y el momento del objeto $2$ también cambia, estos dos cambios se cancelan entre sí, de modo que el cambio total de momento de los dos objetos juntos es cero.

Como el momento total combinado de los dos objetos juntos nunca cambia, entonces podríamos escribir

de lo cual se deduce que

Como se muestra en la figura 9.14, el momento total del sistema antes y después de la colisión sigue siendo el mismo.

Al generalizar este resultado para $N$ objetos, obtenemos

La ecuación 9.17 es la definición del momento total (o neto) de un sistema de N objetos que interactúan, junto con la afirmación de que el momento total de un sistema de objetos es constante en el tiempo o, mejor aún, se conserva.

Requisitos para la conservación Momentum

Hay una complicación, sin embargo. Un sistema debe cumplir dos requisitos para que se conserve su impulso:

1. La masa del sistema debe permanecer constante durante la interacción.
   
   A medida que los objetos interactúan (se aplican fuerzas entre sí), pueden transferir masa de uno a otro; pero cualquier ganancia de un objeto en masa se equilibra con la pérdida de esa masa de otro. La masa total del sistema de objetos, por lo tanto, se mantiene sin cambios a medida que pasa el tiempo: $$\Big[\frac{dm}{dt}\Big]_{sistema} = 0$$
2. La fuerza externa neta en el sistema debe ser cero.
   
   Cuando los objetos colisionan o explotan y se mueven, ejercen fuerzas el uno sobre el otro. Sin embargo, todas estas fuerzas son internas al sistema, y ​​así cada una de estas fuerzas internas se equilibran con otra fuerza interna que es igual en magnitud y opuesta en signo. Como resultado, el cambio en el momento causado por cada fuerza interna es cancelado por otro cambio de momento que es igual en magnitud y opuesto en la dirección. Por lo tanto, las fuerzas internas no pueden cambiar el momento total de un sistema porque los cambios suman cero. Sin embargo, si hay alguna fuerza externa que actúa sobre todos los objetos (gravedad, por ejemplo, o fricción), entonces esta fuerza cambia el momento del sistema como un todo. Por lo tanto, para que se conserve el impulso del sistema, debemos tener

Se dice que un sistema de objetos que cumple estos dos requisitos es un sistema cerrado (también llamado sistema aislado). Por lo tanto, la forma más compacta de expresar esto se muestra a continuación.

Esta declaración se llama Ley de Conservación del Momento. Junto con la conservación de la energía, es uno de los fundamentos sobre los que se encuentra toda la física. Toda nuestra evidencia experimental respalda esta afirmación: desde los movimientos de los cúmulos galácticos hasta los quarks que forman el protón y el neutrón, y en todas las escalas intermedias. En un sistema cerrado, el momento total nunca cambia.

Ten en cuenta que absolutamente puede haber fuerzas externas que actúen en el sistema; pero para que el momento del sistema permanezca constante, estas fuerzas externas tienen que cancelarse, de modo que la fuerza externa neta sea cero. Las bolas de billar en una mesa tienen una fuerza de peso que actúa sobre ellas, pero las pesas están equilibradas (canceladas) por las fuerzas normales, por lo que no hay fuerza neta.

Practica en la siguiente escena interactiva, diseñada por Michele Mottini (cambia los tipos de movimiento en la opción test).

RPool

El significado de 'sistema'

Un sistema (mecánico) es la colección de objetos en cuyo movimiento (cinemática y dinámica) estás interesado. Si estás analizando el rebote de una pelota en el suelo, probablemente solo te interese el movimiento de la pelota, y no de la Tierra; por lo tanto, la pelota es tu sistema.

Si estás analizando un accidente automovilístico, los dos automóviles juntos componen tu sistema (Figura 9.15).

Ejemplo 9.6

Carros colisionantes

Dos carros en un laboratorio de física ruedan en una pista nivelada, con una fricción insignificante. Estos carros tienen pequeños imanes en sus extremos, de modo que cuando colisionan, se unen (Figura 9.16). El primer carro tiene una masa de $675$ gramos y está rodando a $0.75 m/s$ a la derecha; el segundo tiene una masa de $500$ gramos y está rodando a $1,33 m/s$, también a la derecha. Después de la colisión, ¿cuál es la velocidad de los dos carros unidos?

Estrategia

Tenemos una colisión. Nos dan masas y velocidades iniciales; se nos pide la velocidad final. Todo esto sugiere utilizar la conservación del momento como método de solución.

Sin embargo, solo podemos usarlo si tenemos un sistema cerrado. Entonces, debemos asegurarnos de que el sistema que elijamos no tenga una fuerza externa neta y que la colisión no cambie su masa.

Definir el sistema como los dos carros cumple con los requisitos para un sistema cerrado: la masa combinada de los dos carros ciertamente no cambia, y aunque los carros definitivamente ejercen fuerzas el uno sobre el otro, esas fuerzas son internas al sistema, entonces no cambia el momento del sistema como un todo. En la dirección vertical, los pesos de los carros son cancelados por las fuerzas normales en los carros de la pista.

Solución

La conservación del momento es

Define la dirección de tus vectores de velocidad inicial como la dirección $+ x$. El momento inicial es entonces

El momento final de los carros ahora vinculados es

Igualando

Sustituyendo los números dados:

Explicación

Los principios que se aplican aquí a dos carros de laboratorio se aplican de forma idéntica a todos los objetos de cualquier tipo o tamaño. Incluso para los fotones, los conceptos de momento y conservación del momento son aún crucialmente importantes incluso a esa escala (dado que no tienen masa, el momento de un fotón se define de manera muy diferente al momento de los objetos ordinarios. Aprenderás sobre esto cuando estudies la física cuántica).

Comprueba tu aprendizaje 9.3

Ejemplo 9.7

Un rebote Superball

Se deja caer una superball de $0.25 kg$ de masa desde el reposo desde una altura de $h = 1.50 m$ sobre el suelo. Rebota sin pérdida de energía y vuelve a su altura inicial (Figura 9.17).

a. ¿Cuál es el cambio de momento del superball durante su rebote en el piso?

b. ¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a que la pelota colisionó con el piso?
c. ¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión?

Este ejemplo muestra que debes tener cuidado al definir tu sistema.

Estrategia

Como solo nos preguntan sobre el cambio de momento de la pelota, definimos que nuestro sistema es la pelota.

Pero esto claramente no es un sistema cerrado; la gravedad aplica una fuerza hacia abajo sobre la bola mientras está cayendo, y la fuerza normal del piso aplica una fuerza durante el rebote. Por lo tanto, no podemos usar la conservación del momento como una estrategia.

En cambio, simplemente determinamos el momento de la pelota justo antes de que colisione con el piso y justo después, y calculamos la diferencia. Tenemos la masa de la bola, por lo que necesitamos sus velocidades.

Solución

a. Como este es un problema unidimensional, usamos la forma escalar de las ecuaciones:

• $p_0$: la magnitud del momento de la pelota en el momento $t_0$, el momento en que fue lanzado; ya que se cayó del reposo, esto es cero.
• $p_1$: la magnitud del momento de la pelota en el tiempo $t_1$, el instante justo antes de que toque el piso.
• $p_2$: la magnitud del momento de la pelota en el tiempo $t_2$, justo después de que pierde el contacto con el piso después del rebote.

El cambio de momento de la pelota es

La velocidad justo antes de que golpee el piso se puede determinar a partir de la conservación de la energía o la cinemática. Usamos cinemática aquí; deberías volver a resolverlo usando la conservación de la energía y confirmar que obtienes el mismo resultado.

Queremos la velocidad justo antes de que toque el suelo (en el momento $t_1$). Sabemos la velocidad inicial $v_0 = 0$ (en el tiempo $t_0$), la altura en que cae y su aceleración; no sabemos el tiempo de caída. Podríamos calcular eso, pero en cambio usamos

Por lo tanto, la pelota tiene un momento de

No tenemos una manera fácil de calcular el momento después del rebote. En cambio, razonamos desde la simetría de la situación.

Antes del rebote, la pelota comienza con velocidad cero y cae $1.50 m$ bajo la influencia de la gravedad, logrando cierta cantidad de momento justo antes de que toque el suelo. En el viaje de regreso (después del rebote), comienza con cierta cantidad de momento, sube los mismos 1,50 m que cayó y termina con velocidad cero. Por lo tanto, el movimiento después del rebote fue la imagen especular del movimiento antes del rebote. A partir de esta simetría, debe ser cierto que el momento de la bola después del rebote debe ser igual y opuesto a su momento antes del rebote (este es un argumento sutil pero crucial; asegúrate de entenderlo antes de continuar).

Por lo tanto

Por lo tanto, el cambio de velocidad de la bola durante el rebote es

b. ¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a que la pelota colisionó con el piso?

Tu respuesta instintiva bien pudo haber sido "cero"; la Tierra es demasiado grande para que esa pequeña bola la haya afectado "o posiblemente", más que cero, pero completamente insignificante.

Pero no, si redefinimos nuestro sistema para que sea Superball + Tierra, entonces este sistema está cerrado (despreciando los tirones gravitacionales del Sol, la Luna y los otros planetas del sistema solar), y por lo tanto, el cambio total de momento de este nuevo sistema debe ser cero. Por lo tanto, el cambio de momento de la Tierra es exactamente de la misma magnitud:

c. ¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión?

Aquí es donde tu sentimiento instintivo es probablemente correcto:

El cambio en la velocidad de la Tierra es completamente insignificante.

Explicación

Es importante darte cuenta que la respuesta a la parte (c) no es una velocidad; es un cambio de velocidad, que es algo muy diferente.

Sin embargo, para hacerte una idea de cuán pequeño es ese cambio de velocidad, supongamos que te estás moviendo con una velocidad de $4.7 \times 10^{-25} m/s$. A esta velocidad, te tomaría unos $7$ millones de años recorrer una distancia igual al diámetro de un átomo de hidrógeno.

Comprueba tu aprendizaje 9.4

Ejemplo 9.8

Hockey sobre hielo 1

Dos discos de hockey de masa idéntica se encuentran en una pista horizontal de hockey sobre hielo. El disco rojo está inmóvil; el disco azul se mueve a $2.5 m/s$ hacia la izquierda (Figura 9.18) y choca con el disco rojo inmóvil. Los discos tienen una masa de $15 g$. Después de la colisión, el disco rojo se mueve a $2.5 m/s$, hacia la izquierda. ¿Cuál es la velocidad final del disco azul?

Estrategia

Nos dicen que tenemos dos objetos en colisión, nos dicen las masas y las velocidades iniciales, y una velocidad final; se nos pide las dos velocidades finales. La conservación del momento parece una buena estrategia. Define el sistema para que sea los dos discos; no hay fricción, entonces tenemos un sistema cerrado.

Antes de mirar la solución, ¿cuál crees que será la respuesta?

La velocidad final del disco azul será:

• cero
• $2,5 m/s$ a la izquierda
• $2,5 m/s$ a la derecha
• $1.25 m/s$ a la izquierda
• $1.25 m/s$ a la derecha
• algo más

Solución

Define la dirección $+ x$ a la derecha. La conservación del momento sería:

Antes de la colisión, el momento del sistema es total y solo en el disco azul. Así,

(Recuerda que las masas de los discos son iguales.) Sustituyendo números:

Explicación

Evidentemente, los dos discos simplemente intercambiaron momento. El disco azul transfirió todo su momento al disco rojo. De hecho, esto es lo que sucede en una colisión similar donde $m_1 = m_2$.

Comprueba tu aprendizaje 9.5

Ejemplo 9.9

Aterrizaje del Philae

El 12 de noviembre de 2014, la Agencia Espacial Europea logró aterrizar una sonda llamada Philae en el Cometa 67P / Churyumov / Gerasimenko (Figura 9.19). Sin embargo, durante el aterrizaje, la sonda aterrizó tres veces, porque rebotó dos veces. Calculemos cuánto cambió la velocidad del cometa como resultado del primer rebote.

Definamos hacia arriba la dirección $+ y$, perpendicular a la superficie del cometa, y $y = 0$ en la superficie del cometa. Esto es lo que sabemos:

• La masa del Cometa 67P: $M_c = 1.0 \times 10 ^{13} kg$
• La aceleración debida a la gravedad del cometa: $\bold{\vec{a}} = - (5.0 \times 10^{-3} m/s^2\^{\bold{j}}$

• Masa del Philae: $M_p = 96 kg$
• Velocidad inicial de aterrizaje: $\bold{\vec{v}}_1 = - (1. m/s)\^{\bold{j}}$
• Velocidad inicial hacia arriba debido al primer rebote:
  $\bold{\vec{v}}_2 = (0.3 8m/s)\^{\bold{j}}$
• Tiempo de impacto del aterrizaje: $\Delta t = 1.3 s$

Estrategia

Nos preguntan cuánto cambió la velocidad del cometa, pero no sabemos mucho sobre el cometa, más allá de su masa y la aceleración que causa su gravedad. Sin embargo, se nos dice que el módulo de aterrizaje del Philae colisiona con el cometa y rebota en él. Una colisión sugiere el momento como una estrategia para resolver este problema.

Si definimos un sistema que consta del Philae y el Cometa 67 / P, entonces no existe una fuerza externa neta en este sistema, y por lo tanto se conserva el momento de este sistema (despreciaremos la fuerza gravitatoria del sol). Por lo tanto, si calculamos el cambio de momento del módulo de aterrizaje, automáticamente tendremos el cambio de momento del cometa. Además, el cambio de velocidad del cometa está directamente relacionado con su cambio de momento como resultado de que el módulo de aterrizaje "colisiona" con él.

Solución

Deja que $\bold{\vec{p}}_1$ sea el momento del Philae en el momento justo antes de la toma de contacto, y $\bold{\vec{p}}_2$ sea su momento justo después del primer rebote. Entonces su momento justo antes del aterrizaje fue

y justo después fue

Por lo tanto, el cambio de momento del módulo de aterrizaje durante el primer rebote es

Observa cuán importante es incluir el signo negativo del momento inicial.

Ahora para el cometa. Como el momento del sistema debe conservarse, el momento del cometa cambió exactamente por el negativo de lo siguiente:

Por lo tanto, su cambio de velocidad es

Explicación

Este es un cambio muy pequeño en la velocidad, aproximadamente una milésima de una milmillonésima parte de un metro por segundo. Crucialmente, sin embargo, no es cero.

Comprueba tu aprendizaje 9.6

Tipos de colisiones

Aunque el momento se conserva en todas las interacciones, no todas las interacciones (colisiones o explosiones) son las mismas. Las posibilidades incluyen:

• Un solo objeto puede explotar con múltiples objetos (uno a muchos).
• Múltiples objetos pueden colisionar y unirse, formando un solo objeto (muchos a uno).
• Múltiples objetos pueden colisionar y rebotar el uno del otro, permaneciendo como objetos múltiples (muchos a muchos). Si rebotan entre sí, pueden retroceder a la misma velocidad con la que se aproximaron antes de la colisión, o pueden moverse más lentamente.

Por lo tanto, es útil categorizar diferentes tipos de interacciones, según cómo se muevan los objetos que interactúan antes y después de la interacción.

Uno a muchos

La primera posibilidad es que un solo objeto se pueda dividir en dos o más piezas.

Estos pueden ser difíciles de analizar si el número de fragmentos después de la colisión es más de tres o cuatro; pero, no obstante, el momento total del sistema antes y después de la explosión es idéntico.

Ten en cuenta que si el objeto está inicialmente inmóvil, entonces el sistema (que es solo el objeto) no tiene momento ni energía cinética. Después de la explosión, el momento neto de todas las piezas del objeto debe sumar cero (ya que el momento de este sistema cerrado no puede cambiar). Sin embargo, el sistema tendrá una gran cantidad de energía cinética después de la explosión, aunque no tenía ninguno antes. Por lo tanto, vemos que, aunque el momento del sistema se conserva en una explosión, la energía cinética del sistema definitivamente no lo es, incrementa. En esta interacción, un objeto que se convierte en muchos, con un aumento de la energía cinética del sistema, se denomina explosión.

¿Dé dónde viene la energía? ¿La conservación de la energía aún se mantiene? Sí, alguna forma de energía potencial se convierte en energía cinética. En el caso de la pólvora que quema y empuja una bala, la energía potencial química se convierte en energía cinética de la bala y de la pistola. Para un arco y una flecha, es energía potencial elástica en la cuerda del arco.

Muchos a Uno

La segunda posibilidad es la inversa: que dos o más objetos colisionan entre sí y se unen, formando así (después de la colisión) un único objeto compuesto. La masa total de este objeto compuesto es la suma de las masas de los objetos originales, y el nuevo objeto individual se mueve con una velocidad dictada por la conservación del momento. Sin embargo, resulta que, aunque el momento total del sistema de objetos permanece constante, la energía cinética no lo hace, pero esta vez, la energía cinética disminuye.

Este tipo de colisión se llama inelástica. En el caso extremo, múltiples objetos colisionan, se adhieren y permanecen inmóviles después de la colisión. Como los objetos están completamente inmóviles después de la colisión, la energía cinética final también es cero, la pérdida de energía cinética es un máximo. Tal colisión se dice que es perfectamente inelástica.

Muchos a muchos

El caso extremo es si dos o más objetos se aproximan, colisionan y rebotan, alejándose el uno del otro a la misma velocidad relativa a la que se aproximan. En este caso, la energía cinética total del sistema se conserva. Tal interacción se llama elástica.

En cualquier interacción de un sistema cerrado de objetos, se conserva el momento total del sistema ($\bold{\vec{p}}_f = \bold{\vec{p}}_i$), pero la energía cinética puede no ser:

• Si $0 \lt K_f \lt K_i$, la colisión es inelástica.
• Si $K_f = 0$, la colisión es perfectamente inelástica.
• Si $K_f = K_i$, la colisión es elástica.
• Si $K_f \lt K:i$, la interacción es una explosión.

El objetivo de todo esto es que, al analizar una colisión o explosión, se pueda usar tanto el momento como la energía cinética.

En la siguiente simulación, diseñada por (Laurel Woods), puedes observar varias bolas de diferente masa y velocidad que colisionan conservando el momento total.

Ejemplo 9.10

Formación de un Deuterón

Un protón (masa $1,67 \times 10^{-27} kg$) colisiona con un neutrón (con la misma masa que el protón) para formar una partícula llamada deuterón. ¿Cuál es la velocidad del deuterón si está formado por un protón que se mueve con una velocidad de $7.0 \times 10^6 m/s$ hacia la izquierda y un neutrón que se mueve con una velocidad de $4.0 \times 10^6 m/s$ hacia la derecha?

Estrategia

Define el sistema como las dos partículas. Esto es una colisión, así que primero debemos identificar de qué tipo.

Como se nos dice que las dos partículas forman una sola partícula después de la colisión, esto significa que la colisión es perfectamente inelástica. Por lo tanto, la energía cinética no se conserva, pero el momento sí. Por lo tanto, utilizamos la conservación de la energía para determinar la velocidad final del sistema.

Solución

Trata las dos partículas como si tuvieran masas idénticas $M$. Usa los subíndices $p, n$ y $d$ para protón, neutrón y deuterón, respectivamente. Este es un problema unidimensional, entonces tenemos

Dividiendo por $M$

La velocidad es entonces $\bold{\vec{r}}_d = (1.5 \times 10^6 m/s) \^{\bold{i}}$.

Explicación

Esto es esencialmente cómo funcionan los colisionadores de partículas como el Gran Colisionador de Hadrones: aceleran las partículas hasta velocidades muy altas (grandes momentos), pero en direcciones opuestas. Esto maximiza la creación de las llamadas "partículas hijas".

Ejemplo 9.11

Hockey sobre hielo 2
(Esta es una variación de un ejemplo anterior).

Dos discos de hockey sobre hielo de diferentes masas se encuentran en una pista horizontal de hockey. El disco rojo tiene una masa de $15$ gramos y está inmóvil; el disco azul tiene una masa de $12$ gramos y se mueve a 2.5 m/s hacia la izquierda. Choca con el disco rojo inmóvil (Figura 9.20). Si la colisión es perfectamente elástica, ¿cuáles son las velocidades finales de los dos discos?

Estrategia

Se nos dice que tenemos dos objetos que colisionan, y nos dicen sus masas y velocidades iniciales, y una velocidad final; se nos pide las dos velocidades finales. La conservación del momento parece una buena estrategia; define el sistema como los dos discos.

No hay fricción, entonces tenemos un sistema cerrado. Tenemos dos incógnitas (las dos velocidades finales), pero solo una ecuación. El comentario acerca de que la colisión es perfectamente elástica es la clave; sugiere que la energía cinética también se conserva en esta colisión. Eso nos da nuestra segunda ecuación.

El momento inicial y la energía cinética inicial del sistema reside enteramente y solo en el segundo disco (el azul); la colisión transfiere algo de este momento y energía al primer disco.

Solución

Conservación del momento, en este caso,

Conservación de energía cinética

Hay dos ecuaciones con dos incógnitas. El álgebra es tediosa pero no terriblemente difícil; Definitivamente deberías trabajarla. La solucion es

Sustituyendo los datos obtenidos,

Explicación

Ten en cuenta que después de la colisión, el disco azul se mueve hacia la derecha; su dirección de movimiento fue revertida. El disco rojo ahora se mueve hacia la izquierda.

Comprueba tu aprendizaje 9.7

Ejemplo 9.12

Thor vs. Iron Man

La película de 2012 "The Avengers" tiene una escena en la que Iron Man y Thor luchan. Al comienzo de la pelea, Thor lanza su martillo a Iron Man, lo golpea y lo lanza ligeramente al aire y contra un árbol pequeño, que se rompe. Del video, Iron Man está parado cuando el martillo lo golpea. La distancia entre Thor e Iron Man es de aproximadamente $10 m$, y el martillo tarda aproximadamente $1 s$ en llegar a Iron Man luego de que Thor lo libera. El árbol está a unos $2 m$ detrás de Iron Man, que golpea en aproximadamente $0,75 s$.

