En primer lugar, dibuja los gráficos de la región (ver la siguiente figura).
Figura 5.39. Encontrar el área encerrada por un círculo y un cardioide.
Podemos ver la simetría de la gráfica que necesitamos para encontrar los puntos de intersección. Al establecer las dos ecuaciones iguales entre sí da
$$3cos\theta = 1 cos\theta$$Uno de los puntos de intersección es $\theta = \frac{\pi}{3}$. El área sobre el eje polar consta de dos partes, una parte definida por el cardioide de $\theta = 0$ a $\theta = \pi / 3$ y la otra parte definida por el círculo de $\theta = \pi / 3$ a $\theta = \pi / 2$. Por simetría, el área total es dos veces el área sobre el eje polar. Por lo tanto, tenemos
$$A = \bigg[\int_{\theta = 0}^{\theta = \pi /3}\int_{r=0}^{r=1+cos\theta}1r dr d\theta + \int_{\theta = \pi /3}^{\theta = \pi /2}\int_{r=0}^{r=3cos\theta}1r dr d\theta\bigg]$$Al evaluar cada pieza por separado, encontramos que el área es
$$A = 2\bigg(\frac14\pi + \frac{9}{16}\sqrt{3} + \frac38\pi - \frac{9}{16}\sqrt{3}\bigg) = 2\bigg(\frac58\pi\bigg) = \frac54\pi\;\;\text{unidades cuadradas}$$