Solución

1. Como podemos ver, la función $z = f(x,y)=3x^2-y$ está encima del plano. Para encontrar el volumen de $S$, necesitamos dividir la región $R$ en pequeños rectángulos $R_{ij}$, cada uno con area $\Delta A$ y con lados $\Delta x$ y $\Delta y$, y elige $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ como puntos de muestra en cada $R_{ij}$. Por lo tanto, una integral doble se configura como
   $$V = \iint_R (3x^2-y)\Delta A = \lim\limits_{m,n \to \infin}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\bigg[2\big(x_{ij}^*\big)^2 - y_{ij}^*\bigg]\Delta A$$
2. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con $m = n = 2$ tenemos $\Delta A = \Delta x\Delta y = 1 \times 1 = 1$. Además, los puntos de muestra son $(1, 1), (2, 1), (1, 2)$, y $(2, 2)$ como se muestra en la siguiente figura.
   

   

   Figura 5.6. Subrectangulos para la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2]$.

   Por lo tanto, $$\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 f((x_{ij}^*, y_{ij}^*))\Delta A\\ &= \sum_{i=1}^2 (f(x_{i1}^*, y_{i1}^*) + f(x_{i2}^*, y_{i2}^*))\Delta A\\ &= f(x_{11}^*, y_{11}^*)\Delta A + f(x_{12}^*, y_{12}^*)\Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)\Delta A\\ &= f(1, 1)(1) + f(2, 1)(1) + f(1, 2)(1) + f(2, 2)(1)\\ &= (3 − 1)(1) + (12 − 1)(1) + (3 − 2)(1) + (12 − 2)(1)\\ &= 2 + 11 + 1 + 10 = 24 \end{aligned}$$
3. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con $m = n = 2$, tenemos $\Delta A = \Delta x \Delta y= 1\times 1 = 1$. En este caso, los puntos de muestra son $(1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2)$ y $(3/2, 3/2)$.
   
   Por lo tanto
   $$\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 f((x_{ij}^*, y_{ij}^*))\Delta A\\ &= f(x_{11}^*, y_{11}^*)\Delta A + f(x_{12}^*, y_{12}^*)\Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)\Delta A\\ &= f(1/2, 1/2)(1) + f(3/2, 1/2)(1) + f(1/2, 3/2)(1) + f(3/2, 3/2)(1)\\ &= \bigg(\frac34 - \frac14\bigg)(1) + \bigg(\frac{27}{4} - \frac12\bigg)(1) + \bigg(\frac34 - \frac32\bigg)(1) + \bigg(\frac{27}{4} - \frac32\bigg)(1)\\ &= \frac24 + \frac{25}{4} + \bigg(-\frac34\bigg) + \frac{21}{4} = \frac{45}{4} = 11 \end{aligned}$$ Análisis
   
   Ten en cuenta que las respuestas aproximadas difieren debido a las opciones de los puntos de muestra. En cualquier caso, estamos introduciendo algún error porque estamos usando solo unos pocos puntos de muestra. Por lo tanto, debemos investigar cómo podemos lograr una respuesta precisa.