Podemos describir la región $D$ como $\lbrace (r, \theta) | 0 \le \theta \le \pi, 0 \le r \le 1 + cos \theta\rbrace$ como se muestra en la siguiente figura
Figura 5.33. La región $D$ es la mitad superior de un cardioide.
Por lo tanto, tenemos
$$\begin{aligned} \iint_D r^2sen \theta r dr d\theta &= \int_{\theta =0}^{\theta=\pi}\int_{r=0}^{r=1+cos\theta}\big(r^2sen \theta\big)r dr d\theta\\ &= \frac14\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\big[r^4\big]_{r=0}^{r=1+cos\theta}sen\theta d\theta\\ &= \frac14\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}(1 + cos \theta)^4sen \theta d\theta\\ &= \frac14\bigg[\frac{(1+cos\theta)^5}{5}\bigg]_0^{\pi} = \frac85 \end{aligned}$$