También en el video, la trayectoria de Iron Man hacia el árbol está muy cerca de la horizontal. Suponiendo que la masa total de Iron Man es de $200 kg$:

a. Estima la masa del martillo de Thor
b. Calcula cuánta energía cinética se perdió en esta colisión

Estrategia

Después de la colisión, el martillo de Thor está en contacto con Iron Man durante todo el tiempo, por lo que esta es una colisión perfectamente inelástica. Por lo tanto, con la elección correcta de un sistema cerrado, esperamos que se conserve el momento, pero no la energía cinética. Usamos los datos dados para estimar el momento inicial, la energía cinética inicial y la energía cinética final. Debido a que este es un problema unidimensional, podemos ir directamente a la forma escalar de las ecuaciones.

a. Iniciamos con la conservación del momento. Para eso, necesitamos un sistema cerrado.

La elección aquí es el sistema (martillo + Iron Man), desde el momento de la colisión hasta el momento justo antes de que Iron Man y el martillo golpeen el árbol. Supongamos:

• $M_H$ = masa del martillo
• $M_I$ = masa de Iron Man
• $v_H$ = velocidad del martillo antes de golpear a Iron Man
• $v$ = velocidad combinada de Iron Man + el martillo después de la colisión

Nuevamente, la velocidad inicial de Iron Man fue cero. La conservación del momento nos dice:

Se nos pide que encontremos la masa del martillo, entonces tenemos

Teniendo en cuenta las incertidumbres en nuestras estimaciones, esto debe expresarse con solo una cifra significativa; por lo tanto, $M_H = 7 \times 10^1 kg$.

b. La energía cinética inicial del sistema, como el momento inicial, está en el martillo:

Después de la colisión:

Por lo tanto, hubo una pérdida de $3500 J - 960 J = 2540 J$.

Explicación

De otras escenas en la película, Thor aparentemente puede controlar la velocidad del martillo con su mente.

Es posible, por lo tanto, que mentalmente haga que el martillo mantenga su velocidad inicial de $10 m/s$ mientras que Iron Man está siendo empujado hacia atrás en dirección al árbol. Si es así, esto representaría una fuerza externa en nuestro sistema, por lo que no se cerraría. Sin embargo, el control mental de Thor de su martillo está más allá del alcance de este libro.

Ejemplo 9.13

Analizando un accidente automovilístico

En un semáforo, un camión grande ($3000 kg$) colisiona con un automóvil pequeño inmóvil ($1200 kg$). El camión llega a una parada instantánea; el auto se desliza hacia adelante y se detiene después de $10$ metros.

El coeficiente de fricción medido entre los neumáticos del automóvil y la carretera fue de $0,62$. ¿Qué tan rápido se movió el camión en el momento del impacto?

Estrategia

Al principio, puede parecer que no tenemos suficiente información para resolver este problema. Aunque conocemos la velocidad inicial del automóvil, no conocemos la velocidad del camión (de hecho, eso es lo que se nos pide que encontremos), por lo que no conocemos el momento inicial del sistema.

Del mismo modo, sabemos la velocidad final del camión, pero no la velocidad del automóvil inmediatamente después del impacto. El hecho de que el automóvil eventualmente se deslizó a una velocidad de cero no ayuda con el momento final, ya que una fuerza de fricción externa causó eso. Tampoco podemos calcular un impulso, ya que no conocemos el tiempo de colisión, o la cantidad de tiempo que el automóvil se deslizó antes de detenerse. Una estrategia útil es imponer una restricción al análisis.

Supongamos que definimos un sistema que consiste solo en el camión y el automóvil. El momento de este sistema no se conserva debido a la fricción entre el automóvil y la carretera. Pero si pudiéramos encontrar la velocidad del automóvil al instante después del impacto, antes de que la fricción tuviera algún efecto medible en el automóvil, entonces podríamos considerar el momento del sistema para conservarlo, con esa restricción.

¿Podemos encontrar la velocidad final del auto? Sí. invoquemos el teorema del trabajo-energía.

Solución

Primero, define algunas variables. Supón:

• $M_c$ y $M_T$ como las masas del automóvil y camión, respectivamente
• $v_{Ti}$ y $v_{Tf}$ como las velocidades del camión antes y después de la colisión, respectivamente
• $v_{ci}$ y $v_{cf}$ como las velocidades del automóvil antes y después de la colisión, respectivamente
• $K_i$ y $K_f$ como las energías cinéticas del automóvil inmediatamente después de la colisión, y después de que el automóvil ha dejado de deslizarse (entonces $K_f = 0$).

• $d$ como la distancia que el automóvil se desliza después de la colisión antes de que finalmente se detenga.

Como realmente queremos la velocidad inicial del camión, y dado que el camión no forma parte del cálculo del teorema trabajo-energía, comencemos con la conservación del momento. Para el sistema de automóvil + camión, la conservación del momento dice

Dado que la velocidad inicial del vehículo era cero, al igual que la velocidad final del camión, esto simplifica a

Entonces ahora necesitamos la velocidad del auto inmediatamente después del impacto. Recuerda que

donde,

También,

El trabajo se realiza sobre la distancia que se desliza el automóvil, que hemos llamado d. Igualando:

La fricción es la fuerza del automóvil que hace el trabajo para detener el deslizamiento. Con un camino nivelado, la fuerza de fricción es

Como el ángulo entre las direcciones del vector de fuerza de fricción y el desplazamiento $d$ es $180°$, y $cos (180°) = - 1$, tenemos

(Ten en cuenta que la masa del automóvil se divide, evidentemente, la masa del automóvil no importa).
Hallando la velocidad del automóvil inmediatamente después de la colisión

Sustituyendo los datos dados:

Ahora podemos calcular la velocidad inicial del camión:

Explicación

Este es un ejemplo del tipo de análisis realizado por los investigadores de los principales accidentes automovilísticos.

Una gran cantidad de consecuencias legales y financieras dependen de un análisis y cálculo precisos del momento y la energía.

Comprueba tu aprendizaje 9.8

Colisiones subatómicas y momentum

La conservación del momento es crucial para nuestra comprensión de las partículas atómicas y subatómicas, porque gran parte de lo que sabemos sobre estas partículas proviene de experimentos de colisión.

A principios del siglo XX, hubo un considerable interés y debate sobre la estructura del átomo. Se sabía que los átomos contienen dos tipos de partículas cargadas eléctricamente: electrones cargados negativamente y protones con carga positiva (Se sospechaba la existencia de una partícula eléctricamente neutra, pero no se confirmaría hasta 1932). La pregunta era, ¿cómo se organizaron estas partículas en el átomo? ¿Se distribuyeron uniformemente en todo el volumen del átomo (como propuso JJ Thomson), o dispuestos en las esquinas de los polígonos regulares (que era el modelo de Gilbert Lewis), o anillos de carga negativa que rodean el núcleo cargado positivamente, más bien como los anillos planetarios que rodean a Saturno (como lo sugirió Hantaro Nagaoka), o algo más?

El físico de Nueva Zelanda Ernest Rutherford (junto con el físico alemán Hans Geiger y el físico británico Ernest Marsden) realizaron el experimento crucial en 1909. Bombardearon una delgada lámina de oro con un rayo de alta energía (es decir, de alta velocidad) de partículas alfa (el núcleo de un átomo de helio).

Las partículas alfa colisionaron con los átomos de oro, y sus velocidades subsecuentes fueron detectadas y analizadas, utilizando la conservación del momento y la conservación de la energía.

Si las cargas de los átomos de oro se distribuyen uniformemente (según Thomson), entonces las partículas alfa deberían colisionar con ellas y casi todas se desviarán en muchos ángulos, todas pequeñas; el modelo Nagaoka produciría un resultado similar.

Si los átomos se organizaran como polígonos regulares (Lewis), las partículas alfa se desviarían en un número relativamente pequeño de ángulos.

Lo que realmente sucedió es que casi ninguna de las partículas alfa se desvió. Aquellas que fueron desviadas en ángulos grandes, algunos cerca de $180\degree$, invirtieron la dirección por completo (Figura 9.21) . Ninguno de los modelos atómicos existentes podría explicar esto. Eventualmente, Rutherford desarrolló un modelo del átomo que estaba mucho más cerca de lo que ahora tenemos, una vez más, usando como punto de partida la conservación del momento y la energía.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Ionică Bizău, puedes observar los modelos de Thomson y de Rutherford. Desplaza la fuente de partículas, de tal forma que las partículas colisionen con el núcleo. La escena se presenta en dos idiomas, rumano y español.

Colisiones en múltiples dimensiones

Es mucho más común que las colisiones ocurran en dos dimensiones; es decir, el ángulo entre los vectores de velocidad iniciales no es cero ni $180°$. Veamos qué complicaciones surgen de esto.

La primera idea que necesitamos es que el momentum es un vector; como todos los vectores, se puede expresar como una suma de componentes perpendiculares (generalmente, aunque no siempre, un componente x y un componente y, y un componente z si es necesario). Por lo tanto, cuando escribimos la declaración de la conservación del momento para un problema, nuestros vectores de momento pueden ser, y usualmente serán, expresados en forma de componentes.

La segunda idea que necesitamos proviene del hecho de que el momento está relacionado con la fuerza:

Expresando tanto la fuerza como el momento en forma de componentes,

Recuerda, estas ecuaciones son simplemente la segunda ley de Newton, en forma de vector y en forma de componentes. Sabemos que la segunda ley de Newton es verdadera en cada dirección, independientemente de las demás.

Estas dos ideas motivan la solución a problemas bidimensionales: escribimos la expresión para la conservación del momento dos veces: una en la dirección $x$ y otra en la dirección $y$.

Este procedimiento se muestra gráficamente en la figura 9.22.

Resolvemos cada una de estas dos ecuaciones de forma independiente para obtener los componentes x e y del vector de velocidad deseado:

(Aquí, $m$ representa la masa total del sistema). Finalmente, combina estos componentes usando el teorema de Pitágoras,

Ejemplo 9.14

Accidente de tránsito

Un pequeño automóvil de $1200 kg$ de masa que viaja hacia el este a $60 km/h$ colisiona en una intersección con un camión de $3.000 kg$ de masa, que viaja hacia el norte a $40 km/h$ (Figura 9.23).

Los dos vehículos están bloqueados. ¿Cuál es la velocidad de los restos de la catástrofe combinada?

Estrategia

En primer lugar, necesitamos un sistema cerrado. El sistema natural para elegir es el (carro + camión), pero este sistema no está cerrado; la fricción de la carretera actúa en ambos vehículos.

Evitamos este problema restringiendo la pregunta a encontrar la velocidad en el instante justo después de la colisión, de modo que la fricción aún no haya tenido ningún efecto en el sistema. Con esa restricción, se conserva el impulso para este sistema.

Como hay dos direcciones involucradas, aplicamos la conservación del momento dos veces: una vez en la dirección $x$ y una vez en la dirección $y$.

Solución

Antes de la colisión, el momento total era

Después de la colisión, los restos de la catástrofe tienen momento

Dado que el sistema está cerrado, el momento debe conservarse, por lo que tenemos

Tenemos que ser cuidadosos; los dos momentos iniciales no son paralelos. Debemos sumarlos vectorialmente (Figura 9.24).

Si definimos la dirección + x apuntando al este y la dirección + y para apuntando al norte, como en la figura, entonces,

Por lo tanto, en la dirección $x$:

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos

En cuanto a su dirección, usamos el ángulo que se muestra en la figura,

Este ángulo está al noreste, o $31\degree$ en el sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección $+ x$.

Explicación

Como cuestión práctica, los investigadores de accidentes generalmente trabajan en la "dirección opuesta"; miden la distancia de las marcas de deslizamiento en la carretera (lo que da la distancia de frenado) y utilizan el teorema del trabajo-energía junto con la conservación del momento para determinar las velocidades y las direcciones de los autos antes de la colisión. Vimos ese análisis en una sección anterior.

Comprueba tu aprendizaje 9.9

Ejemplo 9.15

Explosión del tanque de buceo

Un tanque de buceo común es un cilindro de aluminio que pesa $31.7$ libras al vacío (Figura 9.25). Cuando está lleno de aire comprimido, la presión interna está entre $2500$ y $3000 psi$ (libras por pulgada cuadrada). Supongamos que ese tanque, que había estado inmóvil, de repente explota en tres pedazos.

La primera pieza, que pesa $10$ libras, se dispara horizontalmente a $235$ millas por hora; la segunda pieza ($7$ libras) se dispara a $172$ millas por hora, también en el plano horizontal, pero en un ángulo de $19\degree$ con respecto a la primera pieza. ¿Cuál es la masa y la velocidad inicial de la tercera pieza? (Haz todo el trabajo y expresa tu respuesta final en unidades del SI).

Estrategia

Para aplicar la conservación del momento, necesitamos un sistema cerrado. Si definimos el sistema como el tanque de buceo, este no es un sistema cerrado, ya que la gravedad es una fuerza externa. Sin embargo, el problema requiere la velocidad inicial de la tercera pieza, por lo que podemos despreciar el efecto de la gravedad y considerar el tanque como un sistema cerrado.

Ten en cuenta que, para este sistema, el vector de momento inicial es cero.

Elegimos un sistema de coordenadas donde todo el movimiento ocurre en el plano $xy$. Luego escribimos las ecuaciones para la conservación del momento en cada dirección, obteniendo así los componentes $x$ e $y$ del momento de la tercera pieza, de donde obtenemos su magnitud (a través del teorema de Pitágoras) y su dirección.

Finalmente, dividimos este momento por la masa de la tercera pieza que nos da la velocidad.

Solución

Primero, hagamos todas las conversiones a las unidades del SI:

Ahora, aplica la conservación del momento en cada dirección.

Dirección $x$

Dirección $y$

Desde nuestro sistema de coordenadas elegido, escribimos los componentes $x$ así

Para la dirección $y$, tenemos

Esto te da la magnitud de $p_3$:

La velocidad de la tercera pieza es por lo tanto

La dirección de tu vector de velocidad es la misma que la dirección de tu vector de momento:

Como $\phi$ está debajo del eje $-x$, el ángulo real es $183.5\degree$ desde la dirección $+ x$.

Explicación

Las enormes velocidades aquí son típicas; un tanque explosivo de cualquier gas comprimido puede atravesar fácilmente la pared de una casa y causar lesiones importantes o la muerte. Afortunadamente, tales explosiones son extremadamente raras, sobre una base porcentual.

Comprueba tu aprendizaje 9.10

Centro de masa

Hemos estado evitando un problema importante hasta ahora: cuando decimos que un objeto se mueve (más correctamente, acelera) de una manera que obedece a la segunda ley de Newton, hemos estado ignorando el hecho de que todos los objetos están realmente hechos de muchas partículas constituyentes. Un automóvil tiene un motor, volante, asientos, pasajeros; un balón de fútbol es cuero y caucho que rodea el aire; un ladrillo está hecho de átomos.

Hay muchos tipos diferentes de partículas, y generalmente no se distribuyen uniformemente en el objeto. ¿Cómo incluimos estos hechos en nuestros cálculos?

Entonces, también, un objeto extendido puede cambiar de forma a medida que se mueve, como un globo de agua o un gato cayendo (Figura 9.26). Esto implica que las partículas constituyentes están aplicando fuerzas internas entre sí, además de la fuerza externa que actúa sobre el objeto como un todo. Queremos ser capaces de manejar esto, también.

El problema que tenemos ante nosotros, entonces, es determinar qué parte de un objeto extendido obedece a la segunda ley de Newton cuando se aplica una fuerza externa y cómo el movimiento del objeto como un todo se ve afectado por las fuerzas internas y externas.

Ten cuidado: para tratar esta nueva situación correctamente, debemos ser rigurosos y completamente generales.

No haremos suposiciones sobre la naturaleza del objeto, o de sus partículas constituyentes, o las fuerzas internas o externas. Por lo tanto, los argumentos serán complejos.

Fuerzas Internas y Externas

Supongamos que tenemos un objeto extendido de masa $M$, formado por $N$ partículas que interactúan. Etiquetemos sus masas como $m_j$, donde $j = 1,2,3, \dots , N%. Ten en cuenta que

Si aplicamos una fuerza externa neta $\bold{\vec{F}}$ sobre el objeto, cada partícula experimenta alguna "parte" o alguna fracción de esa fuerza externa. Hagamos:

Ten en cuenta que estas fracciones de la fuerza total no son necesariamente iguales; de hecho, prácticamente nunca lo son (pueden serlo, pero generalmente no lo son). En general, por lo tanto,

Luego, asumimos que cada una de las partículas que componen nuestro objeto puede interactuar (aplicar fuerzas sobre) con otra partícula del objeto. No trataremos de adivinar qué tipo de fuerzas son; pero como estas fuerzas son el resultado de partículas del objeto

que actúa sobre otras partículas del mismo objeto, nos referimos a ellas como fuerzas internas $\bold{\vec{f}}_j^{int}$, así:

$\bold{\vec{f}}_j^{int}$: la fuerza interna neta que experimenta la j-ésima partícula de todas las otras partículas que componen el objeto.

Ahora, la fuerza neta, interna más externa, en la j-ésima partícula es la suma vectorial:

donde, de nuevo, esto es para todas las $N$ partículas; $j = 1,2,3, \dots , N$.

Como resultado de esta fuerza fraccionaria, el momento de cada partícula cambia:

La fuerza neta $\bold{\vec{F}}$ en el objeto es la suma vectorial de estas fuerzas:

Esta fuerza neta cambia el momento del objeto como un todo, y el cambio neto de momento del objeto debe ser la suma vectorial de todos los cambios individuales de momento de todas las partículas:

Combinando las ecuaciones 9.22 y 9.23, obtenemos.

Ahora pensemos en estas sumas. Primero considera el término de las fuerzas internas; recuerde que cada $\bold{\vec{f}}_j^{int}$ es la fuerza sobre la j-ésima partícula de las otras partículas en el objeto. Pero según la tercera ley de Newton, para cada una de estas fuerzas, debe haber otra fuerza que tenga la misma magnitud, pero el signo opuesto. Estas fuerzas no se cancelan; sin embargo, eso no es lo que estamos haciendo en la sumatoria. Más bien, simplemente estamos sumando matemáticamente todos los vectores de fuerzas internas. Es decir, en general, las fuerzas internas para cualquier parte individual del objeto no se cancelarán, pero cuando se sumen todas las fuerzas internas, deben cancelarse. Se sigue, por lo tanto, que la suma de todas las fuerzas internas debe ser cero:

(Este argumento es sutil, pero crucial, tómate el tiempo suficiente para comprenderlo por completo).

Para las fuerzas externas, esta suma es simplemente la fuerza externa total que se aplicó a todo el objeto:

Como resultado,

Este es un resultado importante. La ecuación 9.25 nos dice que el cambio total de momento de todo el objeto (todas las N partículas) se debe solo a las fuerzas externas; las fuerzas internas no cambian el momento del objeto como un todo. Es por eso que no puede levantarse en el aire parándose en una canasta y tirando de las asas: para el sistema de tu canasta, tu fuerza de tracción hacia arriba es una fuerza interna.

Fuerza y momento

Recuerda que nuestro objetivo real es determinar la ecuación de movimiento para todo el objeto (todo el sistema de partículas). Para ese fin, definamos:

$\bold{\vec{p}}_{CM}$: el momento total del sistema de N partículas (el motivo del subíndice se aclarará en breve)

Entonces tenemos

y por lo tanto, la ecuación 9.25 se puede escribir simplemente como

Como este cambio de momento es causado solo por la fuerza externa neta, hemos descartado el subíndice "ext".

Esta es la segunda ley de Newton, pero ahora para todo el objeto extendido. Si esto te parece un poco anticlimático, recuerda lo que se esconde dentro de él: $\bold{\vec{p}}_{CM}$ es la suma vectorial del momento (en principio) de cientos de miles de billones de billones de partículas ($6.02 \times 10^{23}$), todo causado por una simple fuerza externa: una fuerza que puedes calcular.

Centro de masa

Nuestra siguiente tarea es determinar qué parte del objeto extendido, si lo hay, obedece a la Ecuación 9.26.

Es tentador dar el siguiente paso; ¿la siguiente ecuación significa algo?

Si significa algo (¿aceleración de qué, exactamente?), entonces podríamos escribir

y por lo tanto

que sigue porque la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

Ahora, $\bold{\vec{p}}_j$ es el momento de la j-ésima partícula. Definiendo las posiciones de las partículas constituyentes (en relación con algún sistema de coordenadas) como $\bold{\vec{r}}_j = (x_j, y_j, z_j)$, tenemos así

Sustituyendo, obtenemos

Diviendo por M:

Por lo tanto, el punto en el objeto que rastrea la trayectoria impuesta por la fuerza aplicada en la Ecuación 9.27 está dentro del paréntesis en la Ecuación 9.28.

Al observar este cálculo, nota que (dentro de los paréntesis) estamos calculando el producto de la masa de cada partícula con su posición, sumándolos todos hasta $N$, y dividiendo esta suma por la masa total de partículas. Esto es una reminiscencia de un promedio; inspirado por esto, lo interpretaremos (vagamente) como la posición promedio ponderada de la masa del objeto extendido. En realidad se llama el centro de masa del objeto. Observa que la posición del centro de masa tiene unidades de metros; eso sugiere una definición:

Entonces, el punto que obedece a la ecuación 9.26 (y por lo tanto también a la ecuación 9.27) es el centro de masa del objeto, que está ubicado en el vector de posición $\bold{\vec{r}}_{CM}$.

