Para calcular la integral de superficie, primero necesitamos una parametrización del cilindro. Una parametrización es
$$\bold{r}(u, v) = \lang cos\; u, sen\; u, v \rang , 0 \le u \le 2\pi, 0 \le v \le 3$$Los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang sen\; u, cos\; u, 0\rang$ y $\bold{t}_v = \lang 0, 0, 1\rang$. Luego
$$\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ -sen\;u & cos\;u & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} = \lang cos\; u, sen\; u, 0 \rang$$y
$$||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| = \sqrt{cos^2 u + sen^2 u} = 1$$Por la ecuación 6.19,
$$\begin{aligned} \iint_S f(x,y,z)dS &= \iint_D f(\bold{r}(u, v)) ||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| dA\\ &= \int_0^3\int_0^{2\pi} (cos\;u + sen^2u) dudv\\ &= \int_0^3\bigg[sen\;u + \frac{u}{2} - \frac{sen(2u)}{4}\bigg]_0^{2\pi} d v = \int_0^3 \pi dv = 3\pi \end{aligned}$$