Solución

1. Podemos expresar $\iint_Rx sen (xy) dA$ de las siguientes dos maneras: primero mediante la integración con respecto a $y$ luego con respecto a $x$; segundo integrando con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$.
   $$\iint_Rx sen (xy) dA\\ = \int_{x=0}^{x=\pi}\int_{y=1}^{y=2} xsen(xy) dydx\;\;\text{ Integrar primero con respecto a y}\\ =\int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=\pi} xsen(xy) dxdy\;\;\text{ Integrar primero con respecto a x}$$
2. Si queremos integrar con respecto a $y$ primero y luego integrar con respecto a $x$, vemos que podemos usar la sustitución $u = xy$, que da $du = x dy$. Por lo tanto, la integral interna es simplemente $\int sen u du$ y podemos cambiar los límites para que sean funciones de $x$,
   $$\iint_R xsen(xy)dA = \int_{x=0}^{x=\pi}\int_{y=1}^{y=2}xsen(xy)dydx = \int_{x=0}^{x=\pi}\bigg[\int_{u=x}^{u=2x} sen(u)du\bigg]dx$$
   Sin embargo, la integración con respecto a $x$ primero y luego la integración con respecto a $y$ requiere integración por partes para la integral interna, con $u = x$ y $dv = sen (xy) dx$.
   
   Luego $du = dx$ y $v = -\frac{cos(xy)}{y}$, entonces
   $$iint_R xsen(xy)dA = \int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=\pi}xsen(xy)dxdy = \int_{y=1}^{y=2}\bigg[-\frac{xcos(xy)}{y}\bigg|_{x=0}^{x=\pi} + \frac1y \int_{x=0}^{x=\pi} cos(xy)dx\bigg]dy$$ Dado que la evaluación se está complicando, solo haremos el cálculo que sea más fácil de hacer, que es claramente el primer método.
3. Evalúa la integral doble usando la forma más fácil.
   $$\begin{aligned} \iint_R xsen(xy)dA &= \int_{x=0}^{x=\pi}\int_{y=1}^{y=2}xsen(xy)dydx\\ &= \int_{x=0}^{x=\pi}\bigg[\int_{u=x}^{u=2x} sen(u)du\bigg]dx = \int_{x=0}^{x=\pi}\bigg[-cosu\bigg|_{u=x}^{u=2x}\bigg]dx\\ &= \int_{x=0}^{x=\pi}(−cos 2x + cos x)dx\\ &= -\frac12 sen2x + sen x\bigg|_{x=0}^{x=\pi} = 0 \end{aligned}$$