Puedes sorprenderte saber que no tiene que haber ninguna masa real en el centro de masa de un objeto.

Por ejemplo, una esfera de acero hueco con un vacío en su interior es esféricamente simétrica (lo que significa que su masa está distribuida uniformemente alrededor del centro de la esfera), toda la masa de la esfera está afuera en su superficie, sin masa adentro. Pero se puede demostrar que el centro de masa de la esfera está en su centro geométrico, lo que parece razonable. Por lo tanto, no hay masa en la posición del centro de masa de la esfera (otro ejemplo es una donut). El procedimiento para encontrar el centro de masa se ilustra en la Figura 9.27.

Dado que $\bold{\vec{r}}_j = x_j\^{\bold{i}} + y_j\^{\bold{j}} + z_j\^{\bold{k}}$, se deduce que:

y por lo tanto

Por lo tanto, puedes calcular los componentes del vector del centro de masa individualmente.

Finalmente, para completar la cinemática, la velocidad instantánea del centro de masa se calcula exactamente como se podría sospechar:

y esta, al igual que la posición, tiene componentes $x,y$ y $z$. Para calcular el centro de masa en situaciones reales, recomendamos el siguiente procedimiento:

Aquí hay dos ejemplos que te darán una idea de lo que es el centro de masa.

Ejemplo 9.16

Centro de masa del sistema Tierra-Luna

Determina qué tan lejos está el centro de masa del sistema Tierra-Luna del centro de la Tierra. Compara esta distancia con el radio de la Tierra y comenta el resultado. Ignora los otros objetos en el sistema solar.

Estrategia

Obtenemos las masas y la distancia de separación de la Tierra y la Luna (puedes consultarlo en la red), imponemos un sistema de coordenadas y usamos la Ecuación 9.29 con solo $N = 2$ objetos. Usamos un subíndice "$e$" para referirnos a la Tierra, y un subíndice "$m$" para referirnos a la luna.

Solución

Define el origen del sistema de coordenadas como el centro de la Tierra. Entonces, con solo dos objetos, la Ecuación 9.29 se convierte en

Consultando en la red: $m_e = 5.97 \times 10^{24} kg,\;\; m_m = 7.36 \times 10^{22} kg\;\; y\;\; r_m = 3.82 \times 10^5 m$

Definimos el centro de la Tierra como el origen, por lo que $r_e = 0 m$. Reemplazando en la ecuación para $R$, obtenemos:

Explicación

El radio de la Tierra es $6.37 \times 10^6 m$, por lo que el centro de masa del sistema Tierra-Luna es $(6.37 - 4.64) \times 10^6 m = 1.73 \times 10^6 m = 1730 km$ (aproximadamente $1080$ millas) debajo de la superficie de la Tierra. La ubicación del centro de masa se muestra en la siguiente figura (no está a escala).

Comprueba tu aprendizaje 9.11

Ejemplo 9.17

Centro de masa de un cristal de sal

La figura 9.28 muestra un solo cristal de sal de mesa ordinaria de cloruro de sodio. Los iones de sodio y cloruro forman una sola unidad, $NaCl$.

Cuando varias unidades de $NaCl$ se agrupan, forman una red cúbica. El cubo más pequeño posible (llamado celda unitaria) consta de cuatro iones de sodio y cuatro iones de cloruro, alternando. La longitud de un borde de este cubo (es decir, la longitud del enlace) es de $2,36 \times 10^{-10} m$. Encuentra la ubicación del centro de masa de la celda unitaria. Especifícalo por sus coordenadas ($r_{CM,x}, r_{CM,y}, r_{CM,z}$) o por $r_{CM}$ y dos ángulos.

Estrategia

Podemos buscar todas las masas de iones. Si imponemos un sistema de coordenadas en la celda unidad, esto nos dará las posiciones de los iones. Entonces podemos aplicar las ecuaciones 9.30, 9.31 y 9.32 (junto con el teorema de Pitágoras).

Solución

Define el origen para que esté en la ubicación del ion cloruro en la parte inferior izquierda de la celda unitaria. La figura 9.29 muestra el sistema de coordenadas.

Hay ocho iones en este cristal, entonces $N = 8$:

La masa de cada uno de los iones cloruro es

entonces tenemos

Para los iones de sodio,

La masa total de la celda unitaria es por lo tanto

Desde la geometría, las ubicaciones son

$\bold{\vec{r}}_1 = 0\\ \bold{\vec{r}}_2 =( 2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{i}}\\ \bold{\vec{r}}_3 = r_{3x}\^{\bold{i}} + r_{3y}\^{\bold{j}} = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{i}} + (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{j}}\\ \bold{\vec{r}}_4 = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{j}}\\ \bold{\vec{r}}_5 = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{k}}\\ \bold{\vec{r}}_6 = r_{6x}\^{\bold{i}} + r_{6z}\^{\bold{k}} = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{i}} + (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{k}}$

$\bold{\vec{r}}_7 = r_{7x}\^{\bold{i}} + r_{7y}\^{\bold{j}} + r_{7z}\^{\bold{k}} = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{i}} + (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{j}} + (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{k}}\\ \bold{\vec{r}}_8 = r_{8y}\^{\bold{j}} + r_{8z}\^{\bold{k}} = (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{j}} + (2.36 \times 10^{−10} m)\^{\bold{k}}$.

Sustituyendo:

Cálculos similares se aplican para $r_{CM,y} = r_{CM,z} = 1.18 \times 10^{−10} m$ (se podría argumentar que esto debe ser cierto, por simetría, pero es una buena idea verificarlo).

Explicación

Aunque este es un gran ejercicio para determinar el centro de masa dado un ion de cloruro en el origen, de hecho, el origen podría elegirse en cualquier ubicación.

Por lo tanto, no hay una aplicación significativa del centro de masa de una celda unitaria más allá de un ejercicio.

Comprueba tu aprendizaje 9.12

Dos conceptos cruciales provienen de estos ejemplos:

1. Como con todos los problemas, debes definir tu sistema de coordenadas y origen. Para los cálculos del centro de masa, a menudo tiene sentido elegir que su origen se encuentre en una de las masas de tu sistema. Esa elección define automáticamente tu distancia en la Ecuación 9.29 como cero. Sin embargo, aún debes incluir la masa del objeto en su origen en tu cálculo de $M$, en la ecuación de masa total 9.19. En el ejemplo del sistema Tierra-Luna, esto significa incluir la masa de la Tierra. Si no lo hubieras hecho, hubieras terminado con el centro de masa del sistema en el centro de la luna, lo cual es claramente incorrecto.
2. En el segundo ejemplo (el cristal de sal), observa que no hay masa en absoluto en la ubicación del centro de masa. Este es un ejemplo de lo que dijimos anteriormente, que no tiene que haber ninguna masa real en el centro de masa de un objeto.

Centro de masa de objetos continuos

Si el objeto en cuestión tiene su masa distribuida uniformemente en el espacio, en lugar de una colección de partículas discretas, entonces $m_j \to dm$, y la suma se convierte en una integral:

En este contexto, $r$ es una dimensión característica del objeto (el radio de una esfera, la longitud de una barra larga). Para generar un integrando que realmente pueda calcularse, necesitas expresar el elemento de masa diferencial dm como una función de la densidad de masa del objeto continuo, y la dimensión $r$. Un ejemplo aclarará esto.

Ejemplo 9.18

$CM$ de un aro fino uniforme

Encuentra el centro de masa de un aro (o anillo) delgado y uniforme de masa $M$ y radio $r$.

Estrategia

Primero, la simetría del aro sugiere que el centro de masa debe estar en su centro geométrico. Si definimos nuestro sistema de coordenadas de modo que el origen esté ubicado en el centro del aro, la integral debería evaluarse en cero.

Reemplazamos dm por una expresión que involucra la densidad del aro y el radio del aro.

Entonces tenemos una expresión que realmente podemos integrar.

Dado que el aro se describe como "delgado", lo tratamos como un objeto unidimensional, despreciando el grosor del aro. Por lo tanto, su densidad se expresa como la cantidad de kilogramos de material por metro. Tal densidad se llama densidad de masa lineal, y se le da el símbolo $\lambda$; esta es la letra griega "lambda", que es el equivalente de la letra inglesa "l" (para "lineal").

Como el aro se describe como uniforme, esto significa que la densidad de masa lineal $\lambda$ es constante. Por lo tanto, para obtener nuestra expresión para el elemento de masa diferencial dm, multiplicamos $\lambda$ por una longitud diferencial del aro, sustituimos e integramos (con los límites apropiados para la integral definida).

Solución

Primero, define nuestro sistema de coordenadas y las variables relevantes (Figura 9.30).

El centro de masa se calcula con la ecuación 9.34:

Tenemos que determinar los límites de la integración $a$ y $b$. Expresar $\bold{\vec{r}}$ en forma de componentes

En el diagrama, resaltamos una pieza del aro que tiene una longitud diferencial ds; por lo tanto, tiene una masa diferencial $dm = \lambda ds$. Sustituyendo:

Sin embargo, la longitud del arco ds subtiende un ángulo diferencial dθ, por lo que tenemos

y por lo tanto

Un paso más: dado que $\lambda$ es la densidad de masa lineal, se calcula dividiendo la masa total por la longitud del aro:

Obteniendo

Observa que la variable de integración ahora es el ángulo $\theta$.

Esto nos dice que los límites de integración (alrededor del aro circular) son $\theta = 0$ a $\theta = 2\pi$, entonces $a = 0$ y $b = 2\pi$. Además, para mayor comodidad, separamos la integral en los componentes $x$ e $y$ de $\bold{\vec{r}}_{CM}$. La expresión integral final es

como se esperaba.

Centro de Masa y Conservación del Momento

¿Cómo se conecta todo esto con la conservación del momento?

Supongamos que tiene $N$ objetos con masas $m_1, m_2, m_3, \cdots m_N$ y velocidades iniciales $\bold{\vec{v}}_1, \bold{\vec{v}}_2, \bold{\vec{v}}_3, \cdots, \bold{\vec{v}}_N$. El centro de masa de los objetos es

Su velocidad es

y así el momento inicial del centro de masa es

Después de que estas masas se muevan e interactúen entre sí, el momento del centro de masa es

Pero la conservación del momento nos dice que el lado derecho de ambas ecuaciones debe ser igual, o sea:

Este resultado implica que la conservación del momento se expresa en términos del centro de masa del sistema. Observa que cuando un objeto se mueve a través del espacio sin una fuerza externa neta actuando sobre él, una partícula individual del objeto puede acelerar en varias direcciones, con varias magnitudes, dependiendo de la fuerza interna neta que actúa sobre ese objeto en cualquier momento (recuerda, es solo la suma de vectores de todas las fuerzas internas que desaparece, no la fuerza interna de una sola partícula), Por lo tanto, el momento de esa partícula no será constante, pero el momento de todo el objeto extendido será, en acuerdo con la Ecuación 9.36.

La ecuación 9.36 implica otro resultado importante: como M representa la masa de todo el sistema de partículas, es necesariamente constante (de lo contrario, no tenemos un sistema cerrado, por lo que no podemos esperar que se conserve el momento del sistema).

Como resultado, la Ecuación 9.36 implica que, para un sistema cerrado,

Es decir, en ausencia de una fuerza externa, la velocidad del centro de masa nunca cambia.

Puedes sentirte tentado a encogerte de hombros y decir: "Bueno, sí, es la primera ley de Newton", pero recuerda que la primera ley de Newton discute la velocidad constante de una partícula, mientras que la ecuación 9.37 se aplica al centro de masa de una colección (posiblemente vasta) de partículas que interactúan, ¡y que no puede haber ninguna partícula en el centro de la masa en absoluto! Entonces, este es realmente un resultado notable.

Ejemplo 9.19

Exhibición de fuegos artificiales

Cuando explota un cohete de fuegos artificiales, miles de fragmentos brillantes vuelan hacia afuera en todas las direcciones y caen a la Tierra en una elegante y hermosa exhibición (Figura 9.31). Describe lo que sucede, en términos de la conservación del momento y del centro de masa.

La imagen muestra una simetría radial sobre los puntos centrales de las explosiones; esto sugiere la idea del centro de masa. También podemos ver el movimiento parabólico de las partículas brillantes; esto trae a la mente ideas de movimiento de proyectiles.

Solución

Inicialmente, el cohete de fuegos artificiales se lanza y vuela más o menos recto hacia arriba.

Esta es la causa del camino blanco, más o menos recto, que se adentra en el cielo por debajo de la explosión en la esquina superior derecha de la imagen (la explosión amarilla). Este camino no es parabólico porque el proyectil explosivo, durante su fase de lanzamiento, es en realidad un cohete; el impulso que se le aplica mediante la eyección del combustible en combustión aplica una fuerza sobre el proyectil durante el intervalo de tiempo de subida. El proyectil tiene múltiples fuerzas sobre él; por lo tanto, no está en caída libre antes de la explosión.

En el instante de la explosión, los miles de fragmentos brillantes vuelan hacia afuera en un patrón radialmente simétrico. La simetría de la explosión es el resultado de todas las fuerzas internas sumando cero, para cada fuerza interna, hay otra que es igual en magnitud y opuesta en dirección.

Sin embargo, como aprendimos anteriormente, estas fuerzas internas no pueden cambiar el momento del centro de masa del cohete (ahora explotado). Dado que la fuerza del cohete se ha desvanecido, el centro de masa del cohete es ahora un proyectil (la única fuerza sobre él es la gravedad), por lo que su trayectoria se vuelve parabólica. Las dos explosiones rojas a la izquierda muestran la ruta de sus centros de masa en un tiempo ligeramente más largo después de la explosión en comparación con la explosión amarilla en la esquina superior derecha.

De hecho, si miras detenidamente las tres explosiones, puedes ver que los senderos resplandecientes no son realmente radialmente simétricos; más bien, son algo más densos en un lado que en el otro. Específicamente, la explosión amarilla y la explosión media inferior son ligeramente más densas en sus lados derechos, y la explosión superior izquierda es más densa en su lado izquierdo. Esto se debe al momneto de sus centros de masa; las diferentes densidades de camino se deben al momento que cada pieza del proyectil tenía en el momento de su explosión.

El fragmento de la explosión en la esquina superior izquierda de la imagen tenía un momneto que apuntaba hacia arriba y hacia la izquierda; el momento del fragmento medio apuntaba hacia arriba y ligeramente hacia la derecha; y la explosión del lado derecho claramente hacia arriba y hacia la derecha (como lo demuestra el rastro de escape blanco del cohete visible debajo de la explosión amarilla).

Finalmente, cada fragmento es un proyectil en sí mismo, y traza miles de parábolas brillantes.

Explicación

En la discusión anterior, dijimos, "... el centro de masa del cohete ahora es un proyectil (la única fuerza sobre él es la gravedad) ...." Esto no es del todo exacto, ya que puede no haber ninguna masa en absoluto en el centro de masa; en cuyo caso, no podría haber una fuerza que actúe sobre él. Esto es en realidad una taquigrafía verbal para describir el hecho de que las fuerzas gravitatorias sobre todas las partículas actúan de modo que el centro de masa cambia de posición exactamente como si toda la masa del cohete estuviera siempre ubicada en la posición del centro de masa.

Comprueba tu aprendizaje 9.13

A veces puedes escuchar a alguien describir una explosión diciendo algo así como "los fragmentos del objeto explotado siempre se mueven de una manera que asegura que el centro de masa continúe moviéndose en su trayectoria original".

Esto lo hace sonar como si el proceso es algo mágico: ¿cómo puede ser que, en cada explosión, siempre se resuelva que los fragmentos se mueven de la manera correcta para que el movimiento del centro de masa no cambie? Dicho de esta manera, sería difícil de creer que ninguna explosión haga algo diferente.

La explicación de esta coincidencia aparentemente sorprendente es:

definimos el centro de masa con precisión, así que esto es exactamente lo que obtendríamos. Recordemos que primero definimos el momento del sistema:

Luego llegamos a la conclusión de que la fuerza externa neta en el sistema (si corresponde) cambió este momento:

y luego, y aquí está el punto, definimos una aceleración que obedecería la segunda ley de Newton. Es decir, exigimos que podamos escribir

donde la cantidad dentro del paréntesis es el centro de masa de nuestro sistema. Entonces, no es sorprendente que el centro de masa obedezca a la segunda ley de Newton; lo definimos para que así sea.

El siguiente juego, diseñado por (Michal Goly), incorpora la conservación del momento al permitir que los meteoritos choquen entre sí. Con este juego, nos preparamos para el último apartado de este capítulo.

Propulsión de cohetes

Ahora tratamos el caso donde la masa de un objeto está cambiando. Analizamos el movimiento de un cohete, que cambia su velocidad (y por lo tanto su momento) al expulsar los gases combustibles quemados, lo que hace que se acelere en la dirección opuesta a la velocidad del combustible expulsado (Figura 9.32).

Específicamente: Un cohete con combustible completo en el espacio profundo tiene una masa total $m_0$ (incluye la masa inicial del combustible). En algún momento en el tiempo, el cohete tiene una velocidad $\bold{\vec{v}}$ y una masa $m$; esta masa es una combinación de la masa del cohete vacío y la masa del combustible restante no quemado que contiene (Nos referimos a m como la "masa instantánea" y $\bold{\vec{v}}$ como la "velocidad instantánea"). El cohete acelera quemando el combustible que transporta y expulsando los gases de escape quemados. Si la velocidad de combustión del combustible es constante, y la velocidad a la que se expulsa el escape también es constante, ¿cuál es el cambio de velocidad del cohete como resultado de quemar todo su combustible?

Análisis físico

Aquí hay una descripción de lo que sucede, para que tengas una idea de la física involucrada.

• A medida que operan los motores de los cohetes, expulsan continuamente gases combustibles que tienen tanto masa como velocidad y, por lo tanto, algún momento. Mediante la conservación del momento, el momento del cohete cambia por esta misma cantidad (con el signo opuesto). Supondremos que el combustible quemado se expulsa a una velocidad constante, lo que significa que la velocidad de cambio del momento del cohete también es constante. Por la ecuación 9.9, esto representa una fuerza constante en el cohete.
• Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, la masa del cohete (que incluye la masa del combustible restante) disminuye continuamente. Por lo tanto, a pesar de que la fuerza en el cohete es constante, la aceleración resultante no lo es, está aumentando continuamente.

• Entonces, el cambio total de la velocidad del cohete dependerá de la cantidad de masa de combustible que se quema, y ​​esa dependencia no es lineal.

El problema es que tiene que cambiar la masa y la velocidad del cohete; también, la masa total de gases expulsados ​​está cambiando. Si definimos que nuestro sistema es el cohete + combustible, entonces este es un sistema cerrado (dado que el cohete está en el espacio profundo, no hay fuerzas externas que actúen sobre este sistema); como resultado, se conserva el momento para este sistema. Por lo tanto, podemos aplicar la conservación del momento para responder a la pregunta (Figura 9.33).

En el mismo momento en que la masa instantánea total del cohete es $m$ (es decir, $m$ es la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento), definimos la velocidad instantánea del cohete como $\bold{\vec{v}} = v\^{\bold{i}}$ (positiva dirección $x$); esta velocidad se mide en relación con un sistema de referencia inercial (la Tierra, por ejemplo). Por lo tanto, el impulso inicial del sistema es

Los motores del cohete están quemando combustible a un ritmo constante y expulsando los gases de escape en la dirección $-x$. Durante un intervalo de tiempo infinitesimal $dt$, los motores expulsan una masa infinitesimal (positiva) de gas $dm_g$ a la velocidad $\bold{\vec{u}} = -u\^{\bold{i}}$. Ten en cuenta que aunque la velocidad del cohete $v\^{\bold{i}}$ se mide con respecto a la Tierra, la velocidad del gas de escape se mide con respecto al cohete (en movimiento). Medido con respecto a la Tierra, por lo tanto, el gas de escape tiene velocidad $(v-u)\^{\bold{i}}$.

Como consecuencia de la eyección del gas de combustible, la masa del cohete disminuye en $dm_g$, y su velocidad aumenta en $dv\^{\bold{i}}$. Por lo tanto, incluyendo tanto el cambio para el cohete como el cambio para el gas de escape, el momento final del sistema es

Como todos los vectores están en la dirección $x$, soltamos la notación vectorial. Aplicando la conservación del momento, obtenemos

Ahora, $dm_g$ y $dv$ son muy pequeños; por lo tanto, su producto $dm_gdv$ es muy, muy pequeño, mucho más pequeño que los otros dos términos en esta expresión. Despreciamos este término, y obtenemos:

Nuestro siguiente paso es recordar que, dado que $dm_g$ representa un aumento en la masa de gases eyectados, también debe representar una disminución de la masa del cohete:

Sustituyendo esto, tenemos

o

La integración desde la masa inicial $m_i$ a la masa final $m$ del cohete nos da el resultado que buscamos:

y así nuestra respuesta final es

Este resultado se llama ecuación de cohete. Fue originalmente deducida por el físico soviético Konstantin Tsiolkovsky en 1897. Nos da el cambio de velocidad que obtiene el cohete al quemar una masa de combustible que disminuye la masa total del cohete desde $m_0$ hasta $m$. Como se esperaba, la relación entre $\Delta v$ y el cambio de masa del cohete no es lineal.

Estrategia de resolución de problemas: cohete de propulsión

En los problemas con los cohetes, las preguntas más comunes son encontrar el cambio de velocidad debido a la quema de cierta cantidad de combustible durante cierto tiempo; o para determinar la aceleración que resulta de la quema de combustible.

