Observa que $D$ puede verse como una región Tipo I o Tipo II, como se muestra en la figura 5.18. Sin embargo, en este caso, describir $D$ como Tipo I es más complicado que describirlo como Tipo II. Por lo tanto, usamos $D$ como una región Tipo II para la integración.
Figura 5.18. La región $D$ en este ejemplo puede ser (a) Tipo I o (b) Tipo II
Al elegir este orden de integración, tenemos
$$\begin{aligned} \iint_D\big(3x^2 + y^2\big)dA &= \int_{y=-2}^{y=3}\int_{x=y^2-3}^{x=y+3}\big(3x^2 + y^2\big)dxdy\;\;\;\text{(Integral iterada, región tipo I)}\\ &= \int_{y=-2}^{y=3}\big(3x^2 + y^2\big)\bigg|_{y^2-3}^{y+3} dy\,\,\,\text{(Integra con respecto a x)}\\ &= \int_{y=-2}^{y=3}\bigg((y + 3)^3 + (y + 3)y^2 − (y^2 − 3)^3 − (y^2 − 3)y^2\bigg)dy\\ &= \int_{-2}^3\big(54 + 27y − 12y^2 + 2y^3 + 8y^4 − y^6\big)dy\;\;\;\;\text{(Integra con respecto a y)}\\ &= \bigg[54y + \frac{27y^2}{2} -4y^3 + \frac{y^4}{2} + \frac{8y^5}{5} - \frac{y^7}{7}\bigg]\bigg|_{-2}^3\\ &= \frac{2375}{7} \end{aligned}$$