Sea $D$ el disco encerrado por $C$. El flujo a través de $C$ es $\oint_C\bold{F}\cdot \bold{N}ds$. Podríamos evaluar esta integral usando las herramientas que hemos aprendido, pero el teorema de Green hace que el cálculo sea mucho más simple. Sea $P (x, y) = x$ y $Q (x, y) = y$ de modo que $\bold{F} = \lang P, Q\rang$. Ten en cuenta que $P_x = 1 = Q_y$ y, por lo tanto, $P_x + Q_y = 2$. Según el teorema de Green
$$\int_C\bold{F}\cdot \bold{N}ds = \iint_D 2dA = 2\iint_D dA$$Dado que $\iint_D dA$ es el área del círculo, $\iint_D dA = \pi r^2$. Por lo tanto, el flujo a través de $C$ es $2\pi r^2$