1. Para determinar el cambio de velocidad, usa la ecuación de cohete 9.38.
2. Para determinar la aceleración, determina la fuerza usando el teorema impulso-momento, usando la ecuación del cohete para determinar el cambio de velocidad.

Ejemplo 9.20

Empuje en una nave espacial

Una nave espacial se mueve en un espacio libre de gravedad a lo largo de un camino recto cuando su piloto decide acelerar hacia adelante.

Enciende los propulsores y el combustible quemado se expulsa a una velocidad constante de $2,0 \times 10^2 kg/s$, a una velocidad (relativa al cohete) de $2,5 \times 10^2 m/s$. La masa inicial de la nave espacial y su combustible no quemado es de $2,0 \times 10^4 kg$, y los propulsores están encendidos durante $30 s$.

a. ¿Cuál es el empuje (la fuerza aplicada al cohete por el combustible expulsado) en la nave espacial?
b. ¿Cuál es la aceleración de la nave espacial en función del tiempo?
c. ¿Cuáles son las aceleraciones de la nave en $t = 0, 15, 30$ y $35 s$?

Estrategia

a. La fuerza en la nave espacial es igual a la velocidad de cambio del momento del combustible.

b. Conociendo la fuerza de la parte (a), podemos usar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración consiguiente. La clave aquí es que, aunque la fuerza aplicada a la nave espacial es constante (el combustible se expulsa a una velocidad constante), la masa de la nave espacial no lo está, por lo tanto, la aceleración causada por la fuerza no será constante. Esperamos obtener una función $a(t)$, por lo tanto.

c. Usaremos la función que obtenemos en la parte (b), y simplemente sustituiremos los datos dados. Importante: esperamos que la aceleración aumente con el paso del tiempo, ya que la masa que se está acelerando disminuye continuamente (el combustible se expulsa del cohete).

Solución

a. El momento del gas combustible expulsado es

La velocidad de eyección $v = 2.5 \times 10^2 m/s$ es constante, y por lo tanto la fuerza es

Ahora, $dm_g/dt$ es la tasa de cambio de la masa del combustible; el problema indica que esto es $2.0 \times 10^2 kg/s$. Sustituyendo, obtenemos

b. Anteriormente, definimos $m$ como la masa combinada del cohete vacío más el combustible sin quemar que contenía: $m = m_R + _g$. De la segunda ley de Newton,

La fuerza es constante y la masa de cohete vacía $m_R$ es constante, pero la masa de combustible $m_g$ está disminuyendo a una velocidad uniforme; específicamente:

Esto nos da

Ten en cuenta que, como se esperaba, la aceleración es una función del tiempo. Sustituyendo los datos dados:

c. En $t = 0 s$

En $t = 15 s, a(15 s) = 2.9 m/s^2$.
En $t = 30 s, a(30 s) = 3.6 m/s^2$.

La aceleración está aumentando, como esperábamos.

Explicación

Ten en cuenta que la aceleración no es constante; como resultado, cualquier cantidad dinámica debe calcularse utilizando integrales o (más fácilmente) la conservación de la energía total.

Comprueba tu aprendizaje 9.14

Cohete en un campo gravitacional

Analicemos ahora el cambio de velocidad del cohete durante la fase de lanzamiento, desde la superficie de la Tierra.

Para mantener la matemática manejable, restringiremos nuestra atención a las distancias para las cuales la aceleración causada por la gravedad se puede tratar como una constante $g$.

El análisis es similar, excepto que ahora hay una fuerza externa de $\bold{\vec{F}} = -mg\^{\bold{j}}$ que actúa en nuestro sistema. Esta fuerza aplica un impulso $d\bold{\vec{J}} = \bold{\vec{F}}dt = -mgdt\^{\bold{j}}$, que es igual al cambio de momento. Esto nos da

y entonces

donde nuevamente hemos despreciado el término $dm_gdv$ y hemos dejado de lado la notación vectorial. Luego reemplazando $dm_g$ con $-dm$:

dividiendo por m, obtenemos

e integrando, tenemos

Como era de esperar, la velocidad del cohete se ve afectada por la aceleración (constante) de la gravedad.

Recuerda que $\Delta t$ es el tiempo de combustión del combustible. Ahora, en ausencia de gravedad, la Ecuación 9.38 implica que no importa cuánto tiempo lleve quemar la masa completa de combustible; el cambio de velocidad no depende de $\Delta t$. Sin embargo, en presencia de la gravedad, importa mucho.

El término $-g\Delta t$ en la ecuación 9.39 nos dice que cuanto más largo sea el tiempo de combustión, menor será el cambio de velocidad del cohete. Esta es la razón por la cual el lanzamiento de un cohete es tan espectacular en el primer momento del despegue: es esencial quemar el combustible lo más rápido posible, para obtener un $\Delta v$ lo más grande posible.

En este puzle, diseñado por Juan Guillermo Rivera B., descubre algunas de las imágenes presentadas en este capítulo.

Preguntas y respuestas - Capítulo IX

Respuestas

Henry Cavendish (10 de octubre de 1731-Londres, Reino Unido, 24 de febrero de 1810) fue un físico y químico. Como físico, es conocido por el experimento de Cavendish (mediante el que posteriormente se determinó la constante de gravitación universal) (https://es.wikipedia.org/)

Introducción

En este capítulo, estudiamos la naturaleza de la fuerza gravitacional para objetos tan pequeños como nosotros mismos y para sistemas tan masivos como galaxias enteras. Mostramos cómo la fuerza gravitacional afecta a los objetos en la Tierra y al movimiento del Universo mismo. La gravedad es la primera fuerza que se postula como una fuerza de acción a distancia.

Es decir, los objetos ejercen una fuerza gravitacional el uno sobre el otro sin contacto físico y esa fuerza cae a cero solo a una distancia infinita. La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre ti, pero también lo hacen nuestro Sol, la galaxia de la Vía Láctea y los miles de millones de galaxias, como las que se muestran en la figura, que son tan distantes que no podemos verlas a simple vista.

En el siguiente objeto interactivo, diseñado por Carlos Alberto Jaimes Vergara, identifica la relación entre la distancia y la fuerza de atracción gravitacional que experimentan los cuerpos, a partir de la representación vectorial de estas magnitudes y de la interpretación de gráficas de fuerza-distancia.

Ley de gravitación universal de Newton

Primero revisamos la historia del estudio de la gravitación, con énfasis en aquellos fenómenos que durante miles de años han inspirado a filósofos y científicos en buscar una explicación. Luego examinamos la forma más simple de la ley de gravitación universal de Newton y cómo aplicarla.

La historia de la gravitación

Los filósofos más antiguos se preguntaban por qué los objetos, naturalmente, tienden a caer al suelo. Aristóteles (384-322 a.C.) creía que era la naturaleza de las rocas buscar la Tierra y la naturaleza del fuego buscar los Cielos. Brahmagupta (598 ~ 665 d.C.) postuló que la Tierra era una esfera y que los objetos poseían una afinidad natural por ella, cayendo hacia el centro desde donde estaban ubicados.

Los movimientos del Sol, nuestra Luna y los planetas también se han estudiado durante miles de años. Estos movimientos fueron descritos con asombrosa precisión por Ptolomeo (90-168 d.C.), cuyo método de epiciclos describía las rutas de los planetas como círculos dentro de círculos. Sin embargo, hay poca evidencia de que alguien conectara el movimiento de los cuerpos astronómicos con el movimiento de los objetos que caen a la Tierra, hasta el siglo diecisiete.

Nicolás Copérnico (1473-1543) es generalmente reconocido como el primero en desafiar el sistema geocéntrico de Ptolomeo (centrado en la Tierra) y sugerir un sistema heliocéntrico, en el que el Sol está en el centro del sistema solar. Esta idea fue apoyada por las medidas increíblemente precisas a simple vista de los movimientos planetarios de Tycho Brahe y su análisis por Johannes Kepler y Galileo Galilei.

La siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis Abreu León del Instituto de Matemáticas, UNAM, permite observar las evoluciones del Sol y los planetas desde fuera de la Tierra. Puedes elegir realizar la observación con la Tierra en el centro de las evoluciones o con el Sol. Así comprobarás que las trayectorias de los planetas son mucho más sencillas de describir cuando se coloca al Sol en el centro del movimiento.

Kepler demostró que el movimiento de cada planeta es una elipse (la primera de sus tres leyes, tratada en las Leyes de movimiento planetario de Kepler), y Robert Hooke (el mismo Hooke que formuló la ley de Hooke para resortes) sugirió intuitivamente que estos movimientos se deben a que los planetas se sienten atraídos por el sol. Sin embargo, fue Isaac Newton quien conectó la aceleración de objetos cerca de la superficie de la Tierra con la aceleración centrípeta de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra.

Finalmente, en la Teoría de la Gravedad de Einstein, observamos la teoría de la relatividad general propuesta por Albert Einstein en 1916. Su teoría proviene de una perspectiva muy diferente, en la que la gravedad es una manifestación de la deformación en el espacio-tiempo de la masa. Las consecuencias de su teoría dieron lugar a muchas predicciones notables, esencialmente todas las cuales se han confirmado durante las décadas posteriores a la publicación de la

teoría (incluida la medición de 2015 de las ondas gravitacionales a partir de la fusión de dos agujeros negros).

Ley de Gravitación Universal de Newton

Newton notó que los objetos en la superficie de la Tierra (por lo tanto a una distancia de $R_E$ del centro de la Tierra) tienen una aceleración de $g$, pero la Luna, a una distancia de aproximadamente $60R_E$, tiene una aceleración centrípeta aproximadamente $60$ veces menor que $g$. Podrías explicar esto postulando que existe una fuerza entre dos objetos cualquiera, cuya magnitud viene dada por el producto de las dos masas dividido por el cuadrado de la distancia entre ellos. Ahora sabemos que esta ley del cuadrado inverso es de naturaleza omnipresente, una función de la geometría para las fuentes puntuales. La fuerza de cualquier fuente a una distancia $r$ se extiende sobre la superficie de una esfera centrada alrededor de la masa. El área de superficie de esa esfera es proporcional a $r^2$.

Como se muestra en la figura 10.2, el vector$\bold{\vec{F}}_{12}$ apunta desde el objeto $1$ hacia el objeto $2$, y por lo tanto representa una fuerza atractiva entre los objetos.

La fuerza igual pero opuesta $\bold{\vec{F}}_{21}$ es la fuerza sobre el objeto $2$ ejercida por el objeto $1$.

El experimento de Cavendish

Un siglo después de que Newton publicara su ley de la gravitación universal, Henry Cavendish determinó la constante de proporcionalidad G realizando un experimento minucioso. Construyó un dispositivo similar al que se muestra en la figura 10.3, en el que pequeñas masas están suspendidas de un cable. Una vez en equilibrio, dos masas fijas y más grandes se colocan simétricamente cerca de las más pequeñas. La atracción gravitacional crea una torsiónen el cable de soporte que se puede medir.

La constante $G$ se denomina constante gravitacional universal y Cavendish determinó que es $G = 6.67 \times 1^{-11} N\cdot m^2/kg^2$. La palabra "universal" indica que los científicos piensan que esta constante se aplica a las masas de cualquier composición y que es la misma en todo el Universo. El valor de $G$ es un número increíblemente pequeño, que muestra que la fuerza de la gravedad es muy débil. La atracción entre masas tan pequeñas como nuestros cuerpos, o incluso objetos del tamaño de un rascacielos, es increíblemente pequeña. Por ejemplo, dos masas de $1.0 kg$ ubicadas a $1.0 metro$ de distancia ejercen una fuerza de $6.7 \times 10^{-11} N$ entre sí. Este es el peso de un grano típico de polen.

Aunque la gravedad es la más débil de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, su naturaleza atractiva es lo que nos mantiene en la Tierra, hace que los planetas orbiten alrededor del Sol y el Sol en órbita alrededor de nuestra galaxia, y une galaxias en racimos, desde unas pocas hasta millones . La gravedad es la fuerza que forma el Universo.

Estrategia de resolución de problemas: ley de gravitación de Newton

Para determinar el movimiento causado por la fuerza gravitatoria, sigue estos pasos:

1. Identifica las dos masas, una o ambas, para las cuales deseas encontrar la fuerza gravitacional.
2. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, dibuja la fuerza que actúa sobre cada masa e indica la distancia entre sus centros de masa.
3. Aplica la segunda ley de movimiento de Newton a cada masa para determinar cómo se moverá.

Ejemplo 10.1

Una colisión en órbita

Considera dos vehículos de carga útil Soyuz casi esféricos, en órbita alrededor de la Tierra, cada uno con una masa de $9000 kg$ y un diámetro de $4,0 m$. Inicialmente descansan entre sí, a $10.0 m$ de centro a centro. (Como veremos en Las leyes del movimiento planetario de Kepler, ambos orbitan la Tierra a la misma velocidad e interactúan casi igual que si estuvieran aislados en el espacio profundo). Determina la fuerza de gravedad entre ellos y su aceleración inicial. Calcula cuánto tiempo les toma a la deriva y qué tan rápido se mueven al impactar.

Estrategia

Usamos la ley de gravitación de Newton para determinar la fuerza entre ellos y luego usamos la segunda ley de Newton para encontrar la aceleración de cada uno. Para la estimación, suponemos que esta aceleración es constante, y usamos las ecuaciones de aceleración constante para encontrar el tiempo y la velocidad de la colisión.

Solución

La magnitud de la fuerza es

La aceleración inicial de cada carga útil es

Los vehículos tienen un diámetro de $4.0 m$, por lo que los vehículos se mueven de $10.0 m$ a $4.0 m$ de distancia, o una distancia de $3.0 m $cada uno. Un cálculo similar al anterior, para cuando los vehículos están a $4.0 m$ de distancia, produce una aceleración de $3.8 \times 10^{−8} m/s^2$, y el promedio de estos dos valores es $2.2 \times 10^{−8} m/s^2$. Si asumimos una aceleración constante igual a este valor y que comienzan desde el reposo, entonces los vehículos colisionan con la velocidad dada por

donde $v_0 = 0$, entonces

Usamos $v = v_0 + at$ para encontrar $t = v/a = 1.7 \times 10^4> s$ o aproximadamente $4.6$ horas.

Explicación

Estos cálculos, incluida la fuerza inicial, son solo estimaciones, ya que los vehículos probablemente no son esféricamente simétricos. Pero puedes ver que la fuerza es increíblemente pequeña. Los astronautas deben atarse a sí mismos cuando trabajen fuera incluso de la enorme Estación Espacial Internacional (EEI), como en la figura 10.4, porque la atracción gravitacional no puede salvarlos ni siquiera de la menor presión de la estación.

Comprueba tu aprendizaje 10.1

El efecto de la gravedad entre dos objetos con masas en el orden de estos vehículos espaciales es realmente pequeño. Sin embargo, el efecto de la gravedad sobre ti desde la Tierra es tan significativo que una caída a la Tierra de solo unos pocos pies puede ser peligrosa. Examinamos la fuerza de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra en la siguiente sección.

Ejemplo 10.2

Atracción entre las galaxias

Encuentra la aceleración de nuestra galaxia, la Vía Láctea, debido a la galaxia de tamaño comparable más cercana, la galaxia de Andrómeda (Figura 10.5).

La masa aproximada de cada galaxia es de $800$ mil millones de masas solares (una masa solar es la masa de nuestro Sol), y están separadas por $2,5$ millones de años luz (ten en cuenta que la masa de Andrómeda no es tan conocida, pero se cree que es un poco más grande que nuestra galaxia). Cada galaxia tiene un diámetro de aproximadamente $100.000$ años luz ($1 \;luz-año = 9.5 \times 10^{15} m$).

Estrategia

Como en el ejemplo anterior, usamos la ley de gravitación de Newton para determinar la fuerza entre ellos y luego usamos la segunda ley de Newton para encontrar la aceleración de la Vía Láctea. Podemos considerar las galaxias como masas puntuales, ya que sus tamaños son aproximadamente $25$ veces más pequeños que su separación. La masa del Sol es de $2.0 \times 10^{30} kg$ y un año luz es la distancia que la luz viaja en un año, $9.5 \times 10^{15} m$.

Solución

La magnitud de la fuerza es

La aceleración de la Vía Láctea es

Explicación

¿Este valor de aceleración parece asombrosamente pequeño? Si comienzan desde el reposo, acelerarían directamente el uno hacia el otro, "colisionando" en su centro de masa.

Estimemos el tiempo para que esto suceda. La aceleración inicial es $\approx 10-13 m/s^2$, entonces usando $v = at$, vemos que tomaría $\approx 10^{13}s$ para que cada galaxia alcance una velocidad de $1.0 m/s$, y estarían solo $\approx 0.5 \times 10^{13} m$ más cerca. Eso es nueve órdenes de magnitud más pequeño que la distancia inicial entre ellos. En realidad, tales movimientos son raramente simples. Estas dos galaxias, junto con alrededor de otras $50$ galaxias más pequeñas, están todas unidas gravitacionalmente en nuestro racimo local. Nuestro racimo local está ligado gravitacionalmente a otros racimos en lo que se llama un supercúmulo. Todo esto es parte de la gran danza cósmica que resulta de la gravitación, como se muestra en la figura 10.6.

Gravitación cerca de la superficie de la Tierra

En esta sección, observaremos cómo se aplica la ley de gravitación de Newton en la superficie de un planeta y cómo se conecta con lo que aprendimos antes sobre la caída libre. También examinaremos los efectos gravitacionales dentro de los cuerpos esféricos.

Peso

Recuerda que la aceleración de un objeto que cae libremente cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente $g = 9.80 m/s^2$. La fuerza que causa esta aceleración se denomina peso del objeto y, según la segunda ley de Newton, tiene el valor de $mg$. Ahora sabemos que esta fuerza es la fuerza gravitacional entre el objeto y la Tierra. Si sustituimos mg por la magnitud de $\bold{\vec{F}}_{12}$ en la ley de Newton de la gravitación universal, $m$ por $m_1$ y $M_E$ por $m_2$, obtenemos la ecuación escalar

donde $r$ es la distancia entre los centros de masa del objeto y la Tierra. El radio promedio de la Tierra es de aproximadamente $6370 km$. Por lo tanto, para objetos dentro de unos pocos kilómetros de la superficie de la Tierra, podemos tomar $r = R_E$ (Figura 10.7). La masa $m$ del objeto se cancela, obteniendo:

Esto explica por qué todas las masas caen libremente con la misma aceleración. Hemos ignorado el hecho de que la Tierra también acelera hacia el objeto que cae, pero eso es aceptable siempre y cuando la masa de la Tierra sea mucho más grande que la del objeto.

Ejemplo 10.3

Masas de la tierra y la luna

¿Te has preguntado alguna vez cómo conocemos la masa de la Tierra? Ciertamente no podemos ubicarlo en una escala. Los valores de g y el radio de la Tierra se midieron con una precisión razonable hace siglos.

a. Usa los valores estándar de $g, R_E$ y la Ecuación 10.2 para encontrar la masa de la Tierra.

b. Estima el valor de $g$ en la Luna. Usa el hecho de que la Luna tiene un radio de aproximadamente $1700 km$ (un valor de esta precisión se determinó hace muchos siglos) y supón que tiene la misma densidad promedio que la Tierra, $5500 kg/m^3$.

Estrategia

Con los valores conocidos de $g$ y $R_E$, podemos usar la Ecuación 10.2 para encontrar $M_E$. Para la Luna, usamos la suposición de densidad promedio igual para determinar la masa a partir de una relación de los volúmenes de la Tierra y la Luna.

Solución

a. Reordenando la Ecuación 10.2, tenemos

b. El volumen de una esfera es proporcional al radio al cubo, por lo que una proporción simple nos da

Ahora usamos la Ecuación 10.2.

Explicación

Tan pronto como Cavendish determinó el valor de $G$ en 1798, se pudo calcular la masa de la Tierra (De hecho, ese fue el objetivo final del experimento de Cavendish). El valor que calculamos para $g$ de la Luna es incorrecto. La densidad promedio de la Luna es de solo $3340 kg/m^3$ y $g = 1.6 m/s^2$ en la superficie. Newton intentó medir la masa de la Luna comparando el efecto del Sol sobre las mareas oceánicas de la Tierra en comparación con el de la Luna. Su valor era un factor de dos demasiado pequeño. Los valores más precisos para g y la masa de la Luna provienen del seguimiento del movimiento de las naves espaciales que han orbitado alrededor de la Luna. Pero la masa de la Luna en realidad se puede determinar con precisión sin ir a la Luna. La Tierra y la Luna orbitan alrededor de un centro común de masa, y las cuidadosas mediciones astronómicas pueden determinar esa ubicación.

La relación entre la masa de la Luna y la de la Tierra es la relación entre (la distancia desde el centro de masa común hasta el centro de la Luna) y (la distancia desde el centro de masa común al centro de la Tierra).

Más adelante en este capítulo, veremos que la masa de otros cuerpos astronómicos también puede determinarse por el período de pequeños satélites que orbitan alrededor de ellos. Pero hasta que Cavendish determinó el valor de G, las masas de todos estos cuerpos eran desconocidas.

Ejemplo 10.4

Gravedad sobre la superficie de la Tierra

¿Cuál es el valor de $g$ a $400 km$ sobre la superficie de la Tierra, donde la Estación Espacial Internacional está en órbita?

Estrategia

Usando el valor de $M_E$ y observando que el radio es $r = R_E + 400 km$, usamos la Ecuación 10.2 para hallar $g$.

De la ecuación 10.2 tenemos

A menudo vemos videos de astronautas en estaciones espaciales, aparentemente sin peso.

