Ten en cuenta que el dominio de $\bold{F}$ es todo $\Reals^2$, que simplemente está conectado. Por lo tanto, para mostrar que $\bold{F}$ está libre de fuentes, podemos mostrar que cualquiera de los elementos del $1$ al $4$ de la lista anterior es verdadero. En este ejercicio, demostraremos que el elemento $4$ es verdadero.
Sea $P (x, y) = y$ y $Q (x, y) = −x$. Entonces $P_x + 0 = Q_y$, y por lo tanto $P_x + Q_y = 0$. Por lo tanto, $\bold{F}$ es libre de fuentes.
Para encontrar una función de flujo para $\bold{F}$, proceda de la misma manera que para encontrar una función potencial para un campo conservativo. Sea $g$ una función de flujo para $\bold{F}$. Entonces $g_y = y$, lo que implica que
$$g(x,y) = \frac{y^2}{2} + h(x)$$Dado que $−g_x = Q = −x$, tenemos $h^{\prime}(x) = x$. Por lo tanto,
$$h(x) = \frac{x^2}{2} + C$$Dejando $C = 0$ obtenemos un función de flujo
$$g(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}$$Para confirmar que $g$ es una función de flujo para $\bold{F}$, ten en cuenta que $g_y = y = P$ y $−g_x = −x = Q$.
Observa que el campo vectorial de rotación libre de fuente $\bold{F} (x, y) = \lang y, −x\rang$ es perpendicular al campo vectorial radial conservativo $\nabla g = \lang x, y\rang$ (ver la siguiente figura).
Figura 6.42. (a) En esta imagen, vemos las curvas de tres niveles de $g$ y el campo vectorial $\bold{F}$. Observa que los vectores $\bold{F}$ en una curva de nivel dada son tangentes a la curva de nivel. (b) En esta imagen, vemos las curvas de tres niveles de $g$ y el campo vectorial $\nabla g$. Los vectores gradiente son perpendiculares a la curva de nivel correspondiente. Por lo tanto, $\bold{F} (a, b) \cdot \nabla g (a, b) = 0$ para cualquier punto en el dominio de $g$.