Podemos ver que $R$ es una región anular que se puede convertir a coordenadas polares y se describe como $R = \bigg\lbrace \displaystyle(r, \theta) | 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{2}\le \theta \le\frac{3\pi}{2}\bigg\rbrace$ (consulta el siguiente gráfico).
Figura 5.31. La región anular de integración $R$
Por lo tanto, usando la conversión $x = r cos \theta, y = r sen \theta$, y $dA = r dr d\theta$, tenemos
$$\begin{aligned} \iint_R (x + y) dA &= \int_{\theta=\pi /2}^{\theta = 3\pi /2}\int_{r=1}^{r=2}(r cos \theta + r sen \theta)r dr d\theta\\ &= \bigg(\int_{r=1}^{r=2}r^2dr\bigg)\bigg(\int_{\theta=\pi /2}^{\theta = 3\pi /2}(cos \theta + sen \theta)d\theta\bigg)\\ &= \bigg[\frac{r^3}{3}\bigg]_1^2\big[sen \theta − cos \theta\big]\bigg|_{\theta=\pi /2}^{\theta = 3\pi /2}\\ &= -\frac{14}{3} \end{aligned}$$