Pero claramente, la fuerza de la gravedad actúa sobre ellos. Comparando el valor de g que calculamos con el de la Tierra ($9.80 m/s^2$), vemos que los astronautas de la Estación Espacial Internacional aún tienen el $88\%$ de su peso. Solo parecen ser ingrávidos porque están en caída libre.

Comprueba tu aprendizaje 10.2

Poniendo en órbita los satélites

En el siguiente objeto interactivo, diseñado por James Abbatiello, trata de poner en órbita un satélite.

Haz clic para poner el satélite y arrástralo para darle un empujón. No te exageres con el empujón, pues podrías enviar el satélite a otra galaxia.

Cosas para explorar

• ¿Puedes poner un satélite en órbita alrededor de la Tierra?
• ¿Es más fácil poner algo en órbita cerca de la Tierra o más lejos?
• ¿Hay alguna diferencia en la dificultad para obtener satélites orbitando en el sentido de las agujas del reloj y no en el sentido contrario?
• ¿Puedes poner un satélite en órbita alrededor de la Luna?

• Qué sucede con los satélites que orbitan alrededor de la Tierra a aproximadamente la misma distancia que la Luna?
• ¿Puedes iniciar un satélite fuera de la órbita de la Luna y hacer que se establezca en una órbita dentro de la órbita de la Luna? ¿Por qué o por qué no?

El campo gravitacional

La ecuación 10.2 es una ecuación escalar, que da la magnitud de la aceleración gravitacional como una función de la distancia desde el centro de la masa que causa la aceleración. Pero podríamos haber conservado la forma vectorial de la fuerza de la gravedad en la Ecuación 10.1, y escribir la aceleración en forma vectorial como

Identificamos el campo vectorial representado por $\bold{\vec{g}}$ como el campo gravitatorio causado por la masa $M$. Podemos imaginar el campo como se muestra en la figura 10.8. Las líneas se dirigen radialmente hacia adentro y se distribuyen simétricamente alrededor de la masa.

Como sucede con cualquier campo vectorial, la dirección de $\bold{\vec{g}}$ es paralela a las líneas de campo en cualquier punto. La intensidad de $\bold{\vec{g}}$ en cualquier punto es inversamente proporcional al espaciado entre líneas. Otra forma de decir esto es que la magnitud del campo en cualquier región es proporcional al número de líneas que pasan a través de un área de superficie unitaria, efectivamente es una densidad de líneas. Dado que las líneas están equiespaciadas en todas las direcciones, el número de líneas por unidad de superficie a una distancia $r$ de la masa es el número total de líneas divididas por el área de superficie de una esfera de radio $r$, que es proporcional a $r^2$. Por lo tanto, esta imagen representa perfectamente la ley del cuadrado inverso, además de indicar la dirección del campo. En la imagen de campo, decimos que una masa m interactúa con el campo gravitacional de la masa $M$. Utilizaremos el concepto de campos con gran ventaja en los capítulos posteriores sobre electromagnetismo del volumen II de Física.

Peso aparente: Contabilización de la rotación de la Tierra

Como vimos en las aplicaciones de las Leyes de Newton, los objetos que se mueven a velocidad constante en un círculo tienen una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro del círculo, lo que significa que debe haber una fuerza neta dirigida hacia el centro de ese círculo. Como todos los objetos en la superficie de la Tierra se mueven a través de un círculo cada $24$ horas, debe haber una fuerza centrípeta neta en cada objeto dirigido hacia el centro de ese círculo.

Consideremos primero un objeto de masa $m$ ubicado en el ecuador, suspendido de una pesa (Figura 10.9). La pesa (medidor de peso) ejerce una fuerza hacia arriba $\bold{\vec{F}}$ lejos del centro de la Tierra. Esta es la lectura en la pesa, y por lo tanto es el peso aparente del objeto. El peso ($mg$) apunta hacia el centro de la Tierra. Si la Tierra no estuviera girando, la aceleración sería cero y, en consecuencia, la fuerza neta sería cero, lo que da como resultado $F_s = mg$. Esta sería la verdadera lectura del peso.

Con la rotación, la suma de estas fuerzas debe proporcionar la aceleración centrípeta, $a_c$. Usando la segunda ley de Newton, tenemos:

Ten en cuenta que $a_c$ apunta en la misma dirección que el peso; por lo tanto, es negativo. La velocidad tangencial $v$ es la velocidad en el ecuador y $r$ es $R_E$. Podemos calcular la velocidad simplemente observando que los objetos en el ecuador recorren la circunferencia de la Tierra en $24$ horas. En su lugar, usemos la expresión alternativa para $a_c$ vista en el capítulo de cinemática en dos y tres dimensiones.

Recuerda que la velocidad tangencial está relacionada con la velocidad angular ($\omega$) mediante $v = r\omega$. Por lo tanto, tenemos $a_c = -r\omega^2$. Al reordenar la ecuación 10.3 y sustituir $r$ por $R_E$, el peso aparente en el ecuador es

La velocidad angular de la Tierra en todas partes es

Sustituyendo los valores de $R_E$ y $\omega$, tenemos $R_E\omega^2 = 0.0337 m/s^2$. Esto es solo el $0,34\%$ del valor de la gravedad, por lo que es claramente una pequeña corrección.

Ejemplo 13.5

Peso aparente cero

¿Qué tan rápido necesitaría la Tierra girar para que los que están en el ecuador tengan un peso aparente cero? ¿Cuánto tiempo duraría la duración del día?

Estrategia

Usando la ecuación 10.3, podemos establecer el peso aparente ($F_s$) en cero y determinar la aceleración centrípeta requerida. A partir de ello, podemos encontrar la velocidad en el ecuador. La duración del día es el tiempo requerido para una rotación completa.

Solución

De la Ecuación 10.2, tenemos $\sum F = F_s -mg = ma_c$, por lo que al establecer $F_s = 0$, obtenemos $g = a_c$. Usando la expresión para $a_c$, sustituyendo el radio de la Tierra y el valor estándar de la gravedad, obtenemos

El período $T$ es el tiempo para una rotación completa. Por lo tanto, la velocidad tangencial es la circunferencia dividida por $T$, por lo que tenemos:

Explicación

Veremos más adelante en este capítulo que esta velocidad y duración del día también sería la velocidad orbital y el período de un satélite en órbita en la superficie de la Tierra. Si bien esa órbita no sería posible cerca de la superficie de la Tierra debido a la resistencia del aire, ciertamente es posible solo a unos pocos cientos de millas sobre la Tierra.

Resultados lejos del ecuador

En los polos, $a_c \to 0$ y $F_s = mg$, tal como es el caso sin rotación. En cualquier otra latitud $\lambda$, la situación es más complicada. La aceleración centrípeta se dirige hacia el punto $P$ en la figura, y el radio se convierte en $r = R_Ecos\lambda$. La suma vectorial del peso y $\bold{\vec{F}}_s$ deben apuntar hacia el punto $P$, por lo tanto, $\bold{\vec{F}}_s$ ya no apunta hacia el centro de la Tierra (La diferencia es pequeña y exagerada en la figura). Una plomada siempre apuntará a lo largo de esta dirección desviada. Todos los edificios están construidos alineados a lo largo de esta dirección desviada, no a lo largo de un radio que atraviesa el centro de la Tierra. Para los edificios más altos, esto representa una desviación de unos pocos pies en la parte superior.

También vale la pena señalar que la Tierra no es una esfera perfecta.

El interior es parcialmente líquido, y esto mejora el abultamiento de la Tierra en el ecuador debido a su rotación.

El radio de la Tierra es aproximadamente $30 km$ mayor en el ecuador en comparación con los polos. Se deja como ejercicio el comparar la fuerza de la gravedad en los polos con la del ecuador usando la Ecuación 10.2. La diferencia es comparable a la diferencia debida a la rotación y está en la misma dirección. Aparentemente, puedes perder "peso" al mudarte a los trópicos.

Gravedad lejos de la superficie

Anteriormente afirmamos sin pruebas que la ley de la gravitación se aplica a los objetos esféricamente simétricos, donde la masa de cada cuerpo actúa como si estuviera en el centro del cuerpo. Como la Ecuación 10.2 se deriva de la Ecuación 10.1, también es válida para distribuciones de masa simétricas, pero ambas ecuaciones son válidas solo para valores de $r \ge R_E$. Como vimos en el Ejemplo 10.4, a $400 km$ sobre la superficie de la Tierra, donde la Estación Espacial Internacional orbita, el valor de $g$ es $8.67 m/s^2$ (Veremos más adelante que esta es también la aceleración centrípeta de la EEI).

Para $r \lt R_E$, las ecuaciones 10.1 y 10.2 no son válidas. Sin embargo, podemos determinar g para estos casos usando un principio que proviene de la ley de Gauss, que es una poderosa herramienta matemática que estudiaremos con más detalle más adelante. Una consecuencia de la ley de Gauss, aplicada a la gravitación, es que solo la masa dentro de $r$ contribuye a la fuerza gravitatoria. Además, esa masa, al igual que antes, puede considerarse ubicada en el centro. El efecto gravitacional de la masa fuera de r tiene un efecto neto cero.

Dos casos especiales muy interesantes ocurren.

Para un planeta esférico con densidad constante, la masa dentro de $r$ es la densidad multiplicada por el volumen dentro de $r$.

Esta masa se puede considerar ubicada en el centro.

Sustituyendo $M_E$ con solo la masa dentro de $r$ por $M = \rho \times (\text{volumen de una esfera})$, y $R_E$ por $r$, la ecuación 10.2 se vuelve

El valor de $g$, y por lo tanto su peso, disminuye linealmente a medida que desciende por un agujero hasta el centro del planeta esférico. En el centro, es ingrávida, ya que la masa del planeta tira por igual en todas las direcciones.

En realidad, la densidad de la Tierra no es constante, ni la Tierra es sólida en todas partes. La Figura 10.10 muestra el perfil de $g$ si la Tierra tiene densidad constante y el perfil más probable se basa en las estimaciones de densidad derivadas de los datos sísmicos.

El segundo caso interesante se refiere a vivir en un planeta de corteza esférica. Este escenario ha sido propuesto en muchas historias de ciencia ficción. Ignorando los problemas de ingeniería significativos, la corteza podría construirse con un radio deseado y una masa total, tal que $g$ en la superficie sea el mismo que el de la Tierra.

¿Puedes adivinar qué pasa una vez que desciendes en un ascensor hacia el interior de la corteza, donde no hay masa entre tú y el centro? ¿Qué beneficios proporcionaría esto para viajar grandes distancias desde un punto en la esfera a otro? Y finalmente, ¿qué efecto habría si el planeta girara?

Energía potencial gravitacional y energía total

Estudiamos la energía potencial gravitacional en el capítulo "Energía potencial y Conservación de la energía", donde el valor de $g$ se mantuvo constante. Ahora desarrollaremos una expresión que funciona a distancias tales que g no es constante.

Energía potencial gravitacional más allá de la Tierra

Hemos definido el trabajo y la energía potencial. La utilidad de esas definiciones es la facilidad con la que podemos resolver muchos problemas utilizando la conservación de la energía. La energía potencial es particularmente útil para las fuerzas que cambian con la posición, ya que la fuerza gravitatoria lo hace a grandes distancias. Demostramos, también, que el cambio en la energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra es $\Delta U = mg(y_2 - y_1)$. Esto funciona muy bien si $g$ no cambia significativamente entre $y_1$ e $y_2$. Volvemos a la definición de trabajo y energía potencial para derivar una expresión que es correcta a grandes distancias.

Recuerda que el trabajo ($W$) es la integral del producto escalar entre la fuerza y ​​la distancia. Esencialmente, es el producto del componente de una fuerza a lo largo de un desplazamiento multiplicado por ese desplazamiento. Definimos $\Delta U$ como el negativo del trabajo realizado por la fuerza que asociamos con la energía potencial. Para mayor claridad, derivamos una expresión para mover una masa m desde la distancia $r_1$ desde el centro de la Tierra hasta la distancia $r_2$. Sin embargo, el resultado se puede generalizar fácilmente a dos objetos que cambian su separación de un valor a otro.

Considera la Figura 10.11, en la cual tomamos $m$ desde una distancia $r_1$ desde el centro de la Tierra hasta una distancia que es $r_2$ desde el centro. La gravedad es una fuerza conservadora (su magnitud y dirección son funciones de la ubicación solamente), por lo que podemos tomar cualquier trayectoria que deseemos, y el resultado para el cálculo del trabajo es el mismo.

Tomamos la trayectoria que se muestra en la figura, ya que simplifica enormemente la integración. Primero nos movemos radialmente hacia afuera desde la distancia $r_1$ a la distancia $r_2$, y luego nos movemos a lo largo del arco de un círculo hasta que alcanzamos la posición final. Durante la porción radial, $\bold{\vec{F}}$ es opuesta a la dirección en que viajamos a lo largo de $d\bold{\vec{r}}$, así que $E = K_1 + U_1 = K_2 + U_2$. A lo largo del arco, $\bold{\vec{F}}$ es perpendicular a $d\bold{\vec{r}}$, entonces $\bold{\vec{F}}\cdot d\bold{\vec{r}} = 0$. No se realiza ningún trabajo mientras avanzamos a lo largo del arco. Usando la expresión de la fuerza gravitacional y observando los valores de $\bold{\vec{F}}\cdot d\bold{\vec{r}}$ a lo largo de los dos segmentos de nuestra trayectoria, tenemos

Dado que $\Delta U = U_2 - U_1$, podemos adoptar una expresión simple para $U$:

Ten en cuenta dos elementos importantes con esta definición. Primero, $U \to 0$ como $r \to \infin$. La energía potencial es cero cuando las dos masas están infinitamente separadas. Solo la diferencia en $U$ es importante, por lo que la elección de $U = 0$ para $r = \infin$ es meramente de conveniencia (Recuerda que en problemas de gravedad anteriores, eras libre de tomar U = 0 en la parte superior o inferior de un edificio, o en cualquier parte). En segundo lugar, ten en cuenta que $U$ se vuelve cada vez más negativo a medida que las masas se acercan. Eso es consistente con lo que aprendiste sobre la energía potencial.

Como las dos masas están separadas, se debe realizar un trabajo positivo contra la fuerza de la gravedad, y por lo tanto, $U$ aumenta (se vuelve menos negativo). Todas las masas se unen de forma natural bajo la influencia de la gravedad, cayendo desde una energía potencial superior a una inferior.

Ejemplo 10.6

Levantando una carga útil

¿Cuánta energía se necesita para levantar el vehículo Soyuz de $9000 kg$ desde la superficie de la Tierra hasta la altura del ISS, $400 km$ por encima de la superficie?

Estrategia

Usa la ecuación 10.2 para encontrar el cambio en la energía potencial de la carga útil. Esa cantidad de trabajo o energía se debe suministrar para levantar la carga útil.

Solución

Prestando atención al hecho de que comenzamos en la superficie de la Tierra y terminamos a $400 km$ sobre la superficie, el cambio en $U$ es

Insertamos los valores

y conviertes $400 km$ en $4.00 \times 10^5 m$. Encontramos $\Delta U = 3.32 \times 10^{10} J$. Es positivo, lo que indica un aumento en la energía potencial, como era de esperar.

Explicación

Como perspectiva, considera que el uso promedio de energía en los hogares de EE. UU., en 2013, fue de $909 kWh$ por mes. Esa es la energía de

Entonces, nuestro resultado es un gasto de energía equivalente a $10$ meses. Pero esta es solo la energía necesaria para elevar la carga útil a 400 km.

Si queremos que el Soyuz esté en órbita para que pueda encontrarse con el ISS y no simplemente retroceder a la Tierra, necesita mucha energía cinética. Como vemos en la siguiente sección, esa energía cinética es aproximadamente cinco veces la de ΔU. Además, se gasta mucha más energía levantando el propio sistema de propulsión. Los viajes espaciales no son baratos.

Comprueba tu aprendizaje 10.2

Conservacion de la energia

En el capítulo de energía potencial y conservación de la energía, describimos cómo aplicar la conservación de energía para sistemas con fuerzas conservadoras. Pudimos resolver muchos problemas, particularmente aquellos que involucran la gravedad, más simplemente usando la conservación de la energía. Esos principios y estrategias de resolución de problemas se aplican igualmente bien aquí. El único cambio es colocar la nueva expresión de energía potencial en la ecuación de conservación de la energía, $E = K_1 + U_1 = K_2 + U_2.

Ten en cuenta que usamos $M$, en lugar de $M_E$, como un recordatorio de que no estamos restringidos a problemas que involucran a la Tierra. Sin embargo, todavía suponemos que $m \lt\lt M $(Para problemas en los que esto no es cierto, necesitamos incluir la energía cinética de ambas masas y usar la conservación del momento para relacionar las velocidades entre sí. Pero el principio sigue siendo el mismo).

Velocidad de escape

La velocidad de escape a menudo se define como la velocidad inicial mínima de un objeto que se requiere para escapar de la superficie de un planeta (o cualquier cuerpo grande como la luna) y nunca regresar. Como de costumbre, suponemos que no se pierde energía en la atmósfera, en caso de haberla.

Considera el caso donde un objeto se lanza desde la superficie de un planeta con una velocidad inicial dirigida lejos del planeta. Con la velocidad mínima necesaria para escapar, el objeto simplemente llegaría a descansar infinitamente lejos, es decir, el objeto cederá el último de su energía cinética justo cuando alcanza el infinito, donde la fuerza de la gravedad se vuelve cero. Desde $U \to 0$ y $r \to infin$, esto significa que la energía total es cero. Por lo tanto, encontramos la velocidad de escape desde la superficie de un cuerpo astronómico de masa $M$ y radio $R$ al establecer la energía total igual a cero. En la superficie del cuerpo, el objeto se encuentra en $r_1 = R$ y tiene una velocidad de escape $v_1 = v_{esc}$. Alcanza $r_2 = \infin$ con velocidad $v_2 = 0$. Sustituyendo a la Ecuación 10.5, tenemos

Resolviendo para la velocidad de escape,

Observa que $m$ se ha cancelado fuera de la ecuación. La velocidad de escape es la misma para todos los objetos, independientemente de la masa. Además, no estamos restringidos a la superficie del planeta; R puede ser cualquier punto de partida más allá de la superficie del planeta.

Ejemplo 10.7

Escapando de la tierra

¿Cuál es la velocidad de escape de la superficie de la Tierra? Supón que no hay pérdida de energía por la resistencia del aire. Compara esto con la velocidad de escape del Sol, comenzando desde la órbita de la Tierra.

Estrategia

Usamos la Ecuación 10.6, que define claramente los valores de $R$ y $M$. Para escapar de la Tierra, necesitamos la masa y el radio de la Tierra. Para escapar del Sol, necesitamos la masa del Sol y la distancia orbital entre la Tierra y el Sol.

Solución

Sustituyendo los valores de la masa y el radio de la Tierra directamente en la Ecuación 10.6, obtenemos

Eso es aproximadamente $11 km/s$ o $25,000 mph$. Para escapar del Sol, comenzando desde la órbita de la Tierra, usamos $R = R_{TS} = 1.50 \times 10^{11}m$ y $M_{sol} = 1.99 \times 10^{30} kg$. El resultado es $v_{esc} = 4.21 \times 10^4 m/s$ o aproximadamente $42 km/s$.

Explicación

La velocidad necesaria para escapar del Sol (salir del sistema solar) es casi cuatro veces la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Pero hay ayuda en ambos casos. La Tierra está girando, a una velocidad de casi de $1,7 km/s$ en el ecuador, y podemos usar esa velocidad para ayudarnos a escapar, o para lograr la órbita.

Por esta razón, muchas compañías espaciales comerciales mantienen instalaciones de lanzamiento cerca del ecuador. Para escapar del Sol, hay aún más ayuda. La Tierra gira alrededor del Sol a una velocidad de aproximadamente $30 km/s$. Al lanzar en la dirección en que la Tierra se está moviendo, solo necesitamos $12 km/s$ adicionales. El uso de la asistencia gravitacional de otros planetas, es esencialmente una técnica de tirachinas de gravedad, permite que las sondas espaciales alcancen velocidades aún mayores. En esta técnica, el vehículo se acerca al planeta y se acelera por la atracción gravitacional del planeta. Tiene su mayor velocidad en el punto más cercano de aproximación, aunque se desacelera en la misma medida a medida que se aleja. Pero en relación con el planeta, la velocidad del vehículo mucho antes de la aproximación, y mucho después, es la misma.

Si las instrucciones se eligen correctamente, eso puede dar como resultado un aumento significativo (o una disminución si es necesario) en la velocidad del vehículo en relación con el resto del sistema solar.

Comprueba tu aprendizaje 10.4

Energía y objetos gravitacionales

Como se indicó anteriormente, la velocidad de escape se puede definir como la velocidad inicial de un objeto que puede escapar de la superficie de una luna o un planeta. De manera más general, es la velocidad en cualquier posición tal que la energía total es cero. Si la energía total es cero o mayor, el objeto se escapa. Si la energía total es negativa, el objeto no puede escapar. Veamos por qué ese es el caso.

Como se señaló anteriormente, vemos que $U \to 0$ si $r \to \infin$. Si la energía total es cero, entonces cuando m alcanza un valor de $r$ que se acerca al infinito, $U$ se convierte en cero y también la energía cinética. Por lo tanto, m se detiene infinitamente lejos de $M$. Se "acaba de escapar" $M$. Si la energía total es positiva, entonces la energía cinética permanece en $r = \infin$ y ciertamente m no regresa. Cuando la energía total es cero o mayor, decimos que $m$ no está unida gravitacionalmente a $M$.

Por otro lado, si la energía total es negativa, entonces la energía cinética debe llegar a cero en algún valor finito de $r$, donde $U$ es negativo e igual a la energía total.

