La siguiente figura muestra el tetraedro sólido $E$ y su proyección $D$ en el plano $xy$.
Figura 5.45. El sólido $E$ tiene una proyección $D$ en el plano $xy$ del tipo I.
Podemos describir el tetraedro de región sólida como
$$E = \lbrace (x, y, z)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 − x, 0 \le z \le 1 − x − y\rbrace$$Entonces, la integral triples es
$$\iiint_E f(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz dy dx$$Para simplificar el cálculo, primero evalemos la integral $\displaystyle\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz$, obteniendo
$$\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz =(5x-3y)(1-x-y)$$Ahora evaluamos la integral $\displaystyle\int_{y=0}^{y=1-x}(5x-3y)(1-x-y)dy$, resultando
$$\int_{y=0}^{y=1-x}(5x-3y)(1-x-y)dy = \frac12(x-1)^2(6x-1)$$Finalmente, evaluamos
$$\int_{x=0}^{x=1}\frac12(x-1)^2(6x-1)dx = \frac{1}{12}$$