Observa que $S$ no es suave, sino que es suave por partes; $S$ se puede escribir como la unión de su base $S_1$ y su parte superior esférica $S_2$, y tanto $S_1$ como $S_2$ son suaves. Por lo tanto, para calcular $\iint_S z^2dS$, escribimos esta integral como $\int_{S_1}z^2dS + \iint_{S_2}z^2dS$ y calculamos las integrales $\int_{S_1}z^2dS$ y $\int_{S_2}z^2dS$.
Primero, calculamos $\int_{S_1}z^2dS$. Para calcular esta integral necesitamos una parametrización de $S_1$. Esta superficie es un disco en el plano $z = 1$ centrado en $(0, 0, 1)$. Para parametrizar este disco, necesitamos conocer su radio. Dado que el disco se forma donde el plano $z = 1$ interseca la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, podemos sustituir $z = 1$ en la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = 4$:
$$x^2+y^2+1=4 \to x^2+y^2=3$$Por lo tanto, el radio del disco es $\sqrt{3}$ y una parametrización de $S_1$ es $\bold{r} (u, v) = \lang u cos\; v, u sen \;v, 1\rang, 0 \le u \le \sqrt{3}, 0 \le v \le 2\pi$. Los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang cos\; v, sen\; v, 0\rang$ y $\bold{t}_v = \lang −u sen\; v, ucos\;v, 0\rang$, y así
$$\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ cos\;v & sen\;v & 0\\ -usen\;v & ucos\;v & 0\\ \end{vmatrix} = \lang 0, 0, ucos^2v + usen^2v \rang = \lang 0,0,u \rang$$La magnitud de este vector es $u$, por lo tanto
$$\begin{aligned} \iint_{s_1} z^2dS &= \int_0^{\sqrt{3}}\int_0^{2\pi} f(\bold{r}(u,v)) ||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| dvdu\\ &= \int_0^{\sqrt{3}}\int_0^{2\pi} udvdu\\ &= 2\pi \int_0^{\sqrt{3}} udu\\ &= 2\pi \sqrt{3} \end{aligned}$$Ahora calculamos $\iint_{S_2}dS$. Para calcular esta integral, necesitamos una parametrización de $S_2$. La parametrización de la esfera completa $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ es
$$\bold{r}(\phi,\theta) = \lang 2 cos\; \theta sen\; \phi, 2 sen\; \theta sen\; \phi, 2 cos\; \phi \rang , 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le \phi \le \pi$$Dado que solo estamos tomando la parte de la esfera en o sobre el plano $z = 1$, tenemos que restringir el dominio de $\phi$. Para ver qué tan lejos se extiende este ángulo, observa que el ángulo se puede ubicar en un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente figura (la $\sqrt{3}$ proviene del hecho de que la base de $S$ es un disco con radio $\sqrt{3}$). Por lo tanto, la tangente de $\phi$ es $\sqrt{3}$, lo que implica que $\phi$ es $\pi/ 6$. Ahora tenemos una parametrización de $S_2$:
$$\bold{r}(\phi,\theta) = \lang 2 cos\; \theta sen\; \phi, 2 sen\; \theta sen\; \phi, 2 cos\; \phi \rang , 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le \phi \le \pi/3$$
Figura 6.73. El valor máximo de $\phi$ tiene un valor de tangente de $\sqrt{3}$.
Los vectores tangentes son
$$\bold{t}_{\phi} = \lang 2 cos\; \theta cos\;\phi, 2 sen\; \theta cos\; \phi, −2 sen\; \phi \rang\;\;\text{y}\;\; \bold{t}_{\theta} = 〈 −2 sen\; \theta sen\; \phi, u cos\; \theta sen\; \phi, 0 \rang$$y por lo tanto
$$\begin{aligned} \bold{t}_{\phi} \times \bold{t}_{\theta} &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ 2cos\;\theta cos\;\phi & 2sen\;\theta cos\;\phi & -2sen\;\phi\\ -2sen\;\theta sen\;\phi & 2cos\;\theta sen\phi & 0\\ \end{vmatrix}\\ &= \lang 4 cos\; \theta sen^2\phi, 4 sen\; \theta sen^2\phi, 4 cos^2\theta cos\; \phi sen\; \phi + 4 sen^2\theta cos\; \phi sen\; \phi \rang\\ &= \lang 4 cos\; \theta sen^2\phi, 4 sen\; \theta sen^2\phi, 4 cos\; \phi sen\; \phi \rang \end{aligned}$$La magnitud de este vector es
$$\begin{aligned} ||\bold{t}_{\phi} \times \bold{t}_{\theta}|| &= \sqrt{16 cos^2\theta sen^4\phi + 16 sen^2\theta sen^4\phi + 16 cos^2\phi sen^2\phi}\\ &=4\sqrt{sen^4\phi + cos^2\phi sen^2\phi} \end{aligned}$$Por lo tanto,
$$\begin{aligned} \iint_{s_2} &= \int_0^{\pi/6}\int_0^{2\pi} f(\bold{r}(\phi, \theta)) ||\bold{t}_{\phi} \times \bold{t}_{\theta}|| d\theta d\phi\\ &= \int_0^{\pi/6}\int_0^{2\pi} 16cos^2\phi \sqrt{sen^4\phi + cos^2\phi sen^2\phi} d\theta d\phi\\ &= 32\pi \int_0^{\pi/6} cos^2\phi\sqrt{sen^4\phi + cos^2\phi sen^2\phi} d\phi\\ &= 32\pi \int_0^{\pi/6} cos^2\phi sen\;\phi \sqrt{sen^2\phi + cos^2\phi} d\phi\\ &= 32\pi \int_0^{\pi/6} cos^2\phi sen\;\phi d\phi\\ &= 32\pi \bigg[-\frac{cos^3\phi}{3}\bigg]_0^{\pi/6} = 32\pi \bigg[\frac13 - \frac{\sqrt{3}}{8}\bigg] = \frac{32\pi}{3} - 4\sqrt{3} \end{aligned}$$Ya que $\iint_S z^2dS = \iint_{S_1} z^2dS + \iint_{S_2} z^2dS$, obtenemos
$$\iint_S z^2dS = (2\pi - 4)\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3}$$