El objeto nunca puede exceder esta distancia finita de $M$, ya que hacerlo requeriría que la energía cinética se vuelva negativa, lo cual no es posible. Decimos que $m$ está gravitacionalmente ligado a M.

Hemos simplificado esta discusión asumiendo que el objeto se dirigió directamente fuera del planeta. Lo que es notable es que el resultado se aplica a cualquier velocidad. La energía es una cantidad escalar y, por lo tanto, la ecuación 10.5 es una ecuación escalar: la dirección de la velocidad no juega ningún papel en la conservación de la energía. Es posible tener un sistema gravitacionalmente ligado donde las masas no "caigan juntas", sino que mantengan un movimiento orbital el uno sobre el otro.

Tenemos una observación final importante. Anteriormente afirmamos que si la energía total es cero o mayor, el objeto se escapa. Estrictamente hablando, las ecuaciones 10.5 y 10.6 se aplican a los objetos puntuales. También se aplican a objetos de tamaño finito, esféricamente simétricos, siempre que el valor de r en la Ecuación 10.5 sea siempre mayor que la suma de los radios de los dos objetos.

Si $r$ es menor que esta suma, entonces los objetos colisionan (Incluso para valores mayores de $r$, pero cerca de la suma de los radios, las fuerzas mareales gravitacionales podrían crear efectos significativos si ambos objetos son de tamaño planetario.

Examinamos los efectos de las mareas). Ni la energía total positiva ni negativa impide masas de tamaño finito de colisionar. Para objetos reales, la dirección es importante.

Ejemplo 10.8

¿Hasta dónde puede escapar un objeto?

Consideremos nuevamente el ejemplo anterior, donde calculamos la velocidad de escape desde la Tierra y el Sol, comenzando desde la órbita de la Tierra. Notamos que la Tierra ya tiene una velocidad orbital de $30 km/s$. Como veremos en la siguiente sección, esa es la velocidad tangencial necesaria para permanecer en órbita circular. Si un objeto tenía esta velocidad a la distancia de la órbita de la Tierra, pero se dirigía directamente lejos del Sol, ¿qué tan lejos viajaría antes de detenerse? Ignora los efectos gravitacionales de otros cuerpos.

Estrategia

El objeto tiene energías cinéticas y potenciales iniciales que podemos calcular. Cuando su velocidad llega a cero, está a su distancia máxima del Sol. Usamos la ecuación 10.5, conservación de la energía, para encontrar la distancia a la que la energía cinética es cero.

Solución

La posición inicial del objeto es el radio de órbita de la Tierra y la velocidad inicial se da como $30 km/s$. La velocidad final es cero, por lo que podemos hallar la distancia en ese punto desde la ecuación de la conservación de la energía. Utilizando $R_{TS} = 1.50 \times 10^{11} m$ y $M_{sol} = 1.99 \times 10^{30} kg$, tenemos

reemplazando

donde la masa $m$ se cancela. Resolviendo para $r_2$ obtenemos $r_2 = 3.0 \times 10^{11} m$. Ten en cuenta que esto es dos veces la distancia inicial del Sol y nos lleva más allá de la órbita de Marte, pero no del cinturón de asteroides.

Explicación

El objeto en este caso alcanzó una distancia exactamente el doble de la distancia orbital inicial. Veremos la razón de esto en la próxima sección cuando calculemos la velocidad de las órbitas circulares.

Comprueba tu aprendizaje 10.5

En el siguiente objeto interactivo de PhET Explorations, mueve el sol, la tierra, la luna y la estación espacial para ver cómo afecta sus fuerzas gravitatorias y trayectorias orbitales. ¡Visualiza los tamaños y las distancias entre los diferentes cuerpos celestes y desactiva la gravedad para ver lo que pasaría sin ésta!.

Órbitas satelitales y energía

La Luna orbita la Tierra. A su vez, la Tierra y los otros planetas orbitan alrededor del Sol. El espacio directamente sobre nuestra atmósfera está lleno de satélites artificiales en órbita. Examinaremos la órbita más simple de estas, la órbita circular, para comprender la relación entre la velocidad y el período de los planetas y los satélites en relación con sus posiciones y los cuerpos que orbitan.

Órbitas circulares

Como se señaló al principio de este capítulo, Nicolaus Copérnico sugirió por primera vez que la Tierra y todos los demás planetas orbitan alrededor del Sol en círculos.

Señaló además que los períodos orbitales aumentaron con la distancia del sol. El análisis posterior de Kepler mostró que estas órbitas son en realidad elipses, pero las órbitas de la mayoría de los planetas del sistema solar son casi circulares. La distancia orbital de la Tierra desde el Sol varía solo un $2\%$. La excepción es la órbita excéntrica de Mercurio, cuya distancia orbital varía casi $40\%$.

La determinación de la velocidad orbital y el período orbital de un satélite es mucho más fácil para las órbitas circulares, por lo que hacemos esa suposición en la derivación que sigue. Como describimos en la sección anterior, un objeto con energía total negativa está ligado gravitacionalmente y, por lo tanto, está en órbita. Nuestro cálculo para el caso especial de órbitas circulares lo confirmará. Nos enfocamos en objetos que orbitan alrededor de la Tierra, pero nuestros resultados pueden generalizarse para otros casos.

Considera un satélite de masa $m$ en una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia r del centro de la Tierra (Figura 10.12).

Tiene aceleración centrípeta dirigida hacia el centro de la Tierra. La gravedad de la Tierra es la única fuerza que actúa, por lo que la segunda ley de Newton nos da

De acuerdo con lo que vimos en las ecuaciones 10.2 y 10.6, m no aparece en la ecuación 10.7. El valor de $g$, la velocidad de escape y la velocidad orbital dependen solo de la distancia desde el centro del planeta, y no de la masa del objeto sobre el que se actúa. Observa la similitud en las ecuaciones para $v_{orbit}$ y $v_{esc}$. La velocidad de escape es exactamente $2$ veces mayor, aproximadamente $40\%$, que la velocidad orbital. Esta comparación se observó en el Ejemplo 10.7, y es verdadera para un satélite en cualquier radio.

Para encontrar el período de una órbita circular, notamos que el satélite recorre la circunferencia de la órbita $2\pi r$ en un período $T$. Usando la definición de velocidad, tenemos $v_{orbit} = 2\pi r / T$. Sustituimos esto en la Ecuación 10.7 y reorganizamos para obtener

Vemos en la siguiente sección que esto representa la tercera ley de Kepler para el caso de las órbitas circulares.

También confirma la observación de Copérnico de que el período de un planeta aumenta al aumentar la distancia del Sol.

Solo necesitamos reemplazar $M_E$ con $M_{Sol}$ en la Ecuación 10.8.

Concluimos esta sección volviendo a nuestra discusión anterior sobre los astronautas en órbita que parecen no tener peso, como si estuvieran cayendo libremente hacia la Tierra. De hecho, están en caída libre. Considera las trayectorias que se muestran en la figura 10.13 (Esta figura se basa en un dibujo de Newton en su Principia). Todas las trayectorias que se muestran que golpean la superficie de la Tierra tienen una velocidad inferior a la orbital. Los astronautas acelerarían hacia la Tierra a lo largo de las trayectorias no circulares que se muestran y se sentirían sin peso (Los astronautas realmente entrenan para vivir en órbita montando en aviones que caen libremente durante $30$ segundos a la vez). Pero con la velocidad orbital correcta, la superficie de la Tierra se aleja de ellos exactamente a la misma velocidad con la que caen hacia la Tierra. Por supuesto, mantenerse a la misma distancia de la superficie es el punto de una órbita circular.

Podemos resumir nuestra discusión sobre los satélites en órbita en la siguiente Estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo 10.9

La Estación Espacial Internacional

Determina la velocidad orbital y el período de la Estación Espacial Internacional (ISS).

Estrategia

Dado que el ISS orbita a $4.00 \times 10^2 km$ sobre la superficie de la Tierra, el radio en el que orbita es $R_E + 4.00 \times 10^2 km$. Usamos las ecuaciones 10.7 y 10.8 para encontrar la velocidad y el período orbitales, respectivamente.

Solución

Usando la ecuación 10.7, la velocidad orbital es

que es aproximadamente $17,000 mph.$ Usando la ecuación 10.8, el período es

que es un poco más de 90 minutos.

Explicación

Se considera que el ISS se encuentra en órbita terrestre baja (LEO). Casi todos los satélites están en LEO, incluida la mayoría de los satélites meteorológicos. Los satélites GPS, a unos $20,000 km$, se consideran una órbita media de la Tierra.

Cuanto más elevada es la órbita, más energía se necesita para ponerla allí y se necesita más energía para llegar a ella para su reparación. De particular interés son los satélites en órbita geosincrónica. Todas las antenas parabólicas fijas en el suelo apuntando hacia el cielo, como los platos de recepción de TV, apuntan hacia satélites geosincrónicos. Estos satélites se colocan a la distancia exacta, y justo encima del ecuador, de modo que su período de órbita es de 1 día. Permanecen en una posición fija con respecto a la superficie de la Tierra.

Comprueba tu aprendizaje 10.6

Ejemplo 10.10

Determinando la Masa de la Tierra

Determina la masa de la Tierra desde la órbita de la Luna.

Estrategia

Usamos la ecuación 10.8, resolvemos para $M_E$ y sustituimos el período y el radio de la órbita. El radio y el período de la órbita lunar se midieron con una precisión razonable hace miles de años. A partir de datos astronómicos, el período de la Luna es de $27,3 \;días = 2,36 \times 10^6 s$, y la distancia promedio entre los centros de la Tierra y la Luna es de $384,000 km$.

Solución

Resolviendo para $M_E, T = 2\pi \sqrt{r^3/GM_E}$

Explicación

Compara esto con el valor de $5.96 \times 10^{24} kg$ que obtuvimos en el Ejemplo 10.5, usando el valor de g en la superficie de la Tierra. Aunque estos valores son muy cercanos ($\approx 0.8\%$), ambos cálculos usan valores promedio. El valor de $g$ varía desde el ecuador hasta los polos en aproximadamente $0.5\%$. Pero la Luna tiene una órbita elíptica en la que el valor de $r$ varía un poco más del $10\%$ (El tamaño aparente de la Luna llena, en realidad varía aproximadamente en esta cantidad, pero es difícil de notar por observación casual ya que el tiempo de un extremo al otro es de muchos meses).

Comprueba tu aprendizaje 10.7

Ejemplo 10.11

Velocidad y período galáctico

Revisemos el Ejemplo 10.2. Supongamos que la Vía Láctea y las galaxias de Andrómeda están en órbita circular una sobre la otra. ¿Cuál sería la velocidad de cada una y por cuánto tiempo sería su período orbital? Supongamos que la masa de cada una es de $800$ mil millones de masas solares y sus centros están separados por $2,5$ millones de años luz.

Estrategia

No podemos usar las Ecuaciones 10.7 y 10.8 directamente porque se derivaron suponiendo que el objeto de masa m orbitaba alrededor del centro de un planeta de masa $M$ más grande. Determinamos la fuerza gravitacional en el Ejemplo 10.2 usando la ley de gravitación universal de Newton. Podemos usar la segunda ley de Newton, aplicada a la aceleración centrípeta de cualquiera de las galaxias, para determinar su velocidad tangencial. De ese resultado podemos determinar el período de la órbita.

Solución

En el ejemplo 10.2, encontramos que la fuerza entre las galaxias era

y que la aceleración de cada galaxia es

Como las galaxias están en una órbita circular, tienen aceleración centrípeta. Si ignoramos el efecto de otras galaxias, entonces, como aprendimos antes, los centros de masa de las dos galaxias permanecen fijos. Por lo tanto, las galaxias deben orbitar alrededor de este centro común de masa. Para masas iguales, el centro de masa está exactamente a mitad de camino entre ellos. Entonces el radio de la órbita, $r_{orbit}$, no es lo mismo que la distancia entre las galaxias, sino la mitad de ese valor, o $1.25$ millones de años luz. Estos dos valores diferentes se muestran en la figura 10.14.

Usando la expresión para la aceleración centrípeta, tenemos

Resolviendo para la velocidad de la órbita, tenemos $v_{orbit} = 47 km/s$. Finalmente, podemos determinar el período de la órbita directamente desde $T = 2πr/v_{orbit}$, para encontrar que el período es $T = 1.6 \times 10^{18} s$, alrededor de $50$ mil millones de años.

Explicación

La velocidad orbital de $47 km/s$ puede parecer alta al principio. Pero esta velocidad es comparable a la velocidad de escape del Sol, que calculamos en un ejemplo anterior. Para dar aún más perspectiva, este período es casi cuatro veces más largo que el tiempo que el Universo ha estado en existencia. De hecho, el movimiento relativo actual de estas dos galaxias es tal que se espera que colisionen en unos 4 mil millones de años. Aunque la densidad de las estrellas en cada galaxia hace poco probable una colisión directa de dos estrellas cualquiera, dicha colisión tendrá un efecto dramático en la forma de las galaxias. Ejemplos de tales colisiones son bien conocidos en astronomía

Comprueba tu aprendizaje 10.8

Energía en órbitas circulares

Anteriormente, hemos argumentado que los objetos están gravitacionalmente ligados si su energía total es negativa. El argumento se basó en el caso simple donde la velocidad estaba directamente lejos o hacia el planeta. Ahora examinamos la energía total para una órbita circular y mostramos que, de hecho, la energía total es negativa. Como lo hicimos antes, comenzamos con la segunda ley de Newton aplicada a una órbita circular,

En el último paso, multiplicamos por r en cada lado. El lado derecho es solo el doble de la energía cinética, entonces tenemos

La energía total es la suma de las energías cinética y potencial, por lo que nuestro resultado final es

Podemos ver que la energía total es negativa, con la misma magnitud que la energía cinética. Para órbitas circulares, la magnitud de la energía cinética es exactamente la mitad de la magnitud de la energía potencial.

Sorprendentemente, este resultado se aplica a cualquier dos masas en órbitas circulares sobre su centro de masa común, a una distancia r una de la otra. La prueba de esto se deja como un ejercicio. Veremos en la siguiente sección que se aplica una expresión muy similar en el caso de las órbitas elípticas.

Ejemplo 10.12

Energía requerida para orbitar

En el ejemplo 10.8, calculamos la energía requerida para simplemente levantar el vehículo Soyuz de $9000 kg $ desde la superficie de la Tierra hasta la altura del ISS, $400 km$ por encima de la superficie. En otras palabras, encontramos su cambio en la energía potencial.

Ahora nos preguntamos, ¿qué cambio total de energía en el vehículo Soyuz se requiere para sacarlo de la superficie de la Tierra y ponerlo en órbita con el ISS para una reunión espacial (Figura 10.15)? ¿Cuánto de esa energía total es energía cinética?

Estrategia

La energía requerida es la diferencia en la energía total del Soyuz en órbita y en la superficie de la Tierra. Podemos usar la Ecuación 10.9 para encontrar la energía total del Soyuz en la órbita de ISS. Pero la energía total en la superficie es simplemente la energía potencial, ya que comienza desde el reposo (Ten en cuenta que no utilizamos la ecuación 10.9 en la superficie, ya que no estamos en órbita en la superficie). La energía cinética se puede encontrar a partir de la diferencia en el cambio de energía total y el cambio en la energía potencial que se encuentra en el ejemplo 10.8. Alternativamente, podemos usar la Ecuación 10.7 para encontrar $v_{orbit}$ y calcular la energía cinética directamente a partir de eso. La energía total requerida es entonces la energía cinética más el cambio en la energía potencial que se encuentra en el Ejemplo 10.8.

Solución

De la Ecuación 10.9, la energía total del Soyuz en la misma órbita que la ISS es

El cambio en la energía es $\Delta E = E_{orbit} -E_{superficie} = 2.98 \times 10^{11} J$. Para obtener la energía cinética, restamos el cambio en la energía potencial del ejemplo 10.6, $\Delta U = 3.32 \times 10^{10} J$.

Eso nos da $K_{orbit} = 2.98 \times 10^{11} - 3.32 \times 10^{10} = 2.65 \times 10^{11} J$. Como se dijo anteriormente, la energía cinética de una órbita circular es siempre la mitad de la magnitud de la energía potencial, y lo mismo que la magnitud de la energía total. Nuestro resultado confirma esto.

El segundo enfoque es usar la Ecuación 10.7 para encontrar la velocidad orbital del Soyuz, lo cual hicimos para la ISS en el Ejemplo 10.9.

Entonces la energía cinética del Soyuz en órbita es

lo mismo que en el método anterior. La energía total es solo

Explicación

La energía cinética del Soyuz es casi ocho veces el cambio en su energía potencial, o el $90\%$ de la energía total necesaria para el encuentro con la ISS. Y es importante recordar que esta energía representa solo la energía que se le debe dar al Soyuz.

Con nuestra tecnología de cohetes actual, la masa del sistema de propulsión (el combustible del cohete, su contenedor y el sistema de combustión) excede por mucho la de la carga útil, y se debe dar una gran cantidad de energía cinética a esa masa. Entonces, el costo real en energía es muchas veces el del cambio en la energía de la carga útil en sí.

Las leyes de movimiento planetario de Kepler

Usando los datos precisos recopilados por Tycho Brahe, Johannes Kepler analizó cuidadosamente las posiciones en el cielo de todos los planetas conocidos y la Luna, trazando sus posiciones a intervalos regulares de tiempo. A partir de este análisis, formuló tres leyes, que abordamos en esta sección.

La primera ley de Kepler

La visión predominante durante la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos de Marte presentaron el mayor desafío para este punto de vista y finalmente alentaron a Kepler a renunciar a la idea popular. La primera ley de Kepler establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol ubicado en un foco de la elipse. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos, de modo que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La figura 10.16 muestra una elipse y describe una forma simple de crearla.

Para las órbitas elípticas, el punto de acercamiento más cercano de un planeta al Sol se llama perihelio. Se denomina punto $A$ en la figura 10.16. El punto más alejado es el afelio y se denomina punto $B$ en la figura. Para la órbita de la Luna sobre la Tierra, esos puntos se llaman perigeo y apogeo, respectivamente.

Una elipse tiene varias formas matemáticas, pero todas son un caso específico de la ecuación más general para las secciones cónicas. Hay cuatro secciones cónicas diferentes, todas dadas por la ecuación

Las variables $r$ y $\theta$ se muestran en la figura 10.17 en el caso de una elipse. Las constantes α y e están determinadas por la energía total y el momento angular del satélite en un punto dado. La constante $e$ se llama excentricidad. Los valores de $\alpha$ y $e$ determinan cuál de las cuatro secciones cónicas representa la ruta del satélite.

Uno de los verdaderos triunfos de la ley de gravitación universal de Newton, con la fuerza proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado, es que cuando se combina con su segunda ley, la solución para la trayectoria de cualquier satélite es una sección cónica. Cada trayectoria tomada por m es una de las cuatro secciones cónicas: un círculo o una elipse para órbitas unidas o cerradas, o una parábola o hipérbola para órbitas ilimitadas o abiertas. Estas secciones cónicas se muestran en la figura 10.18.

Si la energía total es negativa, entonces $0 \le e \lt 1$, y la ecuación 10.10 representa una órbita unida o cerrada de una elipse o un círculo, donde $e = 0$ (Puedes ver a partir de la ecuación 10.10 que para $e = 0, r = \alpha$, y por lo tanto el radio es constante). Para las elipses, la excentricidad se relaciona con la forma oblonga en que aparece la elipse. Un círculo tiene una excentricidad cero, mientras que una elipse muy larga y alargada tiene una excentricidad cerca de uno.

Si la energía total es exactamente cero, entonces $e = 1$ y la trayectoria es una parábola. Recuerda que un satélite con cero energía total tiene exactamente la velocidad de escape (la parábola se forma solo cortando el cono paralelo a la línea tangente a lo largo de la superficie). Finalmente, si la energía total es positiva, entonces $e \gt 1$ y la trayectoria es una hipérbola.

Estas dos últimas trayectorias representan órbitas ilimitadas, donde m pasa por M una sola vez. Esta situación se ha observado para varios cometas que se acercan al Sol y luego viajan lejos, para nunca regresar.

Nos hemos limitado al caso en que la masa más pequeña (planeta) orbita una masa mucho más grande, y por lo tanto estacionaria, (Sol), pero la Ecuación 10.10 también se aplica a cualquiera dos masas que interactúen gravitatoriamente. Cada masa traza la sección cónica exacta en la misma forma que la otra. Esa forma está determinada por la energía total y el momento angular del sistema, con el centro de masa del sistema ubicado en el foco. La relación de las dimensiones de las dos trayectorias es la inversa de la relación de sus masas.

La siguiente unidad interactiva del Proyecto Un_100, diseñada por José Luis Abreu León, presenta los parámetros que utilizó Kepler para definir una trayectoria elíptica en el espacio, se muestran, además, los valores correspondientes a cada planeta.

En particular se explican los conceptos de equinoxio vernal, período, excentricidad, semieje mayor, perihelio, aelio, longitud de nodo ascendente, longitud de periapsis y anomalía verdadera.

El primer apartado de esta unidad interactiva, con el propósito de motivar el estudio de esta primera Ley de Kepler, presenta extractos de la película Ágora del cineasta Alejandro Amenúbar. En ellos Hipatia se esfuerza en comprender ciertas incongruencias entre las observaciones astronómicas y el modelo heliocéntrico de Aristarco. Como conocía perfectamente las curvas cónicas, la película especula que quizás Hipatia pudo llegar a concebir las trayectorias elípticas, aunque sabemos que quien realmente hizo esto fué Johannes Kepler un milenio más tarde.

