Solución
- Observa que la ecuación de la esfera es
$$x^2 + y^2 + z^2 = 4\;\;\;\text{o}\;\;\; r^2 + z^2 = 4$$
y la ecuación para el cilindro es
$$x^2 + y^2 = 1\;\;\;\text{o}\;\;\; r^2 = 1$$
Así, tenemos para la región $E$
$$E = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le z \le \sqrt{4 − r^2}, 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace$$
Por lo tanto, la integral del volumen es
$$\begin{aligned}
V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\int_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}}r dz dr d\theta\\
&= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\bigg[rz\bigg|_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}}\bigg]drd\theta = \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\big(r\sqrt{4-r^2}\big)drd\theta\\
&= \int_0^{2\pi}\bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)d\theta = 2\pi \bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)\;\;\;\text{unidades cúbicas}
\end{aligned}$$
- Dado que la esfera es $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, que es $r^2 + z^2 = 4$, y el cilindro es $x^2 + y^2 = 1$, que es $r^2 = 1$, tenemos $1 + z^2 = 4$, es decir, $z^2 = 3$. Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en $(1, \sqrt{3})$ en el plano $rz$
$$E_1 = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le r \le \sqrt{4 − r^2}, \sqrt{3} \le z \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi$$
y
$$E_2 = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le r \le 1, 0 \le z \le \sqrt{3}, 0 \le \theta \le 2\pi$$
Por lo tanto, la integral del volumen es
$$\begin{aligned}
V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{z=\sqrt{3}}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{4-r^2}} rdrdzd\theta + \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{z=0}^{z=\sqrt{3}}\int_{r=0}^{r=1}rdrdzd\theta\\
&= \sqrt{3}\pi + \bigg(\frac{16}{3} - 3\sqrt{3}\bigg)\pi = 2\pi \bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)\;\;\;\text{unidades cúbicas}
\end{aligned}$$