Los rangos de las variables son
$$\begin{aligned} -1 & \le y \le 1\\ 0 & \le x \le \sqrt{1-y^2}\\ x^2+y^2 & \le z \le \sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}$$Las dos primeras desigualdades describen la mitad derecha de un círculo de radio 1. Por lo tanto, los rangos para $θ$ y $r$ son
$$- \frac{\pi}{2} \le \theta \frac{\pi}{2}\;\;\;\text{y}\;\;\; 0 \le r \le 1$$Los límites de $z$ son $r^2 \le z \le r$, por lo tanto
$$\int_{y=-1}^{y=1}\int_{x=0}^{x=\sqrt{1-y^2}}\int_{z=x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}xyz dz dx dy = \int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2}\int_{r=0}^{r=1}\int_{z=r^2}^{z=r}r(r cos \theta)(r sen \theta)z dz dr d\theta$$