Transferencias orbitales

La gente ha imaginado viajar a otros planetas de nuestro sistema solar desde que fueron descubiertos. Pero, ¿cómo podemos hacer mejor esto? El método más eficiente fue descubierto en 1925 por Walter Hohmann, inspirado en una popular novela de ciencia ficción de la época.

El método ahora se llama transferencia de Hohmann. Para el caso de viajar entre dos órbitas circulares, la transferencia se realiza a lo largo de una elipse de "transferencia" que intercepta perfectamente esas órbitas en el afelio y el perihelio de la elipse. La figura 10.19 muestra el caso de un viaje desde la órbita de la Tierra a la de Marte. Como antes, el Sol está en el foco de la elipse.

Para cualquier elipse, el eje semi-mayor se define como la mitad de la suma del perihelio y el afelio. En la figura 10.17, el eje semi mayor es la distancia desde el origen hasta cualquier lado de la elipse a lo largo del eje $x$, o solo la mitad del eje más largo (llamado eje mayor). Por lo tanto, para viajar desde una órbita circular de radio $r_1$ a otra órbita circular de radio $r_2$, el afelio de la elipse de transferencia será igual al valor de la órbita más grande, mientras que el perihelio será la órbita más pequeña. El semi-mayor eje, denotado por $a$, por lo tanto, se da por $a = 12 (r_1 + r_2)$.

Tomemos el caso de viajar de la Tierra a Marte. Por el momento, ignoramos los planetas y suponemos que estamos solos en la órbita de la Tierra y deseamos movernos a la órbita de Marte. De la ecuación 10.9, la expresión de la energía total, podemos ver que la energía total de una nave espacial en la órbita más grande (Marte) es mayor (menos negativa) que la de la órbita más pequeña (la Tierra). Para pasar a la elipse de transferencia desde la órbita de la Tierra, necesitaremos aumentar nuestra energía cinética, es decir, necesitamos un aumento de velocidad.

El método más eficiente es una aceleración muy rápida a lo largo de la trayectoria orbital circular, que también se encuentra a lo largo de la trayectoria de la elipse en ese punto (de hecho, la aceleración debe ser instantánea, de modo que las órbitas circulares y elípticas son congruentes durante la aceleración. En la práctica, la aceleración finita es lo suficientemente corta como para que la diferencia no sea una consideración significativa). Una vez que haya llegado a la órbita de Marte, necesitarás otro aumento de velocidad para moverte a esa órbita, o permanecerás en la órbita elíptica y simplemente volverás al perihelio donde comenzaste.

Para el viaje de regreso, simplemente inviertes el proceso en cada punto de transferencia.

Para hacer el movimiento hacia la elipse de transferencia y luego desactivarlo nuevamente, necesitamos conocer cada velocidad de la órbita circular y las velocidades de la órbita de transferencia en el perihelio y el afelio.

El aumento de velocidad requerido es simplemente la diferencia entre la velocidad de la órbita circular y la velocidad de la órbita elíptica en cada punto. Podemos encontrar las velocidades orbitales circulares de la ecuación 10.7.

Para determinar las velocidades de la elipse, declaramos sin pruebas (ya que está más allá del alcance de este curso) que la energía total para una órbita elíptica es

donde $M_S$ es la masa del Sol y $a$ es el eje semi-mayor.

Sorprendentemente, esto es lo mismo que la Ecuación 10.9 para órbitas circulares, pero con el valor del eje semi mayor que reemplaza el radio orbital. Como conocemos la energía potencial de la ecuación 10.4, podemos encontrar la energía cinética y, por lo tanto, la velocidad necesaria para cada punto en la elipse. Dejamos que sea un problema de desafío encontrar esas velocidades de transferencia para un viaje de la Tierra a Marte.

Terminamos esta discusión señalando algunos detalles importantes. En primer lugar, no hemos tenido en cuenta la energía potencial gravitatoria debida a la Tierra y Marte, o la mecánica del aterrizaje en Marte. En la práctica, eso debe ser parte de los cálculos. En segundo lugar, el tiempo es todo. No querrás llegar a la órbita de Marte para descubrir que no está allí.

Debemos abandonar la Tierra exactamente en el momento correcto, de modo que Marte esté en el afelio de nuestra elipse de transferencia justo cuando lleguemos. Esa oportunidad se produce cada 2 años. Y regresar también requiere un tiempo correcto. ¡El viaje total tomaría poco menos de $3$ años! Hay otras opciones que proporcionan un tránsito más rápido, incluido un sobrevuelo asistido por gravedad de Venus. Pero estas otras opciones tienen un costo adicional en energía y peligro para los astronautas.

Segunda ley de Kepler

La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, el área dividida por el tiempo, llamada velocidad del área, es constante. Considera la Figura 10.20. El tiempo que le toma a un planeta moverse de la posición $A$ a la $B$, barriendo el área $A_1$, es exactamente el tiempo necesario para pasar de la posición $C$ a la $D$, barrer el área $A_2$ y pasar de $E$ a $F$, barriendo el área $A_3$. Estas áreas son iguales: $A_1 = A_2 = A_3$.

Comparando las áreas en la figura y la distancia recorrida a lo largo de la elipse en cada caso, podemos ver que para que las áreas sean iguales, el planeta debe acelerar a medida que se acerca al Sol y disminuir la velocidad a medida que se aleja. Este comportamiento es completamente coherente con nuestra ecuación de conservación, Ecuación 10.5. Pero demostraremos que la segunda ley de Kepler es en realidad una consecuencia de la conservación del momento angular, que se aplica a cualquier sistema con solo fuerzas radiales.

La definición de momento angular está dada por $\bold{\vec{L}} = \bold{\vec{r}} \times \bold{\vec{p}}$. Para el caso del movimiento en órbita, $\bold{\vec{L}} = \bold{\vec{r}}$ es el momento angular del planeta alrededor del Sol, $\bold{\vec{r}}$ es el vector de posición del planeta medido desde el Sol, y $\bold{\vec{p}} = m\bold{\vec{v}}$ es el momento lineal instantáneo en cualquier punto de la órbita. Como el planeta se mueve a lo largo de la elipse, $\bold{\vec{p}}$ siempre es tangente a la elipse.

Podemos hallar el momento lineal en dos componentes: un componente radial $\bold{\vec{p}}_{rad}$ a lo largo de la línea al Sol, y un componente $\bold{\vec{p}}_{perp}$ perpendicular a $\bold{\vec{r}}$. El producto cruz para el momento angular se puede escribir como

El primer término a la derecha es cero porque $\bold{\vec{r}}$ es paralelo a $\bold{\vec{p}}_{rad}$, y en el segundo término $\bold{\vec{r}}$ es perpendicular a $\bold{\vec{p}}_{perp}$, por lo que la magnitud del producto cruz se reduce a $L = rp_{perp} = rmv_{perp}$. Ten en cuenta que el momento angular no depende de $p_{rad}$. Como la fuerza gravitacional es solo en la dirección radial, solo puede cambiar $p_{rad}$ y no $p_{perp}$; por lo tanto, el momento angular debe permanecer constante.

Ahora considera la figura 10.21. Un área triangular pequeña $\Delta A$ se barre en el tiempo $\Delta t$. La velocidad es a lo largo de la trayectoria y forma un ángulo $\theta$ con la dirección radial. Por lo tanto, la velocidad perpendicular viene dada por $v_{perp} = vsen\theta$. El planeta se mueve una distancia $\Delta s = v\Delta tsen\theta$ proyectado a lo largo de la dirección perpendicular a $r$. Como el área de un triángulo es la mitad de la base ($r$) multiplicada por la altura ($\Delta s$), para un desplazamiento pequeño, el área está dada por $\Delta A = \frac12 r\Delta s$. Sustituyendo $\Delta s$, multiplicando por $m$ en el numerador y el denominador, y reorganizando, obtenemos

La velocidad del área es simplemente la tasa de cambio del área con el tiempo, por lo que tenemos

Como el momento angular es constante, la velocidad del área también debe ser constante. Esta es exactamente la segunda ley de Kepler. Al igual que con la primera ley de Kepler, Newton demostró que era una consecuencia natural de su ley de gravitación.

La siguiente unidad interactiva del Proyecto Un_100, inicialmente presenta un vídeo dedicado a la vida y obra de Johannes Kepler, en honor a quien descubrió las leyes fundamentales del movimiento planetarios que además llevaron a Isaac Newton a descubrir la Teoría de la Gravitación Universal, quizás el logro científico más notable de todos los tiempos, casi como una consecuencia lógica de dichas leyes y las suyas propias sobre el movimiento de los cuerpos en general, conocidas hoy como las tres leyes de Newton.

El primer apartado de esta unidad interactiva, con el propósito de motivar el estudio de esta primera Ley de Kepler, presenta extractos de la película Ágora del cineasta Alejandro Amenúbar. En ellos Hipatia se esfuerza en comprender ciertas incongruencias entre las observaciones astronómicas y el modelo heliocéntrico de Aristarco. Como conocía perfectamente las curvas cónicas, la película especula que quizás Hipatia pudo llegar a concebir las trayectorias elípticas, aunque sabemos que quien realmente hizo esto fué Johannes Kepler un milenio más tarde.

Se presenta, además, una escena en la que se muestran las órbitas elípticas de los planetas señalando en ellas con dos colores las áreas barridas en una doceava parte del período de cada planeta.

En particular en el caso de la Tierra estas áreas corresponden aproximadamente a los $12$ meses del año terrestre. Además se discuten las implicaciones sobre la rapidez de los planetas de esta Segunda ley, en particular el hecho de que ésta es mayor en el perihelio y menor en el afelio. Observa la unidad para que descubras otros datos interesantes acerca de esta segunda Ley de Kepler.

La tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. En el apartado de Órbitas de Satélite y Energía, derivamos la tercera ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. La ecuación 10.8 nos da el período de una órbita circular de radio r sobre la Tierra:

Para una elipse, recuerda que el eje semi mayor es la mitad de la suma del perihelio y el afelio. Para una órbita circular, el semieje mayor (a) es el mismo que el radio de la órbita. De hecho, la Ecuación 10.8 nos da la tercera ley de Kepler si simplemente reemplazamos $r$ por $a$.

Hemos cambiado la masa de la Tierra a $M$, que es más general, ya que esta ecuación se aplica a los satélites que orbitan cualquier masa grande.

Ejemplo 10.13

Órbita del cometa Halley

Determina el eje semi-mayor de la órbita del cometa Halley, dado que llega al perihelio cada $75.3$ años. Si el perihelio es $0.586 \;AU$, ¿qué es el afelio?

Estrategia

Nos dan el período, por lo que podemos reordenar la ecuación 10.11, resolviendo para el eje semi-mayor. Dado que conocemos el valor del perihelio, podemos usar la definición del eje semieje mayor, dado anteriormente en esta sección, para encontrar el afelio.

Notamos que $1$ Unidad Astronómica ($AU$) es el radio promedio de la órbita de la Tierra y se define como $1AU = 1.50 \times 10^{11} m$.

Solución

Reordenando la Ecuación 10.11 e insertando los valores del período del cometa Halley y la masa del Sol, tenemos

$a = \Big(\frac{GM}{4\pi^2}T^2\Big)^{1/3}$

El período en segundos sería: $T = 75.3año \times 365días/año \times 24hr/día \times 3600s/hr = 2.36 \times 10^9 s$

Entonces,

Esto arroja un valor de $2.67 \times 10^{12} m$ o $17.8 AU$ para el eje semi-mayor.

El eje semi mayor es la mitad de la suma del afelio y el perihelio, por lo que tenemos

Sustituyendo los valores, encontramos para el eje semi mayor y el valor dado para el perihelio, encontramos que el valor del afelio es de $35.0 AU$.

Explicación

Edmond Halley, un contemporáneo de Newton, primero sospechó que tres cometas, reportados en 1531, 1607 y 1682, en realidad eran el mismo cometa. Antes de que Tycho Brahe hiciera mediciones de los cometas, se creía que se trataban de eventos únicos, tal vez perturbaciones en la atmósfera y que no se veían afectados por el sol. Halley usó la nueva mecánica de Newton para predecir el regreso de su cometa homónimo en 1758.

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Fuerzas de marea

El origen de las mareas oceánicas de la Tierra ha sido objeto de una investigación continua durante más de 2000 años. Pero se considera que el trabajo de Newton es el comienzo de la verdadera comprensión del fenómeno. Las mareas oceánicas son el resultado de las fuerzas de marea gravitacionales. Estas mismas fuerzas de marea están presentes en cualquier cuerpo astronómico. Son responsables del calor interno que crea la actividad volcánica en Io, una de las lunas de Júpiter, y la desintegración de las estrellas que se acercan demasiado a los agujeros negros.

Mareas lunares

Si vives en la costa del océano casi en cualquier parte del mundo, puedes observar el aumento y la disminución del nivel del mar aproximadamente dos veces al día. Esto es causado por una combinación de la rotación de la Tierra sobre su eje y la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol.

Consideremos primero el efecto de la Luna. En la Figura 10.22, estamos mirando hacia "abajo" hacia el Polo Norte de la Tierra. Un lado de la Tierra está más cerca de la Luna que del otro lado, por una distancia igual al diámetro de la Tierra. Por lo tanto, la fuerza gravitacional es mayor en el lado cercano que en el lado lejano. La magnitud en el centro de la Tierra está entre estos valores. Esta es la razón por la que aparece una protuberancia de marea en ambos lados de la Tierra.

La fuerza neta en la Tierra hace que orbite alrededor del centro de masa de la Tierra-Luna, ubicado a unos $1600 km$ por debajo de la superficie de la Tierra a lo largo de la línea entre la Tierra y la Luna. La fuerza de marea se puede ver como la diferencia entre la fuerza en el centro de la Tierra y la de cualquier otra ubicación.

En la figura 10.23, esta diferencia se muestra a nivel del mar, donde observamos las mareas oceánicas (Ten en cuenta que el cambio en el nivel del mar causado por estas fuerzas de marea se mide desde el nivel del mar de referencia. Vimos antes que la Tierra se hincha muchos kilómetros en el ecuador debido a su rotación. Esto define el nivel del mar de referencia y aquí consideramos solo el bulto de marea más pequeño medido desde ese nivel del mar de referencia).

¿Por qué el aumento y la caída de las mareas ocurren dos veces al día? Mira nuevamente la Figura 10.22. Si la Tierra no estuviera girando y la Luna estuviera fija, entonces las protuberancias permanecerían en la misma ubicación en la Tierra.

En relación con la Luna, las protuberancias permanecen fijas, a lo largo de la línea que conecta la Tierra y la Luna. Pero la Tierra gira (en la dirección mostrada por la flecha azul) aproximadamente cada $24$ horas. En $6$ horas, las ubicaciones cercanas y lejanas de la Tierra se mueven hacia donde se producen las mareas bajas, y 6 horas más tarde, esas ubicaciones vuelven a la posición de pleamar. Dado que la Luna también orbita alrededor de la Tierra aproximadamente cada $28$ días, y en la misma dirección en que gira la Tierra, el tiempo entre las mareas altas (y bajas) es en realidad de aproximadamente $12.5$ horas. El momento real de las mareas se complica por numerosos factores, el más importante de los cuales es otro cuerpo astronómico: el sol.

El efecto del sol en las mareas

Además de las fuerzas de marea de la Luna en los océanos de la Tierra, el Sol también ejerce una fuerza de marea. La atracción gravitatoria del Sol sobre cualquier objeto en la Tierra es casi $200$ veces mayor que la de la Luna. Sin embargo, como mostraremos más adelante en un ejemplo, el efecto de marea del Sol es menor que el de la Luna, pero un efecto significativo sin embargo. Dependiendo de las posiciones de la Luna y el Sol en relación con la Tierra, el efecto de marea neto puede ser amplificado o atenuado.

La figura 10.24 ilustra las posiciones relativas del Sol y la Luna que crean las mareas más grandes, llamadas mareas vivas (o mareas rápidas). Durante las mareas de primavera, la Tierra, la Luna y el Sol están alineados y los efectos de las mareas se suman (Recuerda que las fuerzas de marea causan protuberancias en ambos lados).

La figura 10.24 (c) muestra las posiciones relativas para las mareas más pequeñas, llamadas mareas muertas. Los extremos de las mareas altas y bajas se ven afectados. Las mareas de primavera ocurren durante la luna nueva o llena, y las mareas muertas ocurren en la luna media.

La magnitud de las mareas

Con datos precisos para las posiciones de la Luna y el Sol, el tiempo de las mareas máximas y mínimas en la mayoría de los lugares de nuestro planeta puede predecirse con precisión.

La magnitud de las mareas, sin embargo, es mucho más complicada. Los ángulos relativos de la Tierra y la Luna determinan las mareas de primavera y de verano, pero las magnitudes de estas mareas también se ven afectadas por las distancias de la Tierra.

Las fuerzas de marea son mayores cuando las distancias son más pequeñas. Tanto la órbita de la Luna sobre la Tierra como la de la Tierra alrededor del Sol son elípticas, por lo que una marea de primavera es excepcionalmente grande si ocurre cuando la Luna está en perigeo y la Tierra está en perihelio. Por el contrario, es relativamente pequeño si ocurre cuando la Luna está en apogeo y la Tierra está en afelio.

Las principales causas de la variación de la marea son la topografía de la línea costera local y la batimetría (el perfil de la profundidad) del fondo oceánico. El rango de mareas debido a estos efectos es asombroso. Aunque las mareas oceánicas son mucho más pequeñas que un metro en muchos lugares del mundo, las mareas en la Bahía de Fundy (Figura 10.25), en la costa este de Canadá, pueden llegar a los $16.3$ metros.

Ejemplo 10.14

Comparando las fuerzas de marea

Compara la fuerza gravitacional de la Luna en una masa de $1.0 kg$ ubicada en el lado cercano y otra en el lado opuesto de la Tierra. Repite para el Sol y luego compara los resultados para confirmar que las fuerzas de marea de la Luna son aproximadamente el doble que las del Sol.

Estrategia

Usamos la ley de gravitación de Newton dada por la ecuación 10.1. Necesitamos las masas de la Luna y del Sol y sus distancias desde la Tierra, así como el radio de la Tierra.

Solución

Sustituyendo la masa de la Luna y la distancia media de la Tierra a la Luna (datos consultados en https://es.wikipedia.org/), tenemos

En el denominador, usamos el signo menos para el lado cercano y el signo más para el lado lejano. Los resultados son

La fuerza gravitatoria de la Luna es casi un $7\%$ mayor en el lado cercano de la Tierra que en el lado opuesto, pero ambas fuerzas son mucho menores que la de la Tierra en la masa de $1.0 kg$. Sin embargo, esta pequeña diferencia crea las mareas. Ahora repetimos el problema, pero sustituimos la masa del Sol y la distancia media entre la Tierra y el Sol. Los resultados son

Tenemos que mantener seis dígitos significativos ya que deseamos comparar la diferencia entre ellos con la diferencia para la Luna (Aunque no podemos justificar el valor absoluto de esta precisión, dado que todos los valores en el cálculo son los mismos excepto las distancias, la precisión en la diferencia sigue siendo válida para tres dígitos). La diferencia entre las fuerzas cercanas y lejanas en un $1.0 kg$ de masa debido a la Luna es

mientras que la diferencia para el sol es

Ten en cuenta que un enfoque más adecuado es escribir la diferencia en las dos fuerzas con la diferencia entre las distancias cercana y lejana explícitamente expresadas. Con solo un poco de álgebra podemos demostrar que

donde $r_1$ y $r_2$ son iguales a tres dígitos significativos, pero su diferencia ($r_2 - r_1$), igual al diámetro de la Tierra, también se conoce por tres dígitos significativos. Los resultados del cálculo son iguales. Este enfoque sería necesario si el número de dígitos significativos necesarios excede el disponible en tu calculadora o computadora.

Explicación

Ten en cuenta que las fuerzas ejercidas por el Sol son casi $200$ veces mayores que las fuerzas ejercidas por la Luna. Pero la diferencia en esas fuerzas para el Sol es la mitad que para la Luna. Esta es la naturaleza de las fuerzas de marea. La Luna tiene un mayor efecto de marea porque el cambio fraccional en la distancia desde el lado cercano al lado lejano es mucho mayor para la Luna que para el Sol.

Comprueba tu aprendizaje 10.10

Otros efectos de marea

Las fuerzas de marea existen entre dos cuerpos. El efecto estira los cuerpos a lo largo de la línea entre sus centros.

Aunque el efecto de marea en los mares de la Tierra es observable a diario, las consecuencias a largo plazo no se pueden observar tan fácilmente. Una consecuencia es la disipación de la energía de rotación debido a la fricción durante la flexión de los propios cuerpos. La velocidad de rotación de la Tierra se está desacelerando a medida que las fuerzas de marea transfieren la energía de rotación al calor. El otro efecto, relacionado con esta disipación y conservación del momento angular, se denomina sincronización de bloqueo o de marea. Ya le ha sucedido a la mayoría de las lunas en nuestro sistema solar, incluida la Luna de la Tierra. La Luna mantiene una cara hacia la Tierra: su velocidad de rotación se ha bloqueado en la tasa orbital alrededor de la Tierra. El mismo proceso le está sucediendo a la Tierra, y eventualmente mantendrá una cara hacia la Luna. Si eso sucede, ya no veríamos las mareas, ya que el bulto de las mareas permanecería en el mismo lugar en la Tierra, y la mitad del planeta nunca vería la Luna. Sin embargo, este bloqueo tomará muchos miles de millones de años, tal vez no antes de que expire nuestro Sol.

