Antes de calcular el área de la superficie de este cono usando la Ecuación 6.18, necesitamos una parametrización. Suponemos que este cono está en $\Reals^3$ con su vértice en el origen (ver la figura)). Para obtener una parametrización, sea $\alpha$ el ángulo que se barre comenzando en el eje $z$ positivo y terminando en el cono, y sea $k = tan \alpha$. Para un valor de altura $v$ con $0 \le v \le h$, el radio del círculo formado al intersecar el cono con el plano $z = v$ es $kv$. Por tanto, una parametrización de este cono es
$$\bold{s} (u, v) = \lang kv cos\; u, kv sen\; u, v\rang, 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \le h.$$La idea detrás de esta parametrización es que para un valor de $v$ fijo, el círculo barrido dejando que $u$ varíe es el círculo a la altura $v$ y el radio $kv$. A medida que $v$ aumenta, la parametrización barre una "pila" de círculos, lo que da como resultado el cono deseado.
Figura 6.68. El cono circular recto con radio $r = kh$ y altura $h$ tiene parametrización $\bold{s} (u, v) = \lang kv cos\; u, kv sen\; u, v\rang, 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \le h.$
Con una parametrización en la mano, podemos calcular el área de la superficie del cono usando la Ecuación 6.18. Los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang −kv sen\; u, kv cos\; u, 0\rang$ y $\bold{t}_v = \lang k cos\; u, k sen\; u, 1\rang$. Por lo tanto,
$$\begin{aligned} \bold{t}_u \times \bold{t}_v &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ -kv sen\;u & kv cos\; u & 0\\ kcos\;u & ksen\;u & 1\\ \end{vmatrix}\\ &= = \lang kv cos \;u, kv sen \;u, −k^2 v sen^2u − k^2v cos^2u \rang\\ &= \lang kv cos\; u, kv sen\; u, −k^2v \rang \end{aligned}$$La magnitud del vector es
$$\begin{aligned} ||\lang kv cos \;u, kv sen \;u, −k^2v \rang || &= \sqrt{k^2v^2cos^2u + k^2v^2sen^2u + k^4v^2}\\ &= \sqrt{k^2v^2 + k^4v^2}\\ &= kv\sqrt{1+k^2} \end{aligned}$$Usando la ecuación 6.18, la superfice de área del cono es:
$$\begin{aligned} \iint_D ||\bold{t}_u \times \bold{t}_v||dA &= \int_0^h\int_0^{2\pi} kv\sqrt{1+k^2}dudv\\ &= 2\pi k\sqrt{1+k^2}\int_0^h vdv\\ &= 2\pi k\sqrt{1+k^2}\bigg[\frac{y^2}{2}\bigg]_0^h\\ &= \pi kh^2\sqrt{1+k^2} \end{aligned}$$Dado que $k = tan \alpha = r / h$,
$$\begin{aligned} \pi kh^2\sqrt{1+k^2} &= \pi \frac{r}{h}h^2\sqrt{1+ \frac{r^2}{h^2}}\\ &= \pi rh\sqrt{1+ \frac{r^2}{h^2}}\\ &= \pi r\sqrt{h^2 + h^2\bigg(\frac{r^2}{h^2}\bigg)}\\ &= \pi r\sqrt{h^2+r^2} \end{aligned}$$Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cono es $\pi r\sqrt{h^2+r^2}$
Análisis
El área de la superficie de un cono circular recto con radio $r$ y altura $h$ generalmente se da como $\pi r^2 + \pi r\sqrt{h^2+r^2}$. La razón de esto es que la base circular se incluye como parte del cono y, por lo tanto, el área de la base $\pi r^2$ se suma al área de la superficie lateral $\pi r\sqrt{h^2+r^2}$ que encontramos.