Uno de los ejemplos más dramáticos de los efectos de las mareas se encuentra en Io, una de las lunas de Júpiter. En 1979, la nave espacial Voyager envió de vuelta imágenes dramáticas de la actividad volcánica en Io. Es el único otro cuerpo astronómico en nuestro sistema solar en el que hemos encontrado tal actividad. La Figura 10.26 muestra una imagen más reciente de Io tomada por la nave espacial New Horizons en su camino a Plutón, mientras utilizaba una asistencia gravitatoria de Júpiter.

Para algunas estrellas, el efecto de las fuerzas de marea puede ser catastrófico. Las fuerzas de marea en sistemas binarios muy cercanos pueden ser lo suficientemente fuertes como para desgarrar la materia de una estrella a la otra, una vez que las fuerzas de marea exceden las fuerzas autogravitacionales cohesivas que mantienen juntas a las estrellas. Este efecto se puede ver en estrellas normales que orbitan cerca de estrellas compactas, como estrellas de neutrones o agujeros negros.

La figura 10.27 muestra la interpretación de este proceso por parte de un artista. A medida que la materia cae en la estrella compacta, forma un disco de acreción que se sobrecalienta y se irradia en el espectro de rayos X.

La producción de energía de estos sistemas binarios puede exceder la producción típica de miles de estrellas. Otro ejemplo podría ser un quasar. Los cuásares son objetos muy distantes e inmensamente brillantes, que a menudo exceden la producción de energía de galaxias enteras.

Es el consenso general entre los astrónomos que son, de hecho, agujeros negros masivos que producen energía radiante cuando la materia que ha sido arrancada de estrellas cercanas cae dentro de ellos.

La teoría de la gravedad de Einstein

La ley de Newton de la gravitación universal predice con precisión gran parte de lo que vemos dentro de nuestro sistema solar. De hecho, solo las leyes de Newton han sido necesarias para enviar con precisión cada vehículo espacial en su viaje. Las rutas de los asteroides que cruzan la Tierra y la mayoría de los otros objetos celestes se pueden determinar con precisión únicamente con las leyes de Newton. Sin embargo, muchos fenómenos han mostrado una discrepancia con lo que predicen las leyes de Newton, incluida la órbita de Mercurio y el efecto que la gravedad tiene sobre la luz. En esta sección, examinamos una forma diferente de visualizar la gravitación.

Una revolución en perspectiva

En 1905, Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad especial. En esta teoría, ningún movimiento puede exceder la velocidad de la luz; es el límite de velocidad del Universo. Este simple hecho ha sido verificado en innumerables experimentos. Sin embargo, tiene consecuencias increíbles: el espacio y el tiempo ya no son absolutos. Dos personas que se mueven entre sí no concuerdan en la longitud de los objetos o el paso del tiempo. Casi todos los mecanismos que aprendiste en capítulos anteriores, aunque notablemente precisos incluso para velocidades de muchos miles de millas por segundo, comienzan a fallar cuando te acercas a la velocidad de la luz.

Este límite de velocidad en el Universo era también un desafío a la suposición inherente en la ley de gravitación de Newton de que la gravedad es una fuerza de acción a distancia. Es decir, sin contacto físico, cualquier cambio en la posición de una masa se comunica instantáneamente a todas las otras masas. Esta suposición no proviene de ningún primer principio, ya que la teoría de Newton simplemente no aborda la cuestión.

Es justo decir que la mayoría de los científicos no estaban completamente cómodos con el concepto de acción a distancia).

Una segunda suposición también aparece en la ley de gravitación de Newton Ecuación 10.1. Se supone que las masas son exactamente las mismas que las utilizadas en la segunda ley de Newton, $\bold{\vec{F}} = m\bold{\vec{a}}$. Hicimos esa suposición en muchas de nuestras derivaciones en este capítulo. Una vez más, no hay un principio subyacente que esto debe ser, pero los resultados experimentales son consistentes con esta suposición. En la teoría posterior de la relatividad general de Einstein (1916), se abordaron ambos problemas. Su teoría era una teoría de la geometría espacio-temporal y cómo la masa (y la aceleración) se distorsionan e interactúan con ese espacio-tiempo. No era una teoría de las fuerzas gravitatorias. Las matemáticas de la teoría general están más allá del alcance de este texto, pero podemos ver algunos principios subyacentes y sus consecuencias.

El principio de equivalencia

Einstein llegó a su teoría general en parte al preguntarse por qué alguien que estaba cayendo libremente no sentía su peso. De hecho, es común hablar de astronautas que orbitan la Tierra como ingrávidos, a pesar del hecho de que la gravedad de la Tierra todavía es bastante fuerte allí. En la teoría general de Einstein, no hay diferencia entre la caída libre y la ausencia de peso. Esto se llama el principio de equivalencia. El corolario igualmente sorprendente de esto es que no hay diferencia entre un campo gravitatorio uniforme y una aceleración uniforme en ausencia de gravedad. Vamos a centrarnos en esta última declaración. Aunque un campo gravitatorio perfectamente uniforme no es factible, podemos aproximarlo muy bien.

Dentro de un laboratorio de tamaño razonable en la Tierra, el campo gravitacional $\bold{\vec{g}}$ es esencialmente uniforme.

El corolario establece que cualquier experimento físico realizado allí tiene los mismos resultados que los realizados en un laboratorio que se aceleran en $\bold{\vec{a}} = \bold{\vec{g}}$ en el espacio profundo, lejos de todas las demás masas. La figura 10.28 ilustra el concepto.

¿Cómo pueden estas dos situaciones aparentemente fundamentalmente diferentes ser las mismas? La respuesta es que la gravitación no es una fuerza entre dos objetos, sino que es el resultado de que cada objeto responde al efecto que el otro tiene en el espacio-tiempo que lo rodea. Un campo gravitatorio uniforme y una aceleración uniforme tienen exactamente el mismo efecto en el espacio-tiempo.

Una teoría geométrica de la gravedad

La geometría euclidiana asume un espacio "plano" en el cual, entre los atributos más comúnmente conocidos, una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, la suma de los ángulos de todos los triángulos debe ser de $180$ grados y las líneas paralelas nunca se cruzan. La geometría no euclidiana no se investigó seriamente hasta el siglo XIX, por lo que no es sorprendente que el espacio euclidiano se asuma intrínsecamente en todas las leyes de Newton.

La teoría general de la relatividad desafía esta suposición largamente sostenida. Solo el espacio vacío es plano. La presencia de masa (o energía, ya que la relatividad no distingue entre las dos) distorsiona o curva el espacio y el tiempo, o espacio-tiempo, a su alrededor. El movimiento de cualquier otra masa es simplemente una respuesta a este espacio-tiempo curvo. La figura 10.29 es una representación bidimensional de una masa más pequeña que orbita en respuesta al espacio distorsionado creado por la presencia de una masa más grande. En una imagen más precisa pero confusa, también veríamos un espacio distorsionado por la masa en órbita, y ambas masas estarían en movimiento en respuesta a la distorsión total del espacio. Ten en cuenta que la figura es una representación para ayudar a visualizar el concepto. Estas son distorsiones en nuestro espacio y tiempo tridimensional. No los vemos como lo haríamos con un hoyuelo en una pelota.

Vemos la distorsión solo mediante mediciones cuidadosas del movimiento de los objetos y la luz a medida que se mueven a través del espacio.

Para los campos gravitacionales débiles, los resultados de la relatividad general no difieren significativamente de la ley de gravitación de Newton. Pero para los campos gravitacionales intensos, los resultados divergen, y la relatividad general ha demostrado predecir los resultados correctos. Incluso en el campo gravitacional relativamente débil de nuestro Sol a la distancia de la órbita de Mercurio, podemos observar el efecto. A partir de mediados de la década de 1800, la órbita elíptica de Mercurio se midió cuidadosamente.

Sin embargo, aunque es elíptico, su movimiento se complica por el hecho de que la posición del perihelio de la elipse avanza lentamente. La mayor parte del avance se debe a la atracción gravitacional de otros planetas, pero una pequeña parte de ese avance no puede explicarse por la ley de Newton. En un momento, incluso hubo una búsqueda de un planeta "acompañante" que explicaría la discrepancia. Pero la relatividad general predice correctamente las mediciones. Desde entonces, muchas mediciones, como la desviación de la luz de objetos distantes por el Sol, han verificado que la relatividad general predice correctamente las observaciones.

Cerramos esta discusión con un comentario final. A menudo nos hemos referido a las distorsiones del espacio-tiempo o a las distorsiones tanto en el espacio como en el tiempo. Tanto en la relatividad especial como en la general, la dimensión del tiempo tiene un pie de igualdad con cada dimensión espacial (que difiere en su lugar en ambas teorías solo por un factor de escala en última instancia sin importancia). Cerca de una masa muy grande, no solo se "estira" el espacio cercano, sino que el tiempo se dilata o se "ralentiza".

Agujeros negros

La teoría de la gravitación de Einstein se expresa en una ecuación tensorial engañosamente simple (los tensores son una generalización de escalares y vectores), que expresa cómo una masa determina la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor. Las soluciones a esa ecuación producen una de las predicciones más fascinantes: el agujero negro. La predicción es que si un objeto es suficientemente denso, colapsará sobre sí mismo y estará rodeado por un horizonte de sucesos del que nada puede escapar. El nombre de "agujero negro", que fue acuñado por el astrónomo John Wheeler en 1969, se refiere al hecho de que la luz no puede escapar de tal objeto.

Karl Schwarzschild fue la primera persona en notar este fenómeno en 1916, pero en ese momento, se consideraba principalmente como una curiosidad matemática.

Sorprendentemente, la idea de un cuerpo masivo del que la luz no puede escapar data de fines del siglo XVIII. Independientemente, John Michell y Pierre Simon Laplace usaron la ley de gravitación de Newton para mostrar que la luz que salía de la superficie de una estrella con suficiente masa no podía escapar. Su trabajo se basó en el hecho de que Ole Roemer había medido la velocidad de la luz en 1676. Notó discrepancias en los datos del período orbital de la luna Io sobre Júpiter. Roemer se dio cuenta de que la diferencia surgía de las posiciones relativas de la Tierra y Júpiter en diferentes momentos y que podía encontrar la velocidad de la luz a partir de esa diferencia. Michell y Laplace se dieron cuenta de que, dado que la luz tenía una velocidad finita, podría haber una estrella lo suficientemente grande como para que la velocidad de escape de su superficie pudiera exceder esa velocidad. Por lo tanto, la luz siempre recaería en la estrella. Curiosamente, los observadores lo suficientemente lejos de las estrellas más grandes no podrían verlos, sin embargo, podrían ver una estrella más pequeña desde la misma distancia.

Recordemos que anteriormente, encontramos que la velocidad de escape, dada por la Ecuación 10.6, es independiente de la masa del objeto que escapa. Aunque la naturaleza de la luz no se entendía del todo en ese momento, la masa de luz, si la tenía, no era relevante. Por lo tanto, la ecuación 10.6 debería ser válida para la luz. Sustituyendo $c$, la velocidad de la luz, por la velocidad de escape, tenemos

Por lo tanto, solo necesitamos valores para $R$ y $M$ tales que la velocidad de escape exceda $c$, y entonces la luz no podrá escapar. Michell postuló que si una estrella tuviera la densidad de nuestro Sol y un radio que se extendiera justo más allá de la órbita de Marte, entonces la luz no podría escapar de su superficie. También conjeturó que todavía podríamos detectar una estrella de este tipo por el efecto gravitacional que tendría sobre los objetos que la rodeaban.

Esta fue una conclusión reveladora, ya que así es como deducimos la existencia de tales objetos en la actualidad. Aunque todavía tenemos que visitar un agujero negro, y tal vez nunca lo hagamos, la evidencia circunstancial para ellos se ha vuelto tan convincente que pocos astrónomos dudan de su existencia.

Antes de examinar parte de esa evidencia, volvamos nuestra atención a la solución de Schwarzschild a la ecuación del tensor de la relatividad general. En esa solución surge un radio crítico, ahora llamado radio de Schwarzschild ($R_S$). Para cualquier masa $M$, si esa masa se comprimiera en la medida en que su radio sea menor que el radio de Schwarzschild, entonces la masa se colapsará a una singularidad, y todo lo que pase dentro de ese radio no podrá escapar. Una vez dentro de $R_S$, la flecha del tiempo lleva todas las cosas a la singularidad (En un sentido matemático amplio, una singularidad es donde el valor de una función va al infinito. En este caso, es un punto en el espacio de volumen cero con una masa finita. Por lo tanto, la densidad de masa y la energía gravitacional se vuelven infinitas). El radio de Schwarzschild está dado por

Si miras nuestra ecuación de velocidad de escape con $v_{esc} = c$, notarás que da precisamente este resultado. Pero eso es simplemente un accidente fortuito causado por varias suposiciones incorrectas. Una de estas suposiciones es el uso de la expresión clásica incorrecta para la energía cinética para la luz. ¿Qué tan denso debe ser un objeto para convertirse en un agujero negro?

Ejemplo 10.15

Cálculo del radio de Schwarzschild

Calcula el radio de Schwarzschild tanto para el Sol como para la Tierra. Compara la densidad del núcleo de un átomo con la densidad requerida para comprimir la masa de la Tierra uniformemente a su radio de Schwarzschild. La densidad de un núcleo es de aproximadamente $2,3 \times 10^{17} kg/m^3$.

Estrategia

Usamos la ecuación 10.12 para este cálculo. Necesitamos solo las masas de la Tierra y el Sol, que obtenemos de https://es.wikipedia.org/).

Solución

Sustituyendo la masa del Sol, tenemos

Este es un diámetro de solo alrededor de $6 km$. Si usamos la masa de la Tierra, obtenemos $R_S = 8.85 \times 10^{-3} m$. ¡Este es un diámetro de menos de $2 cm$! Si empacamos la masa de la Tierra en una esfera con el radio $R_S = 8.85 \times 10^{-3} m$, obtenemos una densidad de

Explicación

Una estrella de neutrones es el objeto más compacto conocido, fuera de un agujero negro. La estrella de neutrones está compuesta de neutrones, con la densidad de un núcleo atómico y, como muchos agujeros negros, se cree que es el remanente de una supernova, una estrella que explota al final de su vida. Para crear un agujero negro desde la Tierra, tendríamos que comprimirlo a una densidad trece órdenes de magnitud mayor que la de una estrella de neutrones. Este proceso requeriría una fuerza inimaginable. No se conoce ningún mecanismo que pueda causar que un objeto del tamaño de la Tierra se convierta en un agujero negro. Para el Sol, debería ser capaz de mostrar que debería comprimirse a una densidad de solo $80$ veces la de un núcleo (Nota: una vez que la masa se comprime dentro de su radio de Schwarzschild, la relatividad general dicta que se colapsará a una singularidad. Estos cálculos simplemente muestran la densidad que debemos alcanzar para iniciar ese colapso).

Comprueba tu aprendizaje 10.11

El horizonte de eventos

El radio de Schwarzschild también se denomina horizonte de sucesos o eventos de un agujero negro. Observamos que tanto el espacio como el tiempo se extienden cerca de objetos masivos, como los agujeros negros. La figura 10.30 ilustra ese efecto en el espacio. La distorsión causada por nuestro Sol es en realidad bastante pequeña, y el diagrama está exagerado para mayor claridad. Considera la estrella de neutrones, descrita en el Ejemplo 10.15. Aunque la distorsión del espacio-tiempo en la superficie de una estrella de neutrones es muy alta, el radio es aún mayor que su radio de Schwarzschild. Los objetos aún podrían escapar de su superficie.

Sin embargo, si una estrella de neutrones gana masa adicional, eventualmente se colapsaría, encogiéndose más allá del radio de Schwarzschild. Una vez que eso ocurra, toda la masa se vería arrastrada, inevitablemente, a una singularidad. En el diagrama, el espacio se estira hasta el infinito. El tiempo también se estira hasta el infinito. Cuando los objetos caen hacia el horizonte de sucesos, los vemos acercarse cada vez más lentamente, pero nunca alcanzan el horizonte de sucesos.

En el siguiente vídeo verás un ejemplo animado de estas distorsiones espacialesEl agujero negro deforma el espacio hace parte de la película de ESA "15 años de descubrimiento", la cual se encuentra en la página del 15° aniversario del ESA Hubble. (Crédito: ESA/Hubble (M. Kornmesser y L. L. Christensen)..

La evidencia de los agujeros negros

Hasta la década de 1960, cuando se descubrió la primera estrella de neutrones, no se renovó el interés en la existencia de los agujeros negros. La evidencia de agujeros negros se basa en varios tipos de observaciones, como el análisis de radiación de binarios de rayos X, lentes gravitacionales de la luz de galaxias distantes y el movimiento de objetos visibles alrededor de parejas invisibles. Nos enfocaremos en estas observaciones posteriores según se relacionan con lo que hemos aprendido en este capítulo.

Aunque la luz no puede escapar de un agujero negro para que podamos ver, podemos ver el efecto gravitatorio del agujero negro en las masas circundantes.

La evidencia más cercana, y tal vez la más dramática, de un agujero negro está en el centro de nuestra Vía Láctea. El Grupo Galáctico de UCLA, utilizando datos obtenidos por los telescopios W. M. Keck, ha determinado las órbitas de varias estrellas cerca del centro de nuestra galaxia. Algunos de esos datos se muestran en la figura 10.31. Las órbitas de dos estrellas están resaltadas. A partir de las mediciones de los períodos y tamaños de sus órbitas, se estima que están en órbita alrededor de una masa de aproximadamente 4 millones de masas solares.

Ten en cuenta que la masa debe residir en la región creada por la intersección de las elipses de las estrellas. La región en la que debe residir esa masa encajaría dentro de la órbita de Mercurio; sin embargo, no se ve nada allí en el espectro visible.

La física de la creación y evolución estelar está bien establecida. La fuente de energía máxima que hace brillar a las estrellas es la energía autogravitacional que desencadena la fusión. El comportamiento general es que cuanto más masiva es una estrella, más brillante brilla y más corta es su vida.

La inferencia lógica es que una masa que es $4$ millones de veces la masa de nuestro Sol, confinada a una región muy pequeña, y que no se puede ver, no tiene otra interpretación viable que no sea un agujero negro. Las observaciones extragalácticas sugieren fuertemente que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias.

La Materia oscura

Las estrellas que orbitan cerca del corazón de nuestra galaxia proporcionan una fuerte evidencia de un agujero negro allí, pero las órbitas de las estrellas lejos del centro sugieren otro fenómeno intrigante que también se observa indirectamente. Recordemos que podemos considerar que la masa para objetos esféricos se ubicará en un punto en el centro para calcular sus efectos gravitacionales sobre otras masas. De manera similar, podemos tratar la masa total que se encuentra dentro de la órbita de cualquier estrella de nuestra galaxia como si estuviera ubicada en el centro del disco de la Vía Láctea. Podemos estimar esa masa contando las estrellas visibles e incluir en nuestra estimación la masa del agujero negro en el centro también.

Pero cuando hacemos eso, encontramos que la velocidad orbital de las estrellas es demasiado rápida para ser causada por esa cantidad de materia. La figura 10.32 muestra las velocidades orbitales de las estrellas en función de su distancia desde el centro de la Vía Láctea. La línea azul representa las velocidades que esperaríamos de nuestras estimaciones de la masa, mientras que la curva verde es lo que obtenemos de las mediciones directas. Aparentemente, hay una gran cantidad de materia que no vemos, que se estima que es aproximadamente cinco veces más de lo que vemos, por lo que se ha denominado materia oscura. Además, el perfil de velocidad no sigue lo que esperamos de la distribución observada de las estrellas visibles. No solo la estimación de la masa total es inconsistente con los datos, sino que la distribución esperada también es inconsistente.

Y este fenómeno no está restringido a nuestra galaxia, sino que parece ser una característica de todas las galaxias. De hecho, el problema se observó por primera vez en la década de 1930 cuando se midió que las galaxias dentro de los conglomerados estaban en órbita alrededor del centro de masas de esos conglomerados más rápido de lo que deberían basarse en estimaciones de masa visibles.

Hay dos ideas predominantes de lo que podría ser este asunto: WIMPs y MACHOs. WIMPs significa partículas masivas de interacción débil. Estas partículas (los neutrinos son un ejemplo) interactúan muy débilmente con la materia ordinaria y, por lo tanto, son muy difíciles de detectar directamente. MACHOs significa objeto astrofísico masivo de halo compacto, que se componen de materia bariónica ordinaria, como neutrones y protones. Hay problemas sin resolver con estas dos ideas, y se necesitará mucha más investigación para resolver el misterioEn astrofísica se denominan MACHOs (de su acrónimo en inglés: Massive astrophysical compact halo object) u objeto astrofísico masivo de halo compacto a cualquiera de los tipos de cuerpos astronómicos que puedan utilizarse para explicar la presencia de materia oscura en los halos galácticos, es decir, es una forma general de llamar a objetos másivos difíciles de detectar.

Un MACHO es un objeto pequeño de materia bariónica que se mueve por el espacio interestelar de manera aislada (no se encuentra asociado a ningún sistema solar) y que emite muy poca o ninguna radiación. El hecho de no emitir luz propia los hace muy difíciles de detectar. Mientras cumplan estas características, dentro de la categoría de MACHOs pueden entrar diferentes tipos de objetos, desde agujeros negros o estrellas de neutrones a enanas marrones o planetas aislados, incluso se han propuesto como MACHOs enanas blancas y enanas rojas muy débiles. Es un tipo de materia oscura propuesta en la teoría del big bang que ayudaría a explicar el comportamiento gravitatorio de las galaxias, tanto a escala individual como en el interior de cúmulos (https://es.wikipedia.org)..

Preguntas y respuestas - Capítulo X

Respuestas